Teoria miary. Przegląd zagadnień

Krzysztof RykaczewskiTeoria miaryPrzegląd zagadnieńmozgun@mat.uni.torun.plhttp://www.mat.uni.torun.pl/˜mozgun/Nicolaus Copernicus University2007

SPIS TREŚCISpis treści 11 Podstawy 11.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Miara zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Miary skończone i nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Zupełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Przykłady miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Produkty miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Miara Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Własności „prawie wszędzie” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 Podstawy teorii całki (Lebesgue’a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.11 Zbiory niemierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.12 Rozszerzenia pojęcia miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Bibliografia 17Skorowidz 181

StreszczenieDokument ten ma służyć jako streszczenie (bez dowodów) podstawowych zagadnień występującychw teorii miary. Jest on zaplanowany na jeden wykład, ale mam nadzieję kiedyś (przy jakiejś sposobności)go poszerzyć.Podamy definicję σ-ciała, miary oraz podstawowe fakty z jej teorii. W kolejnych sekcjach skoncentrujemysię na mierze Lebesgue’a oraz podamy definicję całki Lebesgue’a. Podamy też przykłady zbiorówniemierzalnych.Skrypt ten jest pomyślany jako przegląd zagadnień dla studentów I-szego roku matematyki.Chciałbym podziękować M. Karpiczowi za wnikliwe przeczytanie dokumentu, skomentowanie go, poprawieniebłędów oraz liczne wskazówski. Podziękowania należą się też Z. Błaszczykowi za inspirację donapisania tej pracy.Krzysztof RykaczewskiToruń, 9 listopada 2007

ROZDZIAŁ 1PODSTAWY1.1 WstępW matematyce miara jest uogólnieniem takich rzeczy jak długość, powierzchnia i objętość. Dlategomiara może być czasami interpretowana jako wielkość fizyczna. Głównym zastosowaniem miary jestzdefiniowanie całki, która jest w sposób nierozdzielny związana z miarą. Takie uogólnione definicje całekpojawiają się np. w teorii prawdopodobieństwa i analizie matematycznej. W analizie matematycznejteoria miary stała się podstawą nowoczesnego rozumienia pojęcia całki od roku 1902 r., kiedy to HenriLebesgue zaproponował swoją konstrukcję całki opartej na pojęciu miary.Intuicja podpowiada, że miarą zbioru otwartego (a, b) można nazwać liczbę b − a. Ogólnie miaręodcinka I będziemy oznaczać przez |I|. Jeśli jest to zbiór pusty, to oczywiście jesgo miara wynosi 0.Wiadomo, że każdy zbiór otwarty zawarty w R jest sumą co najwyżej przeliczalnej mnogości przedziałówotwartych. Stąd każdy otwarty podzbiór G ⊂ R można przedstawić w postaciG =∞⋃I n , I i ∩ I j = ∅ dla i ≠ j, (1.1)gdzie I i są przedziałami otwartymi w R. Miarę tego zbioru określamy jakon=0|G| =∞∑|I n |, (1.2)jeśli ten szereg jest zbieżny; w przeciwnym przypadku powiemy, że G ma miarę nieskończoną.n=0Powstaje pytanie: czy istnieje funkcja (miara) określona na każdym podzbiorze prostej R o wartościachnieujemnych, która by dodatkowo spełniała warunki:1. µ(∅) = 0,2. µ (A ∩ B) = µ(A) + µ(B), dla dowolnych i rozłącznych podzbiorów A, B prostej R.1

Krzysztof RykaczewskiOkazuje się, że takiej funkcji nie ma. I problem nie tkwi w tym, że za dużo zakładamy od takiej funkcji(popatrzmy, że musi ona spełnić tylko dość elementarne warunki 1. i 2.). Problem w tym, że dla zbyt dużejklasy zbiorów chcemy aby była ona określona, tj. dla każdego podzbioru prostej R. Rodzina podzbiorów,na których może być zdefiniowana miara musi spełniać pewne warunki (mówimy, że musi być σ-algebrą,σ-ciałem).Definicja 1.1.1. Niech X będzie zbiorem. Wtedy σ-ciałem nazywamy taką rodzinę M podzbiorów X, któraspełnia następujące warunki:1. ∅ ∈ M,2. jeśli A ∈ M, to X \ A ∈ M,3. Jeśli A 1 , A 2 , . . . ∈ M jest rodziną zbiorów mierzalnych, to ⋃ ∞i=1 A i (w przypadku, gdy ta własnośćzachodzi dla skończonej ilości zbiorów mówimy o ciele zbiorów).Zbiory z rodziny M nazywamy zbiorami mierzalnymi, a parę (X, M) przestrzenią mierzalną.Uwaga 1.1.1. Ponieważ każde σ-ciało jest zamknięte na przekroje przeliczalne, to przekrój dowolnejrodziny σ-ciał na X jest znów σ-ciałem zbiorów. Dowodzi się, że dla dowolnej rodziny A podzbiorów zbioruX istnieje najmniejsze σ-ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywa się je σ-ciałemgenerowanym przez tę rodzinę i oznacza symbolem σ(A) bądź 〈A〉. Niech F będzie σ-ciałem podzbiorówX, a I będzie σ-ideałem podzbiorów X. Wówczas σ-ciałem generowanym przez F ∪ I jest zbiórgdzie △ oznacza operację różnicy symetrycznej.σ(F ∪ I) = {A△B: A ∈ F oraz B ∈ I} ,Przykład 1.1.1. Rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru X jest najmniejszym σ-ciałem określonymna X.Najmniejszą σ-algebrę podzbiorów R zawierającą zbiory otwarte nazywamy σ-algebrą zbiorów borelowskich.Oznaczamy ją B.Niech K będzie σ-ideałem zbiorów pierwszej kategorii (w sensie Baire’a). Wówczasjest σ-ciałem zbiorów o własności Baire’a.Ćwiczenie 1.1.1. Udowodnić:σ(B ∪ K) = {O△K: K ∈ K oraz O jest zbiorem otwartym}1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Wtedy (X, 2 X ) jest przestrzenią mierzalną.2. B jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą zbiory domknięte.3. Czy zbiory Q oraz R \ Q są mierzalne?Ćwiczenie 1.1.2. Jeśli A i B są mierzalne, to A ∩ B jest mierzalny. Ogólnie: skończone iloczyny niewyprowadzają nas poza rodzinę M.Hint. Skorzystać z relacji na zbiorach.Definicja 1.1.2. Formalnie miarą nazywamy funkcję µ: M → [0, +∞) ∪ {+∞} =: R + zdefiniowaną naσ-algebrze podzbiorów zbioru X spełniającą warunki:Podstawy teorii miary, 2007 2

Krzysztof Rykaczewski1. µ(∅) = 0,2. σ-addytywność, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozłącznych zbiorów E 1 , E 2 , E 3 , . . . ∈ M (czyli E i ∩E j =∅ dla i ≠ j) mamy( ∞)⋃∞∑µ E i = µ(E i ). (1.3)i=1Uwaga 1.1.2. Zauważmy, że wtedy szereg ∑ ∞i=1 µ(E i) jest bezwzględnie zbieżny (ćwiczenie).Jeśli miara przyjmuje wartości nie większe niż 1, to mówimy, że mamy do czynienia z miarą unormowaną.Miarą probabilistyczną nazywamy taką miarę, że µ(X) = 1. Przestrzenią probabilistyczną nazywamyprzestrzeń z miarą probabilistyczną.Przestrzenią z miarą nazywamy trójkę (X, M, µ).Początkowo warunek drugi w definicji był warunkiem skończonej addytywności, tzn. dla każdej rozłączneji skończonej rodziny zbiorów E 1 , E 2 , E 3 , . . . , E n zachodzi( n)⋃n∑µ E i = µ(E i ), (1.4)i=1jednak warunek ten nie okazał się przydatny w zastosowaniach (zobacz miara Jordana - przykład 7).Poprawę warunku 3 w definicji miary zawdzięczamy Borelowi. Zauważmy, że jeśli µ jest przeliczalnieaddytywna, to jest addytywna, czyli ta druga klasa okazała się większa (nawet za duża dla dobrej teorii!).i=1i=11.2 WłasnościNasępujące własności mogą być bezpośrednio wyprowadzone z definicji miary.1. (Monotoniczność) Jeśli E 1 ⊂ E 2 będą zbiorami mierzalnymi, to µ(E 1 ) µ(E 2 ).2. (σ-podaddytywność) Jeśli E 1 , E 2 , E 3 , . . . są zbiorami mierzalnymi, to( ∞)⋃∞∑µ E i µ(E i ). (1.5)i=1i=13. Jeśli µ(B) < ∞, oraz A ⊂ B, to µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).4. (Ciągłość z dołu) Jeśli E 1 , E 2 , E 3 , . . . są zbiorami mierzalnymi oraz dla każdego n ∈ N zachodziE n ⊂ E n+1 , to( ∞)⋃µ E i = lim µ(E i ). (1.6)i→∞i=15. (Ciągłość z góry) Jeśli E 1 , E 2 , E 3 , . . . są zbiorami mierzalnymi, dla każdego n ∈ N zachodzi E n ⊃E n+1 oraz dla pewnego n 0 miara E n0 jest skończona, to( ∞)⋂µ E i = lim µ(E i ). (1.7)i→∞i=1Uwaga 1.2.1. Własność 4 nie zachodzi, jeśli wszystkie zbiory są miary nieskończonej. Istotnie, oznaczmyE n := [n, +∞) ⊂ R. Wtedy ⋂ ∞i=1 E i = ∅, ale lim i→∞ µ(E i ) = +∞.Podstawy teorii miary, 2007 3

Krzysztof Rykaczewski1.3 Miara zewnętrznaDefinicja 1.3.1. Miarą zewnętrzną określoną na podzbiorah zbioru X nazywamy funkcję µ ∗ : 2 X → R +spełniającą warunki:1. µ ∗ (∅) = 0,2. jeśli A ⊂ B, to µ ∗ (A) µ ∗ (B),3. jeśli A 1 , A 2 , . . . ⊂ X, to( ∞)⋃∞∑µ ∗ A n µ ∗ (A n ). (1.8)n=0n=0Bardzo ważnym jest następująceTwierdzenie 1.3.1. (Carathéodory’ego) Jeśli µ ∗ jest miarą zewnętrzną określoną na podzbiorach X, tozbiórF µ ∗ = { A ⊂ X : dla każdego E ⊂ X zachodzi µ ∗ (E) = µ ∗ (E ∩ A) + µ ∗ (E ∩ A C ) } (1.9)jest σ-ciałem, a µ ∗ | Fµ ∗jest miarą (tzn. (X, F µ ∗, µ ∗ ) jest przestrzenią mierzalną).Przykład 1.3.1. Istnieją metody konstrukcji miar zewnętrznych.Niech X będzie zbiorem, C dowolną rodziną podzbiorów X (zawierającą zbiór pusty) oraz p: C → R +taką, że p(∅) = 0. Wtedy (ćwiczenie){ ∞}∑∞⋃ϕ(E) = inf p(A i ) : E ⊂ A i , oraz A i ∈ C dla każdego i ∈ N(1.10)jest miarą zewnętrzną na X.i=1Ćwiczenie 1.3.1. Niech X = N oraz µ ∗ : 2 N → R + dana będzie wzoremi=1µ ∗ (A) =gdzie przyjmujemy, że sup ∅ = inf ∅ = 0. Wtedy µ ∗ jest miarą zewnętrzną.sup A − inf A, (1.11)21.4 Miary skończone i nieskończoneDefinicja 1.4.1. Przestrzeń (X, M, µ) nazywamy skończoną, jeśli µ(X) jest skończona. Jeśli tak nie jest,to przestrzeń tę nazywamy nieskończoną.Przestrzeń (X, M, µ) nazywamy σ-skończoną, jeśli X = ⋃ ∞i=1 E i oraz dla każdego n ∈ N miara E n jestskończona (tzn. µ(E n ) < +∞).Uwaga 1.4.1. Przestrzeń (R, L, l) jest przestrzenią σ-skończoną, ale nie skończoną (patrz sekcja 1.8).Składniki sumy, które występują w definicji przestrzeni σ-skończonej są postaci [k, k + 1]. Ogólnie każdamiara Lebesgue’a jest σ-skończona.Zachodzi ogólny fakt. Jeśli w R weźmiemy inną miarę, np. liczącą liczbę punktów, to zbiór R z takwybraną miarą nie jest ani przestrzenią skończoną, ani σ-skończoną.Podstawy teorii miary, 2007 4

Krzysztof Rykaczewski1.5 ZupełnośćDefinicja 1.5.1. Zbiór A nazywamy µ-zerowym, o ile istnieje zbiór mierzalny B taki, że A ⊂ B orazµ(B) = 0. O takich zbiorach mówi się, że są pomijalne.Uwaga 1.5.1. Zauważmy, że zbiory µ-zerowe nie muszą być mierzalne. Jeśli w przestrzeni X wszystkiezbiory µ-zerowe są mierzalne, to X nazywamy zupełną.Każda przestrzeń z miarą może być rozszerzona do przestrzeni zupełnej biorąc zamiast M najmniejszeσ-ciało M ′ zawierające wszystkie elementy σ-ciała M i zbiory µ-zerowe. Dowodzi się, że wszystkieelementy M ′ są postaciA = B △ C := (B \ C) ∪ (C \ B), (1.12)gdzie B ∈ M oraz C jest zbiorem µ-zerowym.Przyjmuje się wtedy, że µ(A) = µ(B). ZachodziFakt 1.5.1. (Ćwiczenie) Trójka (X, M ′ , µ) jest przestrzenią z miarą zupełną, tzn.1. M ′ jesy σ-algebrą, 2. µ jest miarą na (X, M ′ ), 3. µ jest miarą zupełną.1.6 Przykłady miarPrzykład 1.6.1. Przykłady miar:1. Miara licząca elementy zbioru, tzn. µ(S) = #S.2. Miara Lebesgue’a; jest jedyną przesuwalną miarą (tzn. µ(A + x) = µ(A) dla każdego A ∈ L orazx ∈ R) określoną na R taką, że µ ( [0, 1] ) = 1.3. Miara kąta; jest niezmiennicza ze względu na obrót o 2πk, dla k ∈ Z.4. Miara Haara jest określona na lokalnie zwartych grupach topologicznych, ma podobną własnośćjedyności co miara Lebesgue’a; mianowicie, jest to jedyna miara (z dokładnością do stałej multiplikatywnej),która jest niezmienna ze względu na lewe przesunięcia zbiorów borelowskich B(G) wgrupie G (najmniejszą σ-algebrę generowaną prze zbiory otwarte w G) oraz taka, że µ(U) > 0 jeśliU jest niepusty. Oto szkic konstrukcji:Twierdzenie 1.6.1. Niech G jest grupą topologiczną lokalnie zwartą. Istnieją wtedy miary µ, ν: B(G) →R taka, że(a) (lewostronna niezienniczość) µ(l g B) = µ(B); gdzie g ∈ G, B ∈ B(G), l g : G → G oznaczalewostronne przesunięcie, tzn. l g (h) = gh dla każdego h ∈ G,(b) dla U ⊂ G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że µ(U) > 0,oraz(a) (prawostronna niezienniczość) ν(r g B) = ν(B); gdzie g ∈ G, B ∈ B(G), r g : G → G oznaczaprawostronne przesunięcie (definicja analogiczna do lewostronnego przesunięcia),(b) dla U ⊂ G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że ν(U) > 0.Następnie miarę tę przenosi się na klasę zbiorów zwartych za pomocą lematu:Podstawy teorii miary, 2007 5

Krzysztof RykaczewskiLemat 1.6.1. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a K(X) klasą wszystkich podzbiorów zwartychw X oraz niech λ: K(X) → R będzie taka, że(a) 0 λ(C) < +∞,(b) dla C ⊂ D mamy λ(C) λ(D),(c) λ(C ∪ D) λ(C) + λ(D),(d) C ∩ D = ∅, to λ(C ∪ D) = λ(C) + λ(D),dla C, D ∈ K(X). Wtedy funkcja µ: B(X) → R zdefiniowana wzorem µ(B) := sup{λ(C) : C ⊂ B} dlaB ∈ B(X) jest miarą.Pytanie jest więc tylko o określenie miary na zbiorach zwartych. To jest jednak inna bajka :-),5. Miara probabilistyczna: niech Ω = {w 1 , w 2 , . . .}, oraz niech p 1 , p 2 , . . . 0; wtedyµ(A) :=∑p i , dla A ⊂ Ω, (1.13)jest miarą σ-skończoną.{i: w i ∈A}6. Miara Diraca δ a (miara skupiona w jednym punkcie) jest określona wzorem: δ a (S) = χ S (a), gdzieχ S jest funkcją charakterystyczną zbioru S. Miara ta jest równa 1, jeśli element a należy do zbioruS, oraz 0 w przeciwnym przypadku.7. Miara Jordana: Najpierw definiujemy miarę dowolnego prostokąta (standardowo). Dowodzi się później,że każdy ograniczony podzbiór R 2 można od zewnątrz i od wewnątrz przybliżać za pomocąskończonej ilości prostokóątów.Oznaczmy M(B) = inf{µ J (N) : N ⊃ B, N — skończona rodzina prostokątów}, m(B) = sup{µ J (N) :N ⊂ B, N — skończona rodzina prostokątów}, gdzie µ j to suma miar prostokątów z rodziny N.Oczywiście M(B) m(B). Liczby te nazywamy odpowiednio zewnętrzną i wewnętrzną miarą Jordanazbioru B. Jeśli obie te miary pokrywają się, to mówimy, że zbiór ten jest mierzalny w sensieJordana.Pytanie, które pojawia się od razu: czy każdy zbiór ograniczony na płaszczyznie jest mierzalnyw sensie Jordana? Odpowiedź jest negatywna. Istotnie, weźmy dowolny kwadrat. Podzielimy gona cztery przystajźce kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierzchołki. Następnie każdy z powstałychkwadratów ponownie podzielimy na cztery przystające kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierzchołki.Proces kontynuujmy. Zbiór który pozostanie oznaczmy przez A. Nietrudno zauważyć, żem(A) = 0 ≠ 1 = M(A). A zatem zbiór A nie jest mierzalny w sensie Jordana.Miara ta ma własność skończonej addytywności (ale nie σ-addytywności). Jako zadanie możnapotraktować następującePodstawy teorii miary, 2007 6

Krzysztof RykaczewskiTwierdzenie 1.6.2. Ograniczony podzbiór R 2 jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy,gdy jego brzeg jest zborem miary 0 (w sensie Jordana).1.7 Produkty miarZałóżmy, że mamy układ przestrzeni mierzalnych (X i , M i ), dla i = 1, . . . , n. Najmniejsze σ-ciałopodzbiorów produktu ∏ ni=1 X i zawierające wszystkie zbiory A postaci ∏ ni=1 A i, gdzie A i ∈ M i , dlai = 1, . . . , n, nazywamy produktem σ-ciał M 1 , . . . , M n i oznaczamy symbolemn⊗M i lub M 1 ⊗ . . . ⊗ M n . (1.14)i=1Równoważna charkateryzacja tego σ-ciała jest taka, że jest to najmniejsze σ-ciało zaierające produkt∏ ni=1 M i.Przykład 1.7.1. Jeśli B jest σ-ciałem zbiorów borelowskich na R, to B ⊗ B jest σ-ciałem zbiorów borelowskichna płaszczyźnie R 2 . Oznaczamy je czasem B 2 .Twierdzenie 1.7.1. Jeśli M i jest σ-ciałem podzbiorów X i oraz µ i jest miarą określoną na tym σ-ciele,dla i = 1, . . . , n, to istnieje jedna i tylko jedna miara µ określona na produkcie M 1 ⊗ . . . ⊗ M n taka, żeµ(A 1 × . . . × A n ) = µ 1 (A 1 ) · . . . · µ n (A n ), (1.15)gdzie A i ∈ M i , dla i = 1, . . . , n. Miarę tę nazywamy produktem miar µ 1 , . . . , µ n .Uwaga 1.7.1. Ponieważ nie wszystkie elementy produktu σ-ciał są postaci ∏ ni=1 A i, więc miara z tezypowyższego twierdzenia nie musi być zupełna, jeśli nawet wszystkie miary µ 1 , . . . , µ n są!1.8 Miara Lebesgue’aJednak, ze względu na to iż miara Jordana nie potrafi mierzyć zbiorów nawet tak prostych w swojejbudowie jak powyżej opisany „kwadrat z dziurami” musimy szukac „lepszej” funkcji. Wprowadzimy zatempojęcie miary Lebesgue’a, a następnie ściśle z nim związane pojęcie całki Lebesgue’a. Miara Lebesgue’abędzie już mierzyła zbiory choćby tak proste w swojej budowie jak opisany powyżej „kwadrat z dziurami”,czy wiekszość zbiorów nieograniczonych.W tym celu określmy:1. S = {(a, b] : a < b, a, b ∈ R} ∪ {∅},( )2. l 0 : S → R + wzorem l 0 (a, b] := b − a,3. oraz l ∗ : B → R + daną wzorem l ∗ (E) := inf { ∑ ∞i=1 l (0 (ai , b i ] ) : E ⊂ ⋃ ∞i=1 (a i, b i ] } .Widzieliśmy już w przykładzie 1.3.1, że jest to miara zewnętrzna. Korzystamy z twierdzenia Carathéodory’ego.Definicja 1.8.1. Definiujemy miarę Lebesgue’a na R jakol := l ∗ | Bl ∗ . (1.16)Zbiory L := B l ∗nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a.Podstawy teorii miary, 2007 7

Krzysztof RykaczewskiUwaga 1.8.1. Wszystkie zbiory borelowskie są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a.Przestrzeń (R, B l ∗, l ∗ ) jest uzupełnieniem przestrzeni (R, B, l).Uwaga 1.8.2. Istnieje zbiór mocy continuum i mierze Lebesgue’a równej zero (jest to zbiór C Cantora).Stąd (skoro miara Lebesgue’a jest zupełna) każdy podzbiór C jest zbiorem miary zero. Tak więc zbiorówmierzalnych w sensie Lebesgue’a jest 2 c .Mamy natomiast B B l ∗!Teraz mozna ponowić pytanie: czy każdy podzbiór płaszczyzny (niekoniecznie ograniczony) jest mierzalnyw sensie Lebesgue’a? Odpowiedź znowu jest negatywna, a przykładem może być chociażby zbiór V × V,gdzie V to przedstawiony poniżej zbiór Vitaliego.Przewaga miary Lebesgue’a nad miarą Jordana jest duża. Wspomniany powyżej i nie mierzalny wsensie Lebesgue’a zbiór V × V, to zbiór, na który w normalnym uprawianiu matematyki raczej natknaćsię nie można.1.8.1 Miara RadonaMiara Lebesgue’a jest szczególnym rodzajem miary Radona, której podamy tu krótką definicję. Ograniczymysię do przestrzeni R n , choć rozważania bez trudu mogą być przeniesione do dowolnej przestrzenilokalnie zwartej.Mówimy, że µ: M → [0, +∞) jest miarą Radona, jeśli spełnione są następujące warunki:1. każdy zbiór zwarty K ma miarę skończoną (µ(K) < ∞),2. dla każdego zbioru otwartego U zachodzi3. dla dowolnego zbioru E ∈ M zachodziµ(U) = sup{µ(K) : K ⊂ U, K - zwarty}, (1.17)µ(E) = inf{µ(U) : U ⊃ E, U - otwarty}. (1.18)1.9 Własności „prawie wszędzie”W teorii miary i całki mówimy, ze pewna własność W zachodzi prawie wszędzie (µ-prawie wszędzie) nazbiorze X, jeśli istnieje zbiór miary µ zero, o tej własności, że własność W zachodzi poza nim. Używamyzapisu p.w. lub µ-p.w.Przykład 1.9.1. Jeśli zbiór {x ∈ X : f(x) = ±∞} ma miarę zero, to mówimy, że f jest prawie wszędzieskończona.Jeśli miara jest zupełna, to równoważnie można powiedzieć, że własność W zachodzi µ-prawie wszędziejeśli zbiór, dla którego ta własność nie zachodzi jest miary zero, tzn. µ ( {x ∈ X : W(x) nie zachodzi} ) = 0.Podstawy teorii miary, 2007 8

Krzysztof Rykaczewski1.10 Podstawy teorii całki (Lebesgue’a)Niech M będzie σ-algebrą podzbiorów X. Funkcję f: X → R := R ∪ {−∞} ∪ {+∞} określamy jakomierzalną, jeśli dla dowolnego α ∈ R zbiór {x ∈ X : f(x) > α} ∈ M.Jeśli A ⊂ X i dla każdego α ∈ R zbiórjest mierzalny, to f jest mierzalna na zbiorze A.A ∩ {x ∈ X : f(x) > α} (1.19)Jeśli X = R oraz M jest σ-ciałem podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to funkcję mierzalnąnazywamy mierzalną w sensie Lebesgue’a.Fakt 1.10.1. Funkcja f: X → R jest mierzalna wtedy i tylko tedy, gdy mierzalne są zbiory {x ∈ X : f(x)

Krzysztof Rykaczewski2. Jeśli f : X → R + , to z definicji∫{ ∫ }f dµ := sup g dµ : g jest schodkowa oraz 0 g f . (1.21)XX3. Ogólnie ∫ ∫ ∫f dµ := f + dµ + f − dµ, (1.22)XXXprzy czym w przypadku wyrażenia ∞ − ∞ mówimy, że f nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a.4. Funkcję o wartościach zespolonych f + ig określamy mianem mierzalnej, jeżeli obydwie funkcje f ig są mierzalne. Jeśli f = g + ih przyjmuje wartości zespolone, to określamy całkę jako ∫ ∫f dµ :=XX g dµ + i ∫ X h dµ.Uwaga 1.10.2. Jeśli A ⊂ X, to całka ∫ A f dµ jest równa ∫ X fχ A dµ.Definicja 1.10.2. Funkcję f: X → R nazywamy całkowalną, jeśli ∫ |f| dµ < ∞.Twierdzenie 1.10.2. Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią mierzalną, a f, g: X → R będą funkcjamimierzalnymi oraz α, β ∈ R, to:1. jeśli f jest całkowalna, to jest prawie wszędzie skończona, tzn. µ ( {x ∈ X : |f(x)| = +∞} ) = 0,2. jeśli f jest całkowalna, to | ∫ f dµ| ∫ |f| dµ,3. jeśli f jest całkowalna i f 0, to ∫ f dµ 0,4. jeśli 0 g(x) f(x), dla każdego x ∈ X, oraz f jest całkowalna, to g jest całkowalna oraz ∫ g dµ ∫f dµ,5. jeśli f i g są całkowalne, to αf+βg jest całkowalna oraz zachodzi ∫ (αf+βg) dµ = α ∫ f dµ+β ∫ g dµ,6. jeśli f i g są całkowalne oraz dla każdego A ∈ M zachodzi ∫ A f dµ = ∫ g dµ, to f = g µ-p.w. naAX.1.10.2 Całka Lebesgue’a-StieltjesaNiech będzie dany przedział (a, b), gdzie −∞ a < b ∞. Niech M = { ⋃ ni=1 (c i, d i ] : a c i

Krzysztof Rykaczewski1. µ g({τ})= g(τ) − g(τ−),2. µ g([c, d])= g(d) − g(c−),3. µ g([c, d))= g(d−) − g(c−),4. µ g((c, d))= g(d−) − g(c).Jeśli f jest funkcją borelowską określoną na zbiorze borelowskim, to całkę Lebesgue’a-Stieltjesa funkcjif względem funkcji g określamy wzorem∫∫f(x) dg(x) = f(x) dµ g (x), (1.25)gdzie po prawej stronie stoi całka Lebesgue’a względem miary µ g .EPonieważ składnik ∫ E f(x) dµ g(x) jest w istocie zwykłą całka Lebesgue’a względem miary µ g , to całkata posiada zwykłe własności całki. Ponadto zwrócmy uwagę na ciekaweTwierdzenie 1.10.3. Jeśli g jest funkcją absolutnie ciągłą, to∫∫f(x) dg(x) = f(x)g ′ (x) dx. (1.26)1.10.3 Związek całki Riemanna oraz całki Lebesgue’aEEEPrzykład 1.10.1. Rozważmy funkcję f: [0, 1] → R zadaną w następujący sposób{1, gdy x ∈ Q ∩ [0, 1],f(x) =0, gdy x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1].(1.27)Przypomnijmy sobie w tym miejscu definicję całki Riemanna. Jeśli policzymy górną oraz dolną sumę,to nigdy one nie będą sobie równe. Dlatego całka Riemanna tej funkcji nie istnieje. Całka Lebesgue’anatomiast istnieje! Policzmy ją zatem!∫∫∫f dµ = f dµ + f dµ = 0 + 0 = 0. (1.28)[0,1][0,1]∩Q[0,1]∩Q CZachodzi natomiast następująceTwierdzenie 1.10.4. Jeśli istnieje całka Riemanna z funkcji f na zbiorze E ⊂ R n , to istnieje całkaLebesgue’a z tej funkcji na tym zbiorze i są one sobie równe.Dlatego na oznaczenie całki Lebesgue’a używamy tego samego symbolu co dla całki Riemanna.1.10.4 Twierdzenia o zbieżnościTwierdzenie 1.10.5. Dla całki Lebesgue’a mamy1. (Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech { f k : X → R + := [0, +∞) } k∈N będzieciągiem niemalejącym, tzn.f k (x) f k+1 (x) dla każdego k ∈ N oraz dla każdego x ∈ E. (1.29)Wtedylimk∫ ∫∫f k dµ = lim f k dµ =ksup f k dµ. (1.30)kPodstawy teorii miary, 2007 11

Krzysztof Rykaczewski2. (Lemat Fatou) Jeśli {f k : X → R + } k∈N jest dowolnym ciągiem, to∫∫lim inf f k dµ lim inf f k dµ. (1.31)kk3. (Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeśli {f k } k∈N jest ciągiem funkcji mierzalnychz granicą punktową f (przypomnijmy, że wtedy f też jest mierzalna) oraz jeśli istnieje całkowalnaw sensie Lebesgue’a funkcja g taka, że |f k | g dla każdego k ∈ N, to f jest całkowalna wsensie Lebesgue’a oraz∫ ∫∫lim f k dµ = lim f k dµ = f dµ. (1.32)kk4. Jeśli {f k : X → R + } k∈N są funkcjami mierzalnymi, to∫∑ ∞f n dµ =n=11.10.5 Twierdzenie Radona-Nikodyma∞∑∫f n dµ. (1.33)Przykład 1.10.2. Zauważmy, że jeśli f 0, to funkcja zbioru M ∋ A ↦→ ∫ f dµ ∈ [0, +∞) jest miarą.AInteresujący fakt (twierdzenie odwrotne do powyższego) został udowodnony przez Johanna Radona iOtto Nikodyma w 1930 roku.Twierdzenie 1.10.6. (Radona-Nikodyma) Niech (X, M, µ) będzie przestrzenią z miarą oraz µ będziemiarą σ-skończoną. Przypuśćmy, że ν: M → [0, ∞] jest miarą absolutnie ciągłą względem µ (tzn. jeśliµ(A) = 0, to również ν(A) = 0 dla A ∈ M). Wówczas istnieje funkcja mierzalna f: X → [0, ∞) taka, że∫ν(A) = f dµ, (1.34)dla każdego A ∈ M.Uwaga 1.10.3. Twierdzenie to jest bardzo ważne w teorii prawdopodobieństwa (np. w definicji warunkowejwartości oczekiwanej) oraz w analizie matematycznej (np. przy dowodzeniu Twierdzenia Lapunovao miarach wektorowych oraz zasady bang-bang).An=11.11 Zbiory niemierzalneOkazuje się, że nie wszystkie podzbiory R są mierzalne w sensie Lebesgue’a. Przykładem takiego zbiorujest zbiór Vitaliego. Zbiory niemierzalne pojawiają się także w paradoksie Banacha-Tarskiego. Wszystkiepodane konstrukcje bazują na pewniku wyboru lub innych równoważnych mu aksjomatach.1.11.1 Zbiór Giuseppe Vitaliego — konstrukcjaW zbiorze liczb rzeczywistych z odcinka [0, 1] określamy relację równoważności następująco:x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y jest liczbą wymierną. (1.35)Podstawy teorii miary, 2007 12

Krzysztof RykaczewskiKlasy abstrakcji [x] = {y ∈ [0, 1] : x ∼ y} tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0, 1]. Na mocyaksjomatu wyboru istnieje zbiór V, który ma po jednym elemencie wspólnym z każdą klasą abstrakcji(v ∩ [x] jest jednoelementowy). Zbiór V nazywamy zbiorem Vitaliego. Dowodzi się, że zbiór Vitaliego jestniemierzalny w sensie Lebesgue’a.Istotnie, załóżmy, że jest on mierzalny. Uporządkujmy liczby wymierne z odcinka [−1, 1] w ciągq 1 , q 2 , . . .. Zauważmy, że V k = V + q k są rozłączne oraz przystające w sensie relacji ∼. Ponadto niechx ∈ [0, 1] oraz v będzie reprezentantem klasy [x]. Wtedy q = x − v ∈ Q, czyli q = q i dla pewnego i. Stądx ∈ V i , czyli [0, 1] ⊂ ⋃ ∞i=1 V i. Ponadto ⋃ ∞i=1 V i ⊂ [−1, 2].Zauważmy, że wtedy( ⋃1 µkV k) 3, (1.36)skąd µ ( ⋃ k V k) = ∑ ∞k=1 µ(V k) = ∑ ∞Sprzeczność.k=11.11.2 Paradoks Banacha-Tarskiegoµ(V) = +∞, ponieważ wszystkie zbiory były przestające.Znani polscy matematycy Stefan Banach oraz Alfred Tarski udowodnili w 1924 roku słynne dziś twierdzenieo paradoksalnym rozkładzie kuli. Twierdzenie to mówi, że kulę da się pociąć na skończoną liczbęczęści (wystarczy 5!), przy pomocy których używając wyłącznie obrotów i translacji można złożyć dwiekule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.W twierdzeniu nie pojawia się jednak sprzeczność, ponieważ zbiory, które się „konstruuje” nie sąmierzalne, więc nie można argumentować „za” lub „przeciw” temu twierdzeniu za pomocą teorii miary.1.11.3 Inny zbiór niemierzalnyPewną wariację konstrukcji Vitaliego można znaleźć w książce [7].Poniższa konstrukcja bazuje na konstrukcji zbioru Vitaliego. Niech S będzie okręgiem. Ustalmy na nimjeden punkt; oznaczmy go przez 0. Dowolny punkt b na S wyznaczony jest przez jego kąt od punktu 0(orientacja dodatnia to ta przeciwna do kierunku ruchu wskazówek zegara). Powiemy, że punkty a i btego samego typu jeśli (a − b)/π jest liczbą wymierną. Okrąg zostanie podzielony na nieprzeliczanie wielezbiorów (klas abstrakcji względem tej relacji). Kolejnym etapem konstrukcji jest wybranie z każdego ztych zbiorów po jednym punkcie (operacja ilorazowa). Zbiór ten nazwiemy E 0 . Ustalmy pewną numeracjęzbioru Q ∩ [0, 2π) = {w 1 , w 2 , . . .}. Oznaczmy przez E k zbiór E 0 obrócony o kąt w k . Zbiory {E n } ∞ n=1 sąprzystające (obrót o w l − w k przeprowadza E k na E l ). Ponadto zbiory te są rozłączne, ponieważ jeślix ∈ E i ∩ E j = (E 0 + w i ) ∩ (E 0 + w j ), (1.37)dla i ≠ j to x = u 1 + w i = u 2 + w j , czyli u 1 − u 2 = w j − w i ∈ Q. Stąd u 1 oraz u 2 są tego samego typu.Stąd u 1 = u 2 , czyli w i = w j .Ponadto zbiory E n dają cały okrąg. Gdyby zbiory te byłyby mierzalne, to prowadziłoby to do sprzeczności,podobnie jak w zbiorze Vitaliego.Przykład 1.11.1. Weźmy dowolny zbiór niemierzalny B. Rozważmy funkcję f : R → R zadaną wzorem:{1, gdy x ∈ B,f(x) =(1.38)−1, gdy x ∈ R \ B.Zauważmy teraz, że tak określona funkcja nie jest mierzalna (ćwiczenie). Natomiast f 2 jest mierzalna!Podstawy teorii miary, 2007 13

Krzysztof Rykaczewski1.12 Rozszerzenia pojęcia miaryZe względu na zastosowania rozważa się czasem miary, które przyjmują wartości w zbiorze R lub C.Istnieją także miary o wartościach w przestrzeniach Banacha.1.12.1 Miary rzeczywisteNiech (X, M) będzie, jak zwykle, przestrzenią mierzalną z σ-ciałem M.Definicja 1.12.1. Miarą rzeczywistą nazywamy σ-addytywną funkcję µ: M → R taką, że µ(∅) = 0.Dla A ∈ M określmy{∑ ∞|µ|(A) = inf |µ(A n )| : A =n=1}∞⋃A n , oraz A i ∩ A j = ∅ . (1.39)Skoro szereg ∑ ∞n=1 µ(A n) był bezwzględnie zbieżny, to definicja ta jest poprawna.n=1Definicja 1.12.2. Funkcję |µ|: M → R nazywamy wariacją miary µ.Fakt 1.12.1. Wariancja jest skończoną miarą rzeczywistą na M oraz zachodzi |µ(A)| |µ|(A).Definicja 1.12.3. Mówimy, że miara µ jest bezatomowa, o ile dla każdego A ∈ M takiego, że |µ|(A) > 0istnieje B ∈ M taki, że 0 < |µ|(B) < |µ|(A).Twierdzenie HahnaMożna pokazać, że |µ| = µ + + µ − , gdzieµ + (A) := sup{µ(B) : B ∈ M, B ⊂ A}, (1.40)µ − (A) := − inf{µ(B) : B ∈ M, B ⊃ A} (1.41)są skończonymi miarami (nieujemnymi). Ponadto zachodzi ciekaweTwierdzenie 1.12.1. (Hahna) Jeśli (X, M) jest przestrzenią mierzalną oraz µ określoną na niej miarąrzeczywistą, to istnieją dwa rozłączne zbiory mierzalne X + oraz X − takie, żeµ + (A) = µ(A ∩ X + ), (1.42)µ − (A) = −µ(A ∩ X − ). (1.43)Parę (µ + , µ − ) nazywą się dekompozycją (rozkładem) Jordana miary µ.Dla dowolnej funkcji rzeczywistej f łatwo sprawdzić, że λ(A) = ∫ f dµ jest miarą rzeczywistą. MamyAponadtoλ ± (A) = ∫ A f± dµ,|λ|(A) = ∫ A |f| dµ, (1.44)gdzie f + , f − to część dodatnia i ujemna funkcji f, odpowiednio.Podstawy teorii miary, 2007 14

Krzysztof RykaczewskiTwierdznie Lapunova dla miar wektorowychTwierdzenie 1.12.2. (Lapunova) Niech µ 1 , . . . , µ n będą rzeczywistymi miarami bezatomowymi na σ-ciele M. Wówczas funkcja µ: M → R n dana wzoremma zwarty i wypukły zbiór wartości.µ(A) = ( µ 1 (A), . . . , µ n (A) ) , dla A ∈ M, (1.45)1.12.2 Miary zespoloneDefinicja 1.12.4. Miarą zespoloną na przestrzeni mierzalnej (X, M) nazywamy funkcję µ: M → C taką,że1. µ(∅) = 0,2. jest σ-addytywna, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozłącznych zbiorów E 1 , E 2 , E 3 , . . . ∈ M (czyli E i ∩E j = ∅ dla i ≠ j) mamy( ∞)⋃∞∑µ E i = µ(E i ). (1.46)i=1i=1Całkowanie ze względu na miarę zespolonąMiarę µ: M → C można (jak każdą funkcję o wartościach zespolonych) przedstawić w postaci µ =µ 1 + iµ 2 . Składniki te nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą oraz zespoloną miary µ. Stosującrozkład Jordana do tych miar otrzymujemyµ 1 = µ + 1 + µ− 1 ,µ 2 = µ + 2 + µ− 2 . (1.47)Definicja 1.12.5.1. Mając funkcję f: X → R o wartościach rzeczywistych definiujemy∫ (∫ ∫ ) (∫ ∫ )f dµ := f dµ + 1 − f dµ − 1+ i f dµ + 2 − f dµ − 2. (1.48)XXXXX2. Jeśli f: X → C, to definiujemy∫X∫f dµ :=X∫R(f) dµ + iXI(f) dµ, (1.49)gdzie R(f) i I(f) to część rzeczywista i zespolona funkcji f, odpowiednio.1.12.3 Miary spektralneMiara spektralna — w analizie funkcjonalnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określonana σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowychpewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. Johnvon Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.Podstawy teorii miary, 2007 15

Krzysztof RykaczewskiDefinicja 1.12.6. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, M σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej,niech ( H, (·|·) ) będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech L(H) oznacza przestrzeń operatorówliniowych i ciągłych na przestrzeni H.Funkcję E: M → L(H) nazywamy miarą spektralną na przestrzeni X, o ile:1. E(B) jest operatorem rzutowym dla B ∈ M.2. E(X) = I,3. E(B 1 ∩ B 2 ) = E(B 1 ) ◦ E(B 2 ), B 1 , B 2 ∈ M,4. Dla każdego x ∈ H funkcja B ↦→ E(B)x, B ∈ M, jest σ-addytywną miarą wektorową.Własności• Gdy B 1 , B 2 ∈ M oraz B 1 ⊆ B 2 , to E(B 1 ) E(B 2 ) w sensie (E(B 1 )h|h) (E(B 2 )h|h), h ∈ H.Ponieważ ‖E(B 1 )h‖ 2 = (E(B 1 )h|h), więc z powyższego wynika, że E(B 1 )H ⊆ E(B 2 )H - operatorE(B 1 ) rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni E(B 2 )H.• Jeżeli h, k ∈ H oraz B ∈ M, to równość E h,k (B) := (E(B)h|k) określa przeliczalnie addytywną miaręwektorową o wahaniu ograniczonym przez ‖h‖‖k‖.Podstawy teorii miary, 2007 16

BIBLIOGRAFIA[1] Poradnik inżyniera, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 1970[2] Atlas matematyki, Prószyński i S-ka, 2003[3] J. Muszyński Teoria całki. Miara i całka, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1990[4] F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydanie trzynaste, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,1976[5] Nowoczesne Kompendium Matematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004[6] Leksykon matematyczny, Wiedza Powszechna, 1993[7] J. Jakubowski, R. Sztencel Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, Script[8] W. Kryszewski Teoria sterowania. Skrypt[9] T. J. Jech The Axiom of Choice, American Elsevier Pub. Co., New York, 1973[10] Wikipedia - The Free Encyclopedia17

SKOROWIDZσ-algebra zbiorów borelowskich, 2funkcja całkowalna w sensie Lebesgue’a, 9całka Lebesgue’a-Stieltjesa, 9caiło zbiorów, 2funckcja mierzalna w sensie Lebesgue’a, 8indukcja mierzalna, 8lemat Fatou, 11lewostronna niezienniczość, 5miara, 2miara absolutnie ciągła, 11miara bezatomowa, 13miara Diraca, 6miara Haara, 5miara Jordana, 6miara kąta, 5miara Lebesgue’a, 6miara licząca, 5miara probabilistyczna, 2miara Radona, 7miara rzeczywista, 13miara unormowana, 2miara zespolona, 14miara zewnętrzna, 3paradoks Banacha-Tarskiego, 12pewnik wyboru, 11prawie wszędzie, 7prawostronna niezienniczość, 5produkt σ-ciał, 6produkt miar, 6przestrzeń σ-skończona, 4przestrzeń mierzalna, 2przestrzeń nieskończona, 4przestrzeń probabilistyczna, 2przestrzeń skończona, 4przestrzeń z miarą, 2przestrzeń zupełna, 4rozkład Jordana miary, 13twierdzenie Caratheodory’ego, 3twierdzenie Hahna, 13twierdzenie Lapunova, 14twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej,10twierdzenie Radona-Nikodyma, 11wariacja miary, 13warunkowa wartość oczekiwana, 11wewnętrzna miara Jordana, 6wierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej,11zasada bang-bang, 11zbiór µ-zerowy, 4zbiór Vitaliego, 11zbiory mierzalne, 2zewnętrzna miara Jordana, 618