Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Współdzielenie sekretuAlgorytm 6.1. Uogólniona transformacja Lagrange’a-Newtona L H .Input: Wektory x = (x 0 , x 1 , . . . , x n−1 ) ∈ K n , k = (k 0 , k 1 , . . . , k n−1 ) ∈ K ni y = (y 0 , y 1 , . . . , y n−1 ) ∈ K n .Output: Wektor z = (z 0 , z 1 , . . . , z n−1 ) ∈ K n−1 uogólnionych ilorazów różnicowych.1. Dla j od 0 do n − 1 wykonaj:1.1. Dla i od j do j − k j wykonaj:1.1.1. Przypisz b i = y 2j−kj −i.1.2. Dla i od j − k j − 1 do 0 wykonaj:1.2.1. Przypisz b i = (b i+1 − b i )/(x j − x i ).1.3. Przypisz z j = b 0 .Algorytm 6.1 realizuje obliczanie zmodyfikowanych ilorazów różnicowych z j (j =0, 1, . . . , n − 1) posługując się przy tym pomocniczym wektorem b, w którym zapisywanesą ilorazy różnicowe postacib k = p [x k , x k+1 , . . . , x j ] , k = 0, 1, . . . , j,wykorzystywane w kolejnych cyklach zewnętrznej pętli względem j = 0, 1, . . . , n−1.Złożoność obliczeniowa tego algorytmu wynosi O (n 2 ).We wprowadzonym w [Smarzewski i Kapusta, 2005] hierarchicznym modelu podziałusekretu z losowo wybranym kluczem S, uogólnioną transformację Lagrange’a-Newtona L H wykorzystuje się do odzyskania klucza. W tym modelu dealer D wybierawęzły x 0 , x 1 , ..., x n−1 ze zbioru K\{0} i współczynniki a 0 , a 1 , ..., a m−1 ∈ Kwielomianup(x) =m−1 ∑i=0a k x k , m n,przy czym S = a 0 . Następnie, obliczając uogólnioną transformacje Maclaurina-Lagrange’aM H : (a i ) n−1i=0 → (y i ) i=0n−151