Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiaroweoznacza odwrotną wielowymiarową transformację Lagrange’a-Newtona dla paramiróżnych węzłów x α = (x 1 ,α 1, x 2 ,α 2, . . . , x d ,α d) generowanych wzorami rekurencyjnymix i,j = λ i x i , j−1 +δ i i = 1, 2, .., d, j = 1, 2, . . . , n i − 1,gdzie λ i ≠ 0, δ i i x i,0 = κ i (i = 1, 2, . . . , d) są stałymi z ciała K. Wtedyp = (. . . ((g ⊗ 1 h 1 ) ⊗ 2 h 2 ) ⊗ 3 · · · ⊗ d h d ) · z, (5.16)gdzie elementy wektorów h i = (h i,0 , h i,1 , . . . , h i,ni −1) oraz hipermacierzy g = (g α ) α∈Qni z = (z α ) α∈Qnsą zdefiniowane wzorami (5.14). Ponadto, jeśli ψ i i ω i = ψ 2 i (ψ i ∈ K)są pierwiastkami pierwotnymi z jedności odpowiednio stopnia 2n i i n i (i = 1, 2, . . . , d),wtedy algorytm obliczania odwrotnej transformacji Lagrange’a-Newton oparty nawzorze (5.16) ma złożoność obliczeniową C (N) + (dN), gdzie N = n 1 n 2 . . . n d .5.4. Transformacja Maclaurina-Lagrange’aTransformacja Maclaurina-Lagrange’aM : a = (a β ) β∈Qn→ y = (y β ) β∈Qn,przekształca współczynniki a β rozwinięcia wielomianup(x) = ∑β∈Q na β x β , x β = x β 11 x β 22 . . . x β dd (5.17)względem bazy Maclaurina na współczynniki y β rozwinięcia tego wielomianu względembazy Lagrange’a (5.4). Obliczenie tej transformacji jest równoważne ewaluacjiwielomianu (5.17) w punktach x α (α ∈ Q n ).Zakładając, że współrzędne punków x α = (x 1,α1 , x 2,α2 , . . . , x d,αd ) spełniają zależnościrekurencyjnex i,j = λ i x i,j−1 + δ i , i = 1, 2, . . . , d, j = 1, 2, . . . , n i − 1, (5.18)gdzie λ i ≠ 0, λ i ≠ 1, δ i i x i,0 = κ i (i = 1, 2, . . . , d) są stałymi z ciała K, to wartościwielomianu y α = p(x α ) (α ∈ Q n ) można obliczyć algorytmem rzędu O (C (N)), gdzieN = n 1 n 2 . . . n d i C (N) oznacza koszt obliczenia splotu d-wymiarowego. Rzeczywiścieuogólniając przypadek jednowymiarowy i korzystając z tożsamościx i,j = κ i λ i j + δ i1 − λ ij1 − λ i, i = 1, 2, . . . , d, j = 1, 2, . . . , n i − 1, (5.19)43