Algorytmy transformacji wielomianowych i ich zastosowania

Aktualny stan wiedzyzwalający na obliczenie wartości wielomianu i jego pochodnych, dla dowolnych punktów[Knuth, 2002] wymaga wykonania O (n 2 ) operacji arytmetycznych, przy czymn oznacza liczbę punktów wraz z ich krotnościami. W przypadku, gdy współrzędnen punktów spełniają równie rekurencyjne pierwszego rzędu i krotności tych punktówwynoszą 2 to uogólnioną transformację Maclaurina-Lagrange’a można obliczyćalgorytmem o złożoność obliczeniowej równej O (n log n) [Kapusta i Smarzewski,2007a]. Algorytm obliczania transformacji odwrotnej jest tego samego rzędu [Kapustai Smarzewski, 2006a]. Szybki algorytm, rzędu O (n log n), istnieje również dlajednopunktowej ewaluacji wielomianu stopnia n − 1 tzn. obliczania wartości kolejnychpochodnych wielomianu w ustalonym punkcie [Aho i inni, 1975].Interesujące wyniki dotyczące algorytmów zmiany reprezentacji wielomianu w odniesieniudo baz wielomianowych Newtona i Maclaurina, zostały przedstawionew pracy [Gerhard, 2000]. W wymienionej pracy zostały omówione algorytmy z uwzględnieniemwspomnianych baz dla dowolnej konfiguracji punktów oraz specjalnejkonfiguracji punktów, tzn. dla punktów, których współrzędne tworzą ciąg arytmetyczny.Przegląd algorytmów zmiany bazy wielomianów można znaleźć w [Aho i inni,2003], [Bini i Pan, 1994] i [Knuth, 2002], oraz artykule [Bostan i Schost, 2005].Ponadto, w wymienionych pracach znajduje się dobre, obszerne omówienie literaturyzwiązanej z tą tematyką. Warto zwrócić uwagę, że znane algorytmy interpolacjii ewaluacji wielomianów dla dowolnych konfiguracji punktów, o złożoności obliczeniowejrównej O ( n log 2) , w sposób istotny wykorzystują algorytm obliczania splotubazujący na algorytmie FFT [von zur Gathen i Gerhard, 2003; Bini i Pan, 1994].Wśród wyników opublikowanych w ostatnich latach, ważnym rezultatem wydajesię być uogólnienie algorytmów rzędu O (n log n), obliczania jednowymiarowychtransformacji z uwzględnieniem specjalnych konfiguracji punktów, na punkty generowaneprzez równanie rekurencyjne pierwszego rzędu [Smarzewski i Kapusta, 2007].Algorytmy opisane w wymienionej pracy dotyczą transformacji względem baz wielomianowychLagrange’a i Newtona.Naturalnym rozszerzeniem transformacji jednowymiarowych na wiele wymiarówjest zastosowanie podejścia tensorowego. Przy takim podejściu wiele rezultatów dotyczącychprzypadku jednowymiarowego przenosi się na wiele wymiarów. Przykład11