Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

3. Preliminaria3.1. DFT, jednowymiarowy splot i dekonwolucjaNiech K = (K+, ·) będzie ciałem z pierwiastkiem pierwotnym z jedności ω stopnian = 2 k . Dyskretną transformację Fouriera F ω : K n → K n oraz transformację doniej odwrotną Fω−1 : K n → K n definiuje się następującob = F ω (a),a = Fω−1 (b),b = (b 0 , b 1 , . . . , b n−1 ), a = (a 0 , a 1 , . . . , a n−1 ),n−1 ∑b i = a k ω ik , a i = 1k=0nn−1 ∑k=0b k ω −ik , i = 0, 1, . . . , n − 1,przy dodatkowym założeniu, że istnieje element odwrotny⎛⎞−11n = ⎜⎟⎝1 + 1 + . . . + 1} {{ }⎠ , 1 − jedynka w ciele K.n−elem.Transformację Fouriera F ω : K n → K n i transformację do niej odwrotną możnaobliczyć słynnym algorytmem FFT zaproponowanym przez Jamesa W. Cooleyai Johna W. Tukeya [1965], wykonując 3 n log n+O (n) operacji arytmetycznych w cieleK [Pan, 2001; von zur Gathen i Gerhard, 2003]. Wiele późniejszych2implementacjibazuje na algorytmie FFT, np. szybka biblioteka transformacji Fouriera FFTW[Frigo i Johnson, 1997, 2005]. Zwięzły opis wyprowadzenia algorytmu obliczającegodyskretną transformację Fouriera wraz z jego implementacją w języku C++ zostałprzedstawiony w pracy [Smarzewski i Kapusta, 2005]. Ten algorytm wykorzystujeideę użytą w słynnym algorytmie szybkiego sortowania Quick-Sort podanym np.w monografii [Wirth, 2001].W przypadku, gdy liczba n nie jest potęgą dwójki, jednym z możliwych sposobówpostępowania jest dopełnienie brakujących elementów danego wektora zerami tak,aby otrzymać wektor odpowiedniego rozmiaru [Mateer, 2008].13