Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

14 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAmajhne mase velja tudi E ν ≃ 0. Zaradi ohranitve gibalne količine v tej točki velja |p e | = |p C |.Masa elektrona (oz. pozitrona) je mnogo manjša od mas nukleonov in posledično jeder. Zato žeiz primera 1.4 vemo, da bo v tej kinematski točki kinetična energija pozitrona mnogo večja odkinetične energije jedra C in torej veljaT maxe ≃ ∆W v + (m p − m n )c 2 − m e c 2 (1.48)Nadaljno obravnavo nam olajša dejstvo, da sta jedri 137 N in136 C t.i. zrcalni jedri. Jedrskasila namreč ne loči med protoni in nevtroni v jedru. Če torej v jedru X(A, Z) zamenjamo vseprotone z nevtroni in obratno, dobimo zrcalno jedro Y (A, A − Z). Med takšnimi pari jederrazlikuje le elektrostatska sila, zaradi različnih nabojev protonov in nevtronov. Vsa spremembajedrske vezavne energije v gornjem razpadu je torej enaka spremembi elektrostatične potencialneenergije. To izračunamo tako, da jedro aproksimiramo z enakomerno nabito kroglo radija R. Zaporazdelitev točkastih nabojev bi bila elektrostatska potencialna energija kar vsota posameznihelektrostatskih energij med vsemi pari nabojevWp point = 1 ∑ q i q j2 4πɛi,j 0 |r i − r j | = 1 ∑q i U(r i ) , (1.49)2ikjer smo v drugem koraku uvedli potencial vseh nabojev na mestu r i . Za primer zvezne porazdelitvenaboja se gornja enačba prepiše v integral produkta gostote naboja ρ ter elektrostatskegapotenciala po volumnu krogleW p = 1 ∫ρ(r)U(r)dV , (1.50)2Za enakomerno nabito kroglo s celotnim nabojem Ze je gostota nabojaρ = 3Ze4πR 3 . (1.51)Potencial za tak primer izračunamo s pomočjo Gaussovega izreka za električno polje skozi zaključenoploskev ∮ E · dS = Ze/ɛ 0 . Električno polje kaže v radialni smeri in za njegovo jakostpri radiju r od središča krogle potem velja{|E|(4πr 2 ρ 4πR3) = 3r > R ,(1.52)ρ 4πr33r < R .Od tod s pomočjo definicije razlike potenciala U(r 2 ) − U(r 1 ) = − ∫ r 2r 1Edr ter predpisa vrednostipotenciala v neskončni oddaljenosti od središca krogle U(r → ∞) = 0 že lahko izrazimo vrednostpotenciala kot{ ( )ZeU(r) =8πɛ 0 R3 − r2 r < R ,R 2 (1.53)Ze4πɛ 0 rr > R .Elektrostatska energija jedra je potem podana z enačbo (1.50)Sprememba le-te v razpadu β + , kjer se Z spremeni za -1 pa jeW p = 3Z2 e 220πɛ 0 R . (1.54)∆W p = −3(2Z − 1)e220πɛ 0 R . (1.55)