Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Nowe algorytmy ewaluacji i interpolacji jednowymiarowejrekurencyjnymi (4.1), wtedy dla tej transformacji istnieje wydajny algorytm o złożonościobliczeniowej c (n) + O (n).Rzeczywiście, podstawiającdo wzoru (4.4) i korzystając zotrzymuje się·i∏k=j+1x i = α i γ + β ( α i−1 + α i−2 + . . . + 1 ) (4.6)α j−k − 1 = (α − 1)(α j−k−1 + α j−k−2 + . . . + 1) (4.7)c i [(α − 1)γ + β] i i−1 ∏k=0α k =i∑j=0j−1 ∏k=0i−1i−j ∏[(α − 1)γ + β] α kk=j[] =α j (1 − α k−j ) γ − βα j k−j−1 ∑α νν=0[y j [(α − 1)γ + β] j j−1 ∏α kk=0∑]α k (α j−k − 1)γ + βα k j−k−1α νi∑j=0j−1 ∏y jk∑k=0 m=0(−1)·α mi−j−1 ∏k=0ν=0i−j−1i−j ∏α kk=0k∑m=0α m .W konsekwencji⎛ ⎞i∑c i = ⎝ p j q i−j⎠/r i , i = 0, 1, . . . , n − 1,j=0lub równoważniec = (p ⊗ q)/r,przy założeniu, że współrzędne wektorów p, q, r są dane wzoramip j =j−1 ∏y jk∑k=0 m=0α m , q j =r j = [(α − 1)γ + β] j j−1 ∏k=0(−1) j j−1 ∏j−1 ∏k=0 m=0α kk=0k∑α m ,α k , j = 0, 1, . . . , n − 1.(4.8)Tym samym zostało dowiedzione następujące twierdzenie:24