Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Współdzielenie sekretuJest to równoważne istnieniu wielomianuw(x) = b 0 + b 1 x + . . . + b i−1 x i−1 + b i+1 x i+1 + . . . + b m−1 x m−1 ≢ 0,który miałby co najmniej m − 1 parami różnych pierwiastków dodatnich. Jest tooczywiście sprzeczne z zasadniczym twierdzeniem algebry w przypadku, gdyi = m − 1 lub b i+1 = b i+2 = . . . = b m−1 = 0.W pozostałych przypadkach pochodnaw (i) (x) = x ( c 1 + c 2 x + . . . + c m−1−i x m−2−i)na mocy twierdzenia Rolle’a [Fichtenholz, 2002] posiadałaby m − 1 − i parami różnychpierwiastków dodatnich, co również jest sprzeczne z zasadniczym twierdzeniemalgebry. Q.E.D.Z uwagi na twierdzenie 6.5, w schematach dzielenia sekretu w ciałach skończonychnależy dobierać wartości x 0 , x 1 , . . . , x n−1 tak, aby wśród nich nie było dwóchtakich, że x i + x j = 0.Odtworzenie sekretu w modelu z kluczem wielomianowym odbywa się tak samojak w modelu opisanym w poprzednim podrozdziale. Dokładniej, w celu odtworzeniaklucza wielomianowego powiernik C oblicza uogólnione ilorazy różnicowez k = p [x 0 , x 1 , ..., x k ] , k = 0, 1, . . . , c − 1, c, c + 1, . . . , r − 1,a następnie częściowo weryfikuje autentyczność wykorzystanych w obliczeniach udziałówsprawdzając, czy jest prawdą, żez m = z m+1 = ... = z r−1 = 0.Ponieważ na mocy jednoznaczności interpolacji zachodzić tożsamośćp(x) = z 0 + z 1 (x − x 0 ) + ... + z m−1 (x − x 0 )(x − x 1 )...(x − x m−2 ),więc powiernik C może odtworzyć klucz wielomianowyS = a i0 a i1 ...a is , 0 i 0 < i 1 < . . . < i s < m,60