Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

1.13. ELEKTROMAGNETNO SIPANJE NA JEDRIH 231.13 Elektromagnetno sipanje na jedrihPri sipanju elektronov preko elektromagnetne interakcije lahko perturbacijski potencial zapišemokot V (x) = −eU(x), kjer je U elektormagnetni potencial. Le-tega lahko opišemo z gostotonaboja, ki je izvor potenciala kot∇ 2 U(x) = − eρ(x) . (1.100)ɛ 0V skladu s predpostavkami pri izpeljavi sipalne matrike (1.91) mora biti tak potencial na velikihrazdaljah zanemarljiv in lahko na pripadajočem matričnem elementu perturbacije uporabimoGreenovo formulo∫∫dV (U∇ 2 Φ − Φ∇ 2 U) = dS(U∇Φ − Φ∇U) → 0 . (1.101)Upoštevajoč ∇ 2 exp(−q · x) = −q 2 exp(−q · x) od tod že sledi− q 2 V fi = e ∫d 3 x q 2 e −iq·x U(x) = −e ∫∫d 3 x e −iq·x ∇ 2 U(x) = Ze2VVɛ 0 Vd 3 xe −iq·x ¯ρ(x) , (1.102)kjer smo vpeljali ¯ρ ≡ ρ/Z (tako da je ∫ ¯ρdV = 1) in lahko matrični element perturbacije zapišemokotV fi =Ze2 F (q) , (1.103)ɛ 0 V q2 kjer Fourierovo transformacijo gostote naboja F (q) = ∫ d 3 x e −iq·x ¯ρ(x) imenujemo elektromagnetnioblikovni faktor . Končno zapišimo še pripadajoči elastični diferencialni sipalni presekdσdΩ = 4π2 m 2 (Ze 2 ) 2(2π) 4 ɛ 2 |F 0 q4 (q)|2 . (1.104)Za elastično sipanje velja |p i | = |p f | ≡ p in lahko kvadrat izmenjalnega valovnega vektorjazapišemo s pomočjo sipalnega kota θ med smerjo vpadnega in sipanega curka elektronovq 2 = 1 2 (|p i| 2 + |p f | 2 − 2|p i ||p f | cos θ) = 4p2 2 sin2 θ 2 , (1.105)od koder sledi sipalni presek za t.i. Rutherfordovo sipanje(dσ Ze 2 ) 2dΩ = m 18πɛ 0 p 2 sin 4 θ |F (q)| 2 . (1.106)2Najprej si poglejmo najenostavnejši primer Rutherfordovega sipanja na točkastem nabojuZe. Gostota naboja je kar ρ(x) = δ(x − x 0 ), od koder sledi oblikovni faktor F (q) = 1 . Takoimenovano čisto Rutherfordovo sipanje dobro opisuje rezultate eksperimentov sipanja nabitihcurkov, kadar je (de Brogliejeva) valovna dolžina vpadnih valov λ = /p dosti večja od velikosti(radija R) porazdelitve naboja sipalne tarče (npr. jedra), torej R p/ ≪ 1.Izračunajmo sedaj prve popravke k omenjeni limiti. Upoštevamo torej porazdelitev nabojav jedru. Tedaj nam sipanje da informacijo o velikosti jedra. Predpostavimo, da je porazdelitevnaboja sferično simetrična ρ(x) = ρ(r), ter v definiciji oblikovnega faktorja zapišimo še q · x =q r cos θ ′ , pa dobimoF (q) = 2π= 4π q∫ 10∫ ∞0d cos θ ′ ∫ ∞0r 2 iq r cos θ′dr¯ρ(r)e¯ρ(r) sin(qr)rdr . (1.107)