Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Nowe algorytmy ewaluacji i interpolacji jednowymiarowejrówności:w którejy i =n−1 ∑k=0n−1a k γ k α ik ∑= b ik=0p k q i+k , i = 0, 1, . . . , n − 1,b k = α − k2 2 , pk = a k γ k α − k2 2 , qk = α k2 2 , k = 0, 1, . . . , n − 1.Stądgdziei∑y i−(n−1) = b i−(n−1) d k c i−k , i = n − 1, n, . . . , 2n − 2,k=0d k ={pn−1−k , k = 0, 1, . . . , n − 1,0, k = n, n + 1, . . . , 2n − 2c k = α k2 2 , k = 0, 1, . . . , 2n − 2,W konsekwencji, jeśli d = (d i ) 2n−2i=0 , c = (c i) 2n−2i=0i b = (b i ) n−1i=0 , toy = ( d ˜⊗c ) · b, (4.14)gdzied ˜⊗c = P n (d ⊗ c) .W ostatnim wzorze projekcja P n : K 2n−1 → K n jest zdefiniowana przezP n (e) = (e n−1 , e n , . . . , e 2n−2 ) , e = (e 0 , e 1 , . . . , e 2n−2 ) .Idea obliczania transformacji Maclaurina-Lagrange’a dla punktów tworzącychciąg geometryczny jako splotu została przedstawiona w [Rabiner i inni, 1969]. W [Ahoi inni, 1975] algorytm obliczania tej transformacji został rozszerzony na punktyx i = γα 2i + βα i + δ (i = 0, 1, . . . , n − 1). Okazuje się, że jeśli punkty spełniają zależnośćrekurencyjną (4.1) i α ≠ 1, to transformacja Maclaurina-Lagrange’a może byćrównież obliczona przy pomocy splotów. Wyprowadzając ten algorytm korzysta sięz tożsamościx iα≠1= γα i + β( ) 1 − αi, i = 1, . . . , n − 1. (4.15)1 − αPodstawiając ją do wzoru (4.13) otrzymuje się29