Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Transmisja rozgłoszeniowastopnia m i dostarcza każdemu użytkownikowi udziałK i = (x i , p(x i )), i = 0, 1, . . . , n − 1, x i ≠ x j dla i ≠ j,będący jego kluczem prywatnym. W szczególnym przypadku GC może wybrać punktyx i tak, aby spełniały równanie rekurencyjne pierwszego rzędu, co pozwala nazastosowanie efektywnego algorytmu 4.8 omówionego w podrozdziale 4.4 i w konsekwencjina redukcję kosztu obliczenia kluczy prywatnych użytkowników.II. Cykl transmisji rozgłoszeniowejPojedynczy cykl transmisji rozgłoszeniowej jednostka GC rozpoczyna od przygotowaniabloku aktywującego T dla wybranego przez nią klucza sesyjnego S. W tymcelu przygotowuje m kluczy prywatnych, z których klucze K ji (i = 0, 1, . . . , v − 1,v m) stanowią klucze nieskojarzone z żadnym użytkownikiem, natomiast pozostałaczęść to klucze prywatneK ji = (x ji , y ji ) , y ji = p(x ji ), i = v, v + 1, . . . , m − 1, (8.1)użytkowników wykluczanych tzn. takich, którzy w bieżącym cyklu nie będą mogliobliczyć klucza sesyjnego S na podstawie bloku aktywującego T .Klucze nieskojarzone z żadnym odbiorcą mogą składać się z wartości wielomianóww różnych punktach x j0 , x j1 , . . . , x jv−1spełniających równanie rekurencyjnepierwszego rzędu. Dzięki temu, w przypadku odpowiednio dużej liczby v, zastosowaniealgorytmu obliczania transformacji Maclaurina-Lagrange’a opisanego w rozdziale4, pozwala na zredukowanie kosztu obliczenia tych udziałów do O(m log m).W sytuacji, gdy stosuje się hierarchiczny model dzielenia sekretu, klucze prywatnenieskojarzone z żadnym odbiorcą mogą składać się z wartości wielomianu i jegokolejnych pochodnych np. w jednym punkcie. Bez zmniejszenia ogólności rozważańdalej zakłada się, że te klucze są postaci:gdzieK ji = (i, x i , y i ), i = 0, 1, . . . , v − 1, (8.2)x 0 = x 1 = . . . = x v−1 i y i = p(i) (x 0 ).i!W celu uproszczenia zapisu przyjmuje się również założenie, że indeksy j 0 , j 1 , . . . ,j m−1 są równe odpowiednio indeksom 0, 1, . . . , m − 1. Przy tym założeniu przygoto-78