Geometria Analityczna w Przestrzeni - pjwstk

Geometria Analityczna w PrzestrzeniNajnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresemhttp://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/Algebra – p. 2

Układ współrzędnych kartezjańskich• Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli◦ osie sa˛wzajemnie prostopadłe◦ wektory e 1 , e 2 , e 3 sa˛jednostkowe (maja˛jednostkowa˛długość).• Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawymkartezjańskim układem• Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosujesię oznaczenia i, j, kAlgebra – p. 4

Podział odcinka w danym stosunku• Dane sa˛dwa punkty A 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) oraz A 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )• Znaleźć punkt A(x,y,z), który dzieli odcinek A 1 A 2w stosunku λ 1 : λ 2−−→ −−→◦ λ 2A1 A−λ 1AA2 = 0◦ −→ OA = λ −−→ −−→2OA 1 +λ 1OA2λ 1 +λ 2◦ x = λ 2x 1 +λ 1 x 2λ 1 +λ 2, y = λ 2y 1 +λ 1 y 2λ 1 +λ 2, z = λ 2z 1 +λ 1 z 2λ 1 +λ 2.• wzory sa˛prawidłowe w każdym układzieAlgebra – p. 5

Odległość między punktami• Dane sa˛dwa punkty A 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) oraz A 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )◦ |A 1 A 2 | 2 = −−−→ A 1 A 2 2 = (x 1 −x 2 ) 2 +(y 1 −y 2 ) 2 +(z 1 −z 2 ) 2• wzory sa˛prawidłowe tylko w układzie kartezjańskimAlgebra – p. 6

Pole trójkata˛• Dane sa˛trzy punkty A 1 (x 1 ,y 1 ,0), A 2 (x 2 ,y 2 ,0) orazA 3 (x 3 ,y 3 ,0)∣◦ −−−→ A 1 A 2 × −−−→A 1 A 3 =x 2 −x 1 y 2 −y ∣∣∣∣ 2 k∣x 3 −x 1 y 3 −y 1 ◦ P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 2x 2 −x 1 y 2 −y 2∣x 3 −x 1 y 3 −y 1∣ ∣∣∣∣Algebra – p. 7

Objętość czworościanu• Dane sa˛cztery punkty A 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ), A 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ),A 3 (x 3 ,y 3 ,z 3 ) oraz A 4 (x 4 ,y 4 ,z 4 )x 2 −x 1 y 2 −y 2 z 2 −z 1◦ P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 6x 3 −x 1 y 3 −y 1 z 2 −z 1∣x 4 −x 1 y 4 −y 1 z 4 −z 1∣ ∣∣∣∣∣∣Algebra – p. 8

Równanie powierzchni• f(x,y,z) = 0 równanie niejawne⎧⎪⎨ x = f 1 (u,v),• y = f 2 (u,v), równanie parametryczne⎪⎩z = f 3 (u,v)◦ Sfera (x−x 0 ) 2 +(y −y 0 ) 2 +(z −z 0 ) 2 = R 2◦ Walec: ⎧⎪⎨ x = Rcosu• y = Rsinu,⎪⎩z = v• x 2 +y 2 = R 2 Algebra – p. 9

Równanie krzywej{f• 1 (x,y,z) = 0,f 2 (x,y,z) = 0⎧⎪⎨ x = f 1 (t),• y = f 2 (t),⎪⎩z = f 3 (t)◦ Okrag˛równanie niejawnerównanie parametryczne{(x−a 1 ) 2 +(y −b 1 ) 2 +(z −c 1 ) 2 −R 2 1 = 0,(x−a 2 ) 2 +(y −b 2 ) 2 +(z −c 2 ) 2 −R 2 2 = 0.• Punkty przecięcia — rozwiazania ˛ układów równańAlgebra – p. 10

Zmiana układu współrzędnych• Niech dane będa˛dwa ogólne układy współrzędnych:(O,e 1 ,e 2 ,e 3 ) oraz (O ′ ,e ′ 1 ,e′ 2 ,e′ 3 )• Punkt A ma współrzędne (x,y,z) względem jednego układuoraz (z ′ ,y ′ ,z ′ ) względem drugiego.• Wektory (e 1 ,e 2 ,e 3 ) maja˛jednoznaczne rozłożenie pobazie (e ′ 1 ,e′ 2 ,e′ 3 ): ⎧⎪⎨⎪ ⎩e 1 = a 11 e ′ 1 +a 12e ′ 2 +a 13e ′ 3 ,e 2 = a 21 e ′ 1 +a 22e ′ 2 +a 23e ′ 3 ,e 2 = a 31 e ′ 1 +a 32e ′ 2 +a 33e ′ 3 .• Punkt O w nowym układzie ma współrzędne (x 0 ,y 0 ,z 0 ).⎧⎪⎨ x ′ = a 11 x+a 21 y +a 31 z +x 0 ,• Wówczas y⎪⎩′ = a 12 x+a 22 y +a 32 z +y 0 ,z ′ = a 13 x+a 23 y +a 33 z +z 0 .Algebra – p. 11

Zmiana kartezjańskiego układu współrzędnych• Jeżeli obydwa układy sa˛kartezjańskie, to współczynniki a ijspełniaj⎧a˛warunki⎪⎨ a 2 11 +a2 12 +a2 13 = 1, a 11a 21 +a 12 a 22 +a 13 a 23 = 0,a⎪⎩2 21 +a2 22 +a2 23 = 1, a 11a 31 +a 12 a 32 +a 13 a 33 = 0,a 2 31 +a2 32 +a2 33 = 1, a 21a 31 +a 22 a 32 +a 23 a 33 = 0.• I odwrotnieAlgebra – p. 12

Równanie płaszczyzny• Niech dany będzie kartezjański układ współrzędnych.• Niech A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) będzie punktem na płaszczyźnie.• Niech n = (n 1 ,n 2 ,n 3 ) będzie wektorem, prostopadłym dopłaszczyzny• Wtedy każdy punkt płaszczyzny spełnia równanien 1 (x−x 0 )+n 2 (y −y 0 )+n 3 (z −z 0 ) = 0• W każdem układzie współrzędnych równanie płaszczyznyjest liniowe: ax+by +cz +d = 0• Odwrotnie: każde liniowe równanie (abc ≠ 0) określapłaszczyznę.˛Algebra – p. 13

Położenie względem układu współrzędnych• a = b = 0 — równoległa do Oxy (zgadza się przy d = 0).• b = c = 0 — równoległa do Oyz (zgadza się przy d = 0).• a = c = 0 — równoległa do Oxz (zgadza się przy d = 0).• a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 — równoległa do Ox (przechodzi przezOx przy d = 0).• a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0 — równoległa do Oy (przechodzi przezOy przy d = 0).• a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 — równoległa do Oz (przechodzi przezOz przy d = 0).• d = 0 — przechodzi przez poczatek ˛ układu współrzędnych• d ≠ 0 ⇒ x α + y β + z γ = 1 Algebra – p. 14

Równanie normalne płaszczyzny• Punkt A 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) należy do płaszczyzny ⇐⇒ax 0 +by 0 +cz 0 +d = 0• Niech punkt nie należy do płaszczyzny.◦ Niech A 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) będzie podstawa˛prostopadłej,poprowadzonej z A 0 na płaszczyznę◦ ax 0 +by 0 +cz 0 +d =a(x 0 −x 1 )+b(y 0 −y 1 )+c(z 0 −z 1 )+d = n·−−−→ A 1 A 0 = ±|n|δ,• n = (a,b,c) jest normala˛do płaszczyzny• δ jest odległościa˛płaszczyzny od punktu◦ ax 0 +by 0 +cz 0 +d ma znak plus po jednej stronie odpłaszczyzny i minus — po drugiej◦ δ = |ax 0+by 0 +cz 0 +d|√a2 +b 2 +c 2• Jeśli a 2 +b 2 +c 2 = 1, równanie płaszczyzny nazywa sięnormalnymAlgebra – p. 15

Wzjaemne położenie dwóch płaszczyzn• Niech dane będa˛dwie płaszczyzny: a 1 x+b 1 y +c 1 +d 1 = 0oraz a 2 x+b 2 y +c 2 +d 2 = 0• Płaszczyzny sa˛równoległe (lub się pokrywaja) ˛ ⇐⇒a 1a 2= b 1b 2= c 1c 2• Płaszczyzny sa˛prostopadłe ⇐⇒ a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0• Niech θ będzie katem ˛ między płaszczyznami. Wtedyacosθ = √ 1 a 2 +b 1√b 2 +c 1 c 2a21 +b 2 1+c 2 1 a22 +b 2 2+c 2 2Algebra – p. 16

Wzjaemne położenie trzech płaszczyzn• Niech dane będa˛trzy płaszczyzny: a 1 x+b 1 y +c 1 +d 1 = 0,a 2 x+b 2 y +c 2 +d 2 = 0 oraz a 3 x+b 3 y +c 3 +d 3 = 0• Płaszczyzny ∣maja˛jeden wspólny punkt ⇐⇒a 1 b 1 c ∣∣∣∣∣∣ 1a 2 b 2 c 2 ≠ 0∣a 3 b 3 c 3 ∣ a 1 b 1 c ∣∣∣∣∣∣ 1• jeżelia 2 b 2 c 2 = 0, to płaszczyzny sa˛równowegłe do∣a 3 b 3 c 3niektórej prostej.Algebra – p. 17

Równanie prostej• Prosta jest przecięciem dwóch płaszczyzn{a 1 x+b 1 y +c 1 +d 1 = 0a 2 x+b 2 y +c 2 +d 2 = 0(1)• Niech dany będzie punkt A 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) na prostej, orazniezerowy wektor e = (k,l,m), równoległy prostej. Wtedydla dowolnego punktu A(x,y,z) wektory e oraz −−→ A 0 A będa˛równoległe:◦ x−x 0k= y−y 0l= z−z 0m— równanie kanoniczne prostej◦ równanie kanoniczne jest szczególowym przypadkiemrównania 1◦ równanie kanoniczne nie jest określono jednoznacznie• Równanie prostej ma taka˛postać w dowolnym afinicznymukładzie współrzędnychAlgebra – p. 18

Równanie parametryczne prostej• x−x 0k= y−y 0l= z−z 0m⎧⎪⎨ x = x 0 +kt,• y = y 0 +lt,⎪⎩z = z 0 +mt.Algebra – p. 19

Położenie prostej względem układu współrzędnych⎧⎪⎨ x = x 0 +kt,• y = y 0 +lt,⎪⎩z = z 0 +mt.◦ k = 0 — równoległa do płaszczyzny Oyz◦ l = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxz◦ m = 0 — równoległa do płaszczyzny Oxy◦ k = l = 0 — równoległa do Osi Oz◦ k = m = 0 — równoległa do Osi Oy◦ l = m = 0 — równoległa do Osi OxAlgebra – p. 20

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny• ax+by +cz +d = 0• x−x 0k= y−y 0l= z−z 0m◦ równoległe ⇐⇒ ak +bl+cm = 0• jeżeli ponadto ax 0 +by 0 +cz 0 +d = 0, to prosta leżyna płaszczyźnie◦ prostopadłe ⇐⇒ a k = b l = c m{a• 1 x+b 2 y +c 1 z +d 1 = 0,a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0,∣ ∣ ◦ k =b 1 c ∣∣∣∣ 1, l = −a 1 c ∣∣∣∣ 1 , m =∣b 2 c 2 ∣a 2 c 2∣ a 1 b ∣∣∣∣ 1 .∣a 2 b 2Algebra – p. 21

Wzajemne położenie dwóch prostych• x−x 0k= y−y 0l= z−z 0m• x−x′ 0k= y−y′ ′ 0l= z−z′ ′ 0m ′◦ równoległe ⇐⇒ k k′=ll• jeżeli ponadto x 0−x ′ 0pokrywaja˛′=m′mk= y 0−y ′′ 0l= z 0−z ′′ 0m ′• prostopadłe ⇐⇒ kk ′ +ll ′ +mm ′ = 0• kat ˛ między prostymi:, to proste sięcosθ =kk ′ +ll ′ +mm ′√k 2 +l 2 +m 2√ k ′2 +l ′2 +m ′2 Algebra – p. 22

Podstawowe zadania na prosta˛i płasczyznę• Płaszczyzna przechodzaca ˛ przez punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ):a(x−x 0 )+b(y −y 0 )+c(z −z 0 ) = 0• Prosta przechodzaca ˛ przez punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ):x−x 0k= y−y 0l= z−z 0m• Prosta przechodzaca ˛ przez dwa punkty (x 0 ,y 0 ,z 0 )x−xoraz (x 1 ,y 1 ,z 1 ): 0x 1 −x 0= y−y 0y 1 −y 0= z−z 0z 1 −z 0• Płaszczyzna przechodzaca ˛ przez trzy punkty (x 0 ,y 0 ,z 0 ),(x 1 ,y 1 ,z 1 ) oraz (x 2 ,y 2 ,z 2 ):∣ x−x 0 y −y 0 z −z ∣∣∣∣∣∣ 0x 1 −x 0 y 1 −y 0 z 1 −z 0 = 0∣x 2 −x 0 y 2 −y 0 z 2 −z 0Algebra – p. 23

Podstawowe zadania na prosta˛i płasczyznę, cd• Płaszczyzna przechodzaca ˛ przez punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 )i równoległa do danej płaszczyzny ax+by +cz +d = 0:a(x−x 0 )+b(y −y 0 )+c(z −z 0 ) = 0• Prosta przechodzaca ˛ przez punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ) i równoległa dodanej prostej x−x′ 0k= y−y′ 0l= z−z′ 0m : x−x 0k= y−y 0l= z−z 0m• Prosta przechodzaca ˛ przez punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ) i prostopadłado danej płaszczyzny ax+by +c+d = 0:x−x 0a= y−y 0b= z−z 0c• Płaszczyzna przechodzaca ˛ punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ) i prostopadłado danej prostej x−x′ 0k= y−y′ 0l= z−z′ 0m :k(x−x 0 )+l(y −y 0 )+m(z −z 0 ) = 0Algebra – p. 24

Płaszczyzna rónoległa do dwóch prostych• Płaszczyzna przechodzaca ˛ przez punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 )i równoległa do danych prostych x−x′ 0x−x ′′0k 2= y−y′′ 0l 2= z−z′′ 0m 2:k 1= y−y′ 0l 1= z−z′ 0m 1oraz∣ ∣ ∣ l 1 m ∣∣∣∣ 1(x−x 0 )−(y −y 0 )k 1 m ∣∣∣∣ 1k 1 l ∣∣∣∣1+(z −z 0 )= 0∣l 2 m 2 ∣k 2 m 2 ∣k 2 l 2czyli∣ x−x 0 y −y 0 z −z ∣∣∣∣∣∣ 0k 1 l 1 m 1 = 0∣ k 2 l 2 m 2Algebra – p. 25