Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcev - F9

Rešene naloge iz fizike jedra in osnovnih delcevJernej Fesel KamenikBoštjan Golob15. december 2011

2ZahvalaZahvaljujeva se Primožu Koželju za pozorno branje teksta in vse konstruktivne pripombe.

Kazalo1 Fizika jedra 51.1 Kvantno mehanski problem dveh teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Valovna funkcija devterona v približku potencialne jame . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Izračun verjetnosti za razpad α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Kinematika razpada α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Stabilnost jeder na razpad α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Beta razpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Simetrijske lastnosti valovne funkcije devterona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Magnetni dipolni moment v kvantni mehaniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Magnetni dipolni moment jedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10 Električni kvadrupolni moment jeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11 Nerelativistična kvantna perturbacijska teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12 Sipalni presek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.13 Elektromagnetno sipanje na jedrih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Fizika osnovnih delcev 272.1 Odvisnost sipalnega preseka od energije vpadnega curka . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Sipanje π + p ter resonanca ∆ ++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Sipanje preko močne interakcije ter izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Kotna porazdelitev pri resonančnem sipanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5 Kvarki in leptoni ter njihova kvantna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Valovne funkcije hadronov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7 Relativistično sipanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8 Sipalni presek in Lorentzove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9 Sipanje brezspinskih delcev preko EM interakcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.10 Antidelci in križanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.11 Elastično EM sipanje π − π − ter π − π + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.12 Ohranitev vrtilne količine za Diracove delce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.13 Diracovi spinorji in sučnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.14 Gordonova dekompozicija EM toka za Diracove delce . . . . . . . . . . . . . . . . 482.15 Nerelativistična limita EM interakcij za Diracove delce . . . . . . . . . . . . . . . 482.16 Ultrarelativistična limita EM interakcij za Diracove delce . . . . . . . . . . . . . 492.17 Kotna porazdelitev v ultrarelativističnem EM sipanju Diracovih delcev . . . . . . 512.18 Sledi γ matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.19 Elastično EM sipanje e − µ − → e − µ − ter annihilacija e + e − → µ + µ − . . . . . . . 532.20 Møllerjevo sipanje e − e − ter Bhabha sipanje e + e − . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

4 KAZALO2.21 Sipanje e − ν µ → ν e µ − preko šibke interakcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.22 Razpad miona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Poglavje 1Fizika jedra1.1 Kvantno mehanski problem dveh telesObravnavamo problem dveh teles, med katerima predpostavimo potencial, odvisen le od njunemedsebojne razdalje. Kvantnomehansko takšno situacijo v splošnem opišemo z naslednjim HamiltonovimoperatorjemĤ = ˆp2 12m 1+ ˆp2 22m 2+ V (ˆx 1 − ˆx 2 ) , (1.1)kjer so m i , ˆx i in ˆp i masa, operator koordinatnega vektorja ter operator vektorja gibalne količinei-tega delca. Če definiramo celotno (M) in reducirano (µ) maso sistema kot M ≡ m 1 + m 2 inµ ≡ m 1 m 2 /M, lahko uvedemo naslednje nove spremenljivkeˆx r ≡ ˆx 1 − ˆx 2 , ˆp r ≡ µ(ˆv 1 − ˆv 2 ) = (m 2ˆp 1 − m 1ˆp 2 )/M ,ˆx cm ≡ (m 1ˆx 1 + m 2ˆx 2 )/M , ˆp cm ≡ ˆp 1 + ˆp 2 .Lahko je pokazati, da kanonična komutacijska pravila ([ˆx ν i , ˆpµ j ] = iδ ijδ µν , kjer indeksa µ, ν =1, 2, 3 označujeta kartezične komponente tri-dimenzionalnih vektorjev) veljajo tudi za nove spremenljivkeˆx r , ˆp r , ˆx cm , ˆp cm , in lahko Hamiltonov operator prepišemo v oblikoĤ = ˆp2 r2µ + ˆp2 cm2M + V (ˆx r) , (1.2)ki ni več odvisna od koordinate ˆx cm . Zato za rešitev dvodelčne valovne funkcije uporabimonastavek s separacijo spremenljivk v koordinatni reprezentaciji ψ(x cm , x r ) = e ikcm·xcm ψ(x r ) .Iskanje rešitev Hamiltonovega operatorja (Ĥψ = Eψ) tako zreduciramo na( )ˆp2r2µ + V (x r) ψ(x r ) = E r ψ(x r ) , (1.3)kjer je celotna energija sistema E = E r + 2 |k cm | 2 /2M . V nadaljevanju se tako spopadamo lez mnogo lažjim enodelčnim problemom (povzeto po [1], poglavje 6.4).5

6 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRA1.2 Valovna funkcija devterona v približku potencialne jameMed protonom (p) in nevtronom (n) v jedru devterona obstaja jedrski potencial, ki ju veže.V približku obravnavajmo tak potencial kot končno potencialno jamo globine V 0 in z radijemR 0 . Uporabimo pristop iz primera 1.1 in Schrödingerejvo enačbo za kvantno-mehanski problemdveh teles prepišemo v enodelčno obliko z reducirano maso µ = (m p m n )/(m p + m n ) ≃ m p /2.Ker je naš potencial sferično simetričen, je primerna izbira koordinatne upodobitve s krogelnimikoordinatami, v kateri se operator kvadrata gibalne količine ˆp 2 zapiše kot[ ∂ˆp 2 = − 2 ∇ 2 = − 2 2∂r 2 + 2 ]∂+ 2ˆl2r ∂r r 2 , (1.4)kjer smo člene z odvodi po kotnih koordinatah (θ in φ) stlačili v operator ˆl 2 , ki je ravno operatorkvadrata vrtilne količine. Rešitev Schrödingerjeve enačbe nastavimo v oblikiψ(r, θ, φ) = R(r)Y lm (θ, φ) , (1.5)kjer je Y lm lastna funkcija operatorja ˆl 2 : ˆl 2 Y lm = l(l + 1)Y lm . Tako dobimo[− 2 ∂ 2 R2µ ∂r 2 + 2 ]∂R+ 2 l(l + 1)r ∂r r 2 R + (V − E)R = 0 . (1.6)Enačba se še nekoliko poenostavi z nastavkom R(r) = u(r)/r:u ′′ l(l + 1)−r 2 u − 2µ (V − E)u = 0 . (1.7)2 Oglejmo si osnovno stanje z l = 0, pri katerem lahko drugi člen v gornji enačbi izpustimo.Znotraj radija R 0 ima potencial vrednost −V 0 , energija vezanega stanja pa mora po definicijiprav tako biti negativna E < 0, tako da lahko zapišemou ′′ + k 2 d u = 0 , kjer je k2 d = 2µ 2 (V 0 − |E|) , (r < R 0 ) . (1.8)Rešitev te enačbe je oblike u = A sin k d r. V splošnem je mogoča tudi rešitev oblike cos k d r,vendar le-ta prispevek k valovni funkciji (R = u/r) v izhodišču (ko gre r → 0) divergira, zatone more opisovati fizikalne valovne funkcije. Analogno v območju r ≥ R 0 , kjer potencial padena nič (V = 0) veljau ′′ − κ 2 u = 0 , kjer je κ 2 = 2µ 2 |E| , (r ≥ R 0) . (1.9)Rešitev v tem področju je oblike u = Be −κ(r−R 0) . Tudi dokrat dodatno možno rešitev oblike e κrzavržemo, saj divergira, ko gre r → ∞. Valovna funkcija mora biti pri r = R 0 zvezna in zveznoodvedljiva (rešujemo namreč diferencialno enačbo drugega reda), od koder dobimo dva pogojaA sin k d R 0 = B , (1.10a)Ak d cos k d R 0 = −κB . (1.10b)Deljenje obeh enačb nam da k d ctgk d R 0 = −κ oziroma√ctgk d R 0 = − κ |E|= −k d V 0 − |E| . (1.11)

1.2. VALOVNA FUNKCIJA DEVTERONA V PRIBLIŽKU POTENCIALNE JAME 7Rešitev te implicitne enačbe nam da zvezo med vezavno energijo devterona (|E|), njegovimradijem (dosegom jedrskega potenciala R 0 ) ter efektivno globino jedrskega potenciala (V 0 ). Čepredpostavimo, da je glede na globino efektivnega potenciala, devteron šibko vezano stanje(|E| ≪ V 0 ), lahko desno stran enačbe postavimo na nič, pa dobimo enostavnejšo zvezok d R 0 ≃(2n + 1)π2, n ∈ Z , (|E| ≪ V 0 ) . (1.12)√Najbolj vezano stanje dobimo pri n = 0 (za pozitiven k d ), in če aproksimiramo še k d2µV0 / 2 , dobimo zvezo med globino potenciala in njegovim radijem≈V 0 R0 2 ≃ π2 28µ . (1.13)Upoštevajoč maso nukleonov m p c 2 ≃ 940 MeV, radij devterona R 0 ≃ 2 fm, ter zvezo c ≃200 MeV fm dobimo za globino potenciala približno V 0 ≈ 26 MeV. Dejansko so tipične vrednostiefektivne globine potenciala ter vezavne energije V 0 ≃ 36 MeV ter |E| ≃ 2.2 MeV, kar nampotrjuje predpostavko, da je glede na globino efektivnega potenciala, devteron precej šibkovezano stanje.Oglejmo si sedaj stanja z l ≠ 0. Iz enačbe (1.7) razberemo, da člen z l(l + 1) deluje kotdodaten odbojni potencial. Pri l = 1 bi bil potencial višji za približno 2 /µR0 2 ≈ 20 MeV. Napodlagi numeričnih ocen glede globine potenciala in vezavne energije osnovnega stanja devteronaiz prejšnjega odstavka lahko sklepamo, da stanja z l > 0 niso več vezana.Na koncu si v našem približku oglejmo še s kakšno verjetnostjo najdemo oba nukleona, kisestavljata devteron v osnovnem stanju (l = 0) izven dosega jedrskega potenciala. Za ta namenpotrebujemo zvezo med normalizacijskima konstantama valovne funkcije v območjih r < R 0 inr ≥ R 0 , ki jo dobimo iz pogoja zveznosti pri r = R 0AB = e−κR 0sin k d R 0. (1.14)Njuni absolutni vrednosti sicer dobimo iz normalizacijskega pogoja za celotno valovno funkcijo∫|ψ| 2 dV = 1 oziroma (ob primerni normalizaciji Y lm )∫ R0∫ ∞|A| 2 (sin k d r) 2 dr + |B| 20R 0e −2κr dr = 1 . (1.15)Od tod že lahko izrazimo razmerje verjetnosti da najdemo oba nukleona izven (P out ) ali znotraj(P in ) radija jedrskega potencialaP outP in= |B|2|A| 2∫ ∞R 0e −2κr dr0(sin k d r) 2 dr = (sin k d R 0 )( 2) . (1.16)2κ R02− 14k dsin 2k d R 0∫ R0Ob numeričnih vrednostih iz začetka naloge ugotovimo da je to razmerje približno P out /P in ≃1.8, torej je bolj verjetno, da se oba nukleona nahajata izven radija efektivnega potenciala.

8 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRA1.3 Izračun verjetnosti za razpad αRazpad α je posledica elektrostatskih odbojnih sil, ki so pri težkih jedrih dovolj močne, da jedroni več stabilno. Razpad bomo obravnavali kot dvodelčni problem iz primera 1.1. Predpostavimo,da je potencial med delcema odvisen le od njune medsebojne razdalje (ˆr ≡ |ˆx r |), ne pa tudiabsolutne smeri (V (ˆx r ) = V (ˆr)). Celotni potencial je sestavljen iz dveh komponent: (1) privlačenjedrski potencial popolnoma prevladuje pri majhnih medsebojnih razdaljah delcev vendar jekratkega doesga. Njegovih podrobnosti ne poznamo, zato ga opišemo v približku končno razsežnepotencialne jame; (2) Odbojni elektrostatski potencial, ki ga poznamo in je oblike V (ˆr) =e 2 2(Z − 2)/4πɛ 0ˆr, kjer je 2e naboj delca α in (Z − 2)e naboj preostanka razpadajočega jedra.Pri tem je Z vrstno število razpadajočega jedra. V koordinatni upodobitvi (ˆr = r) ima torejcelotni potencial približno obliko, kot je skicirana na levi sliki 1.1. Za razpad α mora bitiVrVrV 0 V 0I II IIIWI II IIIWR R' r R R' r Slika 1.1: Potencial težkega jedra in delca α v približku potencialne jame za nuklearni potencial(levo) ter v približku stopničaste potencialne bariere (desno).globina te potencialne jame nad ničelnim nivojem, ki je določen s potencialom med delcem αin preostankom jedra v neskončni oddaljenosti (V (r → ∞)). V nasprotnem primeru bi bilo zadelec α ugodneje ostati znotraj potencialne jame in jedro ne bi razpadlo. Elektrostatski odbojnipotencial posledično deluje kot potencialna bariera skozi katero mora delec α tunelirati, če najjedro razpade.Zanima nas verjetnost za razpad jedra na časovno enoto, ki jo parametriziramo z razpadnokonstanto w. Za razpadajoče jedro namreč velja, da je verjetnost za njegov razpad v danemtrenutku (−dn/dt) sorazmerna verjetnosti, da jedro še ni razpadlo (n) oziromadndt= −wn . (1.17)Po kontinuitetni enačbi in Gaussovemu zakonu je količina na levi strani enačbe enaka integraluizhodnega toka verjetnosti po površini zaključene ploskve, ki popolnoma zaobjema jedro−dn/dt = ∫ (∇ · j)dV = ∫ j·dS. V veliki oddaljenosti od jedra (r ≫ R ′ ) in za sferično simetričnorešitev, je (radialna) hitrost delca α konstantna in jo označimo z v α , površinski integral toka(j = v α |ψ| 2 ) pa se poenostavi− dn ∫dt = v α |ψ(r)| 2 r 2 dΩ , (1.18)r≫R ′kjer je Ω prostorski kot. Po drugi strani pa lahko verjetnost n approksimiramo kar z verjetnostjo,

1.3.IZRAČUN VERJETNOSTI ZA RAZPAD α 9da se delec α nahaja v področju (I) znotraj radija R∫n = |ψ(r)| 2 d 3 r . (1.19)r

10 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAV prvem koraku smo v imenovalcu (upoštevajoč kR ≫ 1) zanemarili integral interferenčnegačlena oblike ∫ R (AB ∗ e 2ikr + A ∗ Be −2ikr) (dr = 2R AB ∗ e ikR) sin kRkR R . (1.27)0V drugem koraku smo uporabili κL ≫ 1 in aproksimirali|B| 2 ≃ |A| 2 (κ 2 + k 2 ) 2(κ 2 − k 2 ) 2 + 4k 2 κ 2 ≃ |A|2 . (1.28)V tretjem koraku pa smo v istem približku poenostavili še zvezo med |E| in |A|.Najizrazitejša v izrazu (1.26) je eksponentna odvisnost razpadne konstante w od produktag ≡ 2κL. Bolj realističnega opisa se tako lahko nadejamo če za elektrostatski potencial vzamemopravilno radialno odvisnost, rešitev pa poišcemo v t.i. WKB aproksimaciji (potencial na sl. 1.1(levo) predstavljamo kot sestavljenega iz velikega stevila potencialnih skokov razlicnih visin)∫ R ′√ ∫ 2µ R ′g ≃ 2 κ(r)dr = 2R 2 R√e 2 2(Z − 2)− W dr . (1.29)4πɛ 0 rUpoštevamo še V (R) ≡ V 0 , V 0 R = W R ′ ter V 0 ≫ W , pa lahko gornji integral aproksimiramo z√ [ √ ]2µV0g ≃ 2 R V0πW − 2 . (1.30)Poglejmo si odvisnost tako dobljene razpadne konstante (oz. inverznega razpadnega časa) jedraod energije W , ki ustreza kinetični energiji delca α v veliki oddaljenosti od jedralog w ∝ konst. − 1 √W. (1.31)Takšna odvisnost je bila potrjena tudi empirično (slika 1.2) in dejstvo, da razpadne konstante zarazpad α za podobna jedra (Z in R) ležijo na krivulji, ki jo opisuje, pravimo Geiger-Nuttalovopravilo.1.4 Kinematika razpada αObravnavamo razpad jedra X v jedro Y ter delec α. Upoštevati moramo ohranitev gibalnekoličinep X = p Y + p α , (1.32)ki se v težiščnem sistemu poenostavi (p Y = −p α ) in da relacijo med kinetičnima energijamaobeh razpadnih produktovT α = |p α| 2= |p Y | 22M α 2M αM Y= T Y .M α(1.33)Sedaj upoševamo še ohranitev energijeM X c 2 = M Y c 2 + T Y + M α c 2 + T α , (1.34)pa lahko izrazimo kinteično energijo delca α v težiščnem sistemu kotT α = M Xc 2 − (M Y + M α )c 21 + MαM Y. (1.35)

1.5. STABILNOST JEDER NA RAZPAD α 11Slika 1.2:izotope [2].Izračunane in izmerjene energije α delcev ter razpadni časi za nekatere jedrskeČe sta jedri X in Y dosti težji od delca α (M X,Y ≫ M α ) velja približnoT α ≃ (M X − M Y − M α )c 2 , (1.36)torej večino sproščene energije v razpadu odnese delec α v obliki kinetične energije.1.5 Stabilnost jeder na razpad αŽelimo oceniti od katerega masnega števila (A) naprej, lahko jedra α-razpadejo. Razpad jemožen, če bo sproščena kinetična energija, ki jo odnese delec α pozitivna (T α ≥ 0). Obravnavamojedro X z masnim številom A in vrstnim številom Z ( A A−4ZX), ki razpade v jedroZ−2Y ter delecα ( 4 2He). Maso posameznega jedra lahko v splošnem zapišemo kot razliko vsote mas nukleonov(m n ) v jedru 1 ter vezavne energije jedra (W v )M(A, Z)c 2 ≃ Am n c 2 − W v (A, Z) . (1.37)Kinetično energijo delca α v razpadu lahko torej izrazimo kotT α ≃ Am n c 2 − W v (A, Z) − (A − 4)m n c 2 + W v (A − 4, Z − 2) − 4m n c 2 + W v (4, 2)= W v (4, 2) − [W v (A, Z) − W v (A − 4, Z − 2)] . (1.38)Za vezavno energijo jedra 4 2 He bomo uporabili kar empirično vrednost W v(4, 2) = 28, 3 MeV. Zadovolj velika A in Z, lahko razliko vezavnih energij začetnega in končnega jedra approksimiramoz diferenciali ter zapišemoT α ≃ W v (4, 2) − ∂W v∂A δA − ∂W vδZ , (1.39)∂Z1 Razpad α poteka preko močne interakcije, zato se v njem števili protonov in nevtronov ohranjata in lahko zaizračun uporabimo kar ‘povprečno’ maso nuklenov.

12 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAkjer je δA = 4 in δZ = 2 .Weizsäckerjevo formuloZa oceno vezavne energije jeder bomo uporabili semi-empiričnokjer jeW v (A, Z) = w 0 A − w 1 A 2/3 Z 2− w 2A 1/3 − w (A − 2Z) 23 − w 4 A −3/4 δ(A, Z) , (1.40)A⎧⎨δ(A, Z) =⎩−1 sodo − soda jedra ,0 sodo − liha jedra ,1 liho − liha jedra .(1.41)Prvi člen (w 0 = 15, 56 MeV) predstavlja povprečno vezavno energijo jedra na nukleon, drugi(w 1 = 17, 2 MeV) je prispevek površinskih nukleonov, tretji (w 2 = 0, 7 MeV) je coulombskiodbojni EM prispevek, četrti (w 3 = 23, 3 MeV) pa je t.i. paritveni člen. Ker je jedro 4 2He sodosodo(ima sodo število protonov in sodo število nevtronov) se zadnji člen (w 4 = 33, 5 MeV) vrazpadu α ne spremeni. Pri zelo težkih jedrih zaradi negativne potenčne odvisnosti od masnegaštevila A ta člen ne bo dosti vplival na energijsko bilanco v razpadu α in ga bomo v nadaljevanjuzanemarili. Z odvajanjem gornje formule po A in Z dobimo torej oceno za kinetično energijodelca αT α ≃ 28, 3 MeV − 4w 0 + 8 w 13 A 1/3 + 4w Z2(1A 1/3 − Z ) (− 4w 3 1 − 2Z ) 2. (1.42)3AAKer nas zanima minimalno masno število A, pri katerem jedra razpadejo α, se lahko omejimo lena najbolj stabilna jedra z danim A. Ta pogoj uporabimo za izbiro primernega vrstnega številaZ, zahtevamo namreč∂W v∂Z ∣ = 0 , (1.43)A=konst.z rešitvijoZ =A2 + w 22w 3A 2/3 ≃ A. (1.44)2 + 0, 015A2/3 Primerjava dobljenega pogoja največje stabilnosti z empričnimi podatki je predstavljena nasliki 1.3 . Numerična rešitev za odvisnost T α od A za nekaj mejnih jeder pa je podana vtabeli 1.1. V resnici pride do razpadov α pri jedrih težjih od 20782 P b. Pri lažjih jedrih je namrečA Z T α [MeV]140 58 -0.9150 62 0.08160 66 1.12Tabela 1.1:Sproščena energija v razpadu α za nekaj mejnih sodo-sodih jeder.verjetnost tuneliranja skozi potencialno bariero (glej primer 1.3) tako majhna, da so njihovi αrazpadni časi nemerljivo dolgi.

1.6. BETA RAZPAD 13Slika 1.3: Najbolj stabilna jedra pri danem masnem številu A.1.6 Beta razpadObravnavamo β + razpad jedra dušika 13 N137 N → 136 C e + ν e (1.45)Zaradi prisotnosti treh delcev v končnem stanju je kinematika tega procesa nekoliko bolj zapletena– kinetične energije delcev niso vedno enake, temveč tvorijo spekter. Iz energijske bilanceprocesaE N = E C + E e + E ν (1.46)izrazimo najprej vsoto energij pozitrona in nevtrinaE e + E ν = E N − E C = ∆W v + Zm p c 2 + (A − Z)m n c 2 − (Z − 1)m p c 2 − (A − Z + 1)m n c 2= ∆W v + (m p − m n )c 2 , (1.47)kjer smo z Z označili vrstno število začetnega jedra (v našem primeru Z = 7), tako da gornjiizraz velja za razpad β + poljubnega jedra. Če se osredotočimo le na kinetično energijo pozitronaT e , potem lahko določimo točko v spektru, kjer bo le-ta maksimalna. V težiščnem sistemu boto takrat, ko je nevtrino ustvarjen v mirovanju s p ν = 0, tako da zaradi njegove zanemarljivo

14 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAmajhne mase velja tudi E ν ≃ 0. Zaradi ohranitve gibalne količine v tej točki velja |p e | = |p C |.Masa elektrona (oz. pozitrona) je mnogo manjša od mas nukleonov in posledično jeder. Zato žeiz primera 1.4 vemo, da bo v tej kinematski točki kinetična energija pozitrona mnogo večja odkinetične energije jedra C in torej veljaT maxe ≃ ∆W v + (m p − m n )c 2 − m e c 2 (1.48)Nadaljno obravnavo nam olajša dejstvo, da sta jedri 137 N in136 C t.i. zrcalni jedri. Jedrskasila namreč ne loči med protoni in nevtroni v jedru. Če torej v jedru X(A, Z) zamenjamo vseprotone z nevtroni in obratno, dobimo zrcalno jedro Y (A, A − Z). Med takšnimi pari jederrazlikuje le elektrostatska sila, zaradi različnih nabojev protonov in nevtronov. Vsa spremembajedrske vezavne energije v gornjem razpadu je torej enaka spremembi elektrostatične potencialneenergije. To izračunamo tako, da jedro aproksimiramo z enakomerno nabito kroglo radija R. Zaporazdelitev točkastih nabojev bi bila elektrostatska potencialna energija kar vsota posameznihelektrostatskih energij med vsemi pari nabojevWp point = 1 ∑ q i q j2 4πɛi,j 0 |r i − r j | = 1 ∑q i U(r i ) , (1.49)2ikjer smo v drugem koraku uvedli potencial vseh nabojev na mestu r i . Za primer zvezne porazdelitvenaboja se gornja enačba prepiše v integral produkta gostote naboja ρ ter elektrostatskegapotenciala po volumnu krogleW p = 1 ∫ρ(r)U(r)dV , (1.50)2Za enakomerno nabito kroglo s celotnim nabojem Ze je gostota nabojaρ = 3Ze4πR 3 . (1.51)Potencial za tak primer izračunamo s pomočjo Gaussovega izreka za električno polje skozi zaključenoploskev ∮ E · dS = Ze/ɛ 0 . Električno polje kaže v radialni smeri in za njegovo jakostpri radiju r od središča krogle potem velja{|E|(4πr 2 ρ 4πR3) = 3r > R ,(1.52)ρ 4πr33r < R .Od tod s pomočjo definicije razlike potenciala U(r 2 ) − U(r 1 ) = − ∫ r 2r 1Edr ter predpisa vrednostipotenciala v neskončni oddaljenosti od središca krogle U(r → ∞) = 0 že lahko izrazimo vrednostpotenciala kot{ ( )ZeU(r) =8πɛ 0 R3 − r2 r < R ,R 2 (1.53)Ze4πɛ 0 rr > R .Elektrostatska energija jedra je potem podana z enačbo (1.50)Sprememba le-te v razpadu β + , kjer se Z spremeni za -1 pa jeW p = 3Z2 e 220πɛ 0 R . (1.54)∆W p = −3(2Z − 1)e220πɛ 0 R . (1.55)

1.7. SIMETRIJSKE LASTNOSTI VALOVNE FUNKCIJE DEVTERONA 15Meritev maksimalne kinetične energije pozitrona v razpadu β + (med zrcalnimi jedri) nam torejda informacijo o radiju razpadajočega jedra R in posledično radiju nukleona r n ≃ R/A 1/3 .Numerično obravnavo nam olajša vpreljava konstante fine strukture α = e 2 /4πɛ 0 c ≃ 1/137 terkonstanta c ≃ 200 MeV fm. V primeru β + razpada jedra 13 N je izmerjena Temax = 1, 4 MeV,od koder sledi r n ≃ 1, 5 fm, kar ni daleč od “standardne”vrednosti r n = 1, 4 fm.1.7 Simetrijske lastnosti valovne funkcije devteronaProton (p) in nevtron (n) občutita enako močno silo, zato ju lahko obravnavamo v približku kotdve stanji nukleona z različnim kvantnim številom izospina I. Analogno opisu stanj s spinom1/2 lahko potem protonu in nevtronu pripišemo lastne vrednosti operatorja izospina (tabela1.2). Valovna funkcija za stanje dveh nukleonov je torej sestavljena kot produkt prostorskega,nukleon I I 3p 1/2 1/2n 1/2 -1/2Tabela 1.2:Izospin protona in nevtrona.spinskega in izospinskega delaψ = ψ space ψ spin ψ izospin . (1.56)Ker sta proton in nevtron fermiona, mora biti celotna valovna funkcija v gornjem približkuantisimetrična na zamenjavo dveh nukleonov. V prostorskem delu takšna zamenjava ustrezazrcaljenju prostora in je torej njena simetrija določena s kotno odvisnostjo valovne funkcije. Vnašem približku primera 1.2 je ta določena z Y lm in je (−1) l . Za spinski (S) in izospinski (I)del imamo enake možnosti in sicer (stanje |1/2, 1/2〉 označimo kot | ↑〉,stanje |1/2, −1/2〉 pa kot| ↓〉)|1, 1〉 = | ↑〉| ↑〉 , (1.57a)|1, 0〉 = √ 1 [| ↑〉| ↓〉 + | ↓〉| ↑〉] ,(1.57b)2|1, −1〉 = | ↓〉| ↓〉 , (1.57c)|0, 0〉 = √ 1 [| ↑〉| ↓〉 − | ↓〉| ↑〉] ,(1.57d)2kjer so prve tri valovne funkcije simetrične, zadnja pa antisimetrična na zamenjavo nukleonov.Devteronu v izospinskem prostoru seveda ustrezata le stanji |1, 0〉 in |0, 0〉, ki vsebujeta po en nevtronin en proton. Če je edino vezano stanje devterona pri l = 0, je prostorska valovna funkcijasimetrična. Torej mora biti kombinirana simetrija spinskega in izospinskega dela antisimetrična.Na voljo sta dve možnosti S = 1, I = 0 ali S = 0, I = 1. Pripadata jima spektroskopski oznaki( 2s+1 l j ) 3 S 1 ter 1 S 0 . Izkaže se, da devteron nima vezanega stanja s celotno vrtilno količinoj = 0 in torej stanje 1 S 0 ni vezano. To potrdi tudi meritev neničelnega magnetnega momentadevterona. Sklepamo torej, da ima jedrska sila tudi spinsko-odvisno komponento.

16 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRA1.8 Magnetni dipolni moment v kvantni mehanikiKlasično je magnetni dipolni moment pozitivnega naboja q, ki enakomerno kroži po tirnici zradijem r definiran kot µ = ISn, kjer je tok tega naboja I = dQ/dt = q|v|/2πr, površina stirnico zaobjete ploskve S = πr 2 , magnetni moment pa kaže v smeri pravokotno na ravninokroženja n = r × v. Če si torej tak naboj predstavljamo kot nabito telo z maso m, lahko njegovmagnetni dipolni moment zapišemo tudi s pomočjo njegove tirne vrtilne količine l kotµ = q2m l . (1.58)Kvantnomehansko lahko tirni magnetni dipolni moment definiramo v skladu s korespondenčnimprincipom (vrtilno količino v gornji enačbi nadomestimo s primernim operatorjem, kideluje na kvantnomehanska stanja). Za primer vzemimo pozitron z nabojem q e + ≡ e = −q e − termaso m e + = m e −. Če rešitve Schrödingerjeve enačbe za enodelčni sistem razvijemo po lastnihfunkcijah operatorja kvadrata vrtilne količine ˆl 2 in njegove projekcije ˆl z na izbrano os z (Y lm ,kjer velja ˆl 2 Y lm = l(l + 1)Y lm ter ˆl z Y lm = mY lm ), jim lahko predpišemo tudi vrednost kvadratamagnetnega dipolnega momenta (µ 2 l ) ter njegovo projekcijo v smeri osi z (µ m)( ) e 2µ 2 l = l(l + 1) = µ 22mBl(l + 1) , µ m = mµ B , (1.59)ekjer smo v drugem koraku uvedli t.i. Bohrov magneton µ B = e/2m e kot osnovno enotomagnetnega momenta. Formalno lahko v splošnem definiramo( ) qˆµ l = ˆl . (1.60)2mTako opišemo magnetni dipolni moment, ki je posledica tirne vrtilne količine gibajočega senaboja. Magnetni dipolni moment delca pa lahko dobi tudi prispevek, ki je posledica spina. Tanima klasične analogije, za elementarne Diracove fermione pa lahko pokažemo, da veljaˆµ s = g s( q2m)ŝ , (1.61)kjer je ŝ operator spina, g s ≃ 2 pa je spinsko giromagnetno razmerje. Podobno kot za tirnovrtilno količino, lahko tudi za spin definiramo operatorja kvadrata ŝ 2 in projekcije ŝ z spina zpripadajočimi lastnimi stanji in lastnimi vrednostmi. Potem lahko celotni magnetni dipolnimoment elementarnega Diracovega fermiona zapišemo kot vsoto tirnega in spinskega dela( ) qˆµ = ˆµ l + ˆµ s =(ˆl + gs ŝ). (1.62)2mOčitna posledica spinskega giromagnetnega razmerja različnega od ena je, da celotni magnetnimoment za neničelno tirno vrtilno količino ne kaže v smeri celotne vrtilne količine ĵ = ˆl + ŝ!

1.9. MAGNETNI DIPOLNI MOMENT JEDRA 171.9 Magnetni dipolni moment jedraProton (p) in nevtron (n) sta fermiona s spinom 1/2. Če bi bila elementarna, bi torej za njunaspinska magnetna dipolna momenta pričakovali( √ µ 2 s) p = gsp e √s(s + 1) , z gp2m s ≈ 2 ,p( √ µ 2 s) n = 0 , (q n = 0) . (1.63)Vendar pa imata oba nukleona notranjo strukturo (v obliki kvarkovskih in gluonskih fluktuacij)in rezultati eksperimentov ustrezajo efektivnima giromagnetnima razmerjemag p s ≈ 5.6 ,g n s ≈ −3.8 , (1.64)s pomočjo katerih definiramo njuna magnetna dipolna momenta kot( √ µ 2 s) p ≡ g p sµ N√s(s + 1) ,( √ µ 2 s) n ≡ g n s µ N√s(s + 1) , (1.65)kjer smo uvedli še efektivni jedrski magneton µ N = e/2m N . Zaradi tehnike meritve (Stern-Gerlachov poskus) dobljene vrednosti magnetnih dipolnih momentov jeder ustrezajo komponentimagnetnega momenta v smeri zunanjega magnetnega polja pri maksimalni projekciji celotnevrtilne količine (m = j)µ ≡ 〈j, j|ˆµ z |j, j〉 . (1.66)Vemo, da zaradi različnih tirnih in spinskih giromagnetnih razmerij celotni magnetni dipolnimoment in celotna vrtilna količina ne kažeta v isto smer. Zato pogosto definiramo tudi effektivnogiromagnetno razmerje g kotµ = gµ N 〈j, j|ĵ z |j, j〉 , (1.67)oziroma equivalentno karg j = µµ N. (1.68)Ob predpostavki, da je magnetni dipolni moment jedra kar vsota prispevkov posameznih nukleonovter da je celoten magnetni dipolni moment lihega jedra posledica nesparjenega nukleona,lahko izračunamo magnetni dipolni moment takega jedra. Če je namreč celotna vrtilna količinazgolj posledica nesparjenega nukleona, veljakjer za nesparjen proton ali nevtron veljaµ = µ N 〈j, j|g lˆlz + g s ŝ z |j, j〉 , (1.69)g p l= 1 in g n l = 0 . (1.70)Od tod lahko izračunamo efektivno giromagnetno razmerje jedra z naslednjim razmislekom: kerdesni strani enačb (1.67) ter (1.69) po definiciji ustrezata isti količini in vsebujeta matričnaelementa med istimi stanji (|j, j〉), mora enakost veljati tudi, če operatorje znotraj matričnihelementov pomnožimo z operatorjem ĵ z , katerega lastno stanje je |j, j〉g〈j, j|ĵ z ĵ z |j, j〉 = 〈j, j|g lˆlz ĵ z + g s ŝ z ĵ z |j, j〉 . (1.71)

18 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAKer je v tem stanju smer naše projekcije z že v smeri celotne vrtilne količine ĵ, produkti operatorjevznotraj matričnih elementov v limiti j → ∞ asimptotsko konvergirajo k ĵ 2 , ˆl · ĵ ter ŝ · ĵ intorej veljag〈j, j|ĵ 2 |j, j〉 = 〈j, j|g lˆl · ĵ + g s ŝ · ĵ|j, j〉 . (1.72)Gornje produkte operatorjev sedaj lahko poenostavimo s pomočjo identitetˆl · ĵ = ˆl · (ˆl + ŝ) = ˆl 2 + ˆl · ŝ ,ŝ · ĵ = ŝ · (ˆl + ŝ) = ŝ 2 + ˆl · ŝ , (1.73)ĵ 2 = (ˆl + ŝ) 2 = ˆl 2 + ŝ 2 + 2ˆl · ŝ .Iz zadnjega izraza izpostavimo produkt ˆl · ŝ, ga uporabimo v prvih dveh, ki ju nato vstavimo venačbo (1.72) da dobimo končni rezultatg = g lj(j + 1) + l(l + 1) − s(s + 1)2j(j + 1)+ g sj(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)2j(j + 1). (1.74)Pri izračunu magnetnega dipolnega momenta jedra moramo sedaj ločiti med dvema možnostimamedsebojne interference spina in tirne vrtilne količinej = l + 1 µ: = g l(j − 1 )+ g s2 µ N 2 2 , (1.75)j = l − 1 µ: = j ( [g l j + 3 )− g ]s. (1.76)2 µ N j + 1 2 2Takšno odvisnost magnetnega momenta lihih jeder od njihove celotne vrtilne količine opisujejot.i. Schmidtove linije [3].DipolnimagnetnimomentjederzlihimštevilomnukleonovlihZlihN/ N/NNJJrte:priakovan zajedrozzJ=j± ½(Schmidtovelinije)povzetopoR.J.BlinStoyle,TheoriesofNuclearMoments,OxfordUniversityPress1957

1.10.ELEKTRIČNI KVADRUPOLNI MOMENT JEDER 191.10 Električni kvadrupolni moment jederElektrični kvadrupolni moment q (dejansko njegova zz komponenta q zz v izbranem koordinatnemsistemu z) osno simetrične porazdelitve naboja je definiran kot∫q ≡ (3z 2 − r 2 )ρ(r, z)dV , (1.77)kjer je v navadi, da gostoto naboja ρ podajamo brez enote osnovnega naboja (za porazdelitevcelotnega naboja Ze je torej integral ∫ ρdV = Z), tako da ima kvadrupolni moment enotopovršine oz. barn [b = 10 −28 m 2 ]. Gornji izraz lahko dodatno poenostavimo z vpeljavo sferičneharmonske funkcije Y 20 , namreč∫q =r 2 (3 z2r 2 − 1 )ρ(r, z)dV =∫∫r 2 (3 cos 2 θ − 1)ρ(r, θ)dV = 2r 2 Y 20 (θ)ρ(r, θ)dV . (1.78)Krajše lahko torej električni kvadrupolni moment v poljubni smeri z zapišemo kotq = 2Z〈r 2 Y 20 (θ)〉 , (1.79)kjer 〈〉 označuje poprečenje čez prostorsko porazdelitev gostote naboja ρ(r, θ). Po gornji definicijikrogelno simetrične porazdelitve nimajo neničelnega električnega kvadrupolnega momenta.Pričakujemo torej, da bodo največji električni kvardupolni moment imela jedra s posamičnimnukleonom v najvišji jedrski lupini. Klasično si predstavljamo tak nukleon kot točkast naboj,krožeč v ravnini z normalnim vektorjem v smeri z ′ . Kot med osjo meritve električnega kvadrupolnegamomenta (z) ter osjo kroženja (z ′ ) označimo z Ω. Če sta obe osi poravnani (Ω = 0)zz'potem lahko q zz že izvrednotimo, saj bo prispevala le radialna porazdelitev v ravnini krožečeganaboja pri pri z = 0q ′ = −〈r 2 〉 . (1.80)

20 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAHkrati vemo, da po definiciji to ustreza q ′ = 2〈r 2 Y 20 (θ ′ )〉. Vrednost električnega kvadrupolnegamomenta v poljubnem drugem koordinatnem sistemu (z) lahko sedaj izrazimo s pomočjotransformacijskih lastnosti krogelnih funkcij pri rotaciji za azimutni kot Ω in polarni kot ω,namrečY 20 (θ) = Y 20 (θ ′ )Y 20 (Ω) + ∑ c m Y 2m (θ ′ )Y 2m (Ω) cos m(φ ′ − ω) , (1.81)m≠0kjer je φ ′ polarni kot v sistemu z ′ . Za električni kvadrupolni moment v poljubnem sistemu zvelja torejq = 2〈r 2 Y 20 (θ ′ )Y 20 (Ω) + r 2 ∑ m≠0. . .〉 , (1.82)kjer se prispevki višjih krogelnih projekcij izpoprečijo v nič, saj velja∫ 2π0cos m(φ ′ − ω)dφ ′ = 0 , (1.83)za m = −2, −1, 1, 2 . Odvisnost of Ω lahko sedaj izpostavimo iz integrala (poprečja), pa dobimozvezoq = Y 20 (Ω) q ′ . (1.84)Kvantnomehansko lahko cos Ω ocenimo s projekcijo vrtilne količine sistema (h kateri bo v našempribližku prav tako prispeval le osamljen nukleon v najvišji lupini) na os z ter normiramo nacelotno vrtilno količino, oziromamcos Ω ≃ √ , (1.85)j(j + 1)od koder sledi pri maksimalni projekciji vrtilne količine na izbrano os z (m = j) za Y 20 (Ω) ≃(2j − 1)/2(j + 1) in končnoq ≃ − 2j − 12(j + 1) 〈r2 〉 . (1.86)Kot primer ocenimo električni kvadrupolni moment težkih jeder pri velikem j. Radij jedrazapišemo v približku kot r ≃ r 0 A 1/3 , z r 0 = 1, 4 fm ter dobimo q ≃ −r0 2A2/3 = 1, 4 A 2/3 · 10 −2 b.Gornja ocena velja, če je nesparjeni nukleon na zunanji lupini proton. Naivno bi mordapričakovali, da v primeru, da zunanjo lupino zaseda nevtron, prispevka k električnemu kvadrupolnemumomentu ne bo, saj nevtron nima naboja. Vendar pa je tak zaključek prenagljen, sajzunanji nevtron povzroči tudi premik težišča celotnega jedra oziroma preostalih nukleonovr t =∑∑ i m ir ii m i= m Nr nAm N= r nA . (1.87)Efektivno imamo torej Z protonov v orbiti z radijem r t ≡ |r t | in dobimo naslednjo oceno zaelektrični kvadrupolni momentq ≃ −Zr 2 t = − Z A 2 〈r2 〉 . (1.88)Kot primer ocenimo q za jedro 178 O. Z gornjim sklepanjem dobimo q ≃ −0.003 b, eksperimentalnoizmerjena vrednost q exp = −0.026 b pa je precej večja! Razlika je posledica deformacijeradialne porazdelitve gostote naboja jedra, ki je v našem pristopu nismo upoštevali in da poglavitniprispevek.

22 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRA1.12 Sipalni presekRezultate eksperimentov s sipanjem curkov delcev na sipalnih tarčah ponavadi podajamo vobliki sipalnega preseka, ki je definiran kot W fi normirana na gostoto vpadnega toka delcev (j i ).σ(i → f) = W fij i. (1.94)Sipalni presek ima enote površine oz. barn [b = 10 −28 m 2 ]. Poleg celotnega sipalnega preseka naspogosto zanima njegova porazdelitev po prostorskem kotu ΩdσdΩ = |V fi| 2 2π dρ f (E i )j i dΩ . (1.95)Kot primer vzemimo sipanje delcev z maso m na statični tarči in izrazimo gostoto enodelčnihstanj ρ f (E) = dN f /dE prostih ravnih valov upoštevajoč, da je tedaj element faznega prostorad 6 N f = d 3 x d3 p fh 3= dV p2 f dp f dΩh 3 , (1.96)ter E = p 2 /2m, pa dobimod 2 N fdEdΩ = dρ f (E)dΩ= V m √f 2Emf(2π) 3 . (1.97)Vstavimo ta izraz nazaj v (1.95) ter upoštevajmo še gostoto začetnega toka ravnih valov j i =ρ i v i = v i /V = p i /m i V , pa dobimo končni rezultatdσdΩ = 4π2 m i m f p f(2π) 4 V 2 |V fi | 2 . (1.98)p iZa primer sipanja ravnih valov se poenostavi tudi matrični element perturbacije, saj veljaV fi = 1 V∫d 3 xe −iq·x V (x) , (1.99)kjer smo uvedli še izmenjalni valovni vektor q = (p f − p i )/ .

1.13. ELEKTROMAGNETNO SIPANJE NA JEDRIH 231.13 Elektromagnetno sipanje na jedrihPri sipanju elektronov preko elektromagnetne interakcije lahko perturbacijski potencial zapišemokot V (x) = −eU(x), kjer je U elektormagnetni potencial. Le-tega lahko opišemo z gostotonaboja, ki je izvor potenciala kot∇ 2 U(x) = − eρ(x) . (1.100)ɛ 0V skladu s predpostavkami pri izpeljavi sipalne matrike (1.91) mora biti tak potencial na velikihrazdaljah zanemarljiv in lahko na pripadajočem matričnem elementu perturbacije uporabimoGreenovo formulo∫∫dV (U∇ 2 Φ − Φ∇ 2 U) = dS(U∇Φ − Φ∇U) → 0 . (1.101)Upoštevajoč ∇ 2 exp(−q · x) = −q 2 exp(−q · x) od tod že sledi− q 2 V fi = e ∫d 3 x q 2 e −iq·x U(x) = −e ∫∫d 3 x e −iq·x ∇ 2 U(x) = Ze2VVɛ 0 Vd 3 xe −iq·x ¯ρ(x) , (1.102)kjer smo vpeljali ¯ρ ≡ ρ/Z (tako da je ∫ ¯ρdV = 1) in lahko matrični element perturbacije zapišemokotV fi =Ze2 F (q) , (1.103)ɛ 0 V q2 kjer Fourierovo transformacijo gostote naboja F (q) = ∫ d 3 x e −iq·x ¯ρ(x) imenujemo elektromagnetnioblikovni faktor . Končno zapišimo še pripadajoči elastični diferencialni sipalni presekdσdΩ = 4π2 m 2 (Ze 2 ) 2(2π) 4 ɛ 2 |F 0 q4 (q)|2 . (1.104)Za elastično sipanje velja |p i | = |p f | ≡ p in lahko kvadrat izmenjalnega valovnega vektorjazapišemo s pomočjo sipalnega kota θ med smerjo vpadnega in sipanega curka elektronovq 2 = 1 2 (|p i| 2 + |p f | 2 − 2|p i ||p f | cos θ) = 4p2 2 sin2 θ 2 , (1.105)od koder sledi sipalni presek za t.i. Rutherfordovo sipanje(dσ Ze 2 ) 2dΩ = m 18πɛ 0 p 2 sin 4 θ |F (q)| 2 . (1.106)2Najprej si poglejmo najenostavnejši primer Rutherfordovega sipanja na točkastem nabojuZe. Gostota naboja je kar ρ(x) = δ(x − x 0 ), od koder sledi oblikovni faktor F (q) = 1 . Takoimenovano čisto Rutherfordovo sipanje dobro opisuje rezultate eksperimentov sipanja nabitihcurkov, kadar je (de Brogliejeva) valovna dolžina vpadnih valov λ = /p dosti večja od velikosti(radija R) porazdelitve naboja sipalne tarče (npr. jedra), torej R p/ ≪ 1.Izračunajmo sedaj prve popravke k omenjeni limiti. Upoštevamo torej porazdelitev nabojav jedru. Tedaj nam sipanje da informacijo o velikosti jedra. Predpostavimo, da je porazdelitevnaboja sferično simetrična ρ(x) = ρ(r), ter v definiciji oblikovnega faktorja zapišimo še q · x =q r cos θ ′ , pa dobimoF (q) = 2π= 4π q∫ 10∫ ∞0d cos θ ′ ∫ ∞0r 2 iq r cos θ′dr¯ρ(r)e¯ρ(r) sin(qr)rdr . (1.107)

24 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRAV območju integrala kjer velja q r ≪ 1 lahko sinusno funkcijo razvijemoin obravnavamo posamezne člene integralasin(qr) = qr − (qr)36+ . . . , (1.108)1. clen : 4π2. clen : −4π∫ ∞0∫ ∞0¯ρ(r)r 2 dr = 1 ,Oblikovni faktor ima torej v primeru q 2 〈r 2 〉 ≪ 1 obliko¯ρ(r) (qr)26 r2 dr = − 1 6 q2 〈r 2 〉 . (1.109)F (q) = 1 − 1 6 q2 〈r 2 〉 + . . . . (1.110)Kot primer si poglejmo še sipanje na jedru, ki ga aproksimiramo z enakomerno nabito kroglo¯ρ(r) = 3 { 1 r < R ,4πR 3 0 r ≥ 0 .(1.111)Oblikovni faktor ima potem oblikoF (q) ==∫3 R4πR 304πq sin(qr)rdr3[sin(qR) − qR cos(qR)] , (1.112)(qR) 3elastični sipalni presek pa je v tem primerudσdΩ = ( Ze 2 m2πɛ 0 2 ) 29R 4(qR) 10 [sin(qR) − qR cos(qR)]2 . (1.113)Izmenjalni valovni vektor q vsebuje informacijo o kotni porazdelitvi in iz minimumov presekalahko določimo radij jedra. Če bi bil naš približek točen, bi pričakovali ničle pri tan(qR) = qR.Ker pa jedra nimajo ostrih robov, je porazdelitev zabrisana, tako da namesto ničel opazimo vnjej minimume.

1.13. ELEKTROMAGNETNO SIPANJE NA JEDRIH 25Sipanje na porazdelitvi nabojaizračun za enak. porazdelitev z radijem 4,1 fm;vpadni elektroni energije 450 MeVdσ/dΩ[mb/sr]I. Sick et al., Phys.Rev.Lett. 35, 910 (1975)|F(q)| 21meritev dσ/dΩ10 ‐22na 58 28 Ni10 ‐1za sipane e ‐energije 450 MeV10 ‐3ρ(r)[fm ‐3 ]10 ‐4 0 1 2 3 4 q [fm ‐11 ]2 9F(q)=( qR)2 p ϑq = sinh 26[ sin qR − qR cos qR]2prilagajanaporazdelitevnaboja, j, kinajbolje opišedσ/dΩ

26 POGLAVJE 1. FIZIKA JEDRA

Poglavje 2Fizika osnovnih delcev2.1 Odvisnost sipalnega preseka od energije vpadnega curkaOdvisnost sipalnega preseka od energije vpadnega curka ima pogosto specifično resonančnoobliko, ki je posledica tvorbe posamičnega resonančnega stanja oziroma resonance, ki da priresonančni energiji poglavitni prispevek k sipalnemu preseku. Izpeljimo torej to resonančnoobliko na primeru elastičnega sipanja, ko se kompozicija vpadnega curka in sipalnega jedra vsipanju ne spremenita. Začetno stanje – obravnavamo ga kot vpadni ravni val v smeri z ter zvalovnim vektorjem k ≡ p i / – razvijemo po krogelnih valovih daleč stran od sipalnega jedra(pri radiju, ki je posledično tudi mnogo večji od de Brogliejeve valovne dolžine vpadnih delcevr ≫ 1/k) kotψ i = 1 √Ve ikz = 1 √Vi2kr∑(2l + 1)l[(−1) l e −ikr − e ikr] P l (cos θ) + . . . , (2.1)kjer so P l Legendrovi polinomi. Vpadni ravni val je torej sestavljen iz vpadnega in izstopajočegakrogelnega vala. Vpliv sipalnega jedra je lahko le v faznem premiku izstopnega krogelnegavala 1 . Ker nas zanimajo le sipana stanja in ne tisti del vpadnega curka, ki se ne sipa, moramoiz takšnega končnega stanja odšteti še projekcijo začetnega (nesipanega) stanja in lahko torejsipani val zapišemo kotψ f = 1 √Ve ikrkr∑Sedaj definiramo sipalno amplitudo A(θ)A(θ) ≡ 1 kl∑l(2l + 1) e2iδ l− 12i(2l + 1) e2iδ l− 12itako da se valovna funkcija končnega stanja zapiše kotP l (cos θ) + . . . . (2.2)P l (cos θ) , (2.3)ψ f = √ 1 e ikrA(θ) . (2.4)V r1 Amplituda sipanega vala se pri elastičnem sipanju zaradi ohranitve verjetnosti ne more spremeniti.27

28 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVPosledično je izstopajoči tok sipanega curka (njegova divergenca ustreza količini W fi iz primera1.11) v prostorski kot dΩ v oddaljenosti r od sipalnega centramedtem ko po definiciji velja za diferencialni sipalni presekΦ f = ρ f v f r 2 dΩ = 1 V v f |A(θ)| 2 dΩ , (2.5)j i σ(i → f) = Φ f . (2.6)Od tod že lahko izrazimo elastični diferencialni sipalni presek kot( ) dσ= |A(θ)| 2 . (2.7)dΩelIntegracija po dΩ nam da celoten elastični presek. Pri tem upoštevamo ortogonalnost Legendrovihpolinomov ( ∫ P l (cos θ)P l ′(cos θ)dΩ = 4πδ ll ′/(2l + 1))σ el = 4π ∑k 2 (2l + 1)e 2iδ 2l− 1∣ 2i ∣l= 4π ∑k 2 (2l + 1) sin 2 (δ l ) . (2.8)lEnergijska odvisnost sipalnega preseka je v k in v δ l . Sipalna amplituda in s tem sipalni presekbosta maksimalna, ko je posamičen δ l ≃ π/2 – takšnemu primeru pravimo resonanca. Zapišimotorej sipalno amplitudo kotkjer jeA(θ) = 1 ∑(2l + 1) e2iδ l− 1P l (cos θ)k2il= 1 ∑(2l + 1)f l P l (cos θ) , (2.9)kf l = i 2l( )1 − e 2iδ l=1ctgδ l − i . (2.10)Sedaj ctgδ l razvijemo okoli δlR = π/2 oziroma razvijamo po energiji E, pri čemer upoštevamoδlR = δ l (E R ), kjer je E R energija resonance[ ]dctgδ l (E) = ctgδ l (E R ) + (E − E R )dE ctgδ l(E) + . . .E=E R= −(E − E R ) 2 Γ + . . . , (2.11)kjer smo vpeljali resonančno širino Γ kot 2/Γ ≡ −[d(ctgδ l )/dE]| E=ER . f l je tedajf l =1ctgδ l − i ≃ Γ/2(E − E R ) − iΓ/2 , (2.12)elastični sipalni presek za posamezen parcialni val v okolici njegove resonance paσ l el = 4πk 2 (2l + 1)|f l| 2 ≃ 4πk 2 (2l + 1) Γ 2 /4(E − E R ) 2 + Γ 2 /4 . (2.13)

2.1. ODVISNOST SIPALNEGA PRESEKA OD ENERGIJE VPADNEGA CURKA 29Takšni resonančni odvisnosti sipalnega preseka od energije pravimo tudi Breit-Wignerjeva krivulja.Izraz velja za brezspinsko tarčo in vpadni curek. V tem primeru l identificiramo s spinomresonance (j) kot kratkoživega vmesnega stanja (R). Če imata tarča (a) in vpadni curek (b)spin, ostane izraz enak, le povprečiti ga je potrebno po začetnih spinskih orientacijahσ el = 4π (2j + 1)k 2 (2s a + 1)(2s b + 1)Γ 2 /4(E − E R ) 2 + Γ 2 /4 . (2.14)Resonančno širino lahko interpretiramo s pomočjo principa nedoločenosti. Sipalni presekpri energijah, ki za Γ/2 odstopajo od resonančne E R v primeru Γ ≪ E R pade na polovicoresonančnegaσ(E R ± Γ/2) ≃ σ(E R). (2.15)2Resonančna energija E R je s pomočjo meritve energijske odvisnosti sipalnega preseka določljivale do intrinzične natančnosti, ki jo določa Γ. Takšna nedoločenost energije vmesnega stanja R papo principu nedoločenosti pomeni, da stanje R ni stabilno, temveč razpade z razpadnim časomτ = /Γ.Resonančni elastični sipalni presek (a + b → R → a + b) lahko posplošimo tudi na primere,ko resonančno povečanje sipalnega preseka opazimo tudi v neelastičnem sipanju v druga stanja(a + b → R → c + d). V takšnem primeru namreč veljaσ(a + b → R → c + d) = 4π (2j + 1)k 2 (2s a + 1)(2s b + 1)kjer je celotna (razpadna) širina resonance sedajΓ ab Γ cd /4(E − E R ) 2 + Γ 2 /4 , (2.16)Γ = ∑ ijΓ ij , (2.17)in seštevamo po vseh možnih stanjih ij pri katerih opazimo resonančno povečanje sipalnegapreseka pri isti energiji E R ter istem parcialnem valu (l = j). Verjetnost za ’razpad’ takšneresonance v stanje ij je podana kar z razmerjemBr(R → ij) ≡ Γ ij /Γ , (2.18)ki ga imenujemo tudi razvejitveno razmerje. Pri takšnih resonancah ima elastični sipalni presekposplošeno oblikoσ el = σ(a + b → R → a + b) = 4π (2j + 1)Γ 2 ab /4k 2 (2s a + 1)(2s b + 1) (E − E R ) 2 + Γ 2 /4 . (2.19)

30 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.2 Sipanje π + p ter resonanca ∆ ++Obravnavamo sipanje nabitih pionov na protonski tarči. Pri kinetični energiji pionov T π =195 MeV v laboratorijskem sistemu opazimo resonančni vrh v elastičnem sipalnem preseku zmaksimalno vrednostjo σelmax = 190 mb. Iz te meritve lahko določimo tako maso kot spin takšneresonance (∆ ++ ). Ker je kinetična energija piona primerljiva z njegovo maso (m π c 2 = 140 MeV),moramo kinematiko takšnega sipanja obravnavati relativistično. Zapišimo torej četverec celotnegibalne količine sistema v začetnem stanju (π + p) ter po tvorbi resonance (∆ ++ )c p µ = (E π + m p c 2 , c p π ) = (E ∆ , c p ∆ ) , (2.20)kjer je celotna energija piona E π = T π + m π c 2 . Isti četverec lahko zapišemo tudi v težiščnemsistemu, kjer velja p π = −p p ter p ∆ = 0√ √c p ′ µ = ( m 2 π c 4 + c 2 |p ′ π| 2 + m 2 pc 4 + c 2 |p ′ p| 2 , 0) = (m ∆ c 2 , 0) . (2.21)Produkt p µ p µ = p ′ µp ′µ je invarianten na Lorentzove transformacije. Enačimo torej p µ p µ vzačetnem stanju ter p ′ µp ′µ v končnem, pa dobimom 2 ∆c 4 = (E π + m p c 2 ) 2 − |p π | 2 c 2 , (2.22)kjer lahko gibalno količino piona v začetnem stanju v laboratorijskem sistemu zapišemo spomočjo kinetične energije kot c 2 |p π | 2 = Eπ 2 − m 2 πc 4 = (T π + m π c 2 ) 2 − m 2 πc 4 . Vstavimo ta

2.2. SIPANJE π + P TER RESONANCA ∆ ++ 31izraz v gornjo enačbo za m ∆ pa dobimom 2 ∆c 4 = m 2 pc 4 + m 2 πc 4 + 2m p c 2 (m π c 2 + T π ) . (2.23)Preglednost podobnih izpeljav v relativistični kinematiki se precej izboljša s primerno zamenjavoenot, tako da velja c = 1, mase in gibalne količine pa podajamo v enotah energije. V nadaljevanjubomo torej povsod uporabili takšno zamenjavo. Gornji izraz se na primer poenostavi vm 2 ∆ = m 2 p + m 2 π + 2m p (m π + T π ) . (2.24)Ob upoštevanju podanih podatkov ter mase protona m p ≃ 940 MeV torej ocenimo maso resonance∆ ++ na m ∆ ≃ 1236 MeV.S pomočjo meritve maksimalnega elastičnega preseka sedaj poiščimo še spin resonance ∆ ++ .Za to moramo σelmax izvrednotiti v težiščnem sistemu. Uporabimo tudi podatek, da pri sipanjuπ + p v okolici resonance ∆ ++ elastični sipalni presek skoraj popolnoma zapolni celoten sipalnipresek in torej velja Br(∆ ++ → π + p) ≃ 1 oziroma Γ(∆ ++ ) ≃ Γ(∆ ++ ) π + p. Sipalni presektudi poprečimo po spinu protona (pioni imajo spin nič), pa dobimo (v težiščnem sistemu veljaE R = m ∆ )σ el (E = m ∆ ) = 4π 2j ∆ + 1 Γ 2 π + pk 2 (2s p + 1)(2s π + 1) Γ 2≃ 4π 2j ∆ + 1k 2 . (2.25)2Izvrednostiti moramo še valovni vektor k oziroma pripadajočo gibalno količino k ≡ p ≡ |p ′ π| =|p ′ p| Uporabimo sedaj ohranitev energije v težiščnem sistemu med začetnim in končnim stanjemm ∆ = E π ′ + E p ′ = √ √m 2 π + |p ′ π| 2 + m 2 p + |p ′ p| 2 . (2.26)Gornjo enačbo kvadriramom 2 ∆ = m 2 π + m 2 p + 2p 2 + 2√(m 2 π + p 2 )(m 2 p + p 2 ) , (2.27)izpostavimo koren, ter kvadriramo še enkrat, pa dobimo kvadratno enačbo za p 2 , katere rešitevjep 2 = (m2 ∆ − m2 p − m 2 π) 2 − 4m 2 pm 2 π4m 2 ∆. (2.28)Sedaj uporabimo že izračunano maso resonance ∆ ++ pa dobimo numerično p ≃ 230 MeV. σelmaxsedaj zavisi le še od neznane vrednosti spina j ∆ . Napovedi za σelmax pri nekaj najnižjih možnihvrednostih j ∆ so podane v tabeli 2.1, od koder po primerjavi z izmerjeno vrednostjo sledi daima resonanca ∆ ++ spin 3/2.j ∆σ maxel1/2 953/2 1905/2 285Tabela 2.1: Vrednosti elastičnega sipalnega preseka π + p pri resonančni energiji m ∆ v težiščnemsistemu za različne vrednosti vrtilne količine vmesnega stanja.[mb]

32 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.3 Sipanje preko močne interakcije ter izospinZaradi podobnega obnašanja protona (p) in nevtrona (n) pri jedrski interakciji je pogosto pripravnoobravnavati oba delca kot enaka, hkrati pa uvesti novo kvantno število – izospin – pokaterem se ločita. Lastne vrednosti pripadajočih izospinskih operatorjev za proton in nevtronso podane v tabeli 1.2. Izospin seštevamo podobno kot spin, pri močni (jedrski) interakciji pa seohranja. Posledično tudi pioni, ki se tvorijo in sipajo preko jedrske interakcije nosijo izospinskinaboj, in sicer tvorijo π + , π 0 in π − izospinski triplet s celotnim izospinskim številom I = 1 (glejtabelo 2.2).nukleon I I 3π + 1 1π 0 1 0π − 1 -1Tabela 2.2:Izospin pionov.Kakěn izospin pa ima resonanca ∆ ++ , ki jo opazimo v sipanju π + in p? Celoten izospin I bilahko bil ali I π − I p = 1/2 ali I π + I p = 3/2. Vendar pa mora biti hkrati I 3∆ = I 3π + I 3p = 3/2.Ker za lastne vrednosti operatorjev I in I 3 mora veljati I ∆ ≥ |I 3∆ | zaključimo, da ima ∆ ++izospin (ter tudi njegovo tretjo komponento) 3/2. Pričakujemo torej obstoj še treh resonančnihstanj pri isti energiji in sicer v izospinskih kanalih s trejto komponento I 3 = 1/2, −1/2, −3/2.Sedaj lahko ocenimo tudi razmerje elastičnih sipalnih presekov pri sipanju pozitivno alinegativno nabitih pionov na protonih pri energiji ∆ resonance. Evodelčno izospinsko stanje|π − p〉 = |1, −1〉|1/2, 1/2〉 sprojicirajmo stanja skupnega izospina s pomočjo ustreznih Clebsch-Gordanovih koeficientov (|l 1 , m 1 〉|l 2 , m 2 〉 = ∑ J,M CJ,M l 1 ,l 2 ,m 1 ,m 2|J, M〉)|1, −1〉|1/2, 1/2〉 = C 3/2,−1/21,1/2,−1,1/2|3/2, −1/2〉 + C1/2,−1/21,1/2,−1,1/2|1/2, −1/2〉= √ 1/3|3/2, −1/2〉 − √ 2/3|1/2, −1/2〉 . (2.29)Naredimo enako dekompozicijo še za stanje π + p = |1, 1〉|1/2, 1/2〉 (rezultat že poznamo)|1, 1〉|1/2, 1/2〉 = |3/2, 3/2〉 . (2.30)Sipalni presek je proporcionalen absolutni vrednosti kvadrata matričnega elementa interakcijskegaHamiltoniana med začetnim in končnim stanjem σ ∝ |〈ψ f |H int |ψ i 〉| 2 . Ker močna interakcijaohranja izospin lahko zapišemo H int = ∑ I H I, kjer velja 〈I, I 3 |H I |I ′ , I ′ 3 〉 = M Iδ I,I ′δ I3 ,I ′ 3 .Potem se oba elastična sipalna preseka (kjer sta začetno in končno stanje identični) zapišeta kotσ(π + p → π + p) ∝ |〈3/2, 3/2|H int |3/2, 3/2〉| 2 = |M 3/2 | 2 , (2.31)σ(π − p → π − p)∝|( √ 1/3〈3/2, −1/2| − √ 2/3〈1/2, −1/2|)H int ( √ 1/3|3/2, −1/2〉 − √ 2/3|1/2, −1/2〉)| 2= |1/3M 3/2 + 2/3M 1/2 | 2 . (2.32)Pri resonančni energiji (E CMS = m ∆ ) v obeh sipalnih presekih dominira izospinsko stanje I =3/2 in je torej M 3/2 ≫ M 1/2 . Za razmerje obeh sipalnih presekov pri tej energiji velja torejσ(π + p → π + p)σ(π − p → π − p) ∣ ≃ |M 3/2| 2ECMS =m ∆|1/3M 3/2 | 2 = 9 . (2.33)

2.4. KOTNA PORAZDELITEV PRI RESONANČNEM SIPANJU 332.4 Kotna porazdelitev pri resonančnem sipanjuOglejmo si ponovno elastično sipanje π + p → π + p v območju resonance ∆ ++ . Spin resonancelahko določimo tudi iz meritve kotne porazdelitve sipanih π + . Za z os si izberemo smer vpadnegaπ + . Recimo, da imata vpadni π + ter p relativno tirno vrtilno količino l = 1 (v sistemu, kjerz ′π +θπ +pzp miruje, je to kar tirna vrtilna količina piona). Hkrati mora biti njena projekcija na smerz za ravni val v smeri z (ψ ∝ exp(ikz)) enaka nič, v koordinatni upodobitvi velja namrečĴ z = i(x∂/∂y − y∂/∂x). Prostorski del takšne dvodelčne valovne funkcije zapišemo torejsimbolično kot ψ space = |1, 0〉 l . To moramo pomnožiti še s spinsko komponento valovne funkcijeprotona, za katero si lahko izberemo ψ spin = |1/2, ±1/2〉 s . Takšno sestavljeno stanje lahkoponovno sprojiciramo na stanja celotne vrtilne količine sistema. Pri tem imamo dve možnistanji ψ 1/2 = |1/2, ±1/2〉 j ali ψ 3/2 = |3/2, ±1/2〉 j . Po elastičnem sipanju π + odleti pod kotomθ glede na os z. Projekcija njegove tirne vrtilne količine na os z je tedaj lahko +1, 0 ali −1.Tudi spin p lahko spremeni orientacijo. Brez izgube splošnosti se lahko osredotočimo na začetnostanje, kjer je projekcija spina protona v smeri z 1/2. Poglejmo si vmesno stanje ψ 3/2 ter kakose sprojicira nazaj na produkte enodelčnih stanj π + in p z medsebojno tirno vrtilno količinol = 1. Možni stanji sta le |1, 0〉 l |1/2, 1/2〉 s ter |1, 1〉 l |1/2, −1/2〉 s , saj so dosegljiva le stanja sskupno projekcijo vrtilne količine na os z +1/2. Ponovno uporabimo torej Clebsch-Gordonovekoeficiente, da zapišemo|3/2, 1/2〉 j = C 3/2,1/21,1/2,1,−1/2 |1, 1〉 l|1/2, −1/2〉 s + C 3/2,1/21,1/2,0,1/2 |1, 0〉 l|1/2, 1/2〉 s= √ 1/3|1, 1〉 l |1/2, −1/2〉 s + √ 2/3|1, 0〉 l |1/2, 1/2〉 s . (2.34)Stanji |1, 1〉 l in |1, 0〉 l opisujeta tirno vrtilno količino koordinatne odvisnosti valovne funkcije in√nista nič drugega kot krogelni funkciji |1, 1〉 l = Y1 1 = −√ 3/8π sin θ exp(iφ) in |1, 0〉 l = Y1 0 =3/4π cos θ. Kotno porazdelitev sipanih π + nam tako da verjetnostna gostotaψ ∗ 3/2 ψ 3/2 = 1 3 |Y 11 | 2 + 2 3 |Y 01 | 2 ∝ 1 + 3 cos 2 θ , (2.35)kjer smo v prvem koraku upoštevali še ortogonalnost spinskih stanj, v drugem pa izraz šepointegrirali po polarnem kotu φ (v našem primeru je takšna integracija trivialna, saj se vsa φ

34 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVodvisnost pokrajša). Do popolnoma enake porazdelitve bi prišli tudi z izbiro medsebojne tirnevrtilne količine π + p para l = 2, ki v povezavi s spinom protona pravtako da neničelno projekcijona vmesno spinsko stanje resonance ∆ (j = 3/2). Meritve kotnih porazdelitev sipanih pionovse res ujemajo z gornjo napovedjo (slika 2.1). Nasprotno pa bi bila v primeru vmesnega stanja|1/2, 1/2〉 j kotna porazdelitev piona v končnem stanju z l = 1 konstantna, saj je|1/2, 1/2〉 j = C 1/2,1/21,1/2,1,−1/2 |1, 1〉 l|1/2, −1/2〉 s + C 1/2,1/21,1/2,0,1/2 |1, 0〉 l|1/2, 1/2〉 s= √ 2/3|1, 1〉 l |1/2, −1/2〉 s − √ 1/3|1, 0〉 l |1/2, 1/2〉 s , (2.36)od koder slediψ ∗ 1/2 ψ 1/2 = 2 3 |Y 11 | 2 + 1 3 |Y 01 | 2 ∝ 1 . (2.37)Trivialno bi enak rezultat dobili tudi z neposredno projekcijo na |1/2, 1/2〉 j = |0, 0〉 l |1/2, 1/2〉 s .Kotno porazdelitev pionov v resonančnem sipanju preko vmesnega stanja |3/2, 1/2〉 j pa lahkodobimo tudi enostavneje. Za to si poglejmo zasuk tega stanja iz sistema z v sistem z osjo z ′ , kikaže v smer izhodnega piona in je glede na sistem z zasukana za kot θ okrog osi y. Zasukanostanje (valovno funkcijo) izrazimo kot linearno kombinacijo stanj z različnimi projekcijami nabazne vektorje v sistemu z ′ . Koeficienti takšnih projekcij so t.i. funkcije d oziroma rotacijskefunkcijee −iĴyθ |j, m〉 = ∑ m ′ d j m,m ′ (θ)|j, m ′ 〉 . (2.38)Za naš primer dobimo torejψ3/2 ′ = e−iĴyθ |3/2, 1/2〉 = d 3/2−3/2,1/2(θ)|3/2, −3/2〉 + d3/2−1/2,1/2(θ)|3/2, −1/2〉+d 3/21/2,1/2(θ)|3/2, 1/2〉 + d3/23/2,1/2(θ)|3/2, 3/2〉 . (2.39)To je torej valovna funkcija ∆ ++ izražena z baznimi vektorji v sistemu z osjo z ′ . Sedajupoštevamo, da je v primeru, da sistem z ′ ustreza smeri izhodnega piona, projekcija njegovetirne vrtilne količine na z ′ nič (iz enakega razloga kot smo to zahtevali za vpadni pion v sistemuz). Potem bo lahko projekcija celotne vrtilne količine sistema na os z ′ le posledica spina protona.Ker lahko ima ta le vrednosti ±1/2 sta torej stanji |3/2, ±3/2〉 v tem primeru nedosegljiviin lahko kotno odvisnost sipalnega preseka ponovno dobimo iz kvadrata absolutne vrednostivalovne funkcije končnega stanja kotψ ′ ∗3/2ψ ′ 3/2 = |d3/2 −1/2,1/2 (θ)|2 + |d 3/21/2,1/2 (θ)|2 ∝ 1 + 3 cos 2 θ, . (2.40)kjer smo v prvem koraku ponovno uporabili ortogonalnost spinskih stanj.

2.4. KOTNA PORAZDELITEV PRI RESONANČNEM SIPANJU 35Slika 2.1: Kotna porazdelitev pri π + p → ∆ ++ → π + p. Povzeto po [4].

36 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.5 Kvarki in leptoni ter njihova kvantna številaZnotraj standardnega modela osnovnih delcev in interakcij vso znano snov tvorijo fermionskidelci s spinom 1/2, ki jih delimo glede na to ali interagirajo močno (kvarki q, ki tvorijo hadronskastanja) ali le elektromagnetno in šibko (leptoni l). Pri tem opomnimo, da elektromagnetnointeragirajo le nabiti delci. Vsem kvarkom lahko pripišemo barionsko kvantno število, ki gav zelo dobrem približku ohranjajo vse interakcije znotraj standardnega modela. Natančneje,iz zgodovinskih razlogov vsak kvark nosti barionsko število B q = 1/3. Podobno lahko vsemleptonom pripišemo leptnsko število L l = 1. Tudi za to število do sedaj še nismo izmerilifizikalnega procesa, v katerem bi bilo kršeno, čeprav znotraj standardnega modela ta možnostobstaja, povezana pa je z majhnostjo izmerjenih mas nevtrinov. Ker tako kvarki kot leptoninastopajo v parih z različnim nabojem: 2/3 ali −1/3 osnovnega naboja za kvarke ter −1 ter 0za leptone; hkrati pa smo do sedaj takšne pare leptonov in kvarkov dosedaj izmerili tudi v trehkopijah, oz. družinah, konvencionalno vsakemu posamičnemu fermionu pripišemo tudi kvantnoštevilo okusa. Znotraj standardnega modela le šibka interakcija lahko krši to kvantno število.Nazadnje omenimo, da imajo vsi anti-delci vsa kvantna števila predznačena ravno obratno kotdelci, npr. B¯q = −1/3. Vsi delci snovi s pripadajočimi kvantnimi števili so povzeti v tabeli 2.3.delec (okus) B L QKvarkiu 1/3 0 2/3d 1/3 0 −1/3c 1/3 0 2/3s 1/3 0 −1/3t 1/3 0 2/3b 1/3 0 −1/3Leptoniν e 0 1 0e 0 1 −1ν µ 0 1 0µ 0 1 −1ν τ 0 1 0τ 0 1 −1Tabela 2.3:Kvantna števila osnovnih delcev.Barioni so hadroni, ki imajo seštevek kvantnih števil kvarkovskega okusa 3 ter posledičnobarionsko število B B = 1, leptonsko število pa nič. Takšna sta oba nukleona p ∼ uud in n ∼ ddu,pa tudi bolj eksotična resonančna stanja kot je Λ ∼ uds. Poleg barionov med hadrone štejemotudi mezone, ki imajo vsoto okusnih kvantnih števil kvarkov nič, npr. π + ∼ u ¯d ali K + ∼ u¯s. Kermočna in elektromagnetna interakcija ohranjata okuse, so najnižje ležeče hadronske resonancedolgožive – razpadejo le po šibki interakciji.Čeprav v splošnem šibka interakcija krši kvantna števila okusa, obstaja velika razlika medprocesi, ki potekajo preko t.i. nabitih tokov – v katerih “gornji”kvarki oz. leptoni (z nabojem2/3 oz. 0) prehajajo v “spodnje”(z nabojem −1/3 oz. −1) ali obratno, ter procesi, ki potekajopreko t.i. nevtralnih tokov, kjer so prehodi znotraj “gornjih”ali “spodnjih”kvarkov oz. leptonov:

2.5. KVARKI IN LEPTONI TER NJIHOVA KVANTNA ŠTEVILA 37Nabiti tokovi znotraj standardnega modela potekajo v prvem redu perturbacije šibke interakcijein so zato mnogo bolj pogosti kot nevtralni tokovi, ki spreminjajo okus. In čeprav se slednjipojavljajo z izmerljivo verjetnostjo med “spodnjimi”kvarki, so komajda opazni med gornjimikvarki in (znotraj standardnega modela) praktično neizmerljivi med leptoni.Iz zgodovinskih razlogov kršitev kvarkovskih okusov u in d dostikrat označujemo kar spomočjo kršitev izospina, ko obravnavamo kvarka u in d kot stanji izosospinskega dubleta zI = 1/2 ter I 3 (u) = 1/2 ter I 3 (d) = −1/2. Zato pravimo tudi, da šibke interakcije kršijo izospin.Ostale kvarkovske okuse (ki jih prav tako kršijo le šibke interakcije) imenujemo tudi čudnost(označujemo z s ali S = −s), čarobnost (c ali C), lepota (ang. beauty, b ali B = −b - pozor,tukaj ne gre za barionsko število) ter t - okus kvarka top.Kot že omenjeno, vse interakcije standardnega modela v izredno dobrem približku ohranjajobarionsko ter leptonsko število 2 , zato procese, ki kršijo ti dve števili označujemo kot prepovedaneznotraj standardnega modela. Vse interakcije standardnega modela eksaktno ohranjajoelektrični naboj.Oglejmo si torej nekaj morebitnih reakcij, določimo ali so znotraj standardnega modeladovoljene in določimo interakcijo, po kateri potekajo.1. pp → ppp¯p: Protona v začetnem stanju imate skupno barionsko število B i = 2 ter nabojQ i = 2. Ostala kvantna števila standardnega modela so nič (ker imamo v tem procesuopravka le z (anti)protoni, je ohranitev posamičnih kvarkovskih okusov s prejšnjima dvemapogojema že zagotovljena. Tudi končno stanje ima barionsko število B f = 2 ter Q f = 2(antidelci imajo obratno predznačena vsa kvantna števila delcev). Posledično je gornjiproces znotraj standardnega modela dovoljen in poteka preko močne interakcije.2. pp → p¯pπ + π − : V tem primeru imamo B i = 2, Q i = 2, in pa B f = 0, Q f = 0. Opazimoda bi tak proces kršil tako barionsko število kot tudi naboj. Zato je znotraj standardengamodela prepovedan in dejansko ni bil še nikdar opažen.3. e + e − → p¯p: V tem primeru imamo v začetnem stanju B i = 0, Q i = 0 (ter tudi L i = 0),enako pa tudi v končnem stanju - proces je znotraj standardnega modela torej dovoljen.Ker pa v procesu nastopajo leptoni in ne le hadronska stanja, ta ne more potekati prekomočne interakcije. Nabiti delci v tem primeru lahko interagirajo preko elektromagnetneinterakcije (pri zelo visokih energijah je sicer pomemben tudi prispevek šibke interakcije).4. pp → e + e + : V začetnem stanju imamo B i = 2, L i = 0 ter Q i = 2, v končnem pa B f = 0,L f = 2 ter Q f = 2. Čeprav torej ta proces ohranja naboj, pa krši leptonsko ter barionskoštevilo, zato je znotraj standardnega modela prepovedan.5. π + → µ + ν: V začetnem stanju imamo B i = 0, L i = 0 ter Q i = 1, enako pa tudi v končnem.Ker končno stanje vsebuje leptonska stanja, ta interakcija ne more potekati preko močneinterakcije, ker pa imamo opravka tudi z nevtralnim nevtrinom, tudi elektromagnetnainterakcija ne pride v poštev. Proces torej poteka preko (nabite) šibke interakcije, karnam pove tudi izospinsko število, saj imamo v začetnem stanju I = 1, I 3 = 1, vkončnempa seveda I = 0.2 Teoretični izračuni kažejo, da šibke interakcije pri visokih temperaturah (T 100 GeV) lahko krišijo vsotobarionskega ter letponskega števila (B + L), če se njuna razlika B − L ohranja (in s tem morda igrajo pomembnovlogo pri tvorbi kozmične asimetrije med gostoto snovi ter anti-snovi v zgodnjem vesolju). Pri nižjih temperaturah,pa so takšni procesi Boltzmannovo zastrti in zato neizmerljivo redki.

38 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV6. ν n → pµ − : V začetnem stanju imamo B i = 1, L i = 1, Q i = 0 ter (I 3 ) i = −1/2, v končnempa B f = 1, L f = 1, Q f = 0 ter (I 3 ) f = 1/2. Omenjen proces torej krši izospin ter vsebujetudi nevtrine, zato poteka preko šibke interakcije.7. µ + → e + γ: V omenjenem procesu se spremeni le kvantno število leptonskega okusa (fotonne nosi ohranjenih kvantnih števil). Proces torej načeloma lahko poteka preko šibke interakcije.Vendar pa prehod med “spodnjima”leptonoma predstavlja nevtralni šibki tok,ki znotraj standardnega modela poteka le v višjih redih perturbacije. Omenjen proces jezato zelo redek in tudi eksperimentalno še ni bil opažen.8. µ + → e − e + e + : Proces je povsem analogen prejšnjemu primeru, le da imamo sedaj vkončnem stanju namesto fotona par elektrona in pozitrona, ki prav tako skupaj nimataneničelnih kvantnih števil. Omenjen proces je zato v prvem redu šibke perturbacije prepovedan.9. K − p → Λπ 0 : V začetnem stanju imamo B i = 1, Q i = 0 (I 3 ) i = 1 ter čudnost S i = −1(K − ∼ sū), v končnem pa B f = 1, Q f = 0, (I 3 ) f = 1 ter S f = −1. V tem hadronskem procesuse torej ohranjajo vsa kvantna števila in zato lahko poteka preko močne interakcije.Za hitrejšo pot do rešitve si lahko v hadronskih procesih pogosto pomagamo s preprostimidiagrami na kvarkovskem nivoju, kjer izipišemo vse kvarkovske okuse v začetnem terkončnem stanju, ter jih poskušamo med seboj povezati z neprekinjenimi črtami (morebitnosekanje teh črt ni pomembno, povežemo lahko tudi kvarkovske okuse znotraj posameznegahadrona). Če nam to uspe, je proces dovoljen preko močne interakcije.K − ∼{ūsūu}∼ π 0K − ∼{ūsūu}∼ π 0{p ∼uudsud}∼ Λ{p ∼uudsud}∼ Λ10. K + n → Σ + π 0 : V začetnem stanju imamo sedaj B i = 1, Q i = 1 (I 3 ) i = 0 ter S i = 1, vkončnem pa B f = 1, Q f = 1, (I 3 ) f = 1 ter S f = −1 (Σ + ∼ uus). V tem hadronskemprocesu se torej čudnost ter izospin ne ohranjata, zato v nasprotju s prejšnjim primeromlahko poteka le preko šibke interakcije. Izkaže se, da celo šele v višjem redu perturbacije,saj se na nivju kvarkovskih okusov, ti spreminjajo le med “spodnjimi”kvarki in torej taproces poteka preko nevtralnih šibkih tokov. Spet lahko do rešitve pridemo s pomočjodiagrama. Tokrat vseh kvarkovskih okusov ne moremo enostavno povezati.K + ∼{u¯suus}∼ Σ +d¯s → s ¯d{ un ∼ dd¯dd}∼ π 0

2.6. VALOVNE FUNKCIJE HADRONOV 392.6 Valovne funkcije hadronovOglejmo si lastnosti valovne funckije ∆ ++ resonance. Njena valovna funkcija naj bo produktokusnega, spinskega ter krajevnega dela. Iz meritev sipalnega preseka vemo, da ima ta resonancaspin 3/2 pa tudi izospin 3/2. Ob utemeljeni predpostavki, da so torej relevantne prostostnestopnje, katerih vezano stanje je ∆ ++ trije (lahki) kvarki, takoj zaključimo, da bosta okusni terspinski del imela obliko |uuu〉 ter | ↑↑↑〉. Ker gre za osnovno stanje s takšno kombinacijo spinater izospina pravtako zaključimo, da bo krajevni del valovne funkcije v stanju s celotno tirnovrtilno količino l = 0 (|l, m〉 = |0, 0〉 ≡ Y 00 ). Takoj opazimo, da so vse nastete komponentevalovne funkcije ∆ ++ sode na zamenjavo gradnikov. Celotna fermionska valovna funkcija pamora biti nasprotno liha na zamenjavo delcev. Od tod sklepamo, da mora obstajati še četrtakomponenta valovne funkcije ∆ ++ , ki je liha na zamenjavo gradnikov. Ta komponenta (η) jeposledica barvne interakcije med kvarki v vezanem stanju. Velja torej|∆ ++ 〉 = ηY 00 |uuu〉| ↑↑↑〉 . (2.41)Na podlagi tega rezultata želimo sedaj skonstruirati še valovne funkcije preostalih najnižje ležečihbarionskih resonanc različnih spinov ter okusov. Upoštevajoč le okuse treh najlažjih kvarkovu, d, s bi pričakovali 3 3 = 27 možnih okusnih kombinacij. Če upoštevamo še vse možne kombinacijekvarkovskih spinov dobimo celo 6 3 = 216 možnih barionskih stanj v osnovnem stanjutirne vrtilne količine! Vendar je le 56 teh stanj popolnoma simetričnih na zamenjavo delcev,kot zahteva prisotnost barvne komponente. Pri sistematični konstrukciji njihovih valovnih funkcijso nam v veliko pomoč operatorji višanja in nižanja spina (S ± ) ter izospina (I ± ). Takšneoperatorje za spin poznamo že iz kvantne mehanike. V primeru izospina pa analogno definiramoI + |d〉 = |u〉 I − |u〉 = |d〉 I + |u〉 = 0 = I + | ¯d〉 ,I + |ū〉 = −| ¯d〉 I − | ¯d〉 = −|ū〉 I − |d〉 = 0 = I − |ū〉 , (2.42)kjer sta oba negativna predznaka v drugi vrstici stvar dogovora, saj v splošnem pripadajočakompleksna faza ni eksperimentalno merljiva. Kot enostaven primer si poglejmo konstrukcijookusnega dela vseh pionov. Pričnimo s pionskim stanjem z največjo tretjo komponento izospina|π + 〉 ∼ |u ¯d〉 = |1, 1〉 I,I3 . Na to stanje delujemo z operatorjem nižanja izospina, pa dobimoI − |u ¯d〉 = |d ¯d〉 − |uū〉 . (2.43)Ob pravilni normalizaciji takšne valovne funkcije (〈π 0 |π 0 〉 = 1), ji pripada še normalizacijskakonstanta 1/ √ 2, torej|π 0 〉 ∼ 1 √2(|d ¯d〉 − |uū〉) (2.44)Uporabimo sedaj I − še enkrat na tem rezultatu, pa dobimoI − (|d ¯d〉 − |uū〉) ∝ |dū〉 ∼ |π − 〉 . (2.45)Tako smo skonstruirali okusni del vseh treh valovnih funkcij mezonov z izopsinom I = 1. Kajpa stanje z izospinom I = 0? Za takšno stanje |η〉 ∼ |0, 0〉 I,I3 mora veljati I ± |η〉 = 0, od kodersledi s primerno normalizacijo|η〉 ∼ √ 1 (|d ¯d〉 + |uū〉) . (2.46)2Takšno stanje je avtomatsko tudi ortogonalno na vsa pionska stanja.

40 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVPoglejmo si sedaj konstrukcijo (simetričnih) okusnih valovnih funkcij dekupleta lahkih barionovs spinom 3/2. Ponovno začnemo z navišjim izospinskim stanjem |∆ ++ 〉 ∼ |uuu〉. Na njemvečkrat delujemo z I − pa dobimo (že upoštevajoč primerno normalizacijo stanj)I − |∆ ++ 〉 = I − |uuu〉 = (|uud〉 + |udu〉 + |duu〉) ∼ √ 3|∆ + 〉 , (2.47a)I − |∆ + 〉 = √ 2 (|udd〉 + |dud〉 + |ddu〉) ∼ 2|∆ 0 〉 ,(2.47b)3I − |∆ 0 〉 = 3 √3|ddd〉 ∼ 3 √3|∆ − 〉 .(2.47c)Podobno lahko konstruiramo tudi stanja, z okusnim kvantnim številom čudnosti. Po analogiji zI ± vpeljemo namreč operatorja U ± , za katera veljaU + |d〉 = |s〉 , U − |s〉 = |d〉 ,U + |¯s〉 = −| ¯d〉 , U − | ¯d〉 = −|¯s〉 , (2.48)medtem ko U ± na vseh drugih kvarkovskih stanjih dasta nič. Sedaj z operatorjem U + delujemona vsa stanja |∆〉 pa dobimo triplet resonanc Σ ∗U + |∆ ++ 〉 = 0 , (2.49a)U + |∆ + 〉 = √ 1 (|uus〉 + |usu〉 + |suu〉) = |Σ +∗ 〉 ,(2.49b)3U + |∆ 0 〉 = 1 √3(|dus〉 + |dsu〉 + |sdu〉 + |uds〉 + |sud〉 + |usd〉) = √ 2|Σ 0∗ 〉 ,(2.49c)U + |∆ − 〉 = (|dds〉 + |dsd〉 + |sdd〉) = √ 3|Σ −∗ 〉 . (2.49d)Postopek na teh stanjih ponovimo še enkrat, pa dobimo par Ξ ∗ resonancU + |Σ +∗ 〉 = 0 , (2.50a)U + |Σ 0∗ 〉 = √ 2 (|sus〉 + |ssu〉 + |uss〉) = √ 2|Ξ 0∗ 〉 ,6(2.50b)U + |Σ −∗ 〉 = 2 √3(|dss〉 + |ssd〉 + |sds〉) = 2|Ξ −∗ 〉 .(2.50c)Končno imamo še popolnoma simetrično stanje |Ω − 〉 ∼ |sss〉, torej skupno deset stanj s simetričnimokusnim delom.Po drugi strani pa imamo le eno stanje s popolnoma antisimetričnim okusnim delom lahkih(u, d, s) kvarkov. Najlažje ga skonstruiramo tako, da vzamemo antisimetrično kombinacijo(|ud〉 − |du〉) ter ji simetrično dodamo |s〉 na vse možne načine. Tako dobimo stanje|Λ〉 ∼ 1 √6(|uds〉 − |dus〉 + |usd〉 − |dsu〉 + |sud〉 − |sdu〉) . (2.51)Zaradi antisimetrije okusnega dela, pa mora ob (anti)simetriji celotne valovne funkcije takšnostanje imeti neničelno tirno vrtilno količino (l ≠ 0). Na koncu nam ostane še 16 stanj z mešanosimetrijo okusnega ter spinskega dela. Ker mora biti njun produkt (pri l = 0) simetričen, jihnajlažje skonstruiramo tako, da za izhodišče vzmamemo vsoto produktov dovdelčnih valovnihfunkcij z dobro (anti)simetrijo, npr. (f A χ A + f S χ S ), kjer sta f (A)S ter χ (A)S (anti)simetrična

2.6. VALOVNE FUNKCIJE HADRONOV 41okusna ter spinska komponenta dvodelčne valovne funkcije. Takšnemu nastavku potem simetričnododamo primerno enodelčno valovno funkcijo na vse močne načine. Tako dobimo naprimer valovno funkcijo protona|p ↑〉 = Y 00 η √ 1 [|udu〉(2| ↑↓↑〉 − | ↓↑↑〉 − | ↑↑↓〉)18+|duu〉(2| ↓↑↑〉 − | ↑↓↑〉 − | ↑↑↓〉)+|uud〉(2| ↑↑↓〉 − | ↑↓↑〉 − | ↓↑↑〉)]= Y 00 η 1 √18[2|u ↑ u ↑ d ↓〉 − |u ↑ u ↓ d ↑〉 − |u ↓ u ↑ d ↑〉+2|d ↓ u ↑ u ↑〉 − |d ↑ u ↓ u ↑〉 − |d ↑ u ↑ u ↓〉+2|u ↑ d ↓ u ↑〉 − |u ↓ d ↑ u ↑〉 − |u ↑ d ↑ u ↑〉] . (2.52)Analogno valovno funkcijo nevtrona dobimo enostavno z zamenjavo u ↔ d v gornjem izrazu.Kot primer uporabe tako konstruiranih okusno-spinskih komponent valovnih funkcij hadronovsi poglejmo razmerje magnetnih dipolnih momentov protona in nevtrona. V nalogi 1.9 smopokazali, da izmerjena magnetna momenta obeh nukleonov precej odstopata od napovedi zaelementarne Diracove delce. Predpostavimo torej, da za kvarke veljaˆµ i = g sˆQi Ŝ i2m i, (2.53)kjer je g s ≃ 2 za kvarke s spinom 1/2 . Pri maksimalni projekciji spina ponovno nadomestimoŜ i → Ŝ3 i . Predpostavimo, da k magnetnemu momentu obeh nukleonov primarno prispeva vsotatakšnih magnetnih momentov vseh vezanih kvarkov oziromaµ p(n) ∝ 〈p(n) ↑ | ∑ ˆµ i |p(n) ↑〉 . (2.54)iZnak proporcionalnosti nas opozarja na to, da kvarki znotraj nukleonov še zdaleč niso prosti inzato relevantna energijska skala magnetnega momenta nukleona ne bo nujno podana z njihovimimasami m i , ki nastopajo v enačbi (2.53). Iz zadrege nas reši dejstvo, da sta masi obeh lahkihkvarkov dejansko precej manjši od celotnih mas obeh nukleonov, h katerima torej prevladujočeprispeva vezavna energija močne interakcije (temu v prid govori tudi izredno majhna razlika vmasah protona in nevtrona). Ker močne interakcije ne ločujejo med kvarkovskimi okusi lahkopričakujemo, da bo torej relevantna skala, ki bo določala celotni magnetni moment protona innevtrona v obeh primerih skoraj enaka in se bo v njunem razmerju njena odvisnost v veliki meripokrajšala, ostalo pa bo leµ n≃ 〈n ↑ | ∑ ˆQ i i Ŝi 3 |n ↑〉µ p 〈p ↑ | ∑ ˆQ. (2.55)i i Ŝi 3 |p ↑〉V primeru protona dobimo〈p ↑ | ∑ ˆQ i Ŝi 3 |p ↑〉 = e [ ( 2 1418 3 2 + 2 13 2 + −1 ) (−1 2 1+3 2 3 2 + 2 −13 2 + −1 ) ]1+ . . . = e 3 22 .i(2.56)V primeru nevtrona pa z zamenjavo u ↔ dˆQ i Ŝi 3 |n ↑〉 = e [ ( −1 1418 3 2 + −1 13)−1+2( −1 132 + −1 −13 2 + 2 13 2) ]+ . . . = − e 3 ,〈n ↑ | ∑ 2 + 2 3i(2.57)od koder sledi napoved µ n /µ p ≃ −2/3, kar je izredno blizu eksperimentalni vrednosti (µ n /µ p ) exp. ≃−0.685 .

42 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.7 Relativistično sipanjePodobno kot v obravnavi nerelativističnega sipanja si oglejmo najprej osnove perturbacijske teorijein vzporedimo relevantne količine s koncepti, ki so nam znani že iz nerelativistične obravnave.Kot prvo si poglejmo stanje relativističnega ravnega vala z dobro definirano gibalno količino.V nerelativistični mehaniki je takšno stanje rešitev Schrödingerjeve enačbe z lastnim valovnimvektorjem |p〉 = ψ = √ ne ip·x−iEt , kjer je n število delcev, ki ga takšno stanje predstavlja. Vrelativistični mehaniki so relevantna lastna stanja Klein-Gordonove enačbe |p〉 = √ 2En e −ip·x ,kjer smo zapisali skalarni produkt četvercev krajše kot p µ x µ ≡ p · x . Nenavadno izbiro normalizacijestanj utemeljita relativistični definiciji toka in gostote delcev. Oglejmo si najprejtok delcev, ki je v neraltivistični mehaniki definiran kot j = −i(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )/2m = np/m .Takšna normalizacija (na enoto mase) za relativistično kinematiko ni primerna. Namesto nje,se je uveljavila defnicija j = 2np , ki torej pojasni izbiro normalizacije stanj ravnih valov |p〉. Vskladu z njo se tudi definicija gostote delcev iz nerelativistične ρ = |ψ| 2 = n spremeni v ρ = 2nE,tako da se četverec toka zapiše kot j µ = (ρ, j) = 2p µ n .Naslednje si poglejmo razvoj začetnega (dvodelčnega) stanja z dobro definiranimi gibalnimikoličinami |p A p B 〉 in ob času T → −∞ v neko (sipano) končno stanje |p 1 , . . .〉 out , ob času T → ∞pod vplivom interakcijskega Hamiltoniana H int (x) v prvem redu perturbacije ter definirajmorelativistično sipalno matriko kot posplošitev enačbe (1.91)∫ T ∫T f≠i = out 〈p 1 , . . . |p A p B 〉 in = lim dt d 3 x 〈p 1 , . . . | − iH int (x)|p A p B 〉T →∞−T= −(2π) 4 δ (4) [p A + p B − (p 1 + . . .)] iM(p A p B → p 1 , . . .) , (2.58)kjer smo v drugi vrstici uvedli sipalno amplitudo M iz katere smo eksplicitno izpostavili deltafunkcijo, ki nam zagotavlja ohranitev energije in gibalne količine v sipanju.Dejansko želimo obravnavati razvoj (sipanje) valovnih paketov |φ〉 z normalizacijo 〈φ|φ〉 = 1,zato jih lahko razvijemo po ravnih valovih |p〉 kot∫|φ〉 =d 3 k(2π) 3 φ(k) 1√ 2Ek|k〉 , (2.59)kjer je φ(k) valovna funkcija valovnega paketa (v k prostoru), E k pa energija, ki pripada stanjuz gibalno količino k (E k = √ m 2 + |k| 2 ). Verjetnost za prehod med začetnimi in končnimi stanjivalovnih paketov znotraj majhnega izseka faznega prostora končnih stanj je potem(d 3 )p f 1dP(A, B → 1, . . .) = Π f(2π) 3 | out 〈p 1 . . . |φ A φ B 〉 in | 2 . (2.60)2E fDa dobimo diferencialni sipalni presek, moramo P poprečiti še po številu sipanih delcev znotrajzačetnih valovnih paketov A in B. Predstavljajmo si torej sipanje valovnih paketov A in B sprečnima presekoma S A ter S B , ki potujeta v smeri z z relativno hitrostjo |v A −v B | = |vA z −vz B |.Zaradi morebitnega neničelnega vpadnega parametra b ⊥ z, dejansko v sipanju prispevajo ledelci A in B znotraj prečnega preseka S = S A ∩ S B . Začetno stanje lahko torej zapišemo tudikot∫ d 3 ∫p A d 3 p B φ A (p A )φ B (p B )e ib·(p A−p B )|φ A φ B 〉 in =(2π) 3 (2π) 3 √ |p A p B 〉 in , (2.61)(2EA )(2E B )kjer smo posebej izpostavili fazni zamik med stanjema A in B, kot posledico neničelnega vpadnegaparametra. Sedaj lahko definiramo relativistični diferencialni sipalni presek kot verjetnost

2.8. SIPALNI PRESEK IN LORENTZOVE TRANSFORMACIJE 43prehoda, povprečeno po prečnem preseku S, oziroma∫dσ(A, B → 1, . . .) = d 2 b dP(A, B → 1, . . .) . (2.62)Izvrednotenje gornjega izraza v splošnem zahteva izračun 14 dimenzionalnega integrala (2 kratd 3 p A ter d 3 p B ter enkrat d 2 b). Na srečo nam integral po vpadnem parametru pridela le dvodimenzionalnodelta funkcijo, ki skupaj z eno izmed δ (4) [p A + p B − (p A + . . .)] znotraj |T fi | 2 ponekoliko daljšem računu [5] zreducira celotno integracijo na∫ d 3 ∫p Addσ = dρ f(2π) 3 |φ A(p A )| 2 3 p B(2π) 3 |φ B(p B )| 2 |M| 22E A 2E B |v A − v B | (2π)4 δ (4) [p A +p B −(p A +. . .)] ,(2.63)kjer smo diferencial faznega prostora končnih stanj (posplošitev gostote stanj iz neralitivističnegaFermijevega zlatega pravila) bolj kompaktno zapisali kot dρ f = Π f d 3 p f /[(2π) 3 2E f ]. V realističnihsituacijah je zrnatost detektorjev prevelika, da bi razločila končno razsežnost valovnihpaketov A in B v prostoru gibalnih količin. Zato lahko φ A,B (p A,B ) aproksimiramo z delta funkcijama,pa dobimo končni rezultatdσ = dρ f|M| 22E A 2E B |v A − v B | (2π)4 δ (4) [p A + p B − (p A + . . .)] , (2.64)kjer nam sedaj imenovalec ulomka 2E A 2E B |v A −v B | predstavlja relativistično analogijo vpadnegatoka sipanih delcev iz enačbe (1.94).2.8 Sipalni presek in Lorentzove transformacijeOglejmo si, kako se različni gradniki, ki tvorijo izraz za relativistični sipalni presek transformirajopod Lorentzovimi transformacijami. Sipalna amplituda je po konstrukciji Lorentzovo invariantnakoličina. Nasprotno pa se moramo za dokaz tega na primeru diferenciala faznega prostorakončnih stanj (dρ f ) malce potruditi. V ta namen si poglejmo Lorentzovo transformacijo vobliki ‘boosta’ v smeri x. Pod njo se bosta netrivialno transformirali le x−ta komponenta(diferenciala) gibalne količine (dp x ) ter energija (E). Tako da nas v celotnem diferencialu dρ fzanima le transformacija ulomka dp x /E. Izrazimo torej dp x in E s količinami v novem sistemu(d)p ′ x ter (d)E ′ dp x = γ(dp ′ x + βdE ′ ) ,Sedaj za njuno razmerje veljaE = γ(E ′ + βp ′ x) . (2.65)dp xE = γ(dp′ x + βdE ′ )γ(E ′ + βp ′ = dp′ x 1 + β(dE ′ /dp ′ x)x) E ′ 1 + β(p ′ x/E ′ = dp′ x) E ′ , (2.66)kjer smo ob zadnjem enačaju upoštevali, da je diferencial energije (E = √ m 2 + |p| 2 ): dE/dp x =p x /E .Nazadnje si oglejmo še imenovalec 2E A 2E B |v A − v B |. Z uporabo enakosti v = p/E, galahko prepišemo kot 4|p A E B − p B E A |. Ker začetni gibalni količini kažeta izključno v smeri z,lahko ta izraz drugače zapišemo tudi kot |p 0 A pz B − p0 B pz A | = |ɛ xyµνp µ A pν B|, kar je invariantno lena ’booste’ v smeri z – ima natanko transformacijske lastnosti (inverzne) ploščine v xy-ravnini,tako kot bi po definiciji sipalnega preseka tudi pričakovali.

44 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.9 Sipanje brezspinskih delcev preko EM interakcijeOglejmo si relativistično 2 → 2 sipanje delcev brez spina (npr. kaonov in pionov) preko elektromagnetneinterakcije. Kot primer vzemimo elastično sipanje negativno nabitega piona in kaona(π − (p A )K − (p B ) → π − (p C )K − (p D )). Naše izhodišče bo prehodna matrika med začetnim inkončnim stanjem, kot jo izračunamo v prvem netrivialnem redu EM perturbacije v približku, kopion in kaon obravnavamo kot točkasta (psevdo)skalarna delca z nabojem Q(π − , K − ) = −e. Vtem primeru relevanten interakcijski Hamiltonian prispeva k prehodni matriki preko izmenjaveenega samega fotona in lahko zapišemo∫T fi = d 4 x jµ em (π − ) −igµν jν em (K − ) . (2.67)kjer j emµ (π − ) = Q(π − )(p A + p C ) µ e −i(p A−p C )·x in j emµ (K − ) = Q(K − )(p B + p D ) µ e −i(p B−p D )·xpredstavljata relativistični EM tok piona in kaona ter velja q 2 = (p A − p C ) 2 = (p B − p D ) 2 .Integracija po prostoru nam da ravno delta funkcijo ohranitve četverca celotne gibalne količinepa dobimoT fi = −i(2π 4 )δ (4) (p A + p B − p C − p D ) e2 (p A + p C ) · (p B + p D )q 2 , (2.68)kjer nam ulomek v gornji enačbi predstavlja sipalno amplitudo M . Znotraj nje nastopajoprodukti četvercev gibalnih količin (v splošnem jih je šest: p A · p B , p A · p C , p A · p D , p B · p C ,p B · p D in p C · p D ). Zaradi ohranitve celotne gibalne količine, sta le dva izmed teh produktovtudi linearno neodvisna. Zato je v obravnavi sipanja 2 → 2 sipalno amplitudo smiselno zapisativ manifestno Lorentzovo invariantnem zapisu s pomočjo treh t.i. Mandelstamovih spremenljivks ≡ (p A + p B ) 2 = (p C + p D ) 2 , t ≡ (p A − p C ) 2 = (p B − p D ) 2 , u ≡ (p A − p D ) 2 = (p B − p C ) 2 ,(2.69)za katere je enostavno pokazati enakostq 2s + t + u = p 2 A + p 2 B + p 2 C + p 2 D = ∑ im 2 i , (2.70)kjer teče vsota po vseh štirih masah delcev v začetnem in končnem stanju. Opis z Mandelstamovimispremenljivkami je torej še posebej pripraven v ultrarelativistični limiti m 2 i ≪ s, ko lahkomase sipanih delcev v primerjavi z energijo sipanja zanemarimo. S pomočjo Mandelstamovihspremenljivk se v tej limit sipalna amplituda, ki opisuje sipanje π − K − → π − K − zelo kompaktnozapiše kotM(π − (p A )K − (p B ) → π − (p C )K − (p D )) = e 2 s − u . (2.71)t2.10 Antidelci in križanjeV prejšnjem primeru smo obravnavali sipanje negativno nabitih pionov in kaonov. π − z gibalnokoličino p µ = (E, p) ima EM naboj in tok Q(π − ) = −e ter jµ EM (π − ) = 2(−e)p µ . To lahkoprimerjamo s π + , za katerega pri p µ = (E, p) velja Q(π + ) = +e ter jµ EM (π + ) = 2ep µ =2(−e)(−p µ ). Opazimo torej, da lahko EM tok antidelcev opišemo s pomočjo toka delcev, katerihčetverec gibalne količine spremeni predznak. Ker se s takšno zamenjavo začetno stanje |p〉hkrati spremeni v končno stanje 〈p|, pomeni da v danem procesu delec v začetnem stanju zgibalno količino p lahko zamenjamo z antidelcem v končnem stanju z gibalno količino −p in

2.11. ELASTIČNO EM SIPANJE π− π − TER π − π + 45obratno. Takšnemu postopku zamenjave pravimo tudi križanje. Kot primer si oglejmo elastičnoEM sipanje π + K − → π + K − . Sipalno amplitudo dobimo kar iz že znanega izraza za sipanjeπ − K − → π − K − z zamenjavo p A → −p C ter p C → −p A , oziromaM(π + (p A )K − (p B ) → π + (p C )K − (p D )) = e2 (−p A − p C ) · (p B + p D )q 2= e 2 u − st. (2.72)Ker je sipalni presek odvisen od kvadrata absolutne vrednosti sipalne amplitude, sta torej sipalnapreseka za sipanje π − K − → π − K − ter π + K − → π + K − enaka.2.11 Elastično EM sipanje π − π − ter π − π +Oglejmo si nekoliko težji primer elastičnega EM sipanja π − (p A )π − (p B ) → π − (p C )π − (p D ). Zaradineločljivosti delcev v začetnem in končnem stanju mora biti amplituda simetrična na zamenjavop A ↔ p B ter p C ↔ p D . Dejansko v izračunu prehodne matrike T fi dobimo dva prispevkaizmenjave fotona, kar nam da simetrizirano sipalno amplitudoM(π − (p A )π − (p B ) → π − (p C )π − (p D )) = e2 (p A + p C ) · (p B + p D )(p A − p C ) 2 + e2 (p A + p D ) · (p B + p C )(p A − p D ) 2 .(2.73)Poskusimo opisati kotno odvisnost sipalnega preseka v takšnem sipanju. V ta namen sepreselimo v težiščni sistem v katerem lahko gibalne količine v ultrarelativistični limiti zapišemokotp µ A = (p, p i) , p µ B = (p, −p i) , p µ C = (p, p f ) , p µ D = (p, −p f ) , (2.74)kjer je p = |p i | = |p f |. Če torej definiramo še kot θ kot projekcijo med vektorjema začetnein končne gibalne količine v tem sistemu cos θ = p i · p f /p 2 lahko že izrazimo kotno odvisnostsipalne amplitude kotoziroma diferencialnega sipalnega preseka[ 3 + cos θM = e 2 cos θ − 1 − 3 − cos θ ]= −2e 2 3 + cos2 θ1 + cos θ 1 − cos 2 θ , (2.75)( ) dσ∝dΩπ − π −[ 3 + cos 2 ] 2θ1 − cos 2 . (2.76)θNa koncu si oglejmo še sipanje elastično EM π + π − . Njegovo sipalno amplitudo dobimo spomočjo križanja (p A → −p C , p C → −p A ) in sicer nam to daM(π − (p A )π + (p B ) → π − (p C )π + (p D )) = e2 (−p A − p C ) · (p B + p D )(−p A + p C ) 2 + e2 (−p C + p D ) · (p B − p A )(−p C − p D ) 2 ,v težiščnem sistemu pa je sipalni presek posledično proporcionalen( ) dσ∝dΩπ + π −(2.77)[ 3 + cos 2 ] 2θ. (2.78)1 − cos θ

46 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.12 Ohranitev vrtilne količine za Diracove delceHamiltonov operator, iz katerega izhaja Diracova enačba jeH = α · p + βm , (2.79)kjer je α = γ 0 γ, β = γ 0 , γ 0,1,2,3 pa so Diracove γ matrike, ki tvorijo antikomutacijsko algebro{γ µ , γ ν } = 2g µν . Zanima nas ohranitev tirne vrtilne količine L = r × p, kjer sta r in p krajevnakoordinata ter gibalna količina delca, pod vplivom gornjega Hamiltoniana. Za to si poglejmokomutator [H, L]. Osredotočimo se na eno komponento vrtilne količine, npr. L 1[H, L 1 ] = [α · p + βm, x 2 p 3 − x 3 p 2 ] = [α · p, x 2 p 3 − x 3 p 2 ] − [βm, x 2 p 3 − x 3 p 2 ] . (2.80)Oba komutatorja na desni strani obravnavamo ločeno. Prvi komutator izvrednotimo kot[α 1 p 1 + α 2 p 2 + α 3 p 3 , x 2 p 3 − x 3 p 2 ] = 0 + α 2 [p 2 , x 2 p 3 ] − α 3 [p 3 , x 3 p 2 ]= 0 + α 2 [p 2 , x 2 ]p 3 − α 3 [p 3 , x 3 ]p 2= i(p 2 α 3 − p 3 α 2 ) = i(p × α) 1 , (2.81)kjer smo uporabili komutacijske relacije [p i , x j ] = −iδ ij . Na enak način izvrednotimo tudi drugkomutator [βm, x 2 p 3 − x 3 p 2 ] = 0 , pa dobimo končni rezultat[H, L] = i(p × α) . (2.82)Očitno torej tak Hamiltonian ne ohranja tirne vrtilne količine. Rešitev iz zagate nam ponudispin, ki ga nosijo Diracovi delci. Poglejmo si torej še komutator( ) σ 0[H, S] , S =. (2.83)0 σSpet se osredotočimo na posamično komponento spina, npr. S 1[H, S 1 ] = [α · p + βm, S 1 ] = [α · p, S 1 ] + [βm, S 1 ] . (2.84)Ponovno oba komutatorja na desni izvrednostimo ločeno. Za prvega dobimo() ( ) ( )0 [σ, σp · [α, S 1 ] = p1 ]0 σ30 σ2= −2ip[σ, σ 1 ] 02 + 2ipσ 3 03 = 2i(α × p)σ 2 01 ,(2.85)kjer smo uporabili komutacijske relacije σ matrik [σ i , σ j ] = 2iɛ ijk σ k . Podobno izvrednotimotudi drugi komutator, oziroma [β, S 1 ] = 0 , pa dobimo končni rezultat[H, S] = 2i(α × p) . (2.86)Ugotovimo, da H ohranja celotno vrtilno količino, ki je vsota tirne vrtilne količine in spinaJ = L + S/2, in torej [H, J] = 0 .

2.13. DIRACOVI SPINORJI IN SUČNOST 472.13 Diracovi spinorji in sučnostPoglejmo si lastnosti rešitev proste Diracove enačbe (iγ µ ∂ µ − m)ψ = 0. Poznamo dva razredarešitev: interpretiramo jih kot delce ψ = u (s) exp(−ipx) ter antidelce ψ = v (s) exp(ipx) . Diracovispinorji (u, v) zadoščajo enačbam (γ µ p µ − m)u (s) = 0 ter (γ µ p µ + m)v (s) = 0 . Pripravno jedefinirati še ¯ψ ≡ ψ † γ 0 = ū (s) exp(ipx) , ¯v (s) exp(−ipx), kjer sedaj velja ū (s) (γ µ p µ − m) = 0 ter¯v (s) (γ µ p µ + m) = 0. Delčne ter antidelčne spinorje izpišemo še eksplicitnou (s) = √ (2Eχ (s) )σ·p , v (s) = √ ( σ·p)2EE+m χ(−s)E+m χ(s) χ (−s) , (2.87)kjer je izbrana normalizacija konsistentna z relativistično izbiro za skalarne delce v sekciji (2.7),χ (1) = (1, 0) T , χ (−1) = (0, 1) T . Za spinorje veljata tudi naslednji dve kompletnostni relaciji priseštevanju po spinih∑u (s) ū (s) = γ µ p µ + m ,s∑v (s)¯v (s) = γ µ p µ − m . (2.88)Definirajmo sedaj operator sučnosti κ = S · p/2|p| , ki je pravzaprav projekcija spina na smergibalne količine. Poskusimo dokazati, da tak operator komutira s Hamiltonianom za prosteDiracove delce in da torej sučnost predstavlja ohranjeno količino. Če to velja, morajo bitirešitve Hamiltoniana tudi lastna stanja operatorja κ; veljati mora npr. κu (s) = λ (s) u (s) , kjer staλ (s) pripadajoči lastni vrednosti. Za dokaz, se torej postavimo v sistem, kjer gibalna količina pkaže v smeri z, p = (0, 0, p). Potem se operator sučnosti zapiše kar kot κ = S 3 /2. Delujmo znjim na u (±1) , pa dobimoκu (±1) = √ 2E 1 2( ) (σ3 0·0 σ 3χ (±1) )σ 3 p = √ 2E 1 (E+m χ(±1) 2sσ 3 χ (±1) )σ 3 pE+m σ 3χ (±1) = ± 1 2 u(±1) . (2.89)Dejansko so rešitve proste Diracove enačbe lastna stanja operatorja sučnosti. Iz gornjega dokazaje enostavno uvideti tudi, da se sučnost ohranja tudi pri zamenjavi delcev z anti-delci. Takšnaoperacija namreč zamenja predznak gibalne količine ter spina, njuno projekcijo pa pusti nespremenjeno.To nam bo v veliko pomoč pri izračunih sipanja polariziranih Diracovih fermionov spomočjo križanja.

48 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.14 Gordonova dekompozicija EM toka za Diracove delceElektromagnetni tok za Diracove delce ima obliko ¯ψ f γ µ ψ i = ū f γ µ u i exp[i(p f − p i ) · x], kjer smoza enačajem uporabili rešitve proste Diracove enačbe. Za obravnavo nizko-energijske nerelativističnelimite je bolj pripravna tako imenovan Gordonova dekompozicija takšnega EM toka, kiima oblikoū f γ µ u i = 12mūf [(p f + p i ) µ + iσ µν (p f − p i ) ν ] u i , (2.90)kjer je σ µν = i[γ µ , γ ν ]/2 . Poskusimo jo dokazati. Za to si podrobneje oglejmo drug člen voglatem oklepaju gornjega izrazaū f σ µν (p f − p i ) ν u i = i 2ūf γ µ γ ν (p f − p i ) ν u i − i 2ūf γ ν γ µ (p f − p i ) ν u i . (2.91)Razpišimo prvi člen na desni koti2ūf γ µ γ ν p ν f u i − i 2ūf γ µ γ ν p ν i u i = i 2ūf (2g µν − γ ν γ µ )p ν f u i − i 2ūf γ µ mu i= iū f p fµ u i − i 2ūf γ µ mu i − i 2ūf γ µ mu i= iū f (p fµ − mγ µ )u i , (2.92)kjer smo v prvi vrstici uporabili antikomutcaijske lastnosti γ matrik ter enačbo gibanja za u i ,v drugi vrstici pa še enačbo gibanja za ū f . Na enak način lahko izvrednotimo tudi drugi člen v(2.91) koti2ūf γ ν γ µ p ν f u i − i 2ūf γ ν γ µ p ν i u i = iū f (p iµ − mγ µ )u i . (2.93)Sedaj oba izraza vstavimo nazaj v (2.90) pa dobimoū f γ µ u i = 12mūf [(p f + p i ) µ − p fµ + mγ µ − p iµ + mγ µ ] u i = ū f γ µ u i . (2.94)2.15 Nerelativistična limita EM interakcij za Diracove delceMatrični element za sipanje Diracovih delcev v EM polju v prvem redu perturbacije zapišemokot∫∫T fi = −i d 4 x j µ fi A µ = ie d 4 x ū f γ µ u i e i(p f −p i )·x A µ , (2.95)kjer je j µ fi = −e ¯ψ f γ µ ψ i EM tok Diracovih delcev z nabojem e, A µ = (φ, A) pa štirivektor EMpolja. φ in A sta skalarni in vektorski EM potencial s pomočjo katerih izrazimo gostoti električnegain magnetnega polja kot E = −∇φ−∂A/∂t ter B = ∇×A . Oglejmo si nizkoenergijskolimito tega matričnega elementa s pomočjo Gordonove dekompozicije EM toka. Osredotočimose na prispevek drugega člena v oglatem oklepaju v (2.90), ki edino nosi informacijo o vplivuspinskih prostostnih stopenj Diracovih delcev na interakcijoT fi = . . . + −e2m∫d 3 x dt ū f σ µν (p f − p i ) ν u i A µ e i(E f −E i )t e −i(p f −p i )x . (2.96)Če imamo opravka s statičnim magnetnim poljem, nobena od količin pod integralom razeneksponenta ni časovno odvisna in lahko integral po času že izvedemoT fi = . . . + −e∫2m 2πδ(E i − E f ) d 3 x ū f σ µν (p f − p i ) ν u i A µ e −i(p f −p i )x . (2.97)

50 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVV ultrarelativistični limiti ter Diracovi bazi γ matrik, kjer je( )0 12×2γ 5 =, (2.105)1 2×2 0se izraza za ψ L,R poenostavita, npr.ψ L = √ 2E 1 ( ) ( ) 1 −1 χ(s)·2 −1 1 σˆpχ (s) = √ 2E 1 ( χ (s) − σˆpχ (s) )2 −χ (s) + σˆpχ (s) . (2.106)Delujmo sedaj na tak spinor z operatorjem sučnosti κ⎛ ( )12 S · ˆp ψ L = √ 2E 1 ( ) aσ · ˆp 0 1 ⎜ (b2 0 σ · ˆp 2 ⎝ a−b⎛ ) ) ⎞= √ 2E 1 4⎜⎝( aσˆp(ba−σˆpb( a−) (ba+b)( a− σˆp) (ba+ σˆpb))⎞⎟⎠⎟⎠ = −1 2 ψ L , (2.107)kjer smo uporabili lastnost projekcijskega operatorja (σˆp) 2 = 1 . Podobno identiteto lahkodokažemo za ψ R , z drugim predznakom. Sledi torej, da v ultrarelativistični limiti sučnost terročnost sovpadata (ekvivalentno ψ L ≃ ψ (−1) ter ψ R ≃ ψ (+1) ) .Oglejmo si sedaj obliko elektromegnetnega toka Diracovih delcev, če uporabimo pojekcijskoidentiteto ψ = ψ L + ψ R ter zapišimoj µ = ¯ψγ µ ψ = ( ¯ψ L + ¯ψ R )γ µ (ψ L + ψ R ) = ¯ψ L γ µ ψ L + ¯ψ R γ µ ψ R + ¯ψ L γ µ ψ R + ¯ψ R γ µ ψ L . (2.108)Oglejmo si podrobneje mešana člena, npr.¯ψ L γ µ ψ R = ψ † 1 2 (1 − γ 5)γ 0 γ µ 1 2 (1 + γ 5)ψ= ¯ψ 1 2 (γµ − γ µ γ 5 ) 1 2 (1 + γ 5)ψ= ¯ψ 1 4 γµ (1 − γ 2 5)ψ = 0 , (2.109)kjer smo v prvi vrstici uporabili hermitskost γ 5 (γ † 5 = γ 5) v drugi in tretji vrstici antikomutacijskelastnosti γ 5 ({γ 5 , γ µ } = 0), v tretji pa normalizacijo γ5 2 = 1 . Enako odpade tudi drugi mešaničlen in se torej EM tok razpiše izključno kot vsota desno- in levo-ročnih tokovj µ = ¯ψγ µ ψ = ¯ψ L γ µ ψ L + ¯ψ R γ µ ψ R . (2.110)V ultrarelativistični limiti, ko ročnost in sučnost sovpadata, to pomeni, da EM tok ohranjasučnost sipanih delcev, saj bo npr. levosučno polariziran vpadni delec iz ultrarelativističnegaEM sipanja izšel izključno levosučen.

2.17. KOTNA PORAZDELITEV V ULTRARELATIVISTIČNEM EM SIPANJU DIRACOVIH DELCEV512.17 Kotna porazdelitev v ultrarelativističnem EM sipanju DiracovihdelcevOglejmo si anihilacijo eletrona in pozitrona v mion in anti-mion. Proces e + e − → µ + µ − vprevem redu perturbacije poteka preko izmenjave enega samega fotona in ga obravnavamo vultrarelativistični limiti. Vmesno stanje fotona mora imeti celotno vrtilno količino ena, zatomorata po ohranitvi celotne vrtilne količine tudi začetno in končno stanje imeti enako celotnovrtilno količino. Postavimo se v težiščni sistem, kjer vpadna delca letita vzdolž koordinate z,glede na katero definiramo tudi projekcije vrtilne količine. Izberimo si polarizaciji elektronain pozitrona, tako da ima elektron, ki leti v smeri z sučnost 1/2, pozitron, ki leti v smeri −zpa sučnost −1/2. Takšno začetno stanje, ko sta spina vpadnih delcev poravnana zapišemo kot|i〉 = |1, 1〉 (smer z). Končno stanje si oglejmo v zarotiranem sistemu, kjer mion leti v smeri z ′ ssučnostjo −1/2, anti-mion pa v smeri −z ′ s sučnostjo 1/2. Takšno končno stanje lahko zapišemokot |f〉 = |1, −1〉 (smer z ′ ) . Matrični element prehoda med začetnim in končnim stanjem vistem sistemu dobimo preko rotacije, npr. začetnega stanja iz sistema z v z ′ za medsebojni kotθ okoli pravokotne osi, npr. y (exp(−iθJ y )|j, m〉 = ∑ m ′ dj m,m|jm ′ 〉 )′z ′〈f|i〉 z = 〈1, −1| [ d 1 −1,1|1, −1〉 + d 1 0,1|1, 0〉 + d 1 1,1|1, 1〉 ] = d 1 −1,1(θ) ∝ 1 − cos θ . (2.111)Na podoben način lahko izvrednotimo tudi vse ostale možne kombinacije polarizacij/sučnostiz ′〈1, 1|1, 1〉 z ∝ 1 + cos θ ,z ′〈1, −1|1, −1〉 z ∝ 1 + cos θ ,z ′〈1, 1|1, −1〉 z ∝ 1 − cos θ . (2.112)Izraz za kotno porazdelitev sipalnega preseka za nepolarizirane curke delcev ter seštet čez vse polarizacijekončnih stanj dobimo s vsoto kvadratov posameznih matričnih elementov, ki nastopajov sipalnih amplitudahdσdΩ ∝ ∑ s,s ′ |M s,s ′| 2 ∝ ∑ s,s ′ | z ′〈1, s ′ |1, s〉 z | 2 ∝ 1 + cos 2 θ . (2.113)Takšna kotna odvisnost se razlikuje od tiste, ki bi jo dobili v sipanju (anihilaciji) skalarnihdelcev preko EM interakcije, npr π + π − → K + K − , ki znaša dσ/dΩ ∝ cos 2 θ in izhaja iz sipalneamplitude v težiščnem sistemu oblike M ∝ (p i · p f ) ∝ cos θ .

52 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.18 Sledi γ matrikV izračunih sipanja nepolariziranih Diracovih delcev lahko povprečenje kvadratov sipalnih amplitudpo njihovih spinih prevedemo na sledi produktov Diracovih γ matrik. Poglejmo si torejnekaj teoremov, ki nam omogočajo izračun sledi produktov γ matrik. Začnemo z definicijo γmatrik, po kateri so le-te brez-sledne oziroma Tr[γ µ ] = 0. To lastnost pa bi lahko izpeljali tudisamo s pomočjo uporabe Diracove algebre ter γ 5 , namrečTr[γ µ ] = Tr[γ 5 γ 5 γ µ ] = Tr[γ 5 γ µ γ 5 ] = −Tr[γ µ γ 5 γ 5 ] = −Tr[γ µ ] = 0 , (2.114)kjer smo v drugem koraku uporabili (γ 5 ) 2 = 1, v tretjem cikličnost sledi produkta matrik, včetrtem antikomutacijo γ µ ter γ 5 ter v petem ponovno cikličnost sledi ter (γ 5 ) 2 = 1. Gornjiidentiteti je torej lahko zadoščeno le, če je sled identično enaka nič. Na podoben način se dapokazati, da je sled poljubnega lihega produkta γ matrik (kjer v produktu ne nastopa γ 5 ) enaknič. Podobno velja za sled same γ 5 (Tr[γ 5 ] = 0), kar dokažemo na enak način, z vstavljanjem(γ 0 ) 2 = 1 znotraj sledi. Sled produkta dveh γ matrik izvrednotimo kotTr[γ µ γ ν ] = Tr[2g µν − γ ν γ µ ] = 2g µν Tr[1 4×4 ] − Tr[γ ν γ µ ] = 8g µν − Tr[γ µ γ ν ] , (2.115)kjer smo v prvem koraku uporabili antikomutacijske lastnosti, v zadnjem pa cikličnost sledi. Odtod že slediTr[γ µ γ ν ] = 4g µν . (2.116)Naslednja zanimiva sled jeTr[γ µ γ ν γ 5 ] = Tr[γ µ γ ν γ α γ α γ 5 ] = −Tr[γ µ γ ν γ α γ 5 γ α ] = −Tr[γ α γ µ γ ν γ α γ 5 ] = Tr[γ µ γ α γ ν γ α γ 5 ]= −Tr[γ µ γ ν γ α γ α γ 5 ] = −Tr[γ µ γ ν γ 5 ] = 0 , (2.117)kjer smo izbrali γ α tako, da velja α ≠ µ, ν in torej matrika antikomutira z γ µ , γ ν , kar smouporabili v tretjem, četrtem in petem koraku, nato pa spet cikličnost sledi. Seveda velja tudi(γ α ) 2 = 1 ter v gornjem izrazu izjemoma ne seštevamo po ponovljenem indeksu α. Naslednje sioglejmo sled produkta štirih γ matrikTr[γ µ γ ν γ α γ β ] = Tr[(2g µν − γ ν γ µ )γ α γ β ] = 2g µν Tr[γ α γ β ] − Tr[γ ν γ µ γ α γ β ]= 8g µν g αβ − Tr[γ ν (2g µα − γ α γ µ )γ β ] = 8g µν g αβ − 8g µα g νβ + Tr[γ ν γ α γ µ γ β ]= 8g µν g αβ − 8g µα g νβ + 8g µβ g να − Tr[γ µ γ ν γ α γ β ] , (2.118)kjer smo izmenoma uporabili anikomutacijske lastnosti γ matrik ter znano sled produkta dvehγ matrik (2.116). Od tod sledi končni rezultatTr[γ µ γ ν γ α γ β ] = 4g µν g αβ − 4g µα g νβ + 4g µβ g να . (2.119)Na podoben način lahko izračunamo tudi poljuben večji produkt sodega števila γ matrik. Nakoncu brez dokaza napišimo še izraz za sled produkta štirih γ matrik ter γ 5Tr[γ µ γ ν γ α γ β γ 5 ] = 4iɛ µναβ , (2.120)kjer je ɛ µναβ popolnoma antisimetrični tenzor četrtega ranga z ɛ 0123 = 1 ter enako za vse sodepermutacije indeksov.

2.19. ELASTIČNO EM SIPANJE E− µ − → E − µ − TER ANNIHILACIJA E + E − → µ + µ − 532.19 Elastično EM sipanje e − µ − → e − µ − ter annihilacija e + e − →µ + µ −Obravnavamo elastično EM sipanje e − (p A )µ − (p B ) → e − (p C )µ − (p D ). Matrični element prehodav prvem redu perturbacije opisuje proces preko izmenjave posamičnega fotona in ima obliko∫T fi = −id 4 x j µ e−g µνq 2 jµ ν = −i[−eū(p C )γ µ u(p A )] −1q 2 [−eū(p D)γ µ u(p B )](2π) 4 δ (4) (p A +p B −p C −p D ) ,(2.121)kjer je q 2 = (p A −p C ) 2 kvadrat izmenjane gibalne količine preko virtualnega fotona. Pripadajočasipalna amplituda ima tako oblikoM = −e 2 [ū(p C )γ µ u(p A )] 1 q 2 [ū(p D)γ µ u(p B )] . (2.122)V gornjem izrazu vsak spinor u, ū še vedno predstavlja točno določeno polarizacijo (sučnostis A , s B , s C , s D ) delca, ki mu pripada, torej natančneje u = u (si) , ū = ū (sj) . Torej tudi vsakikombinaciji polarizacij v začetnem in končnem stanju pripada ločena sipalna amplituda (M =M sA ,s B ,s C ,s D). Za izračun nepolariziranega sipalnega preseka moramo poprečiti kvadrate sipalnihamplitud po vseh polarizacijah začetnih stanj (e − (p A ) ter µ − (p B )) ter sešteti čez vse možnepolarizacije delcev v končnem stanju. Število polarizacijskih (spinskih) stanj delca s celotnimspinom s je 2s + 1 in lahko torej prispevek kvadratov sipalnih amplitud k nepolariziranemusipalnemu preseku napišemo kot|M| 2 ≡1(2s A + 1)(2s B + 1)∑s A ,s B ,s C ,s D|M sA ,s B ,s C ,s D| 2 . (2.123)Oglejmo si najprej nerelativistično limito gornjega izraza. Za to izvrednotimo prispevek vsakekombinacije spinov posebej. Spomnimo se, da se v nerelativistični limiti spinorji poenostavijo vu (s) → √ 2m(χ (s) , 0) T ter ū (s) → √ 2m(χ (s)† , 0) . Tako lahko s pomočjo definicij γ matrik, kjerje v Diracovi bazi bločno diagonalna le γ 0 takoj zapišemo EM tokove kotū (s) γ µ u (s′) = 2mδ s,s ′δ µ0 . (2.124)Absolutna smer spina se torej v nerelativističnem sipanju ohranja. Vstavimo sedaj ta izraz v(2.122) za različne kombinacije orientacij spinov, glede na poljubno smer z pa dobimoM(↑↑→↑↑) = M(↓↑→↓↑) = M(↑↓→↑↓) = M(↓↓→↓↓) = − e2 4m e m µq 2 ,M(↓↑→↑↓) = M(↑↓→↓↑) = M(↓↓→↑↑) = M(↑↑→↓↓) = 0 . (2.125)Za poprečen kvadrat sipalnih amplitud tako dobimo|M| 2 = 1 4 (4m em µ e 2 ) 2 4 t 2 , (2.126)kjer smo uvedli zapis z Mandelstamovo spremenljivko t = (p A − p C ) 2 = q 2 .

54 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVOglejmo si še ultra-relativistično limito tega sipanja. V tem primeru je koristno, da povprečjekvadratov amplitud razpišemo kot produkt|M| 2 = e4q 4 12 · 2∑s,s ′ ,s ′′ ,s ′′′ [ū(p C ) (s′′) γ µ u(p A ) (s) ][ū(p D ) (s′′′) γ µ u(p B ) (s′) ]×[ū(p D ) (s′′′) γ ν u(p B ) (s′) ] † [ū(p C ) (s′′) γ ν u(p A ) (s) ] †= e4q 4 L e,µνL µνmuon . (2.127)Oba leptonska tenzorja lahko sedaj evaluairamo ločeno, dobimoL µνe = 1 ∑[ū(p C ) (s′′) γ µ u(p A ) (s) ][u(p C ) (s′′)† γ 0 γ ν u(p A ) (s) ] †2s,s ′′= 1 ∑[ū(p C ) (s′′) γ µ u(p A ) (s) ][u(p A ) (s)† γ2νγ † 0 u(p C ) (s′′) ]s,s ′′= 1 ∑[ū(p C ) (s′′) γ µ u(p A ) (s) ][ū(p A ) (s) γ ν u(p C ) (s′′) ]2s,s ′′= 1 2 (pα Cγ α + m e ) da (γ µ ) ab (p β A γ β + m e ) bc (γ ν ) cd= 1 2 Tr[(pα Cγ α + m e )γ µ (p β A γ β + m e )γ ν ] , (2.128)kjer smo v drugi vrstici izvedli kompleksno konjugacijo produkta γ matrik ter spinorjev, nato pav naslednji vrstici uporabili identiteto γ µ † = γ 0 γ µ γ 0 ter γ0 2 = 1 . V četrti vrstici smo nato vsotopo spinih s in s ′′ nadomestili z identiteto (2.88) ter eksplicitno izpisali sumacijo po indeksih γmatrik, ki smo jo nato v zadnji vrstici zaradi ciklične ponovitve vseh indeksov lahko identificiralis sledjo. Analogno dobimo za L µνmuon = Tr[(p α D γ α + m µ )γ µ (p β B γ β + m µ )γ ν ]/2.Obe sledi se poenostavita v ultrarelativistični limiti, ko lahko masi elektrona in miona zanemarimo.Takrat dobimo s pomočjo znane sledi produkta štirih γ matrik (2.119)L µνe = 1 2 pα Cp β A Tr[γ αγ µ γ β γ ν ] = 1 2 pα Cp β A 4(g αµg βν − g αβ g µν + g αν g βµ )= 2(p µ C pν A − p A · p C g µν + p ν Cp µ A ) , (2.129)ter podobno za L µνmuon z zamenjavo p A → p B ter p C → p D . Oba izraza lahko sedaj vstavimonazaj v (2.127) pa dobimo|M| 2 (e − µ − → e − µ − ) = 8e4q 4 [(p A · p B )(p C · p D ) + (p A · p D )(p C · p B )] = 2e 4 s2 + u 2t 2 , (2.130)kjer smo v drugem koraku uporabili še definicije Mandelstamovih spremenljivk v ultrarelativističnilimiti s = (p A + p B ) 2 ≃ 2p A · p B ≃ 2p C · p D , t = q 2 = (p A − p C ) 2 ≃ −2p A · p C ≃ −2p B · p Dter u = (p A − p D ) 2 ≃ −2p A · p D ≃ −2p B · p C .S pomočjo križanja sedaj enostavno dobimo tudi izraz za proces e + e − → µ + µ − iz poglavja2.17. Naredimo namreč zamenjavo M[e − (p A )µ − (p B ) → e − (p C )µ − (p D )] = M(e − (p A )e + (−p C ) →µ − (p D )µ + (−p B )), oziroma p B ↔ −p C in torej s ↔ t|M| 2 (e + e − → µ + µ − ) = 2e 4 t2 + u 2s 2 . (2.131)

2.19. ELASTIČNO EM SIPANJE E− µ − → E − µ − TER ANNIHILACIJA E + E − → µ + µ − 55Oglejmo si sedaj ponovno kotno porazdelitev tega sipalnega preseka v težiščnem sistemu. Izraz(2.64) se tedaj poenostavi, saj velja E A = E B ≃ p i , kjer je p i = |p A | = |p B | in torej s ≃ 4p 2 i ,hkrati pa tudi |v A − v B | ≃ 2. Tudi fazni integral dvodelčnega končnega stanja se znatnopoenostavi, saj dobimo∫(2π) 4 δ (4) d 3 p C d 3 ∫p D p2 ∫fdp f dΩ(p A + p B − p C − p D )(2π) 3 2E C (2π) 3 ≃2E D (2π) 3 4p 2 (2π)δ(2p i − 2p f ) =fdΩ32π 2 ,(2.132)kjer smo v prvem koraku s pomočjo delta funkcije v težičnem sistemu, oziroma p C = −p D izvedlivse integracije po gibalni količini enega od delcev, npr. p C , nato vpeljali krogelne koordinateza integracijo po p D , s pomočjo |p C | = |p D | = p f ter E C = E D ≃ p f izvedli še integracijo pop f , tako da nam preostane le integral po prostorskem kotu dΩ = dφd cos θ. Ker sipalna matrikazavisi le od projekcije (p i · p f )/p i p f = cos θ lahko izvedemo tudi integral po φ pa dobimo zadiferencialni sipalni presekdσd cos θ =|M|2128πp 2 i= 2e4 t 2 + u 232πs s 2= πα22s (1 + cos2 θ) , (2.133)kjer je α = e 2 /4π in s čimer smo reproducirali rezultat (2.113), sedaj tudi s primerno normalizacijo.Če izvedemo še končno integracijo po cos θ dobimoσ(e + e − → µ − µ + ) = 4πα23s . (2.134)Oglejmo si še polarizirano EM sipanje e + e − → µ + µ − v ultrarelativistični limiti. Ker sučnostin ročnost v tej limiti sovpadata, lahko obravnavamo kar proces z dobro določenimi ročnostmidelcev, npr. e − R (p A)e + L (p B) → µ − R (p C)µ + L (p D). S pomočjo dekompozicije EM toka na njegovelevo- in desnoročne komponente (2.110), lahko že zapišemo sipalno amplitudo za ta proces kotM = − e24 [¯v(p B)γ µ (1 + γ 5 )u(p A )] 1 q 2 [ū(p C)γ µ (1 + γ 5 )v(p D )] , (2.135)kjer smo poleg dekompozicije EM toka na sipalni amplitudi (2.122) uporabili še križanje, in jeq 2 = (p A + p B ) 2 = (p C + p D ) 2 . Vsoti po spinih e + e − ter µ + µ − lahko sedaj kot prej izvedemoločeno s pomočjo sledi matrik γ, npr. za L µνe dobimoL µνe = 1 ∑[¯v(p B ) (s′) γ µ (1 + γ 5 )u(p A ) (s) ][¯v(p B ) (s′) γ ν (1 + γ 5 )u(p A ) (s) ] †4s,s ′= 1 ∑[¯v(p B ) (s′) γ µ (1 + γ 5 )u(p A ) (s) ū(p A ) (s) γ ν (1 + γ 5 )v(p B ) (s′) ]4s,s ′= 1 4 Tr[pα Bγ α γ µ (1 + γ 5 )p β A γ βγ ν (1 + γ 5 )]= 2(p µ B pν A + p ν Bp µ A − gµν p A · p B − iɛ αµβν p B,α p A,β ) , (2.136)kjer smo izpostavili kvadrat predfaktorja (1/2) ki izhaja iz projekcijskega opertatorja ročnosti.Pozor, tukaj ne poprečujemo po spinih začetnih delcev, saj obravnavamo polarizirano sipanje(vsi vpadni elektroni so desnoročni ter vsi pozitroni levoročni). Podobno za L µνµ dobimoL µνmuon = 2(p µ C pν D + p ν Dp µ C − gµν p C · p D − iɛ ρµσν p C,ρ p D,σ ) . (2.137)

56 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVKvadrat amplitude pa se glasi|M| 2 = 4e4q 4 [2(p A · p C )(p B · p D ) + 2(p A · p D )(p B · p D ) − ɛ αµβν ɛ ρµσν p B,α p A,β p ρ C pσ D]= 8e4q 4 [(p A · p C )(p B · p D ) + (p A · p D )(p B · p D ) − (p A · p C )(p B · p D ) + (p A · p D )(p B · p D )]= 16e4q 4 (p A · p D )(p B · p C ) , (2.138)kjer smo v drugi vrstici uporabili identiteto ɛ µναβ ɛ µνρσ = −2(δ α ρ δ β σ − δ α σ δ β ρ ) . Od tod v težiščnemsistemu že dobimo pričakovano kotno odvisnost v prvi vrstici (2.112), oziromadσd cos θ (e− R e+ L → µ− R µ+ L ) = πα22s (1 + cos θ)2 . (2.139)Izračun procesa e − R e+ L → µ− L µ+ R) je podoben, v spinski vsoti znotraj Lµν muon moramo zamenjatipredznak γ 5 ter posledično ɛ ρµσν člena. To nas takoj privede do rezultata za kotno odvisnostsipalnega presekadσd cos θ (e− R e+ L → µ− L µ+ R ) = πα22s (1 − cos θ)2 . (2.140)Podobno dobimo izraza tudi za preostali neničelni kotni odvisnostidσd cos θ (e− L e+ R → µ− L µ+ R ) = πα22s (1 + cos θ)2 ,dσd cos θ (e− L e+ R → µ− R µ+ L ) = πα22s (1 − cos θ)2 . (2.141)2.20 Møllerjevo sipanje e − e − ter Bhabha sipanje e + e −Oglejmo si še elastično sipanje identičnih Diracovih delcev, kot je e − (p A )e − (p B ) → e − (p C )e − (p D )preko EM interakcije v prvem redu perturbacije. V primerjavi z elastičnim sipanjem e − µ − morabiti v tem primeru sipalna amplituda antisimetrična na zamenjavo delcev v končnem stanjuoziroma p C ↔ p D . To dosežemo z razliko obeh prispevkov k amplitudi}M = −e{[ū(p 2 1C )γ µ u(p A )](p A − p C ) 2 [ū(p D)γ µ 1u(p B )] − [ū(p D )γ µ u(p A )](p A − p D ) 2 [ū(p C)γ µ u(p B )] .(2.142)Povprečenje po spinih poteka kot prej. Ponovno si najprej poglejmo nerelativistično limito, kjersedaj veljaM(↑↑→↑↑) = M(↓↓→↓↓) = −e 2 4m 2 e( 1 t − 1 u ) ,M(↓↑→↓↑) = M(↑↓→↑↓) = −e 2 4m 2 1et ,M(↓↑→↑↓) = M(↑↓→↓↑) = e 2 4m 2 1eu , (2.143)in je torej celotna vsota po kvadratih polariziranih amplitud) ]2+ 1 t 2 + 1 u 2|M| 2 = 1 4 (4m2 ee 2 ) 2 [ (1t − 1 u. (2.144)

2.20. MØLLERJEVO SIPANJE E − E − TER BHABHA SIPANJE E + E − 57Če vsoto kvadratov sipalnih amplitud po spinih izvedemo v ultrarelativistični limiti pa po nekolikodaljšem računu dobimo[ s|M| 2 (e − e − → e − e − ) = 2e 4 2 + u 2t 2 + 2s2tu + s2 + t 2 ]u 2 , (2.145)kjer je prvi člen enak kot pri elastičnem sipanju e − µ − , zadnji člen izhaja iz kvadrata amplitudz zamenjavo p C ↔ p D oziroma t ↔ u, vmesni pa iz dveh mešanih produktov. Eden je oblike1 ∑[ū(p C )γ µ u(p A )][ū(p D )γ µ u(p B )][ū(p C )γ ν u(p B )] † [ū(p D )γ ν u(p A )] †tu 2 · 2− e4spins= − e4 1tu 2 · 2 Tr[(pσ Cγ σ + m e )γ µ (p α Aγ α + m e )γ ν (p δ Dγ δ + m e )γ µ (p β B γ β + m e )γ ν ]= e44tu 32(p A · p B )(p C · p D ) = 2e 4 s2tu , (2.146)kjer za prevedbo sledi v drugem koraku na znane izraze uporabimo antikomutacijske relacijeγ matrik ter identiteto γ µ γ µ = 4I 4×4 , v zadnji vrstici pa smo zanemarili prsipevke mase elektronov.Drugi mešani produkt je le kompleksno konjugirana verzija gornjega in torej njemuenak. Ponovno si oglejmo kotno porazdelitev sipalnega preseka tega procesa v težiščnem sistemu.Dobimodσd cos θ = 4πα2 (cos 2 θ + 3) 2s sin 4 , (2.147)θtakšno kotno porazdelitev imenujemo tudi Møllerjevo sipanje.S pomočjo križanja sedaj enostavno dobimo tudi kvadrat sipalne amplitude za sipanje “Bhabha”:e + e − → e + e − in sicer z zamenjavo s ↔ u (ali ekvivalentno s ↔ t zaradi anti-simetrijeamplitude na zamenjavo t ↔ u), pa dobimo|M| 2 (e + e − → e + e − ) = 2e 4 [ s 2 + u 2t 2+ 2u2ts + u2 + t 2 ]s 2 . (2.148)Kotna porazdelitev takšnega sipanja v težišcnem sistemu je proporcionalna (2.147).

58 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV2.21 Sipanje e − ν µ → ν e µ − preko šibke interakcijeSipanje e − ν µ → ν e µ − poteka preko t.i. nabitih šibkih tokovJ e,αweak = ¯ψ νe γ α ψ e,L ,J µ,αweak = ¯ψ νµ γ α ψ µ,L , (2.149)ki pretvarjata med levoročnim elektronom/mionom in njunima (prev tako levoročnima) neutrinoma(ne pozabímo, ψ L ≡ P L ψ = (1 − γ 5 )ψ/2). Izkaže, da sipalna amplituda, ki jo dobimo sskalarnim produktom tokovM = −i 4G F√2J e,αweak J µ,†weak,α , (2.150)kjer je G F = 1.166 × 10 −5 GeV −2 Fermijeva sklopitvena konstanta, dobro opisuje sipanjee − ν µ → ν e µ − (ter analogno vse procese, ki jih lahko dobimo s pomočjo križanja), pri težiščnihenergijah sipanja, ki so dosti manjše kot (4G F / √ 2) −1/2 ∼ O(100 GeV). Takšen nastavek imenujemoFermijev model šibkih interakcij in je specifična nizko-energijska limita standardnegamodela elektrošibkih interakcij. Oglejmo si torej kotno porazdelitev pripadajočega diferencialnegasipalnega preseka v težiščnem sistemu. V ta namen ponovno najprej izračunamo vsotokvadratov sipalnih amplitud za vsa spinska stanja končnih delcev ter poprečeno čez možnaspinska stanja zaˇvpadnih delcev. Sedaj v interakciji sodelujejo le levoročna stanja, ki v ultrarelativističnilimiti sovpadajo z lastnimi stanji sučnošti in lahko uporabimo rezultate iz obravnavesipanja polariziranih elektronov in mionov preko elektromagnetne interakcije v poglavju 2.19.Za razliko od sipanja elektronov in mionov, so vpadni curki nevtrinov vedno le levosučni, zatopoprečenje spinov v začetnem stanju zajema le obe spinski stanji elektrona. Tako za procese − (p)ν µ (k) → ν e (k ′ )µ − (p ′ ) dobimo po izvrednotenju vsote po spinih s pomočjo sledi matrik γ(pozorni moramo biti tudi na pravilno normalizacijo šibkih tokov)|M| 2 = 1 216G 2 F216(p · k)(p ′ · k ′ ) = 16G 2 F s 2 , (2.151)kjer smo v v drugem koraku že uporabili definicijo Mandelstamove spremenljivke s v ultrarelativističnilimiti. Od tod lahko takoj ugotovimo, da diferencialni sipalni presek opisuje enakomernoporazdelitev po prostorskem kotudσdΩ = G2 F4π 2 s . (2.152)S pomočjo križanja enostavno dobimo rezultat še za sipanje e − (p)¯ν e (k) → ¯ν µ (k ′ )µ − (p ′ ) in sicerzamenjava ν e → ¯ν e ter ν µ → ¯ν µ v sipalni matriki terja k ↔ −k ′ od koder že sledi|M| 2 = 64 G 2 F (p · k ′ )(p ′ · k) . (2.153)Ponovno si oglejmo kotno porazdelitev takšnega sipanja v težiščnem sistemu, kjer lahko zapišemop · k ′ = |p| 2 (1 + cos θ) ter p ′ · k = |p| 2 (1 + cos θ), kjer je |p| ≡ |p i | = |p f |, p = (|p i |, p i ),k = (|p i |, −p i ), p ′ = (|p f |, p f ), k ′ = (|p f |, −p f ) ter p i · p f = |p| 2 cos θ . SledidσdΩ = G2 F16π 2 s(1 + cos θ)2 . (2.154)Če sedaj oba diferencialna sipalna preseka pointegriramo po prostorskem kotu dobimoσ(e − ν µ → ν e µ − ) = G2 F sπ ,σ(e −¯ν e → ¯ν µ µ − ) = G2 F s3π . (2.155)

2.22. RAZPAD MIONA 59Prvi sipalni presek je trikrat večji od drugega.Zančilnost kotne proazdelitve v sipanju e −¯ν e → ¯ν µ µ − , da sipalni presek izgine pri sipalnemkotu θ = π, lahko razumemo s pomočjo ohranitve vrtilne količine ter sučnosti. Oglejmo si najprejprimer sipanja e − ν µ → ν e µ − ter izberimo smer vpadnega elektrona (z). Zaradi levoročne naravenabitih šibkih interakcij se bo elektron sipal le, če bo njegov spin kazal v smer −z (Sz e = −1/2).Podobno bo spin vpadnega levosučnega nevtrina (ki leti v smeri −z) kazal v smeri z (Sz ν = 1/2).Projekcija celotne vrtilne količine sistema v smeri z (pri vpadnem parametru b = 0) je torej karvsota obeh spinskih projekcij J z = Sz e + Sz ν = 0 . Po sipanju pod kotom θ = π bo izhodni mionletel v smeri −z, zaradi levoročnosti interakcije pa bo imel spin poravnan v smeri z (S z µ = 1/2).Nasprotno pa bo sipani nevtrino letel v smeri z z spinom Sz ν = −1/2. Tako bo tudi po sipanjuprojekcija celotne vrtilne količine sistema enaka J z = S z µ +Sz ν = 0 . Končno si poglejmo še sipanjee −¯ν e → ¯ν µ µ − . Nasprotno kot vpadni nevtrino ima v šibkem sipanju vpadni anti-nevtrino spinvedno poravnan z smerjo gibanja in torej v začetnem stanju velja Sz¯ν = −1/2 ter posledičnoJ z = Sz e + Sz ¯ν = −1. Podobno ima po sipanju tudi izhodni antinevtrino spin poravnan v smergibanja (z), torej Sz ¯ν = 1/2. Od tod bi sledilo za celotno projekcijo vrtilne količine sistema posipanju J z = S z µ + Sz ¯ν = 1 . Ob primerjavi s projekcijo vrtilne količine pred sipanjem se torejcelotna vrtilna količina v takšnem sipanju ne bi ohranjala, zato je tak prehod prepovedan –verjetnost za proces je nič, in sipalni presek izgine.2.22 Razpad mionaFermijev model poleg sipanja nabitih leptonov in nevtrinov napoveduje tudi razpad miona.Sipalna amplituda oziroma produkt nabitih šibkih tokov (2.150) s pomočjo križanja namrečopisuje tudi verjetnost za prehod µ − → e − ν µ¯ν e . Verjetnost za razpad delca A v stanje delcevB, C, . . . na časovno enoto nam podaja razpadna širinadΓ = dρ f|M| 22E A(2π) 4 δ (4) [p A − (p B + p C + . . .)] , (2.156)katere izpeljava poteka analogno kot smo to naredili za sipalni presek v poglavju 2.7. Skladno stem je dρ f diferencial relativističnega faznega prostora končnih stanj, faktor 1/2E A pa izhaja iznormalizacije valovnega paketa začetnega stanja. Pri izvrednotenju kvadrata sipalne amplitude|M| 2 sedaj mase miona v procesu µ − (p) → e − (p ′ )ν µ (k)¯ν e (k ′ ) ne smemo več zanemariti. Kljubtemu pa hitro ugotovimo, da nam le-ta sploh ne prispeva, v kolikor še vedno zanemarimo maseelektrona ter nevtrinov, ki so mnogo manjše od mase miona. Če namreč |M|2 ponovno zapišemokot produkt elektronskega ter mionskega tenzorja|M| 2 = 16G2 F2L e,µν L µνmuon , (2.157)nam sedaj masa miona nastopa le znotraj L µνmuon (tokrat poprečujemo le po spinskih stanjihmiona v začetnem stanju)L µνmuon = 1 ∑[ū(k) (s′) γ µ (1 − γ ] [5)u(p) (s) ū(k) (s′) γ ν (1 − γ ] †5)u(p) (s′ )222s,s ′= 1 8 Tr[kα γ α γ µ (1 − γ 5 )(p β γ β + M)γ ν (1 − γ 5 )] , (2.158)

60 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEVkjer smo z M označili maso miona. Prispevek le-te h kvadratu sipalne amplitude je torej oblikeMk α Tr[γ α γ µ (1 − γ 5 )γ ν (1 − γ 5 )]. Takšnen izraz pa je ob upoštanju antikomutacijskih relacij γ 5identično enak nič. Od tod že lahko uporabimo rezultate iz prejšnjega poglavja, oziroma|M| 2 = 64G 2 F (p · k ′ )(p ′ · k) . (2.159)Poučno je izraziti gornji kvadrat sipalne amplitude v težiščnem sistemu – sistemu mirujočegamiona. Tu velja p = (M, 0) = p ′ +k+k ′ ter posledično tudi (p−k ′ ) 2 = (p ′ +k) 2 = p ′2 +k 2 +2p ′·k ≃2p ′ · k , kjer smo v zadnjem koraku zanemarili masi eletrona in nevtrina v končnem stanju.Definirajmo še p ′ = (E ′ , p ′ ), k = (w, k), k ′ = (w ′ , k ′ ), kjer je w (′) ≃ |k (′) |, pa sledi|M| 2 = 32G 2 F (p · k ′ )(p − k ′ ) 2 = 32G 2 F (M − w ′ , −k ′ ) 2 Mw ′= 32G 2 F (M 2 + w ′2 − 2Mw ′ − w ′2 )Mw ′ = 32G 2 F M(M − 2w ′ )Mw ′ . (2.160)Opazimo da kvadrat sipalne amplitude ne vsebuje odvisnosti od gibalnih količin izhodnih delcevter posledično kotov med njihovimi smermi, kar nam bo precej olajšalo izvrednotenje razpadneširine. Preostane nam še izvrednotenje diferenciala faznega prostora končnih stanj dρ f . Tokratimamo opravka s tridelčnim faznim prostorom, zato bo potrebnega nekoliko več napora. Kotpomožni rezultat najprej dokažimo naslednjo identiteto∫ d 3 k2w = ∫d 4 k χ(w)δ(k 2 ) , (2.161)kjer je χ(w) stopničasta funkcija, velja k = (w, k), ne uporabimo pa k 2 = 0 ali w ≃ |k|! Za tanamen izrazimo delta funkcijo kvadrata četverca k po definicijiδ(k 2 ) = δ(w 2 − |k| 2 ) = 1 [δ(w − |k|) + δ(w + |k|)] . (2.162)2|k|Sedaj zapišimo desno stran enačbe (2.161) kot∫d 3 k dw χ(w) 12|k| [δ(w − |k|) + δ(w + |k|)] = ∫ d 3 k2w , (2.163)kjer nam zaradi prisotnosti stopničaste funkcije k integralu prispeva le delta funkcija pri pozitivnienergiji w. Sedaj zapišimo diferencial faznega prostora ter pointegrirajmo po gibalni količinimionskega nevtrina k z uporabo gornje formule∫kdρ f (2π) 4 δ (4) (p − p ′ − k − k ′ ) ==1 d 3 p ′ d 3 k ′ ∫(2π) 5 2E ′ 2w ′d 4 k χ(w)δ(k 2 )δ (4) (p − p ′ − k − k ′ )1 d 3 p ′ d 3 k ′(2π) 5 2E ′ 2w ′ χ(M − E′ − w ′ )δ[(p − p ′ − k ′ ) 2 ] .(2.164)Sedaj preostala diferenciala prepišemo v krogelne koordinate ter izvedemo integrale po kotih,ki nam predstavljajo le globalne rotacije sistema: po integraciji po k lahko med preostalimasmerema p ′ in k ′ definiramo le en fizikalen kot (θ), torejd 3 p ′ = 4πE ′2 dE ′ , (2.165)d 3 k ′ = 2πw ′2 dw ′ d(cos θ) . (2.166)

2.22. RAZPAD MIONA 61Prepišimo tudi preostalo delta funkcijo še v drugačno oblikoδ[(p − p ′ − k ′ ) 2 ] = δ[(M − E ′ − w ′ ) 2 − (p ′ + k ′ ) 2 ] = δ[M 2 − 2ME ′ − 2Mw ′ + 2E ′ w ′ (1 − cos θ)]= 1 [ M 22E ′ w ′ δ − 2ME ′ − 2Mw ′ + 2E ′ w ′ ]2E ′ w ′− cos θ(2.167)ter si poglejmo integral po cos θ. Najprej s pomočjo stopničastih funkcij raztegnimo integracijskiinterval na celotno realno os∫ 1−1dcos θ δ(. . . − cos θ) =∫ ∞ter si oglejmo argumenta obeh stopničastih funkcij po integraciji:−∞dcos θ χ(cos θ + 1)χ(1 − cos θ)δ(. . . − cos θ) , (2.168)χ(1 − cos θ) → χ(2E ′ w ′ − M 2 + 2E ′ M + 2Mw ′ − 2E ′ w ′ ) = χ(w ′ + E ′ − M/2)χ(1 + cos θ) → χ(M 2 − 2E ′ M − 2Mw ′ + 4E ′ w ′ ) = χ(M/2 − w ′ ) (2.169)kjer smo v zadnjem koraku obeh vrstic argument stopničastih funckij normalizirali na w ′ . Dobilismo torej nove integracijske meje za integracijo po w ′ . Sedaj končno izrazimo diferencialnorazpadno širino kotdΓ = 1(2π) 5 12M= G2 F∫ ∞∫ ∞ ∫ M/22π 3 dE ′= G2 F012π 3 ∫ M/2004πE ′ 2 ∫ M/22E ′ dE ′ 2πw ′ 2M/2−E ′ 2w ′ dw ′ 12E ′ w ′ χ(M − E′ − w ′ )32G 2 F M(M − 2w ′ )Mw ′dw ′ M(M − 2w ′ )w ′ χ(M − E ′ − w ′ )M/2−E[′ )]dE ′ M 2 E ′ 2(3 − 4 E′. (2.170)MPo integraciji čez energijo elektronskega nevtrina (ki je v detektorjih ponavadi ni moč izmeriti)smo tako dobili enodimenzionalni spekter energije izsevanega elektrona v mionskem razpadu.Zanimivo je, da je integracijsko področje (0, M/2), ki nam predstavlja fizikalni del spektra,d dE'0 M4 M2 3M4E'manjše kot področje, na katerem je integrand pozitiven (0, 3M/4). Če končno pointegriramo šepo energiji elektrona, dobimo razpadno širino mionaΓ(µ)[= 1/τ µ ] = G2 F M 5192π 3 . (2.171)Z meritvijo lastnega razpadnega časa miona (ter njegove mase) lahko torej določimo vrednostFermijeve sklopitvene konstante G F . Trenutne izjemno natanačne meritve nam tako dajo m µ =0, 1057 GeV/c 2 , τ µ = 2, 197 · 10 −6 s, od koder dobimo G F /(c) 3 = 1.166 · 10 −5 GeV −2 .

62 POGLAVJE 2. FIZIKA OSNOVNIH DELCEV

Literatura[1] F. Schwabl. Quantum mechanics. Berlin, Germany: Springer, 1995. 2nd Ed., 416 p.[2] J. G. Joseph K.P. Santhosh and S. Sahadevan. Alpha decay of nuclei in the range 67 ≤ Z ≤ 91from the ground state and isomeric state. Physical Review C, 82:064605, 2010.[3] R. J. Blin-Stoyle. Theories of Nuclear Moments. Oxford University Press, 1957.[4] D.H. Perkins. Introduction to High Energy Physics. Adison-Wesley Publishing, 1982.[5] Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder. An Introduction to quantum field theory. Westviewpress, 1995.[6] F. Halzen and A. D. Martin. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern ParticlePhysics. John Wiley & Sons, 1984.63