Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Preliminariaz wektorem początkowym d postaci( 1d = , − b )1, 0, 0, . . .b 0 b 2 0generuje wymagany wektor dekonwolucjid = (d 0 , d 1 , . . . , d n−1 )dla b = (b 0 , b 1 , . . . , b n−1 ), b 0 ≠ 0. Ponieważ koszt obliczenia splotu ⊗ 2 iO(i2 i ) oczywiste jest, że koszt algorytmu 3.1 wynosi(O n log 2 n + n )2 log n22 + . . . + 2 log 2 2 = O (n log n) .jest równyW konkretnych zastosowaniach wymagających odwrócenia splotu niekiedy możnaskonstruować inne, nieco lepsze algorytmy, które nie wymagają stosowania iteracyjnejmetody Newtona. W szczególności ma to miejsce w przypadku odwracaniatransformacji Lagrange’a-Newtona. Zostanie to dokładniej omówione w rozdziale 4.3.2. Splot wielowymiarowySplot wielowymiarowy definiuje się podobnie, jak jednowymiarowy. Przyjmując,że n = (n 1 , n 2 , . . . , n d ) oznacza wektor dodatnich liczb całkowitych iQ n = {α = (α 1 , α 2 , . . . , α d ) : 0 α i < n i dla i = 1, 2, . . . , d}jest zbiorem n 1 n 2 · · · n dwielowskaźników o współrzędnych całkowitych, wielowymiarowysplot hipermacierzy x = (x α ) α∈Qn i tablicy y = (y i ) d i=1 wektorów y i =(y i,0 , y i,1 , . . . , y i,ni −1) jest z definicji hipermacierzą z = (z α ) α∈Qn określoną wzoremz = x ⊗ 1 y 1 ⊗ 2 y 2 ⊗ 3 · · · ⊗ d y d . (3.7)W tym wzorze cząstkowe sploty ⊗ i definiuje się w następujący sposób:Definicja 3.2. Macierz wielowymiarowąw = (w α ) α∈Qn= x ⊗ i y i ∈ K n 1×n 2 ×···×n d, 1 i d,nazywamy i-tym cząstkowym splotem hipermacierzy x = (x α ) α∈Qni wektora y i =(y i,0 , y i,1 , . . . , y i,ni −1) jeżeli każda kolumnaw β1 ,...,β i−1 ,•,β i+1 ,...,β d, 0 β j < n j , j = 1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , d,19