Analytická dynamika

Obsah prednášky1. Analytická dynamika – úvod2. Základné pojmy3. Princíp virtuálnych prác4. Lagrangeove rovnice II. druhu3

1. Analytická dynamika - úvod• Princípy analytickej dynamiky:– princíp virtuálnych prác v dynamike– Lagrangeove rovnice I. druhu– Lagrangeove rovnice II. druhu– Hamiltonov princíp6

2. Základné pojmy• rozdelenie síl• klasifikácia väzieb• druhy posunutí• zovšeobecnené súradnice• zovšeobecnená sila7

2.1 Rozdelenie síl• účelné je rozdeliť pôsobiace sily na silyVväzbové F (definované ako nepracovnéPzložky reakcií) a sily pracovné F (všetkyostatné)– pri ideálnych väzbách (neuvažujemepasívne odpory) nie je rozdiel medzi silamireakčnými a väzbovými R VF F = Ratiež nie je rozdiel medzi pracovnými aP Aakčnými silami F F = F8

2.1 Rozdelenie síl• pretože väzbové sily nekonajú pri virtuálnychpohyboch prácu, sú pri uvedených metódachpri ďalších výpočtoch dopredu vylúčené (platípre sústavy, kde neuvažujeme pasívneodpory)• my budeme uvažovať len ideálne väzby, keďvýsledná elementárna práca väzbových reakciípri ľubovoľnej virtuálnej zmene polohy sústavysa rovná nule9

2.2 Klasifikácia väzieb• keď upevníme voľné teleso alebo HB na pevnýrám, prípadne na iné teleso mechanickej sústavy,obmedzíme jeho možnosť pohybu, čiže znížimepočet DOF• potom kinematické veličiny charakterizujúce pohybtelesa musia spĺňať určité podmienky, ktorénazývam väzbové podmienky alebo krátko väzby• väzbové podmienky v analytickom tvarepredstavujú určité funkcie obsahujúce súradnice,rýchlosti a čas– ich konkrétny tvar závisí od druhu a konštrukcie väzby10

2.2 Klasifikácia väziebmá v priestore menší početstupňov voľnosti ako voľnýbod, t.j. jeho polohu určujemenší počet funkcie, resp.medzi pôvodnými funkciamiexistujú určité väzbyväzbaväzby sú vyjadrené rovnicami, pričomsúradnice hmotného bodu musiapočas celého pohybu spĺňať rovnicuväzby11

2.2 Klasifikácia väzieb• Holonómna väzba:– funkcia obsahujúce len súradnice (alebo primitívnufunkciu rýchlosti)– obmedzuje len polohu telesa– nazývame ju aj geometrická väzba• Neholonómna väzba: t, 0– funkcia obsahujúca súradnice a rýchlosti– súčasne obmedzuje polohu aj rýchlosť– nazývame ju aj kinematická väzba (alebo diferenciálna –vystupuje v nej derivácia podľa času)r i t, ri, ri 0 12

2.2 Klasifikácia väzieb• Skleronómna (stacionárna) väzba:– je nezávislá od času• Rheonómna (nestacionárna) väzba:– je od času závislá• Hladká väzba:– bez trenia• Drsná väzba:– s trením13

2.2 Klasifikácia väzieb• Analytický tvar všeobecného vyjadrenia jednotlivýchdruhov väzieb pre sústavu N hmotných bodov s 3Npravouhlými súradnicami:xi , yi , zii1,2,...,– holonómno-skleronómna väzba:1 1 1,N N NN x , y , z ,..., x , y , z 0– holonómno-rheonómna väzba: x , y , z ,..., x , y , z , t 01 1 1,N N N14

2.2 Klasifikácia väzieb– neholonómno-skleronómna väzba: x , y , z ,..., x , y , z , x , y , z,..., x , y, z 01 1 1, N N N 1 1 1, N N N– neholonómno-rheonómna väzba: x , y , z ,..., x , y , z , x , y , z,..., x , y, z, t 01 1 1, N N N 1 1 1, N N N15

2.2 Klasifikácia väzieb• väzby vnášajú dva problémy do riešeniadiferenciálnej rovnice pohybumaF– každá geometrická väzba zmenšuje počet DOFmechanickej sústavy– sily, ktoré vznikajú v súvislosti s existenciou väzieb niesú zadané hoci vplývajú na pohyb sústavy• my sa budeme zaoberať len holonómnymiväzbami16

2.2 Klasifikácia väzieb• voľný hmotný bodmaFpohyb ovplyvňuje celkovávýslednica akčných síl17

2.2 Klasifikácia väzieb• voľný hmotný bodmaFpohyb ovplyvňuje celkovávýslednica akčných síl• viazaný hmotný bodhmotný bod sa neustále nachádzana väzbovej čiare (resp. ploche)18

2.2 Klasifikácia väzieb• voľný hmotný bodmaFpohyb ovplyvňuje celkovávýslednica akčných síl• viazaný hmotný bodvýslednicu síl môžeme rozložiť nazložku kolmú (normálovú) naväzbovú čiaru a tangenciálnu, ktorápredstavuje dotyčnicu na väzbovúčiaru19

2.2 Klasifikácia väzieb• voľný hmotný bodmaFpohyb ovplyvňuje celkovávýslednica akčných síl• viazaný hmotný bodpohyb hmotného bodu spôsobujelen tangenciálna zložka, normálovázložka pôsobí na väzbu tlakomalebo ťahom20

2.2 Klasifikácia väzieb• voľný hmotný bodmaFpohyb ovplyvňuje celkovávýslednica akčných síl• viazaný hmotný bodnormálová zložka podľa tretiehoNewtonovho zákona (akcia-reakcia)vyvoláva rovnako veľkú, ale opačneorientovanú silu – väzbovú silu21

2.2 Klasifikácia väzieb• voľný hmotný bodmaFpohyb ovplyvňuje celkovávýslednica akčných síl• viazaný hmotný bodv rovnici vystupuje už ajma F R reakčná sila, ktorá ale narozdiel od výslednice F jeneznáma22

2.2 Klasifikácia väziebma F Rak je väzba hladká, reakcia pôsobí vjednej priamke so statickou zložkou(normálovou) aktívnej sily, len je opačneorientovanáje v každom bode kolmá na väzbu x, y, z 023

2.3 Druhy posunutí• pohyb sústavy pod účinkom hnacích síl pridaných väzbách nazývame skutočný pohyb– je jednoznačne určený hnacími silami, väzbovými azačiatočnými podmienkami• ak si odmyslíme v určitej okamžitej polohe sústavypôvodné hnacie sily a predpokladáme, že väzby vsústave sa s časom nemenia, potom všetkypohyby, ktoré môže sústava pri daných väzbáchvykonať nazývame virtuálne pohyby24

2.3 Druhy posunutí• elementárne posunutie hmotného bodu za časpri jeho skutočnom pohybe nazývame skutočnéposunutie hmotného bodur– keď je polohový vektor a okamžitá rýchlosť HB,tak jeho skutočné posunutie je:• elementárne posunutie HB za čas pri jehovirtuálnom pohybe nazývame virtuálne posunutiehmotného bodu– je variáciou polohového vektora– označujeme hordrvdt– pre rotačný pohyb (virtuálne pootočenie telesa)vdtdt25

2.3 Druhy posunutí• rozdiel medzi skutočným a virtuálnym posunutímr - sa uskutočňuje pri pevnej väzbe, t.j. v danom okamihu, jeho smer je potom totožný so smerom rýchlostit 0v0v v vdr - jeho smer je určený smerom výslednej rýchlosti 0 126

2.3 Druhy posunutí• virtuálne posunutie:– je nekonečne malé posunutie hmotnéhobodu– predstavuje myslenú, ale možnú zmenupolohy bodu, ktorá v danom čase tvyhovuje väzbe– zložky virtuálneho posunutiar x, y, zr28

2.3 Druhy posunutí x, y, z 0väzbová plocha 29

2.3 Druhy posunutí x, y, z 0väzbová plocha skutočná trajektóriahmotného bodu30

2.3 Druhy posunutískutočný diferenciálposunutia hmotného bodu x, y, z 0väzbová plocha skutočná trajektóriahmotného bodudotyčnicová rovina kväzbovej ploche vskúmanom čase,obsahuje všetky prípustné32virtuálne posunutia

2.3 Druhy posunutískutočný diferenciálposunutia hmotného bodu x, y, z 0väzbová plocha skutočná trajektóriahmotného boduvirtuálne (nekonečne malé)posunutie hmotného bodudotyčnicová rovina kväzbovej ploche vskúmanom čase,obsahuje všetky prípustné33virtuálne posunutia

2.4 Zovšeobecnené súradnice• na jednoznačné určenie polohy voľnéhotelesa, vykonávajúceho všeobecný priestorovýpohyb, potrebujeme v každom časovomokamihu poznať 6 nezávislých parametrov,napr. 3 pravouhlé súradnice ťažiska xT , yT , zTa 3 Eulerove uhly , , • keďže existuje viac možností voľby parametrovurčujúcich okamžitú polohu telesa okrem inéhozavedením iných súradnicových sústav, zhľadiska univerzálneho použitia používame vanalytickej mechanike pojem zovšeobecnenésúradnice34

2.4 Zovšeobecnené súradnice• pojem zovšeobecnené súradnice je množinaľubovoľných nezávislých parametrov, ktoréjednoznačne určujú okamžitú polohu telesaalebo sústavy telies• označujeme ichq i• počet zovšeobecnených súradníc sa rovnápočtu stupňov voľnosti telesa, resp. sústavytelies, čiže i1,2,...,n• derivácie zovšeobecnených súradníc podľačasu q inazývame zovšeobecnené rýchlosti35

q2.4 Zovšeobecnené súradnice• napr. ak je hmotný bod viazaný naplochu, prislúchajú mu 2 zovšeobecnenésúradniceq a q1 2• kartézske súradnice sa potom dajúvyjadriť:xyx q , q1 2y q , q1 2rrq,q1 2zz q , q1 236

q2.4 Zovšeobecnené súradnice• zovšeobecnené súradnice nemusia byťgeometricky názorné, ale vzťah rrmusí vyhovovať rovnici väzby x y zq,q, , 01 237

2.5 Zovšeobecnená sila• uvažujeme pohyblivú sústavu N hmotnýchbodov s k holonómnymi väzbami, ktorej početstupňov voľnosti je potom n 3N k• na jednoznačné určenie polohy sústavypotrebujeme poznať n zovšeobecnenýchsúradníc q1, q2,..., qn• polohový vektor r ikaždého HB môžeme vľubovoľnom časovom okamihu vyjadriťpomocou zovšeobecnených súradníc a času:r = rq , q ,..., q , ti i 1 2 ni1,2,...,N38

2.5 Zovšeobecnená sila• v pravouhlých súradniciach (zložkový tvar):x = x q , q ,..., q , ti i 1 2 ny = y q , q ,..., q , ti i 1 2 nz = z q , q ,..., q , ti i 1 2 n• na každý HB sústavy pôsobí hnacia sila aväzbová reakciaRF39

2.5 Zovšeobecnená sila• keď predpokladáme ideálne väzby, potomelementárna práca síl pôsobiaca na hmotnébody pri ľubovoľnom virtuálnom posunutísústavy sa rovná súčtu elementárnych prácjednotlivých hnacích síl potrebných navirtuálne posunutie hmotných bodov, t.j.:N F1 r1 F2 r2... FN rN Fi rii1 A • elementárnu prácu pri virtuálnom posunutínazývame virtuálna práca40

2.5 Zovšeobecnená sila• keďže virtuálna zmena nezávisí od času,potom virtuálne posunutie ľubovoľného HB je:r r r rr ni i i ii q1 q2... qn qjq1 q2qnj1qji1,2,...,N41

2.5 Zovšeobecnená sila• po dosadení do vzťahu pre virtuálnu prácu:N n n Nr iri A Fi qj A qj Fii1 j1 q jj1 i1q j • označíme:Qj Ni1Fi riqj– je skalárna veličina a nazývame ju zovšeobecnenásila zodpovedajúca j – tej zovšeobecnenej súradnici42

2.5 Zovšeobecnená sila• z toho vyplýva, že virtuálna práca je súčinzovšeobecnenej sily a variáciezovšeobecnenej súradnice:j1• rozmer zovšeobecnenej sily závisí odzovšeobecnenej súradnice:q jq j– ak má rozmer dĺžky, má rozmer silynA QjqQ jQ j– ak je uhol pootočenia, má rozmer momentu silyj43

2.5 Zovšeobecnená sila• ak máme pohyblivú sústavu N telies, jeokamžitá poloha sústavy určená napr.polohovými vektormi ťažísk jednotlivých teliesa ich pootočeniami okolo ťažísk• sústava má n stupňov voľnosti: ir Tir = rT T 1 2 ni=iq , q ,..., q , tq , q ,..., q , ti i 1 2 ni1,2,...,N44

2.5 Zovšeobecnená sila• virtuálne posunutia a pootočenia:rTin r Tij1qjqjn ij1qj• na každé teleso sústavy pôsobí hnacia sila svojimposuvným a otáčavým účinkom (väzby sú ideálne),elementárna (virtuálna) práca hnacích síl priľubovoľnej virtuálnej zmene polohy sústavy je:Ni1ii A Fr M i T T iiqFjM Ti– kde je moment hnacej sily vzhľadom na ťažiskoi – teho telesaF i45

2.5 Zovšeobecnená sila• po úprave:A F M n NTiTiqj iTij1 i1qj qj r• člen v hranatej zátvorke predstavuje zovšeobecnenúsilu:Q F r M NTiTijiTii1qj qj– kde prvý člen popisuje posuvný pohyb a druhý člen popisujesférický pohyb (v 2D rotačný pohyb)46

2.5 Zovšeobecnená sila• pre sústavu s neideálnymi väzbami– zovšeobecnená väzbová reakcia má tvar:FRiRiQFrM NTiTiRjRiRTii1qj qj- je väzbová reakcia pôsobiaca na i –te telesoM RTi- moment väzbovej reakcie vzhľadom na ťažiskoi – teho telesa47

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• virtuálna práca je definovaná ako algebraickýsúčet prác všetkých síl a momentovpôsobiacich na teleso pri jeho virtuálnomposunutír– virtuálne posunutie je nekonečne malé posunutiehmotného bodu, ktoré predstavuje myslenú, alemožnú zmenu polohy bodu, ktoré v danom čase tvyhovuje väzbe– zložky virtuálneho posunutiar= x, y, z48

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• ak v určitom čase t t 0 pôsobia sily F1, F2,..., Fma príslušné virtuálne posunutia ich pôsobísk súr1, r2,..., rmm, potom virtuálna práca je:m A FrF x F y F zi i ix i iy i iz ii1 i1• zo súbor síl je výhodné vyčleniť reakcieideálnych väzieb, resp. normálové zložkyreakcií reálnych väzieb, pretože ich príslušnávirtuálna práca je vždy nulová– vektory posunutí sú k nositeľkám uvedených síl vždy49kolmé

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• pre rovnováhu je nutné, aby , čo jevyjadrením princípu virtuálnych prác• nech na každé teleso mechanickej sústavyN telies pôsobia hnacie sily F ia väzbovéreakcie• potom elementárna práca síl pôsobiacichna túto sústavu pri jej virtuálnom posunutí rje daná výrazom:AR i F + R r =i 0i i i A– rovnosť s nulou vyplýva zo silovej rovnováhym i A 0i1,2,...,N50

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• pri ideálnych väzbách sú reakčné sily vždykolmé na virtuálne posunutia, teda Riri 0potom:A Fr = 0– čo je matematické vyjadrenie princípu virtuálnychprác• slovné vyjadrenie:ii– ak je mechanický systém viazaný hladkou väzbou aje v rovnovážnej polohe, potom elementárna(virtuálna) práca aktívnych síl sa pri virtuálnomposunutí z tejto polohy rovná nulei51

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• uvedená rovnica platí iba pre rovnovážny stav, t.j.systém sa nepohybuje (alebo sa pohybujerovnomerne priamočiaro)• aby sme princíp virtuálnych prác rozšírili aj napohybujúci sa systém, musíme použiťd’Alembertov spôsob zostavovania rovníc– zotrvačná sila i – teho hmotného bodu:m ai i i– silová rovnováha neviazaného systému (statika):iF + R i i= 0– silová rovnováha viazaného systému (dynamika):F i+ Ri+ Di= 0iD52

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• rovnica dynamiky zapísaná pomocoud’Alembertovho spôsobu predstavuje z formálnehohľadiska rovnakú rovnicu ako rovnica statiky(potom nehovoríme o statickej, ale o dynamickejrovnováhe)• virtuálna práca pre dynamickú rovnováhu mápotom tvar:A F + R + D r = i1,2,...,i 0i i i iN53

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• ak opäť uvažujeme ideálne väzby:R r = 0– potom virtuálna práca pre dynamickú rovnováhu má tvar:iiA F + D r =i 0i i iD = -ma– dosadíme: a dostaneme vzťah:i i iA F - a r =i m 0i i i i– ktorý predstavuje matematickú formuláciu princípuvirtuálnych prác pre dynamický (pohybujúci sa) systém54

3. Princíp virtuálnych prác v• slovné vyjadrenie:dynamike– mechanický systém sa pohybuje tak, aby sa virtuálnapráca efektívnych síl (t.j. vonkajších a zotrvačných, nieväzbových) na virtuálnych posunutiach rovnala nule• rovnica síce neobsahuje neznáme reakcie, ale porozpísaní, je zložkových rovníc viac ako stupňovvoľnosti systému– tento nedostatok sa snažil Lagrange odstrániť, z čohovznikli Lagrangeove rovnice II. druhu55

3. Princíp virtuálnych prác vdynamike• podmienky nulovej virtuálnej práce môžemepreformulovať aj na podmienku nulového výkonu(využijeme virtuálne rýchlosti , resp. ):v iq iiF v + D v =i i i ii0P = 0 F D vi =0i i i– čiže sústava sa pohybuje tak, že algebraický súčet virtuálnychvýkonov všetkých pracovných (akčných) a zotrvačných síl jerovný nule56

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• sú najpoužívanejšou metódou analytickejdynamiky pri zostavovaní pohybovýchrovníc viazaných mechanickýchsystémov• umožňujú zostavovať pohybové rovnice,z ktorých sú na začiatku vylúčené všetkyväzbové sily, čo má veľký význam najmäpri zložitých mechanických sústavách57

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• postup zostavovania pohybových rovnícnezávisí na druhu súradnicového systému(možno použiť ľubovoľný súradnicovýsystém)• výhodou je, že jedinou dynamickouveličinou, ktorú treba vyjadriť, je kinetickáenergia (čo býva zväčša jednoduché)E k– pri konzervatívnych sústavách možno ďalejpoužiť potenciálnu energiu E ( a týmpU )pádom pracovať so skalárnymi veličinamiEka Ep58

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• obvyklý tvar Lagrangeových rovníc II. druhuje formulovaný pre holonómne väzby vnezávislých zovšeobecnených súradniciach59

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• uvažujme N hmotných bodov s kholonómnymi väzbami• ide o pohyblivú sústavu• sústava má n stupňov voľnosti, jejokamžitá poloha je jednoznačne určenán zovšeobecnenými súradnicami:r = r q , q ,..., q , t i1,2,...,i i 1 2 nN60

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• zovšeobecnená rovnica dynamiky pretúto sústavu má tvar:A• virtuálne posunutia nezávisia od času,potom virtuálne posunutie i – teho bodusústavy je:riN F R mr ri1n r ij1qji i i i iqji1,2,...,N61

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• po dosadení do rovnice dynamiky:• po úprave:A m r qNn iF iRi iri ji1 j1qjn N N Nri ri r iA Fi Ri miriqjj1 i1 q j i1 q j i1qj 062

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• po dosadení do rovnice dynamiky:• po úprave:A m r qNn iF iRi iri ji1 j1qjn N N Nri ri r iA Fi Ri miri qjj1 i1 q j i1 q j i1qj 0je zovšeobecnená silaQjje zovšeobecnená väzbová reakciaQ R j63

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• potom rovnica dynamiky má tvar:n Nr iA Qj QR m jiriqjj1i1qj 064

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• kinetická energia pohyblivej sústavy je:E kEkN1 mr22i i• derivácie podľa j – tej zovšeobecnenejrýchlosti:Eqkji1Ni1m ri irqij65

4. Lagrangeove rovnice II. druhuE k• derivácie podľa j – tej zovšeobecnenejrýchlosti:Eqi1• derivácia tejto rovnice podľa času:kjNm ri irqd E rd rdt q q dt qNNk i i miri mirij i1 j i1j ij66

4. Lagrangeove rovnice II. druhuE k• derivácie podľa j – tej zovšeobecnenejsúradnice:EqkjNi1m r• vyjadríme vzťah : N N Nd EkE kr id r iri m iri mir i miridt q jq j i1 q j i1 dt q j i1q j i iriqj67

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• po úprave dostaneme:Nd EkEkri miridt q jqj i1 qj• ak porovnáme túto rovnicu s rovnicoun Nr iA Qj QR m 0jiriqjj1i1qj môžeme vyjadriť rovnicu dynamiky pomocouzovšeobecnených súradníc v tvare:n dEkEk A Q j QR q0jjj1dt q j qj68

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• výraz:QDjrdE E Ni k kmirii1q jdt qjqj– nazývame zovšeobecnená zotrvačná silazodpovedajúca j – tej zovšeobecnenej súradniciq j69

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• rovnica dynamiky má potom tvar:n jRj Dj jj1A Q Q Q q• táto rovnica platí vtedy, ak:d E Edt q qk k Qj jj• respektíve: (hnacie + reakčné sily = zotrvačnej)j R DjjQRjj01,2,...,nQ Q Qj1,2,...,n70

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• v prípade ideálnych väzieb (bez trenia) platí:d E Edt qj qk k jQjj1,2,...,n– tento vzťah nazývame Lagrangeove rovnice II. druhu• každej zovšeobecnenej súradnici zodpovedájedna rovnica, čiže ich počet sa rovná počtustupňov voľnosti71

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• ak hnacie sily a väzbové reakcie patria medzikonzervatívne sily, tak platí:QjEp QR j1,2,...,j qjnE p– kde je potenciálna energia sústavy– v prípade ideálnych väzieb:QjE qpj72

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• potom Lagrangeove rovnice II. druhu preprípad sústavy, na ktorú pôsobia lenkonzervatívne sily, sú:d E EkEk dt q q qj j jpd E EEdt q q qk k p j j j073

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• predpokladajme, že holonómne väzby vsústave s n stupňami voľnosti sú stacionárne,potom potenciálna energia sústavy závisí lenod polohy sústavy, čiže od zovšeobecnenýchsúradníc a platí:EqkjEkqjEpEp0– lebo (platí len pre stacionárne väzby)qj74

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• ak v takejto sústave pôsobia len konzervatívnesily, môžeme Lagrangeove rovnice II. druhuupraviť na tvar:E kE pEk Epd dt qj q j075

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• označmeL E Ekp– tento výraz nazývame Lagrangeovou funkciou alebokinetickým potenciálom alebo tiež Lagrangiánom• potom rovnicu upravíme na tvar:d L L dt q j qj0j1,2,...,n76

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• v sústavách často pôsobia okrem iných síl aj tlmiacealebo disipatívne sily, o ktorých predpokladáme, že súlineárne závislé od zovšeobecnených rýchlostí (napr.pri riešení problémov kmitania lineárnychmechanických sústav)• tieto tlmiace sily bývajú vyjadrené v tvare:Fi bi v b predstavuje koeficient tlmeniaii77

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• potom zovšeobecnená disipatívna sila má tvar:Q brb vx b vy b vzNNi i i ijd ivi i xii yii zii1 q j i1q jq jqj• tento výraz pre zovšeobecnené disipatívne sily sa dáprepísať pomocou Rayleigho disipatívnej funkcie :1 1D b v b v v v• a po úpravách dostávame:Dq jNN22 2 2i i i xi yi zii1 2 i12 x y z Ni i ibi vxi vyi vzi Qjdi1qi qi qiD R d78

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• zovšeobecnená tlmiaca sila má teda tvar:DQ b q b q b qjd j1 1j2 2...jn nqj• potom Lagrangeove rovnice II. druhu môžemepísať v tvare:d EkEEkp D dt q j q jq jqjj1,2,...,n79

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• disipatívna funkcia D je mierou rozptylumechanickej energie sústavy v dôsledkupôsobenia tlmiacich síl• pre kladné hodnoty funkcie D mechanickáenergia sústavy vždy klesá (preto jeznamienko záporné)80

4. Lagrangeove rovnice II. druhu• Lagrangeove rovnice II. druhu pre konzervatívne adisipatívne sily majú tvard L L D 0 j 1,2, ,ndt q j q jqj• ak systém obsahuje okrem konzervatívnych adisipatívnych síl aj iné hnacie sily Q j , potomLagrangeove rovnice II. druhu majú tvard L L D Qj j 1,2, ,ndt q j q jqj81