Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

5. Interpolacyjne i ewaluacyjnetransformacje wielowymiarowe5.1. Sformułowanie problemuNiech n = (n 1 , n 2 , . . . , n d ) będzie wektorem dodatnich liczb całkowitych i niechQ n będzie siatką α = (α 1 , α 2 , . . . , α d ) ze współrzędnymi całkowitymi spełniającyminierówność0 α i < n i dla i = 1, 2, . . . , d.Korzystając z notacji wielowskaźnikowej, definiuje się przestrzeń P d n = P d n (K) wszystkichwielomianówp (x) = ∑α∈Q na α x α (5.1)zmiennej x = (x 1 , x 2 , . . . , x d ) ∈ K d , ze współczynnikami a α = a α1 ,α 2 ,...,α dz ciała K.Wzór (5.1) przedstawia wielomian w reprezentacji potęgowejZakładając, że parami różne punktyx α = x α 11 x α 22 . . . x α dd .x i,0 , x i,1 , . . . , x i,ni −1, x i,j ≠ x i,k dla j ≠ k,należą do ciała K dla każdego i = 1, 2, . . . , d, w przestrzeni P d n, n = (n 1 , n 2 , . . . , n d ),można zdefiniować inne bazy wielomianowe, m. in. bazę Lagrange’ai bazę NewtonaL α (x) =B α (x) =d∏n i −1 ∏i=1 j=0j≠α id∏α i −1 ∏i=1 j=0x i − x i,jx i,αi − x i,j, α = (α 1 , α 2 , . . . , α d ) ∈ Q n , (5.2)(x i − x i,j ) , α = (α 1 , α 2 , . . . , α d ) ∈ Q n , (5.3)35