Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Współdzielenie sekretuotrzymuje wartościy i = p(ki) (x i ), i = 0, 1, ..., n − 1,k i !i przekazuje uczestnikom udziały postaci:U i = (k i , x i , y i ), i = 0, 1, ..., n − 1,gdzie zakłada się dodatkowo, że krotności n i węzłów x i spełniają ograniczenian i m,które gwarantują, że wszystkie udziały są istotne. Szczegółowy opis algorytmu obliczającegouogólnioną transformację Maclaurina-Lagrange’a M H , w oparciu o schematHornera, został zaprezentowany w pracy [Smarzewski i Kapusta, 2005]. Złożonośćobliczeniowa tego algorytmu wynosi O (n 2 ).Do odtworzenia sekretu S = a 0 = p(0) powiernik C musi otrzymać r (m r n)udziałówU ij = (k ij , x ij , y ij ), j = 0, 1, ..., r − 1, (6.6)gdzie 0 i 0 < i 1 < ... < i r−1 < n. Ponadto udziały (6.6) muszą spełniać warunki(6.3) typowe dla interpolacji typu Hermite’a , tzn. musi być k i0 = 0 orazw przypadku gdy k ij> 0. Z tego względu proponowany podział sekretu jest hierarchiczny,gdyż posiadacz udziału U iji j−1 = i j − 1, i j−2 = i j − 2, . . . , i j−kij = i j − k ij (6.7)= (k ij , x ij , y ij ) (j > 0) nie może partycypowaćw odtworzeniu sekretu, o ile nie zrobią tego jego kolejni zwierzchnicy, posiadającyudziałyU ij −1, U ij −2, . . . , U ij −k ij.Bez zmniejszenia ogólności rozważań można przyjąć założenie, że indeksy i 0 , i 1 , ..., i r−1są równe odpowiednio indeksom 0, 1, . . . , r − 1.W celu odtworzenia sekretu S = p(0) powiernik, wykorzystując algorytm 6.1,oblicza zmodyfikowane ilorazy różnicowez k = p [x 0 , x 1 , ..., x k ] , k = 0, 1, ..., r − 1.Oczywiście musi byćz k = 0, k = m, m + 1, ..., r − 1.52