Vektorska analiza

2. VEKTORSKA ANALIZA

4.1 Vektorske funkcije Promatrali smo najprije funkcije f : X ! Y;X; Y R, potom funkcije f : X ! Y; X R n ,Y R, a ovdje ćemo promatrati funkcije gdje su idomena i kodomena "podebljane", tj. funkcije oblikaf : X ! Y; X R m ; Y R n (n 2): Budući da prostor R n , n 2, ne dopušta prirodniure ¯daj, otpada pitanje o ekstremnim vrijednostimaovih funkcija. Najvaniji slucaj, jer se u njemu opisuje naš zicki(tvarni) svijet, bit će n = 3 koordinatizirandesnim ortonormiranim Kartezijevim sustavomO; ! i ; ! j ; ! k . I općenito (n 4) ćemo pretpostavljatida je u R n zadan desni ortonormiraniKartezijev sustav (O; ! e 1 ; ; ! e n ).

Primjer 1 Funkcija koja svakoj tocci iz jedinicnogkruga D R 2 pridruuje tocku na nacin opisanslikomz= x 2 + y 2xymoemo interpretirati na nacin: ukoliko je nakodomeni R 3 zadandesni ortonormirani Kartezijevkoordinatni sustav O; ! i ; ! j ; ! k ; tada tu funkcijumoemo opisati sa:f(x; y) = x ! i + ! j y+ p x 2 + y 2! k =x; y; p x 2 + y 2 :Dakle, u ovom bi primjeru funkcija f bila zadana satri skalarne funkcije w 1 ; w 2 ; w 3 : D ! R;w 1 (x; y) = x; w 2 (x; y) = y; w 3 (x; y) = p x 2 + y 2i svakoj tocci T (x; y) 2 D ovom funkcijom bipridruili vektorf(T ) (w 1 (T ); w 2 (T ); w 3 (T )) :Uobicajeno je umjesto f pisati ! w :

Denicija 4.1 Funkciju! w : D ! Rn(n 2)gdje je D R m nazivamo vektorskom funkcijom.Budući da je, za svaki T = (x 1 ; ; x m ) 2 X, vrijednost! w (T ) (y 1 ; ; y n ) 2 R n , to vektorska funkcija! w denira n skalarnih funkcija w1 ; ; w n : D ! Rpravilom w j (T ) = y j za svaki j = 1; ; n. Vrijedii obratno, svaka ure ¯denu n-torku (w 1 ; ; w n )skalarnih funkcijaw j : D ! R;j = 1; ; n, odre ¯duje jedinstvenu vektorsku funkcijupravilom! w : D ! Rn! w (T ) = ((w1 (T ); ; w n (T )) :Stoga je prirodno poistovjetiti ! w (w 1 ; ; w n ).Pritom govorimo da su w j , j = 1; ; n, koordinatnefunkcije od ! w .

Za vektorske funkcije kojima je kodomena R 3 ; daklefunkcije oblika! w (T ) = (w1 (T ); w 2 (T ); w 3 (T )) ;ukoliko je na kodomeni R 3 zadan desni ortonormiraniKartezijev koordinatni sustav O; ! i ; ! j ; ! k ; koristimoi standardni vektorski zapis! w (T ) = w1 (T ) ! i + w 2 (T ) ! j + w 3 (T ) ! k :Nama će od posebnog interesa biti vektorske funkcijekojima je domena D R a kodomena R 3 ; daklefunkcije oblika! w (x) = (w1 (x); w 2 (x); w 3 (x))= w 1 (x) ! i + w 2 (x) ! j + w 3 (x) ! kUkoliko je zadano samo pravilo za vektorsku funkcijupridodno se postavlja pitanje domene te funkcije.Dakako, (prirodna) domena vektorske funkcije jemaksimalan podskup D za koji funkcija ima smisla,a to znaci da na njemu sve koordinatne funkcijepostoje.

Primjer 3 Sa! w (T ) =! w (x; y) = x 2 y ! i + p y 1 ! j + (xy 2 1) ! kdenirana je vektorska funkcija ! w : D R 2 ! R 3 injezine su koordinatne funkcije w 1 ; w 2 ; w 3 : R 2 ! R;w 1 (x; y) = x 2 y; w 2 (x; y) = p y 1; w 3 (x; y) = xy 2 1:Budući w 3 denirana za y 1 to je podrucje denicijeD = (x; y) 2 R 2 : y 1 :Pojmovi limes i neprekidnost prirodno se poopćuju ina vektorske funkcije.

Denicija 4.2 Reći ćemo da je vektor L 0 2 R ngranicna vrijednost (limes) funkcije ! w : D ! R n ; utocki T 0 2 D R m ako(8" > 0) (9 > 0) (8T 2 D n fT 0 g)d (T; T 0 ) < ) d ( ! w (T ); L 0 ) < ": (1)Ovo ćemo, kao i do sada, kraće zapisivati:limT0! w = L ili limT !T 0! w (T ) = L0Kao i za skalarne funkcije, granicna vrijednostima puni smisao samo u gomilištima i neizoliranimtockama skupa D. Osim toga, budući da je ovdjeudaljenost denirana vektorskom normom, to se(1), ako je, T = (x 1 ; :::; x m ) ; T 0 = x 0 1; :::; x 0 m;! w (T ) = (w1 (T ); :::; w n (T )) i L 0 = (l 1 ; :::; l n ) ; smije zapisatii ovakod (T; T 0 ) = kT T 0 k = 1P m(x i x 0 i ) 2 2< )i=1d ( ! w (T ); L 0) = k ! w (T ) L 0k = n Pj=1(w j(T ) l j) 2 !12< ":

Pomoću toga se lako dokazuje ova cinjenicalim! w (T ) = L0 () lim w j (T ) = l j ; j = 1; :::; n:T !T 0 T !T 0Napokon, po uzoru na skalarne funkcije, mogu sedenirati granicne vrijednosti vektorske funkcije kadbarem jedna koordinata x i ! +1 ( 1):Primjer 4 Funkcija! w (t) = sin tt ; 0; t ; t 2 h0; 1i ;ima u t = 0 granicnu vrijednost (1; 0; 0) jer jelim! sin tw (t) = lim ; lim 0; lim t = (1; 0; 0) :t!0t!0 t t!0 t!0

Sada je, uz oznake T = (x 1 ; :::; x m ) ; T 0 = x 0 1; :::; x 0 m; T = dT = T T 0 = x 1 x 0 1; :::; x m x 0 m=(dx 1 ; :::; dx m ),A (TmXi=1T 0 ) = A (T ) d ! w (T 0 ) (T ) @w 1@x i(T 0 ) dx i ; :::;mXi=1@w n@x i(T 0 ) dx i!(2 R n ):Za vektorsku funkciju ! w : D ! R m , D R n , kaemoda je derivabilna u tocki T 0 2 D ako postoje sve parcijalnederivacije @w j@x i(T 0 ) ; i = 1; ; m; j = 1; ; n:Ako je vektorska funkcija ! w derivabilna u svakoj tockiT 2 A D, onda kaemo da je ! w derivabilna naskupu A. U slucaju A = D govorimo o derivabilnojvektorskoj funkciji ! w .Jasno je da derivabilnost povlaci diferencijabilnost, aline i obratno.

Za diferenciranje vrijede analogna pravila kao zaskalarne funkcije.Primjer: d ( ! w + ~u) (T 0 ) = d ( ! w ) (T 0 ) + d (~u) (T 0 )(diferenciranje zbroja); d ( ! w ~u) (T 0 ) = ~u (T 0 ) d ! w (T 0 ) + ! w (T 0 ) d~u (T 0 )(diferenciranje skalarnog produkta); d ( ! u ~w) (T 0 ) = d~u ( ! w (T 0 )) d~u (T 0 )(diferenciranje kompozicije).Zadrimo se na najjednostavnijem slucaju vektorskefunkcije - onomu kad joj je varijabla skalar (broj)x 2 D R, tj. slucaju m = 1 i n 2.Pokazat će se da se ovdje naslje ¯duju sve vanecinjenice što smo ih dokazali za realne funkcije jednevarijable. Primjerice, diferencijabilnost je ekvivalentnaderivabilnosti, koju se moe ”redenirati” kako slijedi:

Posljedica 4.6 Vektorska funkcija ! w : D ! R n ,D R, je derivabilna u tocki x 0 2 D ako vektorskafunkcija! ~w : D n fx0 g ! R n ;! ~w (x) =! w (x)! w (x0 )x x 0;ima granicnu vrijednost limx!x0! ~w u tocki x0 . Pripadnivektor oznacujemo s ! w 0 (x 0 ), tj.! w (x)! w (x0 )lim ! w 0 (x 0 );x!x 0 x x 0i nazivamo derivacijom vektorske funkcije ! w u tockix 0 .Koristeći koordinatni zapis ! w = (w 1 ; :::; w n ), pri cemuje sada svaki w j : D ! R, D R, funkcija jednevarijable, ocito je da je funkcija ! w derivabilna u tockix 0 onda i samo onda, ako su u x 0 derivabilne svenjezine koordinatne funkcije w 1 ; :::; w n . Pritom je! w 0 (x 0 ) = (w 0 1(x 0 );:::; w 0 n(x 0 ))

Pokaimo to za n = 3: Neka je na kodomeni R 3zadan desni ortonormirani Kartezijev koordinatni sustavO; ! i ; ! j ; ! k ; tada tu funkciju ! w : D ! R 3 ,D R moemo opisati sa:! w (x) = w1 (x) ! i + w 2 (x) ! j + w 3 (x) ! k= (w 1 (x) ; w 2 (x) ; w 3 (x)) :Sada je! w (x)! w (x0 )lim=x!x 0 x x 0lim ( w 1(x) w 1 (x 0 )! w 2 (x) w 2 (x 0 )! i + ix!x 0 x x 0 x x 0+ w 3(x) w 3 (x 0 )! i ) =x x 0w 1 (x) w 1 (x 0 ) !i w 2 (x) w 2 (x 0 ) !jlim+ limx!x 0 x x 0 x!x 0 x x 0w 3 (x) w 3 (x 0 )+ lim~ k =x!x 0 x x 0= w 0 1(x 0 ) ! i + w 0 2(x 0 ) ! j + w 0 3(x 0 ) ~ k == (w 0 1 (x 0 ) ; w 0 2 (x 0 ) ; w 0 3 (x 0 )) ! w 0 (x 0 );

Za ovakve vektorske funkcije jed ! w (x) = ! w 0 (x)dx =) ! w 0 (x) = d! w (x)dxZa n = 3 i u ako je u R 3 zadan desni ortonormiraniKartezijev koordinatni sustav O; ! i ; ! j ; ! k imamod ! w (x) = w1(x 0 0 ) ! i + w2(x 0 0 ) ! j + w3(x 0 0 ) ~ k dx =w 0 1(x 0 )dx ! i + w 0 2(x 0 )dx ! j + w 0 3(x 0 )dx ~ k == dw 1 (x) ! i + dw 2 (x) ! j + dw 3 (x) ~ k =(dw 1 (x); dw 2 (x); dw 3 (x))Ako je vektorska funkcija ! w : D ! R n , D R, derivabilnau svakoj tocki x 2 D, onda je dobro deniranafunkcija (derivacija od ! w ) ! w 0 : D ! R n , x 7! ! w 0 (x).Jasno je i kako treba denirati derivacije viših redovai više diferencijale. Naime! w000 def.= ( ! w 00 ) 0 ; :::; ! w 0(n+1) def.= ( ! w 0(n) ) 0 ,ted 2! w (x) = ! w 00 (x)dx 2 ; :::; d r! w (x) = ! w (r) (x)dx r :

Primjer 6 Gibanje materijalne tocke opisuje jednadba!s(t) = 2 cos t! i + 2 sin t! j + 3t! k ;t 2 [0; 1i (vrijeme).Nacrtajmo njezinu putanju (”hodograf”) i odredimojoj brzinu i ubrzanje u svakom trenutku. Posebice,izracunajmo joj brzinu i ubrzanje (pripadne vektore)kad je t = 0 i t = 2 .Putanja te materijalne tocke jest valjcana uzvojnica(cilindricna spirala)! s (t) = (2 cos t; 2 sin t; 3t); t 2 [0; 1i ;­221510­1 5­1zy00 0­51 ­10 1­15x­22što se obavijajući valjak x 2 + y 2 = 4 ”penje brzinom”z = 3t .

Budući da je brzina derivacija puta po vremenu, to je! v (t) =! s 0 (t) = 2 sin t ! i +2 cos t ! j +3 ! k ; t 2 [0; 1i :Nadalje, derivirajući brzinu dobivamo ubrzanje, tj.! a (t) =! v 0 (t) = 2 cos t ! i 2 sin t ! j ; t 2 [0; 1i :Napokon, ako je t = 0 onda je ! v (0) = 2 ! j + 3 ! ki ! a (0) = 2 ! i , a ako je t = 2 onda je ! v =22 ! i + 3 ! k i ! a = 22! j .Naredni teorem donosi derivacijska pravila za osnovneoperacije nad vektorskim funkcijama skalarnevarijable.Teorem 4.7 Neka su ! w ; ! u : D ! R n , D R,derivabilne vektorske funkcije, f : D ! R derivabilna(skalarna) funkcija i ; 2 R. Tada vrijede ovapravila:1. ( ! w + ! u ) 0 = ! w 0 + ! u 0 ;2. (f ! w ) 0 = f 0 ! w + f! w 0 , pri cemu je (f ! w )(x) =f(x) ! w (x);

!w 03. = f! w 0 f 0 ! w!wf f 2 , pri cemu jef! w (x)i f(x) 6= 0;f(x)(x) =4. Derivacija skalarnog umnoška ( ! w ! u )(x) =nXw j (x)u j (x) jej=1( ! w ! u ) 0 = ! w 0 ! u + ! w ! u 0 ;5. Derivacija vektorskog umnoška! ! ! ( ! w ! u )(x) = ! w (x) ! i j ku (x) =w 1 (x) w 2 (x) w 3 (x) u 1 (x) u 2 (x) u 3 (x) ;je( ! w ! u ) 0 = ! w 0 ! u + ! w ! u 0 :Sva navedena pravila proizlaze izravno iz pripadnihdenicija, a dokazuju se posve slicno onima za deriviranjerealnih funkcija jedne varijable. Dokaimonpr. pravilo 5.

( ! w ! u ) 0 ( ! w ! u ) (x + x) ( ! w ! u ) (x)(x) = limx!0x! w (x + x)! w (x)lim ( ! u (x + x)x!0 x+ ! ! u (x + x)! u (x)w (x) ) =x=! w 0 (x) ! u (x)+ ! w (x) ! u 0 (x) = ( ! w 0 ! u + ! w ! u 0 ) (x);pri cemu smo iskoristili distributivnost, homogenost ineprekidnost vektorskoga mnoenja.Zadatak Odredite derivaciju vektorske funkcije! ! : D ! R 3 , D R, ako je ! ! = ( ! u ! v ) ! w , pricemu su ! u ; ! v ; ! w : D ! R 3 derivabilne vektorskefunkcije. Dobiveni ishod provjerimo na funkcijama! u (x) = 2x! i 3x2 ! k = (2x; 0; 3x 2 );! v (x) = x3! i + (2 + x)! k = (x 3 ; 0; 2 + x);! w (x) = x! j + x2 ! k = (0; x; x 2 ):

Razmotrimo sada derivaciju funkcijske kompozicijeskalarne i vektorske funkcije. Neka je f : D ! R,D R, derivabilna (skalarna) funkcija, a ! w : Y !R n , Y R i f[D] Y , derivabilna vektorska funkcija.Tada je dobro denirana kompozicija ! w f : D ! R n .Jednostavno je dokazati da pritom vrijedi analogonstandardnoga teorema o derivaciji funkcijske kompozicije,tj.( ! w f) 0 (x) = ! w 0 (f(x)) f 0 (x); x 2 D:Primjer 7 Odredimo ( ! w f) 0 (x) ako je ! w =sin 2 x; cos x; x i f(x) = x 2 :( ! w f) 0 (x) = ! w 0 (f(x)) f 0 (x) == sin 2 x; cos x; x 0jf(x)=x 2 x 2 0== (2 | sin{z x cos }; sin x; 1) j f(x)=x2 2x = sin 2x 2 ; sin x 2 ; 1 2x =sin 2x= sin 2x 2 ; sin x 2 ; 1 2x = 2x sin 2x 2 ; 2x sin x 2 ; 2x

Primjer 8 Za vektorsku funkciju! w (x) = w1 (t) ! i + w 2 (t) ! j + w 3 (t) ! kuvedimo oznakuw(t) = k ! w (t)k =q(w 1 (t)) 2 + (w 2 (t)) 2 + (w 3 (t)) 2 :Ako je ! w (t) derivabilna pokaite da vrijede sljedećasvojstva:i) ! w (t) d! w (t)dtii) d dtiii) d dt !w (t)w(t) !w (t)w(t)= w(t) dw(t)dt; ! w (t) 6= ~0;h !w (t) d ! w (t)dt= 1w 3 (t) ! w (t)w(t) = 0: ! iw (t) ;

4.2 Integral vektorske funkcije jedne varijableIntegral vektorske funkcije (jedne) realne varijablemoemo denirati na standardni nacin, odnosno,pomoću pripadne primitivne funkcije i Newton-Leibnizove formule.Denicija 4.8 Vektorsku funkciju ! W : D ! R n ,D R, nazivamo primitivnom funkcijom vektorske! w : D ! R n , ako je!W 0 (x) = ! w (x)za svaki x 2 D osim, moda, u prebrojivo mnogotocaka od D.Po koordinatnim funkcijama zapisano to znaciW 0 j(x) = w j (x); j = 1; ; n:Pritom govorimo da je vektorska funkcija (skalarnevarijable) ! w integrabilna. U slucaju segmenta (iliintervala) D = [a; b], (odre ¯deni) integral vektorskefunkcije ! w deniramo kao vektorZ[a;b]! w Z ba! w (x)dxdef.= ! W (b)!W (a):

Po koordinatnim funkcijama (w 1 ; ; w n ) = ! w je,dakle,Z bZ bZ !b! w (x)dx = w 1 (x)dx; ; w n (x)dx :aaZa n = 3 i u ako je u R 3 zadan desni ortonormiraniKartezijev koordinatni sustav O; ! i ; ! j ; ! k imamoza ! w (x) = w 1 (x) ! i + w 2 (x) ! j + w 3 (x) ! kZ baZ ba! w (x)dx =! Z !! bZ !! b!w 1 (x)dx i + w 2 (x)dx j + w 3 (x)dx kaaaOdatle neposredno slijede dobra svojstva integralavektorske funkcije što ih donosi ovaj teorem:

Teorem 4.9 Neka su ! w ; ! u : D ! R n , D = [a; b] R,integrabilne vektorske funkcije, f : D ! R integrabilna(skalarna) funkcija, ! c konstantan vektor i; 2 R. Tada vrijedi:1.Z ba( ! w (x)+ ! u (x))dx = (linearnost);Z bZ b! w (x)dx+! u (x)dxaa2.Z ba( ! c ! w ) (x)dx = ! c Z b(linearnostza skalarni umnoak);a! w (x)dx!3.Z ba( ! w (x) ! u 0 (x)) dx = ! w (b) ! u (b)Z b! w (a) ! u (a) ( ! w 0 (x) ! u (x)) dx;a4.Z bZaba(f(x) ! w 0 (x)) dx = f(b) ! w (b)(f 0 (x) ! w (x)) dx.f(a) ! w (a))((3) i (4) su formule za parcijalno integriranje redom

skalarnoga umnoška vektorskih funkcija i umnoškarealne i vektorske funkcije.)Primjer 7 Ubrzanje materijalne tocke (u R 3 ) opisujejednadba! a (x) = 6x! c 1 + 2 ! c 2 ; x 2 [0; 1i (vrijeme),pri cemu su ! c 1 i ! c 2 konstantni vektori. Otkrijmo zakonx 7! ! s (x) po kojemu se giba ta tocka, ako supocetni uvjeti ! s (0) = ! 0 i ! v (0) = ! 0 (pocetna brzina).Budući da je ! v 0 (x) = ! a (x) i ! s 0 (x) = ! v (x), to jeZ x0Z x0Z x! v (x) =! a (t)dt +! v (0) =0(6t ! c 1 + 2 ! c 2 )dt + ! 0 = 3x 2! c 1 + 2x ! c 2 iZ x! s (x) =! v (t)dt +! s (0) =0(3t 2 1 ! c + 2t ! c 2 )dt + ! 0 = x 3! c 1 + x 2! c 2 :

Primjer 8 Izracunajmo integral vektorske funkcije! w : R ! R 3 , ! w (x) = (3e x ; cos x; x), na segmentu[0; ].Z 0Z ! w (x)dx = 3e x dx; 3ex j03(1 e ); 0; 1 2 20Z 0cos xdx; ; [sin] 1 jj;0 2 0x2Z =0xdx= 3 1 e ! i +12 2! k :=