georg cantor a jeho diagonálna metóda - Katolícka univerzita v ...

KATOLÍCKA UNIVERZITA V RUŽOMBERKU, PEDAGOGICKÁ FAKULTASemestrálna práca z predmetu HISTÓRIA MATEMATIKYGEORG CANTOR A JEHO DIAGONÁLNA METÓDARočník: 4Semester: 7Kombinácia: MAT - INFLubo VRANIAK

GEORG CANTOR A JEHO DIAGONÁLNA METÓDAGeorg Ferdinand Cantor sa narodil 3. marca 1845 v Petrohrade ako syndánskeho obchodníka a ruskej hudobníčky. V roku 1856 sa rodina presťahovala doNemecka kde mladý George pokračoval v štúdiách, ktoré ukončil doktorátom naUniverzite v Berlíne v roku 1867.Je známy ako tvorca modernej teórie množín. Medzi matematikmi je známyrozšírením teórie množín o koncept transifinitných čísel, vrátane triedy kardinálnycha ordinálnych čísel. Cantor je takisto známy prácou na jedinečnej reprezentáciifunkcií pomocou trigonometrických radov (zovšeobecnené verzia Fourierovýchradov).Rozpoznal, že nekonečné množiny majú rôzne veľkosti, rozlišoval medzispočítateľnými a nespočítateľnými množinami a dokázal, že množina všetkýchracionálnych čísel je spočítateľná, kým množina všetkých reálnych čísel jenespočítateľná, a teda v istom zmysle väčšia. Pôvodný dôkaz, ktorý vymyslelv decembri 1873 a zverejnil začiatkom roka 1874, bol postavený na trochakomplikovanejšom dôkaze sporom. Neskôr v roku 1891 použil v dôkaze známuCantorovu diagonálnu metódu. V neskorších rokoch sa márne pokúšal dokázaťhypotézu kontinua. Do roku 1897 objavil niekoľko paradoxov v elementárnej teóriimnožín. Prvý krát použil symbol označujúci všetky reálne čísla.Počas druhej polovice svojho života trpel záchvatmi depresie, ktoré vážneovplyvnili jeho schopnosti pracovať. Začal vydávať práce o literatúre, kde sa pokúšaldokázať, že Francis Bacon bol skutočným autorom Shakespearových diel. Písal ajnáboženské práce, v ktorých spracoval svoj koncept absolútneho nekonečna, ktoréprirovnal k Bohu. Počas prvej svetovej vojny prišiel o všetko a po dlhotrvajúcichzáchvatoch depresie zomrel v liečebni pre duševne chorých v Hale v Nemecku 6.januára 1918.

CANTOROVA DIAGONÁLNA METÓDAVETA: Množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľnáDOKAZ: Urobíme ho sporom. Sleduje skutočne pôvodný Cantorov dôkaz.Predpokladáme, že množina je spočítateľná. Potom jaj interval (0,1) je spočítateľnámnožina a možno ho zoradiť do postupnosti.Každé číslo a n má dekadický zápis(0,1) = {a n ; n ε N, n > 0}Ak číslo a n má dva rôzne dekadické zápisy, tak vyberiem nekonečný zápis, t. j. taký,že pre nekonečno mnoho k sa a nk ≠ 0. Čísla a n , n ε N, n > 0 zoradiť do tabuľky (obr.)Teraz použijeme metódu diagonály. Zostrojíme číslo b = 0,b 1 b 2 b 3 ... b n takto.Ak a kk = 1 položíme b k = 9. Ak a kk ≠ 1, položíme b k = 1. Potom číslo b patrí dointervalu (0,1), teda existuje n také, že a n = b. Špeciálne, musí byť a nn = b n . Ale číslob bolo zostrojené tak, aby pre každé k bolo b k ≠ a kk , teda aj a nn ≠ b n . To je hľadanýspor.A 0 = 0 a 00 a 01 a 02 ..... a 0n .....A 1 = 0 a 10 a 11 a 12 ..... a 1n ...... . . .. . . .. . . .a n = 0 a n0 a n1 a n2 ..... a nn .....