Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzÄ cej ... - Zsg.wroclaw.pl

Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punktodcinka o koocach: Mi NRozwiązanie 1 sposób:1.Znajdujemy współrzędne punktu S będącego środkiem odcinka MN:oraz środek2. iszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty i SyyyyyponieważOdp. Szukana prosta ma równanie:Rozwiązanie 2 sposób:Po znalezieniu współrzędnych punktu S można też skorzystad z równania kierunkowegoprostejWiadomo, że jeżeli punkt leży na prostej tzn., że spełnia jej równanie. Podstawiamy więckolejno do równania prostej współrzędne punktu P i punktu S.aaaaastądaaaaaaaaaaaaaaaPodstawiamy otrzymane wartości do równania prostejstąd

Zadanie 2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty K i L, gdzie punkt K jestpunktem przecięcia się przekątnych kwadratu ABCD o wierzchołkach:zaś punkt L punktem, w którym przecinają się prosteo wzorach: y i y .Rozwiązanie:1.Znajduję współrzędne punktu KWiadomo, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie, punkt K jest więc środkiemodcinka AC (albo BD).=2.Znajduję współrzędne punktu LWiadomo, że punkt L leży jednocześnie na obu prostych, więc spełnia równanie każdej znich. Rozwiązuje więc układ równao:yy y yy y y3. iszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty K i LyyyOdp. Szukana prosta ma równanie:Zadanie 3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punktdo prostej o równaniu yi równoległejRozwiązanie:Przekształcam równanie podanej prostej do postaci kierunkowej, aby „zobaczyd” jejwspółczynnik kierunkowy.yyyKorzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej .Z warunku równoległości wiadomo, że .Punkt P leży na prostej, więc spełnia jej równanie:więci ostateczniePodstawiam wyliczone wartości współczynników a i b do wzoru prostej i otrzymujęodpowiedź:

Zadanie 4. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt Ki prostopadłejdo prostej o równaniu yRozwiązanie:Przekształcam równanie podanej prostej do postaci kierunkowej, aby „zobaczyd” jejwspółczynnik kierunkowy.yyyKorzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej .Z warunku prostopadłości wiadomo, że stąd a stądPunkt K leży na prostej, więc spełnia jej równanie:więci ostateczniePodstawiam wyliczone wartości współczynników a i b do wzoru prostej i otrzymujęodpowiedź:Zadanie 5. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt Mi nachylonejdo osi OX pod katem 60.Rozwiązanie:Korzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej .Wiadomo, że współczynnik kierunkowy prostej a t , -kąt nachylenia prostej do osi OXPunkt M leży na prostej, więc spełnia jej równanie:więci ostateczniePodstawiam wyliczone wartości współczynników a i b do wzoru prostej i otrzymujęodpowiedź:Zadanie 6. Napisz równanie prostej zawierającej symetralną odcinka o koocachi .Rozwiązanie:Symetralna odcinka to prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jegośrodek. Korzystam z równania kierunkowego prostej:1.Wyznaczam współrzędne środka odcinka PR=2.Wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty P i R3.Symetralna jest prostopadła, więc stąd a więc4.Punkt S leży na symetralnej, więc spełnia jej równanie. Podstawiam do wzoru prostejwspółrzędne punktu S i wyliczony współczynnik kierunkowy awięci ostatecznieOdp. Prosta zawierająca symetralną odcinka PR ma wzór:

Zadanie 7. Punkty , , są wierzchołkami trójkąta ABC.a)napisz równania prostych zawierających boki trójkątab)napisz równania prostych zawierających wysokości trójkąta ABCc) napisz równania prostych zawierających środkowe trójkąta ABCd)znajdź punkt będący środkiem ciężkości trójkąta ABCRada - warto sporządzid sobie rysunek pomocniczyAd a)Zauważmy, że więc równanie prostej zawierającej bok AB ma postad .Ponadto y y więc równanie prostej zawierającej bok BC ma postadAby napisad równanie prostej zawierającej bok AC korzystam ze wzoru na równanie prostejprzechodzącej przez dwa punkty A i C:yyystądAd b) Wysokośd trójkąta wychodzi z wierzchołka i spada na bok przeciwległy pod kątemprostym.Wysokość wyprowadzona z wierzchołka A spada na bok BC. Równanie boku BC ma postad. Zatem prosta prostopadła do prostej BC i przechodząca przez punkt A ma postad:.Równanie prostej zawierającej wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka A:Wysokość wyprowadzona z wierzchołka C spada na bok AB. Równanie boku AB ma postad. Zatem prosta prostopadła do prostej AB i przechodząca przez punkt C ma postad:y y .Równanie prostej zawierającej wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka C:Wysokość wyprowadzona z wierzchołka B spada na bok AC. Równanie boku AC ma postad. Przekształcam, aby „zobaczyd” współczynnik kierunkowy prostej.yy - zatemKorzystam z równania kierunkowego prostejWysokośd jest prostopadła do boku AC zatem stąd a więcProsta zawierająca wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka B przechodzi przez punkt B,zatem punktspełnia jej równanie. Podstawiam współrzędne punktu B iwyliczony współczynnik a do wzoru prostej:więc i . OstatecznieRównanie prostej zawierającej wysokośd wyprowadzoną z wierzchołka B:

Ad c) Środkowa trójkąta wychodzi z jego wierzchołka i przecina przeciwległy bok w połowie1.Wyznaczam środki boków trójkąta ABCS- środek boku AB SL- środek boku AC LM- środek boku BC M2.Prosta zawierająca środkową wyprowadzoną z punktu A przechodzi przez punktoraz punkt MKorzystam z równania prostej przechodzącej przez dwa punkty A i MyyyyyProsta zawierająca środkową wyprowadzoną z punktu B przechodzi przez punkt, oraz punkt L , zaś prosta zawierająca środkową wyprowadzoną zpunktu C przechodzi przez punktoraz punkt SPostępujemy analogicznie.Ad c) Środek ciężkości trójkąta znajduje się w punkcie przecięcia się jego środkowych.Należy rozwiązad układ równao złożony z dwóch równao prostych zawierających dowolneśrodkowe tego trójkąta.