FAM-Lekcija 1.pdf - Univerzitet Singidunum

FINANSIJSKA I AKTUARSKAMATEMATIKAZimski semestar 2009/2010.Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinoviće-mail: mcvetinovic@singidunum.ac.rs1

Cilj predmetaetaCilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izfinansijske i aktuarske matematike. Informacije koji bi studentitrebalo da usvoje iz finansijske matematike predstavljaju osnovu zarazumevanje niza problema, kao što su: izučavanje krajnje vrednostikapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzsložen interes i obrnuto, izračunavanje početne vrednosti kapitalauvećane za složeni interes, zatim amortizacija zajma, eskontovanjemenica, i dr.Cilj modula aktuarske matematike je uvođenje, razvoj i primenatema iz aktuarske matematike fundamentalnih u oblasti osiguranjaimovine i lica. Predmet je povezan sa finansijskom matematikom,posebno sa temama iz verovatnoće ć i izračunavanjač interesa.Nakon razumevanja i ovladavanja raznim obračunima budućidiplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnihproblema i zadataka u praksi: u bankama, preduzećima,osiguravajućim kompanijama i drugim institucijama.2

Literaturaa• Literatura:– J. Rašeta, Finansijska i aktuarska matematika, Univerzitet Singidunum,2008,– J. Kočović, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet u Beogradu,2009,– J. Kočović, Aktuarske osnove formiranja tarifa u osiguranju lica,Beograd 2006– D.Vugdelija, O.Sedlak, Finansijska i akturska matematika, Subotica2008,3

Raspored predavanjaDatumLekcije22.10.2009. Uvod u finansijsku matematiku;Prost interesni (kamatni) račun29.10.2009. Primena prostog interesnog računa na finansijskom tržištu;Lombardni račun05.11.2009. Složen interesni (kamatni) račun12.11.2009. Eskont menica;Obračun potrošackih kredita19.11.2009. Efektivnost investicija;Utvrdjivanje cena finansijkih instrumenata na tržištu26.11.2009. Amortizacija zajmova03.12.2009. Kolokvijum I4

Raspored predavanja(nastavak)DatumLekcije10.12.2009. Uvod u aktuarsku matematiku17.12.2009. Matematičke osnove osiguranja24.12.2009. Obračuna tarifa za osiguranja lica03.01.2010. Obračuna tarifa za osiguranja rente10.01.2010. Obračuna tarifa za osiguranja kapitala;Osiguranje na dva života17.01.2010 Kolokvijum IIIspitni rokISPIT5

Formiranje konačne eoceneeBroj bodovaPRISUSTVO NASTAVI 10SEMINARSKI RAD 10KOLOKVIJUM I 25KOLOKVIJUM II 25ISPIT 30UKUPNO100 bodovaBodoviOCENA51 – 60 661 – 70 771 – 80 881 – 90 991 – 100 10‣Prisustvo nastavi i vežbama je obavezno‣Seminarski rad nije obavezan6

Sadržaj aj za danasas1. Uvod u finansijsku matematiku (1 čas)2. Prost interesni (kamatni) račun (2 časa)3. Vežbe (2 časa)7

Uvod u finansijsku matematikuPROCENTNI I PROMILNI RAČUNSrazmerni račun pomoću koga direktan odnosdve veličine (tekuće i bazne, dela i celine)izražavamo tako što jednu od veličina (baznu,odnosno celinu) uzimamo kao 100 odnosno1.000 jedinica i nazivamoprocentni odnosno promilni račun8

Uvod u finansijsku matematikuPođimo od sledećeg:1% = 1/100 = 0,01;6% = 6 × 1/100 = 6/100 = 0,06;1‰ = 1/1.000 = 0,001; 001;6 ‰ = 6 × 1/1.000 = 6/1.000 = 0,006.9

Uvod u finansijsku matematikuPrema ovim dogovorima odnos broja 180 i 9.000možemo prikazati ovako:180 : 9.000 = 2:100 = 0,02:1 = 2%:100%ili180 : 9.000 = 20:1.000 = 0,002:1 = 20‰:1.000‰10

Uvod u finansijsku matematikuOvaj primer možemo uopštiti.Teorema 1. Ako su date G (glavnica), p (procentna stopa) i P (procentniprinos) tada je:P : G = p : 1 G : P = 1 : p P = pG (*)11

Uvod u finansijsku matematikuUpoznajmo se sa veličinama:• G je oznaka za baznu veličinu, celinu ili tzv. čistu glavnicu;• P je oznaka za tekuću veličinu, deo ili tzv. procentni (promilni) prinos;• p je oznaka za tzv. procentnu (promilnu) stopu, i predstavlja tekućuvelicinu na 1 jedinicu bazne velicine (glavnice)[p se po želji i potrebi može prikazati u obliku s/100 ili s/1.000, patada s predstavlja prinos (tekuću veličinu) na 100 odnosno 1.000jedinica glavnice (bazne veličine)].Iz ove činjenice i dolazi naziv "procentni" odnosno "promilni" račun12

Uvod u finansijsku matematikuPrimer 1.1Ako je neka veličina porasla sa 22.000 na 24.000 dinara, odrediti:a) Koliki je procentni prinos i glavnicab) Koliki je procenat povećanja (odnosno, za koju procentnu stopu jeizvršeno povećanje)13

Uvod u finansijsku matematikuRešenje primera 1.1a)Prinos za koji se veličina povećala je P = 24.000 – 22.000 = 2.000,a glavnica je početna vrednost veličine, tj. G = 20.000b)Po Teoremi 1. je P=p*G, pa zaključujemo da je:pP= G=2.00020.000000=0,1pa je povećanje izvršeno za0,1*100=10%14

Uvod u finansijsku matematikuPrimer 1.2Koliko je39,2% od 564Rešenje:G=564p=39,2100=0,392P=p*G=0 0,392*564=221 221,08815

Uvod u finansijsku matematikuPrimer 1.3Cena kompjutera iznosi 500 evra. Kupac će za gotovinsko plaćanjeimati popust od 12,5 evra. Koliko procenata iznosi popust.Rešenje:12,5500G=500P=12,5p * 100 = *100 = 2,5%= GP16

Uvod u finansijsku matematikuTeorema 2. Veza izmedju početne vrednosti neke veličine, nove(povećane ili smanjene) vrednosti te veličine i procentne stope za kojuje izvršeno povećanje ili smanjenje početne veličineAko se početna vrednost neke veličine (glavnica G) poveća zaprocenat p, onda procentni prinos usled ovog povećanja iznosiP=p*Ga nova, (povećana) vrednost te veličine (obeležimo je sa G pov ) iznosi:G pov =G+P=G+p*G G =G*(1+p)Slično, G sma =G-P=G-p*G = G*(1-p)17

Uvod u finansijsku matematikuPrimer 1.4Kolika je nova cena od automobila od 11.000 evra ako je:a) ona povećana za 26 %b) ona smanjena za 26%Rešenjea) p=26/100=0,26Na osnovu T.2. je: G pov =G*(1+p)=11.000*(1+0,26)=11.000*1,26=13.860b) Slično, G sma =G*(1-p)=11 G(1p) 11.000*(1-0 0,26) 26)=11.000*0,74=8.14018

Uvod u finansijsku matematikuTeorema T.2 se može proširiti i na višeetapna povećanja iumanjenja, i to:G pov =G*(1+p 1 )*(1+p )( 2 )*……. *(1+p n )G sma =G*(1-p 1 )*(1-p 2 )*……. *(1-p n )Primer 1.5Cena automobila od 11.000 evra je u toku odredjenog periodapovećana ć 3 puta, i to: 5%, 12% i 10%.a) Kolika je nova cena automobilab) Za koliko je ukupno procenata izvršeno povećanje osnovne cene19

Uvod u finansijsku matematikuRešenjea) Na osnovu proširene T.2 nova cena automobila je:G pov =11.000*1,05*1,12*1,10 = 14.229,60 evrab) Kako je 1,05*1,12*1,10 = 1,2936 zaključujemo da je u toku periodapočetna cena ukupno povećana za 29,36%.Važno: Obratiti pažnju da ukupno povećanje procenata nije ukupni zbirprocenata!20

Uvod u finansijsku matematiku• Proporcija (*) iz Teoreme 1. služi za tzv. procentni (promilni), računod sto (hiljadu) jer pretpostavlja p rad sa tzv. čistom glavnicom.• Medutim, u praksi se javljaju i slučajevi kada je data ili sepretpostavlja glavnica zajedno sa prinosom ili glavnica po odbitkuprinosa. Za takve slučajeve jednostavno formiramo izvedeneproporcije, polazei od (*) poznate pod nazivomproporcije za procentni (promilni) račun više i niže sto (hiljadu).21

Uvod u finansijsku matematikuProporcije za procentni (promilni) račun više i niže sto (hiljadu):Iz G: P= 1: psledi:(G ± P) : (1 ± p) = P : p (G ± P) : (1 ± p) = G:1P=p(G +P)(G G +P)G =1+p1 + pP=p(G − P)1−pG( G − P)= 1 − p22

Uvod u finansijsku matematikuPrimer 1.6Cena stana posle poskupljenja od 10% je 50.000000 evra. Koliko jeiznosila cena pre poskupljenja?Rešenje(G + P))50.000000G+P=50.000 G = =p=0,1G=?1+p1+0,1=45.45423

Uvod u finansijsku matematikuPrimer 1.7Plan proizvodnje voća je prebačen za 25% i nakon povećanja iznosi30.000 kg. Za koliko kilograma je prebačen plan proizvodnjeRešenje(G + P)*p30.000*0,2000*0p=0,2 P ==G+P=30.000P=?1+p1+0,2=5.00024

Prost interesni es (kamatni) at računPojam interesa i kapitalisanja• Koja je razlika izmedju procentnog i interesnog računa?Interesni račun uključuje još jednu veličinu - VREME• Interesni račun č se koristi u poslovima regulisanja kreditnih ih odnosakoji nastaju izmedu dužnika i poverioca• Interes ili kamata je naknada koju dužnik placa poveriocu zakorišcenje pozajmljenog novca na odredeno vreme. Interes se možeobracunavati dekurzivno i anticipativno.25

Prost interesni es (kamatni) at računPojam interesa i kapitalisanja• Dekurzivno obračunavanje interesa se obavlja krajem perioda, zaprotekli period (unazad), na raniju (diskontovanu) vrednost, kaočistu glavnicu, pa je stoga kasnija (ukamaćena) vrednost uvećanaglavnica.• Odnos ranije i kasnije vrednosti pri dekurzivnom obracunavanjuinteresa možemo, u svrhu boljeg razumevanja, šematski prikazatina tzv. vremenskoj liniji kojom predstavljamo samo jedanobračunski period (Slika 1.1).26

Prost interesni es (kamatni) at računPojam interesa i kapitalisanjagde su:G – glavnicaI - Interes ili kamataG+ I – glavnica uvećana za kamatuSlika 1.127

Prost interesni es (kamatni) at računPojam interesa i kapitalisanja• Anticipativno obračunavanje interesa se obavlja početkomperioda, za period unapred, na kasniju vrednost kao čistu glavnicu,pa je stoga ranija vrednost umanjena glavnica (Slika 1.2).28

Prost interesni es (kamatni) at računPojam interesa i kapitalisanjagde su:G – glavnicaI - Interes ili kamataG- I – glavnica umanjena za kamatuSlika 1.229

Prost interesni es (kamatni) at računPojam interesa i kapitalisanja• Kada je reč o dužnicko–poverilačkim odnosima izmedu privrednih idrugih subjekata treba reći da se kamata obračunava u odredenimvremenskim intervalima (npr. godišnje) ili po isteku periodakamaćenja koji je ugovoren.• Kamata se, zavisno od propisa ili dogovora, po obračunu iliisplaćuje posebno u dogovorenom roku ili se pripisuje glavnici radidaljeg kamaćenja.• Postupak obračuna kamate i njenog pripisivanja glavnici naziva sekapitalisanje.30

Prost interesni es (kamatni) at računPojam interesa i kapitalisanja• Oblast matematike koja za predmet izučavanja ima interesni račun imodalitete njegove primene nazivamo finansijska matematika.• Zadatak finansijske matematike nije odredivanje uslovauspostavljanja dužnicko–poverilačkih odnosa, već korektnomatematičko rešavanje problema nastalih u ugovorenim ili zakonskiuspostavljenim dužnicko–poverilackim odnosima.31

Prost interesni es (kamatni) at računProst interes• Interes koji se svakog perioda računa na istu glavnicu je konstantnaveličina i naziva se prost interes.• Kod procentnog računa imamo proporcijuG : P = 1 : p ili G:P=100:p• Kod prostog interesnog računa ako je vreme (t) dato u godinama, taproporcija će bitiK : I = 1 : pggde je: K – kapital ili glavnicaI – interes ili kamatap- interesna (kamatna stopa)g- vreme dato u godinama32

Prost interesni es (kamatni) at računIzračunavanje interesaNajprostiji slučajKoliki će interes doneti kapital od K dinara za 1 godinu iz interesnustopu p%K: I = 1:pgimaćemo da jeI = KpgAko je g=1I=Kp33

Prost interesni es (kamatni) at računIzračunavanje interesa• Kako dobijamo interes za 1 mesecI=Kp:12• Kako dobijamo interes za m meseciI = Kpm:12• Kako dobijamo interes za 1 danI = Kp:360 ili I = Kp:365• Kako dobijamo interes za d danaI = Kpd:360 ili I = Kpd:36534

Prost interesni es (kamatni) at računIzračunavanje interesaDani se računaju na 3 načina:• (30,360)• (k,360)• (k,365)Prilikom računanja broja dana po kalendaru, prvi dan se ne uzima uobzir a zadnji se računa35

Prost interesni es (kamatni) at računIzračunavanje interesaKada je vreme dato u danima (dakle vreme računanja interesa kraće od1 godine) interes se računa pomoću kamatnog broja i divizora.AkouformuliI =Kpd360i brojilac i imenilac podelimo sa p, dobijamoI=Kpd /360 /ppodnosnoI =KdDgde je Kd kamatni broj, a 360/p kamatni ključ ili divizor (D)36

Prost interesni es (kamatni) at računIzračunavanje interesaPrimer 2.1Koliko godina mora biti uložen iznos od K dinara uz 8% kamatnustopu pa da interes poraste na dvostruki iznos uloga?Rešenje2K = I2K = K*0,08*g08*gg = 2537

Prost interesni es (kamatni) at računIzračunavanje interesaPrimer 2.2Početna vrednost kapitala je 5.000 evra i on je uložen 120 dana uzprost interes od 7,2%. Izračunati uvećani kapital.Rešenjet = 120/360 = 1/3K 1 = 5.000 (1+0,072/3)=5.000072/3) 000 (1+0,024)=5.120024) 12038

Prost interesni es (kamatni) at računInteresni račun od 100, u 100 i na 100• Od 100U zavisnosti da li je vreme dato u god, mes. ili danima:K:I=1:pg; K:I=12:pm K:I=360:pd• U 100Koristi se osobina proporcijeAko je vreme dato u godinama(K-I):(1-pg)=K:1(K-I):(1-pg)=I:pg39

Prost interesni es (kamatni) at računInteresni račun od 100, u 100 i na 100• U 100Slično, ako je vreme dato u mesecima(K-I):(12-pm)=K:12(K-I):(12-pm)=I:pmi ako je vreme dato u danima(K-I):(360-pd)=K:360(K-I):(360-pd)=I:pdIz ovih proporcija se mogu odrediti nepoznati članovi40

Prost interesni es (kamatni) at računInteresni račun od 100, u 100 i na 100• Na 100(K+I):(1+pg)=K:1(K+I):(1+pg)=I:pg(K+I):(12+pm)=K:12(K+I):(12+pm)=I:pm(K+I):(360+pd)=K:360(K+I):(360+pd)=I:pdIz ovih proporcija se mogu odrediti nepoznati članovi41

Prost interesni es (kamatni) at računInteresni račun od 100, u 100 i na 100Primer 2.3Koliki je interes na pozajmljeni iznos od 75.000 dinara za 9 meseciuz kamatnu stopu od 6%?RešenjeI=K*p*m/12I=75.000*9*0,06/1206/12I=3.37542

Prost interesni es (kamatni) at računInteresni račun od 100, u 100 i na 100Primer 2.4Izračunati kapital na koji je izračunat interes od 580 evra po stopi od5% za vreme od 25 danaRešenjeAko koristimo (k,360):K=360*5800,05*25= 167.04043

Prost interesni es (kamatni) at računInteresni račun od 100, u 100 i na 100Primer 2.5Po odbitku interesa za 4 meseca dužnik je primio 152.500 dinara.Izračunati koliki su dug i interes, ako je interesna stopa 5%.Rešenje(K-I):(12-pm)=I:pm(K −I) pm152 .500* 0,0505 * 4I ==12 − pm 12 − 0,05 * 4=2.584 .75K-I=152.500 => K-2.584,75=152.500 => K=155.084,7544

Prost interesni es (kamatni) at računInteresni račun od 100, u 100 i na 100Primer 2.6Banka je 15.05.2009. odobrila zajam, a 26.06.2009. dužnik je vratiodug uvećan za interes i ukupno platio 75.200 evra. Odrediti visinuzajma, ako je interesna stopa 4%. Pretpostaviti (k,360).RešenjeK+I=75.200( K + I ) * 360K =p=4%360 +p * dd=16+26=4275 .200 * 360K =K=?360 + 0,04 * 42K =74 .850 ,7045

Prost interesni es (kamatni) at računSrednji rok plaćanjaDefinicijaK 1 , K 2 .., K n (obaveze dužnika)d 1 , d 2 .., d n (dani posle kojih dospevaju obaveze)p 1 , p 2 .., p n (interesne stope)Zbir interesa je jednak jednom interesu računatom na zbiru obaveza uzsrednju stopu p s i srednje vreme d s .K p1d1 K 2 p2d2 Knpndn( K 1 + K 2 + ... + K+ + .... + =3603603603601 n)s spd46

Prost interesni es (kamatni) at računSrednji rok plaćanjaDefinicijaK 1 , K 2 .., K n (obaveze dužnika)d 1 , d 2 .., d n (dani posle kojih dospevaju obaveze)p 1 , p 2 .., p n (interesne stope)Zbir interesa je jednak jednom interesu računatom na zbiru obaveza uzsrednju stopu p s i srednje vreme d s .K p1d1 K 2 p2d2 Knpndn( K 1 + K 2 + ... + K+ + .... + =3603603603601 n)s spd47

Prost interesni es (kamatni) at računSrednji rok plaćanja3 slučaja1. Obaveze dužnika su jednake, interesne stope su jednake a danidospeća su različiti2. Obaveze su različite, stope jednake i dani različiti3. Obaveze su različite, stope različite i dani različiti48

Prost interesni es (kamatni) at računSrednji rok plaćanja1. slučaj2. slučaj nds=dd( 1 + 2 + ... +dn)ds=K1d1K+1 +K 2dK 22 + ... + Kndn+ ... +Kn3. slučajds=K1p1d1 + K 2 p2d2 + ... +( K 1 +K2 + ... + K) pKn psKnpndn49

Prost interesni es (kamatni) at računSrednji rok plaćanjaPrimer 3.1Preduzeće treba da plati sledeće iznose:3.000 evra 12.05.3.000 evra 31.05.3.000 evra 16.05.uz interesnu stopu od 12%.Kada se može ceo dug platiti odjednom a da se pritom ne ošteti nidužnik a ni poverilac50

Prost interesni es (kamatni) at računSrednji rok plaćanjaRešenjeK 1 = K 2 = K 3 = 3.000p 1 =p=p=0122 = p 3 = 0,12d 1 =0, d 2 =19 , d 3 = 65ds=( d1+ d2+d3)(0+19+65)=33=2851

PITANJA?52