Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiarowesą równegdzie⎛p α = ⎝ ∑∏ dc ββ∈clQ α i=1s i,βi u i,βiz i,αi −β i⎞d∏⎠ z i,αi , (5.12)i=1s i,j = (κ i (λ i − 1) + δ i ) j ,u i,j =j−1 ∏k=0λ k i , z i,j =j−1 ∏ k∑λ r ik=0 r=0dla i = 1, 2, .., d i j = 0, 1, . . . , n i − 1. Stąd wzór (5.12) można zapisać w postaci⎛ ⎛ ⎛⎞⎞⎞∑α 1 α∑ d−1∑α dp α = ⎝ · · · ⎝ ⎝ g β h d,αd⎠−β dh d−1,αd−1⎠−β d−1· · · h 1,α1⎠−β 1z α , (5.13)gdzieβ 1 =0β d−1 =0β d =0d∏g α = c α s α u α , z α = z i,αi ,i=1d∏d∏u α = u i,αi , s α = s i,αi ,i=1i=1( )1 1 1h i = , , . . . , .z i,0 z i,1 z i,ni −1(5.14)Podobnie jak poprzednio można otrzymać macierzową postać wzoru (5.13):p = (. . . ((g ⊗ 1 h 1 ) ⊗ 2 h 2 ) ⊗ 3 · · · ⊗ d h d ) · z, (5.15)w której elementy g = (g α ) α∈Qn, z = (z α ) α∈Qni h i = (h i,0 , h i,1 , . . . , h i,ni −1) sązdefiniowane jak w (5.14). We wzorze (5.15) ponownie użyto notacji cząstkowegosplotu hipermacierzowego zdefiniowanego w Rozdziale 3 (definicja 3.2). Ponadtowe wzorze (5.15) operacja · jest zwykłym mnożeniem odpowiednich współrzędnychmacierzy wielowymiarowych.Algorytm obliczania odwrotnej wielowymiarowej transformacji Lagrange’a-Newtonaoparty na wzorze (5.15) wyznacza elementy macierzy g i z oraz wektorówh i (i = 0, 1, . . . , d), co wymaga wykonania O (dN) operacji arytmetycznych, obliczawielowymiarowy splot algorytmem rzędu C (N), a następnie wykonuje mnożeniemacierzy po współrzędnych z wykorzystaniem O(N) operacji arytmetycznych. Stądzłożoność obliczeniowa algorytmu wynosiC (N) + O (dN) .41