Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Nowe algorytmy ewaluacji i interpolacji jednowymiarowejCiąg punktów Złożoność obliczeniowa Literaturarównanie rekurencyjne O (c (n)) Algorytm 4.8I-go rzędu (α ≠ 1)dowolny 3n 2 − n Knuth, 20023dowolny c (n) log n + O (c(n)) Bostan i inni, 20032arytmetyczny c (n) log n + O (c(n)) Bostan i Schost, 2005,sekcja 4.3geometryczny c (n) + O (n) Bostan i Schost, 2005,sekcja 5.3Tabela 4.3: Złożoność obliczeniowa algorytmów - transformacja Maclaurina-Lagrange’aDrugi i trzeci wiersz dotyczy algorytmów dla dowolnych parami różnych punktów,przy czym drugi wiersz odnosi się do klasycznych algorytmów, które można znaleźćw typowym kursie analizy numerycznej (nie korzystających z FFT), natomiastwiersz trzeci - szybkich algorytmów wykorzystujących FFT. Czwarty wiersz prezentujezłożoność algorytmów dla punktów, których współrzędne tworzą ciąg arytmetycznyx i = γ + iβ, i = 0, 1, . . . , n − 1, β ≠ 0,oraz piąty wiersz - ciąg geometrycznyx i = α i , i = 0, 1, . . . , n − 1, α ≠ 0.Warto podkreślić, że klasyczny algorytm obliczania transformacji Newtona-Lagrange’adla dowolnej konfiguracji punktów polega na obliczeniu tablicy ilorazów różnicowych[Kincaid i Cheney, 2006]. Natomiast algorytm obliczania tej transformacjiz wykorzystaniem FFT jest złożeniem dwóch transformacji Newtona-Maclaurinaoraz Maclaurina-Lagrange’a. W analogiczny sposób został skonstruowany algorytmobliczania odwrotnej transformacji Newtona-Lagrange’a [Bostan i Schost, 2005].Przykładowe, porównanie liczby operacji arytmetycznych wykonywanych przezalgorytmy transformacji Newtona - Lagrange’a dla punktów, których współrzędnespełniają równanie rekurencyjne pierwszego rzędu zostało przedstawione na rysunku4.1. Rysunek przedstawia wykresy dla algorytmu 4.6 oraz znanych algorytmów rzęduO (n 2 ) [Kincaid i Cheney, 2006] (tabela 4.2, wiersz 2) i O ( n log 2 n ) [Bostan i Schost,2005] (tabela 4.2, wiersz 3), przy założeniu, że splot jest obliczany algorytmem rzędu33