Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Współdzielenie sekretui stwierdzili, że dwa udziały (t 1 , p(t 1 )) i (−t 1 , p(−t 1 )) pozwalają na odtworzenieklucza ze wzorua 1 = p(t 1) − p(−t 1 )2t 1, t 1 ≠ 0.Okazuje się, że taka sytuacja nie jest możliwa, jeżeli w klasie wszystkich udziałówprzyjmie się dodatkowe założenie, że parami różne rzeczywiste węzły x 0 , x 1 , . . . , x n−1są dodatnie. Oczywiście taka klasa schematów podziału sekretu jest dostateczniebogata w zastosowaniach praktycznych.Twierdzenie 6.5. Klasa wszystkich schematów dzielenia sekretu z kluczami wielomianowymii z udziałami U i = (0, x i , p(x i )), i = 0, 1, . . . , n − 1, o rzeczywistychi dodatnich współrzędnych x 0 , x 1 , . . . , x n−1 jest doskonała.Dowód: Współczynniki wielomianup(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a m−1 x m−1są rozwiązaniami nieosobliwego układu równańm−1 ∑i=0a i t i k = p(t k ), k = 0, 1, . . . , m − 1,w którym węzły t i spełniają warunek t i ≠ t j dla i ≠ j. Zatem ze wzorów Cramerai rozwinięcia Laplace’a [Kostrikin, 2004] wynika, że(1, x, . . . , xDi−1 , p(x), x i+1 , . . . , x m−1 )t 0 , t 1 , . . . t i−1 t i , z i+1 , . . . t m−1a i =( )1, x, . . . , xm−1Dt 0 , t 1 , . . . , t m−1(1, x, . . . , xm−1(−1) i+2+k Di−1 , x i+1 , . . . , x m−1 )∑t 0 , t 1 , . . . , t k−1 , t k+1 , . . . , t m−1= p(z k )( ) ,k=01, x, . . . , xm−1Dt 0 , t 1 , . . . , t m−1gdzieD( )g0 , g 1 , . . . , g ν−1= det [gz 0 , z 1 , . . . , z i (z j )] 0i,j