Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

PreliminariaZ drugiej strony ψ n = −1. Zatemn−1 ∑n−1ψ i h i ω il ∑ i∑n−1=ψ i ∑a k b i−k −i=0i=0 k=0k=i+1(2n−1 ∑ i∑)ψ k a k ψ i−k b i−kk=0=i=0ω il ⎛⎝Stąd dzielenie przez Ψ = (1, ψ, ψ 2 , ..., ψ n−1 ) dajeco kończy dowód wzoru (3.4).ψ i a k b n+i−k⎞⎠ω il , l = 0, 1, . . . , n − 1.h = F −1 [F (Ψ · a) · F (Ψ · b)] /Ψ,Operacja odwrotna do obliczania zwiniętego splotu c = a ⊗ b, czyli operacjadekonwolucji wektorówa = c ⊘ b = c ⊗ b −1jest określona dla wektorów c, b ∈ K n , o ile pierwsza współrzędna b 0 wektora b jestróżna od zera. Szukany wektor a jest dany wzorami rekurencyjnymia 0 = c 0 /b 0 ,(a i =c i −i−1 ∑k=0a k b i−k)/b 0 , i = 1, 2, . . . , n − 1,(3.5)otrzymanymi z trójkątnego układu równań (3.3). Obliczenie wektora a = c ⊗ dwymaga wcześniejszego obliczenia wektoratakiego, żegdzieb(x) =d = (d 0 , d 1 , . . . d n−1 ) = b −11/b(x) =n−1 ∑k=0n−1 ∑k=0d k x k + O(x n ), (3.6)( )∣b k x k i d k = dk 1 ∣∣∣∣x=0.dx k b(x)Ten wektor może być obliczony przy pomocy metody Newtona [Borwein i Borwein,1987]. Dokładniej, przyjmując( 1d = , − b )1, 0, . . . , 0b 0 b 2 0kolejne współrzędne wektora d = b −1 są generowane tak jak w algorytmie 3.1.17