Metoda sila (3)

Naglašavamo: vrijednost prisilnoga pomaka ¯δ dolazi na desnu stranu jednadžbe—konačni pomak osnovnog sistema, čija je vrijednost jednaka zbroju s lijeve strane znakajednakosti, ne iščezava, nego mora biti jednak prisilnom pomaku.No, relativni ili apsolutni pomaci hvatišta ostalih sila X i , il, po pravcima njihovadjelovanja moraju i sada iščeznuti, pa su ostale jednadžbe neprekinutosti kao i ranijenôj1δ i,j X j δ i,00za il.Slobodni članovi δ i,0 u svim jednadžbama, iÈÖ1, n×, obuhvaćaju utjecaje zadanih opterećenjai promjena temperature.Druga je mogućnost da osnovni sistem odaberemo tako da ni jedna prekobrojna sila nedjeluje na pravcu prisilnoga pomaka u točki čiji je pomak zadan. (Ako je njezino hvatište utoj točki, tada sila ne djeluje na pravcu pomaka; ako se pak pravci sile i pomaka poklapaju,hvatište sile nije točka sa zadanim pomakom.)Na takvom osnovnom sistemu svi pomaci, i apsolutni i relativni, po pravcima raskinutihveza, moraju iščeznuti. Uvjete kompatibilnosti pomakâ izražava, prema tome, sustavjednadžbi (3) na stranici 19., s ništicama na desnim stranama svih jednadžbi. Mogući utjecajiprisilnoga pomaka ulaze sada u slobodne članove δ i,0 . Da ih odredimo, raskidanjempripadne veze osnovni sistem pretvaramo u mehanizam, crtamo dijagrame projekcija pomakâza zadani pomak i iz njih očitavamo vrijednosti ¯δ i,0 odgovarajućih pomaka hvatištasila X i koje pribrajamo ostalim vrijednostima δ i,0 , izračunatim za utjecaje opterećenjâ itemperaturnih promjena.Obje ćemo mogućnosti i oba postupka podrobnije razjasniti primjerom poznatoganam već kontinuirana nosača sa četiri ležaja. Neka je zadano slijeganje drugoga ležaja,¯δ B2 mm (slika 15.a.). Progibna je linija skicirana na slici 15.b.— to je glatka krivuljakoja prolazi točkamaÔx A , 0Õ,Ôx B , ¯δ BÕ,Ôx C , 0ÕiÔx D , 0Õ.Za osnovni ćemo sistem prvo odabrati prostu gredu koja nastaje uklanjanjem drugogai trećeg ležaja (slika 15.c.). (Znamo, nije to najpovoljniji osnovni sistem, ali razjašnjenjaradi...) Pomak ¯δ B zadan je u točki koja odgovara hvatištu prekobrojne sile X 1 , a pravac pokojem se odvija poklapa se s pravcem djelovanja te sile. Stoga je prvi uvjet kompatibilnosti,koji opisuje pomak hvatišta sile X 1 po pravcu njezina djelovanja, izražen jednadžbomδ 1,1 X 1 δ 1,2 X 2 δ 1,0¡¯δB ;na desnoj je strani uz ¯δ B negativni predznak jer zadani pomak i sila X 1 imaju suprotnismisao. Prema drugom se uvjetu kompatibilnosti hvatište sile X 2 ne smije pomaknuti popravcu njezina djelovanja pa je druga jednadžba neprekinutostiδ 2,1 X 1 δ 2,2 X 2 δ 2,00.30

a.A B C D¯δ B4 4 3xzb.¯δ Bc.X 1 X 2o. s. 1d.X 1 X 1 X 2 X 2o. s. 274,3M (1)55,4e.f.¯δ B¯δ lijevo2,0¯δdesno2,0¯δ lijevo1,0¯δ desno1,0g.1 21,2IIIh.¯δ B˜δlijevo2,0˜δ lijevo1,0˜δ desno1,0i.Slika 15.74,8M (2)56,131

Kako u zadatku osim prisilnoga pomaka nema drugih djelovanja, bit će δ 1,00 i δ 2,00,pa je konačni oblik jednadžbi neprekinutosti:δ 1,1 X 1 δ 1,2 X 2¡¯δB ,δ 2,1 X 1 δ 2,2 X 20.Uvrštavanjem koeficijenata fleksibilnosti δ i,j koje smo za odabrani osnovni sistem izračunalina stranici 15., sustav jednadžbi nakon množenja sa EI postaje23,84 X 1 17,45 X 2¡0,002 EI,17,45 X 1 17,43 X 20;njegovo je rješenje: X 1¡0,000314 EI i X 20,000314 EI.Ako je poprečni presjek grede bßh30ß60Öcm×iako je modul elastičnosti gradivaE3¤10 7 kNßm2 , tada su X 1¡50,87 i X 250,87. Momentni je dijagram prikazanna slici 15.d. Vrijednosti0ÔxÕmomenata1ÔxÕu karakterističnim točkama,1ÔxÕiznad ležajeva B i C,izračunali smo prema izrazuMÔxÕM X 1 m X 2 m 2ÔxÕX 1 m X 2 m 2ÔxÕ;dijagrame m 1 i m 2 možete pronaći na slici 10. na stranici 14. (ili na slici 14. na stranici 28.).Kako na statički odredenim nosačima prisilni pomaci ležajeva ne izazivaju unutarnje sile,M 0ÔxÕ0. Zapravo je besmisleno govoriti o utjecaju prisilnoga pomaka na odabrani osnovnisistem—u točki, koja odgovara ležaju kontinuiranoga nosača sa zadanim pomakom,osnovni sistem nema ležaja; raskinuli smo upravo tu ležajnu vezu. Tek nanošenjem silaX 1 i X 2 , i to s pravim” vrijednostima, možemo progibnu liniju protjerati” kroz zadane” ”točke.Povećamo li poprečni presjek grede na bßh30ß90Öcm×, promijenit će se vrijednostiprekobrojnih sila: X 1¡171,68 i X 2171,68, a time i vrijednosti reakcija i unutarnjihsila, posebice: M B250,7 kNm i M C¡187,1 kNm. No, kvalitativni se oblici dijagramâunutarnjih sila ne mijenjaju. Djeluju li na sistem samo različita opterećenja (koncentriranesile i momenti, distribuirana opterećenja), vrijednosti unutarnjih sila i reakcija ovise oomjerima krutostî dijelova sistema (karakteristika 2. u poglavlju Statički neodredeni nosači,str. 9.), ali ne i o konkretnim vrijednostima tih krutosti. Medutim, kao što primjer pokazuje,vrijednosti sila izazvanih prisilnim pomacima promijenit će se i pri promjeni krutosti.Isti ćemo zadatak riješiti i s pomoću osnovnoga sistema sa slike 15.e.— niza prostihgreda nad pojedinim poljima kontinuiranog nosača. Sada ni X 1 ni X 2 ne djeluju na pravcuzadanoga pomaka. Par momenata X 1 , doduše, djeluje u točki B, čiji je pomak zadan, aliparu momenata odgovara relativni zaokret, a ne translacijski pomak.Takav osnovni sistem može zadovoljiti sve ležajne uvjete, uključujući slijeganje drugogležaja (slika 15.f.). No, kao što na slici 15.b. vidimo, progibna linija kontinuiranog32

nosača glatka je i u točkama u koje smo pri oblikovanju osnovnog sistema umetnuli zglobove.Parovi momenata X 1 i X 2 moraju stoga poništiti relativne zaokrete za kutovelijevo desnolijevo desno¯δ 1,0¯δ 1,0¯δ 1,0 i ¯δ2,0¯δ 2,0¯δ 2,0 pa su jednadžbe neprekinutostiδ 1,1 X 1 δ 1,2 X 2¯δ1,00,δ 2,1 X 1 δ 2,2 X 2¡¯δ2,00.lijevo desnoObratite pozornost na predznake vrijednosti slobodnih članova—zaokreti ¯δ 1,0 i ¯δ 1,0lijevo desnoimaju isti smisao kao i momenti para X 1 , dok je smisao zaokreta ¯δ 2,0 i ¯δ 2,0 suprotanod vrtnje momenata para X 2 . (Kako nema drugih djelovanja, δ 1,0¯δ1,0 i δ 2,0¡¯δ2,0 .)lijevo desnoPrema slici 15.f., ¯δ 1,0 i ¯δ 1,0 kutovi su izmedu paralele s tangentom na progibnuliniju kontinuiranog nosača u drugom ležaju i osî prostih greda nad prvim i drugim poljemlijevo desnonakon pomaka, dok su ¯δ 2,0 i ¯δ 2,0 kutovi izmedu paralele s tangentom na progibnuliniju u trećem ležaju i osî greda nad drugim i trećim poljem. Ali, kako nam nisu poznateni progibna linija ni tangente u pojedinim njezinim točkama, na temelju slike (zapravoskice) 15.f. ne možemo odrediti kutove relativnih zaokreta ¯δ 1,0 i ¯δ 2,0 .Progibna linija osnovnog sistema, prikazana na toj slici, može se nacrtati kao dijagramvertikalnih pomakâ mehanizma s jednim stupnjem slobode, koji nastaje iz osnovnog sistemaraskidanjem veze koja sprečava zadani pomak: slike 15.g. i h. Usporedbom slika 15.f. i h.lako je vidjeti da sugdje suPrema tome:¯δ 1,0˜δlijevo1,0˜δdesno1,0 i¯δ2,0˜δlijevo2,0 ,˜δ 1,0¯δBßl lijevoAB0,002ß45,0¤10¡4 ,¯δBßl BC0,002ß45,0¤10¡4 ,˜δ desno1,0˜δ lijevo2,0¯δBßl BC0,002ß45,0¤10¡4 .¯δ 1,01,0¤10¡3i ¯δ2,05,0¤10¡4 .Te vrijednosti i vrijednosti koeficijenata fleksibilnosti koje smo izračunali na stranici 16.možemo sada uvrstiti u jednadžbe neprekinutosti; nakon množenja sa EI dobivamo8X 23 1 X 3 2 0,001 EI0,2X 73 1 X 3 2¡0,0005 EI0.Rješenja jednadžbi su X 1¡0,000462 EI i X 20,000346 EI. To su ujedno, uzuskladivanje predznaka,0ÔxÕkonačne vrijednosti1ÔxÕmomenata nad ležajevima1ÔxÕkontinuiranoga nosača—isada možemo te vrijednosti izračunati prema izrazuMÔxÕM X 1 m X 2 m 2ÔxÕX 1 m X 2 m 2ÔxÕ;33

dijagrami m 1 i m 2 na odabranom osnovnom sistemu prikazani su na slikama 11.d. i e. nastranici 16.Ako su bßh30ß60Öcm×iE3¤10 7 kNßm 2 , tada su X 1¡74,84 i X 256,05;konačni je momentni dijagram na kontinuiranu nosaču prikazan na slici 15.i. Akoli je pakbßh30ß90Öcm×, tada su X 1¡252,60 i X 2189,16. U oba se slučaja vrijednostiponešto razlikuju od vrijednostî dobivenih proračunom na osnovnom sistemu sa slike 15.c.;razlike su posljedice pogrešaka zaokruživanja u raznim koracima proračuna—izračunavanjamomenata na osnovnom sistemu, izračunavanja pomaka, rješavanja sustava jednadžbineprekinutosti, izračunavanja konačnih vrijednosti momenata.34