Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania
Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania
Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Transmisja rozgłoszeniowawany przez jednostkę GC blok aktywujący ma następującą postaćT = [x 0 , x v , x v+1 , . . . , x m−1 ; e (r) , e (ry 0 ) , e (ry 1 ) , . . . , e (ry m−1 )] , (8.3)gdzie r ∈ K\{0} wybrano w sposób losowy. Następnie GC rozgłasza blok aktywującyT oraz kryptogram E (S, M). Użytkownik odtwarza komunikat M z kryptogramuE (S, M) przy pomocy klucza sesyjnego S, który oblicza na podstawie bloku aktywującegoT i swojego klucza prywatnego. Kluczem sesyjnym może być dowolnyklucz wielomianowy, tzn. można przyjąćS = e(ra i0 )e(ra i1 ) · · · e(ra it ), 0 i 0 < i 1 < . . . < i t m.W literaturze rozpatrywano do tej pory przypadki, gdy S = e(ra 0 ) [Naor i Pinkas,2000] oraz S = e(ra m ) [Kogan i Tassa, 2006].W celu odtworzenia wielomianowego klucza sesyjnego S można korzystać ze wzoru( rp (i) ) ⎛(0)e (ra i ) = e= e ⎝ ri! i!m∑z kk=i⎛d idx ik−1 ∏⎝j=0⎞⎞(x − x j ) ⎠⎠∣ x=0(8.4)otrzymanego przez zróżniczkowanie i razy wzoru interpolacyjnego Hermite’a w postaciNewtonam∑p(x) =k−1 ∏z kk=0 j=0(x − x j ), z k = p[x 0 , x 1 , . . . , x k ]. (8.5)Odtworzenie klucza S = e(ra i0 )e(ra i1 ) . . . e(ra it ) ze wzoru (8.4) przy założeniach,że dysponuje się jedynie blokiem aktywującym T i kluczem prywatnym użytkownikaK U = (x m , p (x m )) i, że nie jest możliwe znalezienie funkcji odwrotnej do e, jest zadaniemekstremalnie trudnym, a nawet niewykonalnym w klasie dopuszczalnych funkcjie. Z drugiej strony jest jasne, że może to być wykonalne w przypadku, gdy prawąstronę wzoru (8.4) da się zapisać w postaci funkcji o 2m−v+4 zmiennych wymienionychw bloku T i kluczu K U , dla której istnieją efektywne algorytmy obliczania jejwartości. Na przykład ma to miejsce w przypadku zastosowanej w w modelach [Naori Pinkas, 2000] i [Kogan i Tassa, 2006] funkcji wykładniczej, której bezpieczeństwozależy od trudności rozwiązania decyzyjnego problemu Diffiego-Helmana [Menezesi inni, 2005].79