Zadaci iz Analiticke geometrije (meteorologija) ∗ - Alas

Zadaci iz Analitičke geometrije (meteorologija) ∗Srdjan VukmirovićMay 5, 20041 Vektori u ravni i prostoru1.1 Dokazati da se dijagonale četvorugla polove ako i samo ako je taj četvorougaoparalelogram.1.2 Nad stranicama trougla ABC konstruisani su paralelogrami ABB 1 A 2 , BCC 1 B 2 ,→CAA 1 C 2 . Dokazati da je A 1 A 2 + B →1 B 2 + C →1 C 2 = → 0 .1.3 U odnosu na tačku O dati su vektori položaja OA,→ OB tačaka A i B (A ≠B). Izraziti vektor položaja OC →tačke C za koju je AC= → λ CB, →λ ∈ R.1.4 Težiste sistema tačaka A 1 , . . . , A n (n ≥ 2) u osnosu na tačku O je tačka→→T takva da važiOA i . Označimo sa T i težiste sistema tačakaOT = 1 ∑ nn i=1A 1 , . . . , A n bez tačke A i .a) Dokazati da tačka T ne zavisi od izbora tačke O.b) Dokazati da se sve duži A i T i , i = 1, . . . , n seku u tački T i da važi(n − 1) T →T i .→→A i T =1.5 Dokazati da se težiste tetraedra ABCD poklapa sa težižtem tetraedra A ′ B ′ C ′ D ′kome su temena A ′ , B ′ , C ′ , D ′ redom težišta trouglova BCD, ACD, ABD iABC.1.6 Dat je paralelogram ABCD. Ako je tačka F središte stranice BC, tačkaG središte stranice CD, a tačka E presek duži AF i BG. Odrediti odnose AE iBEEG .1.7 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednihstrana.1.8 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački (ortocentar).1.9 Ako je u kvadru ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dijagonala AC 1 normalna na ravankoja sadrži tačke A 1 , B, D dokazati da je taj kvadar kocka.∗ Većina zadataka je preuzeta iz zbirke: Zbirka zadataka iz analitičke geometrije, O.Milenković, M. Djorić, Matematički fakultet, Beograd (1999).EF1

1.10 Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice 1. a) Odrediti ugao izmedju dijagonalastrana kocke BC 1 i D 1 B 1 . b) Odrediti zapreminu tetraedra BC 1 B 1 D.1.11 Odrediti odnos površina i zapremina tetraedara ABCD i A ′ B ′ C ′ D ′ izzadatka 1.5.1.12 Ako su P, Q i R preseci simetrala uglova trougla ABC sa naspramnimstranicama odrediti odnos površina trouglova ABC i P QR preko dužina stranicatrougla ABC.1.13 Neka su p i q dve mimoilazne prave u prostoru i P 1 , P 2 ∈ p, odnosnoQ 1 , Q 2 ∈ q njihove tačke. Dokazati da se zapremina paralelepipeda generisanog→→→vektorima Q 1 Q 2 , P 1 P 2 , P 1 Q 1 neće promeniti ako pomerimo duži P 1 P 2 , tj. Q 1 Q 2paraleleno duž odogovarajućih pravih.2 Krive u ravni2.1 (Dioklesova cisoida) Neka je OA prečnik kruga poluprečnika a i prava ttangenta tog kruga koja sadrži tačku A. Neka poluprava l ′ sa početkom u O sečetangentu t u tački C i krug u tački B. Ako je M tačka poluprave l ′ takva da jeOM = BC odrediti geometrijsko mesto tačaka M kada poluprava l ′ rotira okotačke O.2.2 (Strofoida) Data je prava l paralelna osi Oy na rastojanju a od nje. Proizvoljnapoluprava l ′ sa početkom u koordinatnom početku O seče pravu l u tački A.Krug sa centrom u A koji dodiruje Ox osu seče polupravu l ′ u tačkama M i M ′ .Odrediti geometrijsko mesto tačaka M, M ′ kada poluprava l ′ rotira oko tačke O.2.3 Dokazati da središta paralelnih tetiva elipse (hiperbole) pripadaju pravojkoja sadrži centar te elipse (hiperbole).2.4 Dokazati da središta paralelnih tetiva parabole pripadaju pravoj koja je paralelnaosi parabole.2.5 Dokazati da presek P tangenti u tačkama M 1 i M 2 elipse pripada dijametrukoji polovi tetivu M 1 M 2 .2.6 Dokazati da površina trougla čije su stranice asimptote hiperbole i tangentahiperbole ne zavisi od izbora tangente.2.7 Svesti datu krivu na kanonski oblik izometrijskom transformacijom i odreditijoj žiže, temena i direktrise u koordinatnom sistemu (x, y).a) x 2 + y 2 − xy − 3x − 1 = 0b) 8x 2 + 15y 2 + 24xy + 32x + 44y + 20 = 0.2.8 Date krive svesti na kanonski oblik izometrijskom transformacijom i napisatiformule te transfomacije.a) 4x 2 + 9y 2 − 2x + 2y − 12xy − 19 = 0b) 2x 2 + 3xy − 2y 2 + 4x + 3y − 7 = 0.2

3 Površi i krive u prostoru3.1 Odrediti jednačinu normale iz tačke A(2, 3, −1) na ravan α : 2x + y − 4z +5 = 0.3.2 Odrediti jednačinu ravni koja sadrži tačku M(−1, 0, 3) i normalna je napravu q : x+12= y−34= z−3−1 .3.3 Odrediti tačku Q koja je simetrična tački P (3, −2, −4) u odnosu na ravanα : 6x + 2y − 3z − 75 = 0 kao i projekciju P ′ tačke P na ravan α.3.4 Odrediti tačku Q koja je simetrična tački P (−1, −2, 1) u odnosu na pravuxl :−2 = y−34= z−41kao i projekciju P ′ tačke P na pravu l.3.5 Odrediti jedančinu ravni koja sadrži pravu l : x−1je na ravan α : 2x − 4y + z + 5 = 0.2= y+21= z−33i normalna3.6 Odrediti λ tako da se prave p : x−2seku. Koje su koordinate presečne tačke?3= y+45= z−1−2i q : x−λ2= y−31= z+503.7 Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku L(2, −1, 7) i seče prave p := z−31i q : x−7−1= y−11−3= z+20 .x−12= y−4−33.8 Odrediti zajedničku normalu i rastojanje izmedju mimoilaznih pravih p :x−41= y+32= z−12−1i q : x−3−7= y−12= z−13 .3.9 Odrediti ravan α koja sa ravni γ : x − 4y − 8z + 12 = 0 obrazuje ugao π 4 isadrži pravu: a) x + 5y + z = 0, x − z + 4 = 0 b) p : x−11= y−20= z −1 .3.10 Odrediti pravu l koja je paralelna ravni α : 4x − y + 2z − 5 = 0 i kojax+3seče pravu p :0= y−22= z+1−1 . Odrediti zatim jednačinu prave l 1 koja jesimetrična pravoj l u odnosu na ravan α.3.11 Odrediti jednačine ravni koje sadrže pravu l : x−13−1= y+11= z 4 i dodirujusferu S : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 67 = 0.3.12 Date su tačke A(3, 5, −2), B(5, −1, 0) i C(−1, −5, 6). Na pravoj AC nalazese centri sfera jednakih poluprečnika R = √ 11. Odrediti jednačine sfera ako onedodiruju simetralnu ravan duži AB.3.13 Krug k koji nastaje rotacijom tačke A(1, 2, 3) oko prave p : x−1z−11napisati kao a) Presek ravni i sfere b) presek ravni i cilindra.1= y−21=3.14 Odrediti jednačinu geometrijskom mesta pravih l koje su paralelne ravniα : 2x + 3y − 5 = 0 i seku prave p : x−63= y 2 = z−11i q : x 3 = y−82= z+423.15 Odrediti jednačinu cilindra čije su izvodnice paralelne pravoj p : x−6y3 = z−14 , a direktrisa je parabola x2 = 2y, z = 0.2=3.16 Odrediti jednačinu cilindra opisanog oko sfere x 2 + y 2 + z 2 = 1 čije suizvodnice paralelne vektoru → a (1, 1, −2).3

3.17 Odrediti jednačinu kružnog konusa sa vrhom u V (0, 0, −1) koji dodirujesferu (x − 1) 2 + (y − 2) 2 + (z − 3) 2 = 4. Dobijenu jednačinu svesti na kanonskioblik izometrijskom transformacijom i napisati formule te trasformacije.3.18 Odrediti jednačinu kružnog konusa kome je prava o : x−y = 0, 4x−z = 0osa i kome je ravan α : x + y + z = 0 tangentna ravan.3.19 Odrediti jednačinu konusa čije je vrh tačka V (0, 1, 1), a direktrisa elipsax 2 + 3y 2 = 4, z = 0.3.20 Odrediti geometrijsko mesto tačaka jednako udaljenih od prave l : x −2y + 10 = 0, x + z + 2 = 0 i ravni α : 2x − 2y + z + 6 = 0. Dobijenu jednačinuzatim svesti na kanonski oblik izometrijskom transformacijom i napisati formulete transformacije.3.21 Izometrijskom transformacijom svesti jednačinu površi na kanonski oblikizometrijskom transformacijom:a) x 2 − 3y 2 + 4zx − 2yz = 0 (kružni konus)b) 7x 2 + 6y 2 + 5z 2 − 4yz − 4xy − 6x − 24y + 18z + 30 = 0 (elipsoid)c) 5x 2 + 8y 2 + 5z 2 + 4xy − 8xz + 4zy − 27 = 0(kružni cilindar )4