Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Interpolacyjne i ewaluacyjne transformacje wielowymiarowe5.2. Transformacja Lagrange’a-NewtonaW obliczeniach numerycznych preferuje się [Stoer i Bulirsch, 1993] używaniewzoru interpolacyjnego Newtona (5.5) zamiast wzoru interpolacyjnego Lagrange’a(5.4). Między innymi dlatego duże znaczenie mają szybkie algorytmy obliczaniatransformacji Lagrange’a-Newtona zdefiniowanej wzoremL : f = (f α ) α∈Qn→ c = (c α ) α∈Qn,gdzie d-wymiarowe ilorazy różnicowe c α występujące w macierzy c wymiaru n 1 ×n 2 × · · · × n d są dane wzorem (5.6).Zakładając, że węzły interpolacyjne x α = (x 1,α1 , x 2,α2 , . . . , x d,αd ) spełniają zależnościrekurencyjne (5.7), które można zapisać w postaciorazα i ∏x i,j = λ j i κ i + δ i(λj−1i(x i,βi − x i,j ) =j=0j≠β iβ i −1 ∏j=0α i ∏⎡⎣λ j ij=β i +1⎡+ λ j−2i + · · · + 1 )β i −j−1 ∑⎣λ β iik=0j−β i −1 ∑k=0Ostatnia równość może być przekształcona do postaci⎤λ k i (κ i (λ i − 1) + δ i ) ⎦⎤λ k i (κ i (1 − λ i ) + δ i ) ⎦ .α i ∏Przyjmując oznaczenia(x i,βi − x i,j ) =j=0j≠β i(κ i (λ i − 1) + δ i ) α iβ∏i −1j=0( j ∑λ k ik=0)αi −β i −1 ∏j=0α i −β ∏ i −1j=0α∏i −1λ j ij=0λ j i(∑− j λ k ik=0).α i ∏(−1) α i−β iz i,βi z i,αi −β(x i,βi − x i,j ) = s i,αi uii,αiuj=0i,αi −β ij≠β ii korzystając ze wzoru (5.6) otrzymuje sięc α =∑d∏ b i,αi −βf (x β )id∏/ r i,αi ,β∈clQ α i=1z i,βi i=137