Page 1 Ispit iz predmeta M 4 i Diferencijalna geometrija 01. 02. 2007 ...

Ispit iz predmeta M 4 i Diferencijalna geometrija 01. 02. 2007.PREZIME I IME: __________________________________________ZAOKRUŽITI PREDMET KOJI STE SLUŠALI: Matematika 4 Diferencijalna geometrijaAK. GOD. U KOJOJ STE PREDMET ODSLUŠALI: ____________________________________________________POTPIS: ________________________________________________ BROJ INDEKSA: ______________________I dio:II dio:r1. Zadana je ploha r( u, v) = { u, ucos v, usin v} , u∈R, v∈[ 0,2π]a) 2 Napisati implicitnu jednadžbu plohe, zaključiti koja je to ploha i skicirati plohu.b) 3 Odrediti što su i napisati jednadžbe koordinatnih u, v krivulja tog predočenja plohe.c) 3 Izračunati geodetsku zakrivljenost u, v krivulja dane plohe.d) 1 Da li su koordinatne u, v krivulje dane plohe geodetske linije? Obrazložiti!2. 9 Naći duljinu luka krivulje:3 2 2ax = 3 ay, 2xz= a među ravninama y = , y = 9a.33. 6 Naći vektore trobrida pratioca krivulje r = { cost+ sin 2 t, sin t(1 −cos t), −cost}πu točki t = .2r( uv , ) = ucos vu , sin vu , + v, uv , ∈R.a) 2 Naći koeficijente E, F,G prve kvadratne forme dane plohe.b) 8 Odrediti ortogonalne trajektorije koordinatnih krivulja dane plohe.4. Zadana je ploha { }r( uv , ) = u + v, u −v, v , uv , ∈R. Naći:2 2 2 25. Dana je ploha { }a) 4 Glavne zakrivljenosti, totalnu i srednju zakrivljenost.b) 3 Glavne krivulje zakrivljenosti.c) 3 Asimptotske krivulje.d) 1 Ispitati vrstu točaka na plohi.r6. 5 Pomoću Gaussovog Theorema egregium odrediti Gaussovu zakrivljenost plohe kojoj je prva2 22 du + dvkvadratna forma oblika: ds =.2 22u + v + a( )1. Osnovni smisao reparametrizacije krivulje.2. Jednostavna ploha.3. Normalna zakrivljenost plohe u danom smjeru.4. Minimalna ploha.5. Mreža krivulja zakrivljenosti na plohi.6. Definicija geodetske linije.7. Kako iz prve kvadratne forme prepoznajemo da je koordinatna mreža plohe geodetska?.Maksimalni broj bodova: 50 iz prvog i 7 iz drugog dijela.Za prolaz je potrebno imati najmanje 25 + 4 boda.

Ispit iz predmeta M 4 i Diferencijalna geometrija 01. 02. 2007.RJEŠENJAI dio:r1. Zadana je ploha r( u, v) = { u, ucos v, usin v} , u∈R, v∈[ 0,2π]a) 2 Napisati implicitnu jednadžbu plohe, zaključiti koja je to ploha iskicirati plohu.b) 3 Odrediti što su i napisati jednadžbe koordinatnih u, v krivulja togpredočenja plohe.c) 3 Izračunati geodetsku zakrivljenost u, v krivulja dane plohe.d) 1 Da li su koordinatne u, v krivulje dane plohe geodetske linije?Obrazložiti!.2. 9 Naći duljinu luka krivulje:Rj.: s = 9a3 2 2ax = 3 ay, 2xz= a među ravninama y = , y = 9a.33. 6 Naći vektore trobrida pratioca krivulje r = { cost+ sin 2 t, sin t(1 −cos t), −cost}u točki tπ2rr1 r1,1,1 , 1 r5, 4,1 , 1 1, 2,3 ,3 42 14o o o= . R:: t = { − } n = { − − } b = { − }r( uv , ) = ucos vu , sin vu , + v, uv , ∈R.a) 2 Naći koeficijente E, F,G prve kvadratne forme dane plohe.2Rj.: E = 2, F = 1, G = u + 1b) 8 Odrediti ortogonalne trajektorije koordinatnih krivulja dane plohe.Rj.: Ortogonalne krivulje na u ktivulje: Edu + Fdv = 0 ⇒ 2u + v = c1Ortogonalne krivulje na v ktivulje:duFdu + Gdv = 0 ⇒ =−dv ⇒ arctgu =− v + c22⇒ u = tg( c2−v)u + 14. Zadana je ploha { }r( uv , ) = u + v, u −v, v , uv , ∈R.2 2 2 25. Dana je ploha { }Naći:a) 4 Glavne zakrivljenosti, totalnu i srednju zakrivljenost. 2Rj.:-1 01 2 22 2E = 8 u , F = 0, G = 8v + 1, L= M = 0, N =28v+ 1 -202 2 22K1 = 0, K2= , K = 0, H =2 2 2 24( 1+ 8v ) 1+ 8v ( 1+ 8v ) 1+8v6b) 3 Glavne krivulje zakrivljenosti. Rj.: Koordinatne krivulje.2c) 3 Asimptotske krivulje. Rj.: dv = 0 ⇒ v = const.⇒ u − krivuljed) 1 Ispitati vrstu točaka na plohi. Rj.: Paraboličke.8 -4 -26. 5 Pomoću Gaussovog Theorema egregium odrediti Gaussovu zakrivljenost plohe kojoj je prva2 22 du + dvkvadratna forma oblika: ds =.2 22( u + v + a)Rj.: K = 4a420