Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Nowe algorytmy ewaluacji i interpolacji jednowymiarowejStąd⎛ ⎞i∑b i = ⎝ p j q i−j⎠ r i , i = 0, 1, . . . , n − 1,j=0lub równoważnieb = (p ⊗ q) · r,gdziep = (p j ) n−1j=0 , q = (q j) n−1j=0 , r = (r j) n−1j=0 ,orazp j = c j [(α − 1) γ + β] j j−1 ∏k=0α k ,j−11 ∏ k∑= r j = α ν . (4.11)q j k=0 ν=0Z powyższego wynika następujące twierdzenie:Twierdzenie 4.5 (Smarzewski i Kapusta, 2007). Jeżeli N : K n → K n oznaczatransformację Newtona-Lagrange’a dla parami różnych punktów spełniających zależnośćrekurencyjną x i = αx i−1 + β (i = 0, 1, . . . , n − 1, , x 0 = γ) , toN (c) =(p ⊗ 1 )· r, (4.12)rgdzie współrzędne wektorów p = (p j ) n−1j=0 i r = (r j ) n−1j=0 są zdefiniowane tak jakw (4.11). Ponadto, jeśli w ciele K istnieją pierwiastki pierwotne z jedności ψ i ω =ψ 2 , odpowiednio stopni 2n i n, to algorytm bazujący na wzorze (4.12) ma złożonośćobliczeniową równą c(n) + O(n), gdzie c(n) oznacza koszt obliczenia zwiniętego splotu.W szczególnym przypadku stosowania algorytmu bazującego na wzorze (3.4) rządtego algorytmu jest równy O(n log n) .Dla zupełności rozważań, szczegóły obliczania transformacji Newtona-Lagrange’aw oparciu o wzór (4.12) zostały przedstawione w algorytmie 4.6.27