Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Współdzielenie sekretujest lewostronną krotnością węzła x i . Liczba wystąpień węzła x i w ciągu x 0 , x 1 , . . .,x n−1 , tzn. krotność tego węzła, jest równan i = max{k + p + 1 : x i−k = x i+p }.Oczywiście, dla każdej z tych krotności zachodzi n i > k i oraz n i = k s +1 dla pewnegos i. We wzorze (6.2) symbolez j = p [x 0 , x 1 , ..., x j ] , j = 0, 1, ..., n − 1, (6.4)oznaczają zmodyfikowane ilorazy różnicowe dla węzłów x 0 , x 1 , ..., x n−1 , zdefiniowanewzorami rekurencyjnymi postaci⎧y i+k−ki , x i = x i+k ,⎪⎨p [x i , x i+1 , . . . , x i+k ] =⎪⎩p[x i+1 ,x i+2 ,...,x i+k ]−p[x i ,x i+1 ,...,x i+k−1 ]x i+k −x i,w pozostałychprzypadkach,(6.5)w których 0 i oraz i + k < n. Istnienie wielomianu interpolacyjnego (6.2) i jegojednoznaczność wynika z tego, że warunki interpolacji (6.3) dają układ n równańz n niewiadomymi, którego wyznacznik główny jest uogólnionym wyznacznikiemVandermonde’a. Można wykazać [Mühlbach, 1993], że ten wyznacznik jest równyalbo 1, alboo ile∏(i,j)∈ΛZatem jest on różny od zera w ciele K.(x i − x j ),Λ := {(i, j) : 0 j < i < n, x i ≠ x j } ≠ ∅.Wyznaczenie zmodyfikowanych ilorazów różnicowych (6.4) jest równoważne obliczeniutransformacjiprzekształcającej wektorL H : (y i ) n−1i=0 → (z i ) i=0n−1(y i ) n−1i=0 , y i = p(ki) (x i ),k i !na wektor (z i ) n−1i=0 rozwinięcia wielomianu p (x) w uogólnionej bazie Newtona. Jestona uogólnieniem transformacji Lagrange’a-Newtona L prezentowanej w podrozdziale4.2.50