Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

20 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAHkrati vemo, da po definiciji to ustreza q ′ = 2〈r 2 Y 20 (θ ′ )〉. Vrednost električnega kvadrupolnegamomenta v poljubnem drugem koordinatnem sistemu (z) lahko sedaj izrazimo s pomočjotransformacijskih lastnosti krogelnih funkcij pri rotaciji za azimutni kot Ω in polarni kot ω,namrečY 20 (θ) = Y 20 (θ ′ )Y 20 (Ω) + ∑ c m Y 2m (θ ′ )Y 2m (Ω) cos m(φ ′ − ω) , (1.81)m≠0kjer je φ ′ polarni kot v sistemu z ′ . Za električni kvadrupolni moment v poljubnem sistemu zvelja torejq = 2〈r 2 Y 20 (θ ′ )Y 20 (Ω) + r 2 ∑ m≠0. . .〉 , (1.82)kjer se prispevki višjih krogelnih projekcij izpoprečijo v nič, saj velja∫ 2π0cos m(φ ′ − ω)dφ ′ = 0 , (1.83)za m = −2, −1, 1, 2 . Odvisnost of Ω lahko sedaj izpostavimo iz integrala (poprečja), pa dobimozvezoq = Y 20 (Ω) q ′ . (1.84)Kvantnomehansko lahko cos Ω ocenimo s projekcijo vrtilne količine sistema (h kateri bo v našempribližku prav tako prispeval le osamljen nukleon v najvišji lupini) na os z ter normiramo nacelotno vrtilno količino, oziromamcos Ω ≃ √ , (1.85)j(j + 1)od koder sledi pri maksimalni projekciji vrtilne količine na izbrano os z (m = j) za Y 20 (Ω) ≃(2j − 1)/2(j + 1) in končnoq ≃ − 2j − 12(j + 1) 〈r2 〉 . (1.86)Kot primer ocenimo električni kvadrupolni moment težkih jeder pri velikem j. Radij jedrazapišemo v približku kot r ≃ r 0 A 1/3 , z r 0 = 1, 4 fm ter dobimo q ≃ −r0 2A2/3 = 1, 4 A 2/3 · 10 −2 b.Gornja ocena velja, če je nesparjeni nukleon na zunanji lupini proton. Naivno bi mordapričakovali, da v primeru, da zunanjo lupino zaseda nevtron, prispevka k električnemu kvadrupolnemumomentu ne bo, saj nevtron nima naboja. Vendar pa je tak zaključek prenagljen, sajzunanji nevtron povzroči tudi premik težišča celotnega jedra oziroma preostalih nukleonovr t =∑∑ i m ir ii m i= m Nr nAm N= r nA . (1.87)Efektivno imamo torej Z protonov v orbiti z radijem r t ≡ |r t | in dobimo naslednjo oceno zaelektrični kvadrupolni momentq ≃ −Zr 2 t = − Z A 2 〈r2 〉 . (1.88)Kot primer ocenimo q za jedro 178 O. Z gornjim sklepanjem dobimo q ≃ −0.003 b, eksperimentalnoizmerjena vrednost q exp = −0.026 b pa je precej večja! Razlika je posledica deformacijeradialne porazdelitve gostote naboja jedra, ki je v našem pristopu nismo upoštevali in da poglavitniprispevek.