Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Współdzielenie sekretuoraz pomiędzy n − c uczestników, przekazując im udziałyU i = (k i , x i , y i ), i = c, c + 1, . . . , n − 1,gdzie 0 c < m n oraz węzły interpolacji x i o krotności n izałożenie{x 0 , x 1 , . . . , x c−1 } ∩ {x c , x c+1 , . . . , x n−1 } ≠ 0. m spełniająOdtworzenie sekretu S = p(0) w tym modelu jest możliwe, jeżeli uczestnik W otrzymaod uczestników podziału sekretu r − c udziałów postaciU i = (k i , x i , y i ), i = 0, 1, . . . , r − c − 1,gdzieorazm r n, c i 0 < i 1 < ... < i r−c−1 < n (6.8)i j−1 = i j − 1, i j−2 = i j − 2, . . . , i j−kij = i j − k ij . (6.9)Bez zmniejszenia ogólności rozważań można przyjąć, że pełniący rolę powiernikauczestnik W najpierw upraszcza oznaczenia podstawiając c, c + 1, . . . , r − 1 zamiasti 0 , i 1 , ..., i r−c−1 , a następnie odtwarza sekret S = p(0). Należy zauważyć, że uczestnikW może - bezpośrednio po otrzymaniu swoich udziałów, tylko raz obliczyć zmodyfikowaneilorazy różnicowez k = p [x 0 , x 1 , . . . , x k ] i b k = p [x k , x k+1 , . . . , x c−1 ] dla k = 0, 1, . . . , c − 1.Następnie może używać ich zamiast udziałów, przy kolejnych odtworzeniach kluczaS = p(0). W tym celu wygodnie jest używać nieco zmodyfikowanej wersji algorytmu6.1, zapisanej w postaci algorytmu 6.3. Wtedy dwukrotne wykonanie tego algorytmuoraz zastosowanie algorytmu Hornera pozwala na wyznaczenie klucza S. Dokładniej,w celu obliczenia ilorazów różnicowych na podstawie udziałów uczestnika W , należywykonać algorytm 6.3 z indeksem początkowym p = 0 i indeksem końcowym s =c − 1. Następnie, w celu obliczenia pozostałych ilorazów różnicowych związanychz udziałami innych uczestników, te indeksy powinny być równe odpowiednio c i r−1.55