Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Współdzielenie sekretuTe identyczności mogą być wykorzystywane do sprawdzenia, czy wśród otrzymanychudziałów U 0 , U 1 , ..., U r−1 nie ma udziałów niedopuszczalnych tzn. takich, w którychtrzecia współrzędna nie należy do zbioru wartości wielomianu p(x) lub jego pochodnych.Następnie, do obliczenia sekretuS = p(0) = z 0 − z 1 x 0 + . . . + (−1) m−1 z m−1 x 0 x 1 . . . x m−2powiernik może wykorzystać algorytm typu Hornera. Przykład 6.2 ilustruje opisanąmetodę dzielenia i odtworzenia sekretu.Przykład 6.2. Niech K = Z 37 będzie ciałem reszt modulo 37. Dealer D wybieraklucz S = 23, wielomianp(x) = x 3 + 2x + 23,węzły interpolacjix 0 = x 1 = 11, x 2 = x 3 = x 4 = 36,i liczbę r = 5, a następnie - obliczając uogólnioną transformację Maclaurina-Lagrange’a,otrzymuje składowe udziałówy 0 = 7, y 1 = 32, y 2 = 20, y 3 = 5, y 4 = 34i przekazuje uczestnikom podziału sekretu udziały:U 0 = (0, 11, 7), U 1 = (1, 11, 32),U 2 = (0, 36, 20), U 3 = (1, 36, 5), U 4 = (2, 36, 34).Z kolei powiernik C, po otrzymaniu 5 udziałów, oblicza wektor uogólnionych ilorazówróżnicowychz = [7, 32, 21, 1, 0]i stwierdza, że ostatni iloraz różnicowy jest równy 0, co potwierdza autentycznośćotrzymanych udziałów i odtwarzanego sekretu. Ponadto zauważa, żep(x) = 7 + 32(x − 11) + 21(x − 11) 2 + (x − 11) 2 (x − 36),i odtwarza klucz S = p(0) = 23.53