Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania
Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania
Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Współdzielenie sekretuJest to równoważne istnieniu wielomianuw(x) = b 0 + b 1 x + . . . + b i−1 x i−1 + b i+1 x i+1 + . . . + b m−1 x m−1 ≢ 0,który miałby co najmniej m − 1 parami różnych pierwiastków dodatn<strong>ich</strong>. Jest tooczywiście sprzeczne z zasadniczym twierdzeniem algebry w przypadku, gdyi = m − 1 lub b i+1 = b i+2 = . . . = b m−1 = 0.W pozostałych przypadkach pochodnaw (i) (x) = x ( c 1 + c 2 x + . . . + c m−1−i x m−2−i)na mocy twierdzenia Rolle’a [F<strong>ich</strong>tenholz, 2002] posiadałaby m − 1 − i parami różnychpierwiastków dodatn<strong>ich</strong>, co również jest sprzeczne z zasadniczym twierdzeniemalgebry. Q.E.D.Z uwagi na twierdzenie 6.5, w schematach dzielenia sekretu w ciałach skończonychnależy dobierać wartości x 0 , x 1 , . . . , x n−1 tak, aby wśród n<strong>ich</strong> nie było dwóchtak<strong>ich</strong>, że x i + x j = 0.Odtworzenie sekretu w modelu z kluczem wielomianowym odbywa się tak samojak w modelu opisanym w poprzednim podrozdziale. Dokładniej, w celu odtworzeniaklucza wielomianowego powiernik C oblicza uogólnione ilorazy różnicowez k = p [x 0 , x 1 , ..., x k ] , k = 0, 1, . . . , c − 1, c, c + 1, . . . , r − 1,a następnie częściowo weryfikuje autentyczność wykorzystanych w obliczeniach udziałówsprawdzając, czy jest prawdą, żez m = z m+1 = ... = z r−1 = 0.Ponieważ na mocy jednoznaczności interpolacji zachodzić tożsamośćp(x) = z 0 + z 1 (x − x 0 ) + ... + z m−1 (x − x 0 )(x − x 1 )...(x − x m−2 ),więc powiernik C może odtworzyć klucz wielomianowyS = a i0 a i1 ...a is , 0 i 0 < i 1 < . . . < i s < m,60