Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

PreliminariaSplotem wektorówa = (a 0 , a 1 , ..., a n−1 ) i b = (b 0 , b 1 , ..., b n−1 )o współrzędnych z ciała K jest wektorzdefiniowany wzoramia × b = (c 0 , c 1 , ..., c 2n−1 ),i∑c i = a k b i−k , i = 0, 1, . . . , 2n − 1. (3.1)k=0Jeżeli wektory a i b potraktujemy jako współczynniki wielomianówa(x) =n−1 ∑i=0a i x i i b(x) =n−1 ∑i=0b i x i , (3.2)wtedy obliczenie splotu jest równoważne obliczeniu iloczynu tych wielomianówc(x) = a(x)b(x) =2n−1 ∑i=0c i x i .Splot wektorów a i b można obliczyć algorytmem o złożoności obliczeniowejc (n) = 9n log n + O (n)[Bini i Pan, 1994]. Taki algorytm bazuje na tożsamościa × b = F −1ψ [F ψ(E(a)) · F ψ (E(b))] ,gdzie ψ = √ ω jest z założenia pierwiastkiem pierwotnym z jedności stopnia 2n w K,zanurzenie E : K n → K 2n jest zdefiniowane następująco⎛E(a) = ⎝a 0 , a 1 , . . . , a n−1 , 0, 0, . . . , 0⎠ , a = (a} {{ }0 , a 1 , . . . , a n−1 ) ∈ K n ,nnatomiast F ψ : K 2nwspółrzędna jest dana wzorem⎞→ K 2n oznacza dyskretną transformację Fouriera, której i-ta(F ψ (a)) i =2n−1 ∑k=0a k ψ ik , i = 0, 1, . . . , 2n − 1.14