Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiarowePoniżej przedstawiono szczegóły obliczania odwrotnej wielowymiarowej transformacjiLagrange’a-Newtona.Algorytm 5.3. Odwrotna wielowymiarowa transformacja Lagrange’a-Newtonadla parami różnych węzłów x α = (x 1,α1 , x 2,α2 , . . . , x d,αd ), gdzie α =(α 1 , α 2 , . . . , α d ) ∈ Q n , n = (n 1 , n 2 , . . . , n d ) i x i,j = λ i x i , j−1 +δ i (i = 1, 2, .., d, j =1, 2, . . . , n i − 1, x i,0 = κ i , λ i ≠ 0).Input: Macierz c = (c α ) α∈Qnilorazów różnicowych, wektory skalarów λ =(λ 1 , λ 2 , . . . , λ d ) , δ = (δ 1 , δ 2 , . . . , δ d ) i κ = (κ 1 , κ 2 , . . . , κ d ) z K d , oraz wektorn = (n 1 , n 2 , .., n d ) liczb całkowitych nieujemnych.Output: Macierz p = (p α ) α∈Qnwartości wielomianu w punktach x α .1. Dla i od 1 do d:1.1. Podstaw z i,0 = 1, v = 0, p = 1/λ i , e = κ i (λ i − 1) + δ i , s i,0 = 1.1.2. Dla j od 1 do n i :1.2.1. v = v · λ i + 1, z i,j = z i,j−1 · v,1.2.2. p = p · λ i , u i,j = u i,j−1 · p,1.2.3. s i,j = s i,j−1 · e.1.2.3. h i,j = 1/z i,j2. Korzystając z (5.14) oblicz z α , g α dla każdego α ∈ Q n .3. Dla i od 1 do d:4.1. Oblicz cząstkowy splot g = g ⊗ i h i .4. Wykonaj mnożenie macierzy po współrzędnych p = g · z.Przedstawione w tym podrozdziale rozważania pozwalają na sformułowania następującegotwierdzenia:Twierdzenie 5.4 (Kapusta i Smarzewski, 2009). NiechL −1 : c = (c α ) α∈Qn→ p = (p α ) α∈Qn42