Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiaroweAlgorytm 5.1. Wielowymiarowa transformacja Lagrange-Newtona dla paramiróżnych węzłów x α = (x 1,α1 , x 2,α2 , . . . , x d,αd ), gdzie α = (α 1 , α 2 , . . . , α d ) ∈ Q n ,n = (n 1 , n 2 , . . . , n d ) i x i,j = λ i x i , j−1 +δ i (i = 1, 2, . . . , d, j = 1, 2, . . . , n i − 1,x i,0 = κ i , λ i ≠ 0).Input: Macierz f = (f α ) α∈Qnwartości funkcji w punktach x α , wektory skalarówλ = (λ 1 , λ 2 , . . . , λ d ) , δ = (δ 1 , δ 2 , . . . , δ d ) i κ = (κ 1 , κ 2 , . . . , κ d ) z K d , oraz wektornieujemnych liczb całkowitych n = (n 1 , n 2 , . . . , n d ).Output: Macierz c = (c α ) α∈Qnilorazów różnicowych.1. Dla i od 1 do d wykonaj:1.1. Podstaw z i,0 = 1, b i,0 = 1, v = 0, t = 1, p = 1/λ i , u i,0 = 1, s i,0 = 1,e = κ i (λ i − 1) + δ i .1.2. Dla j od 1 do n i :1.2.1. v = v · λ i + 1, z i,j = z i,j−1 · v,1.2.2. p = p · λ i , t = −t · p, b i,j = t/z i,j , u i,j = u i,j−1 · p,1.2.3. s i,j = s i,j−1 · e, r ij = s i,j · u i,j .2. Korzystając z (5.9) oblicz r β , a β dla każdego β ∈ Q n .3. Dla i od 1 do d wykonaj:3.1. Oblicz cząstkowy splot a = a ⊗ i b i .4. Wykonaj dzielenie macierzy po współrzędnych c = a/r.Oczywiste jest, że w powyższym algorytmie krokiem najbardziej kosztownym zewzględu na liczbę wykonywanych operacji arytmetycznych jest krok 3, gdyż jest onrównoważny obliczeniu d-wymiarowego splotu. Pozostałe kroki obliczające elementyniezbędnych wektorów i hipermacierzy oraz dzielenia odpowiednich współrzędnychhipermacierzy, wymagają jedynie wykonania O (dN) operacji arytmetycznych. Stądzłożoność obliczeniowa algorytmu 5.1 jest równaC (N) + O (dN) , N = n 1 n 2 . . . n d ,39