Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

9. PodsumowanieW pracy przedstawiono jednowymiarowe oraz d-wymiarowe transformacje wielomianowez uwzględnieniem baz: Lagrange’a, Newtona i potęgowej. Podano nowe,szybkie algorytmy dla obliczania tych transformacji oraz transformacji do nich odwrotnychdla specjalnych konfiguracji punktów, tzn. punktów, których współrzędnespełniają równania rekurencyjne pierwszego rzędu. Wybrany zbiór punktów rozszerzaklasę ciągów punktów, dla których znane są szybkie algorytmy tego rodzaju.Powszechnie znanym przykładem takiego zbioru punktów jest zbiór pierwiastkówz jedności wykorzystywany w algorytmie FFT.Główną cechą proponowanych w pracy algorytmów jest rozdzielenie obliczeń nadwa etapy. Pierwszy z nich to wykonanie obliczeń wstępnych, tj. wyznaczenie wektorówpomocniczych. Drugi etap, bardziej kosztowny ze względu na liczbę wykonywanychoperacji arytmetycznych, to obliczenie d-wymiarowego splotu. Stąd złożonośćobliczeniowa algorytmu wyznaczenia wielowymiarowej transformacji wielomianowejjest tego samego rzędu, co złożoność obliczeniowa algorytmu obliczenia splotu wielowymiarowego.Efektywne algorytmy obliczenia transformacji wielomianowych wymagajązałożenia, że dziedziną rozważanych wielomianów są ciała zawierające pierwiastekpierwotny z jedności odpowiedniego stopnia. Efektywność wspomnianychalgorytmów jest tym większa, im większy jest stopień wielomianów. Na przykład,porównując zaproponowany w pracy algorytm obliczania jednowymiarowej transformacjiNewtona - Lagrange’a z klasycznym algorytmem obliczania tej transformacjiuzyskuje się oszczędność operacji przekraczającą 99% dla stopnia wielomianu równego2 16 . Dla tego samego stopnia wielomianu oszczędność - przy porównaniu z algorytmemwykorzystującym FFT, przekracza 95%. Między innymi z tego względutakie algorytmy mogą być z powodzeniem stosowane w dzieleniu sekretu, głosowaniuelektronicznym, czy transmisji rozgłoszeniowej, w których wykorzystuje się83