Tablice analityczne dla KRP (1). - Zakład Logiki Stosowanej, UAM

Logika Matematyczna 18, 19Jerzy PogonowskiZakład Logiki Stosowanej UAMwww.logic.amu.edu.plpogon@amu.edu.plMetoda TA w KRP (1)Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 1 / 111

WprowadzeniePlan na dziśPierwsza z omawianych operacji konsekwencji w KRP to konsekwencjawyznaczona przez tablice analityczne.Zakładamy, że słuchacze pamiętają, czym jest konsekwencja tablicowa wKRZ.Dowody wszystkich twierdzeń z niniejszej prezentacji przedstawiono w plikutabkrp.pdf. Podano tam również kilkadziesiąt szczegółowo omówionychprzykładów oraz zadania, wszystkie z rozwiązaniami.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 2 / 111

O drzewach — przypomnienieO drzewach — przypomnienieWszystkie potrzebne elementarne pojęcia dotyczące drzew podane zostałyna wykładach 11–12. Tu przypomnimy jedynie, z jakich pojęć będziemykorzystać:drzewo, korzeń, gałąź, liść(bezpośredni) przodek i (bezpośredni) potomek wierzchołkapoziom drzewa, wysokość drzewarząd wierzchołka, rząd drzewadrzewa: skończone, nieskończone, rzędu skończonegoLemat Königapoddrzewo, przedłużenie drzewa (na gałęzi) drzewempoprzeczny i wzdłużny porządek wierzchołków drzewa.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 3 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa znakowaneDrzewa znakowanePrzez drzewo znakowane elementami zbioru A rozumiemy układ (D, f )taki, że:D = (X , x 0 , R) jest drzewem,f : D → A jest funkcją (przyporządkowującą każdemu wierzchołkowidrzewa D element zbioru A).W podanych niżej konstrukcjach drzewa będą znakowane formułami językaKRP.Niech (D, f ) będzie drzewem znakowanym, a P gałęzią w D. Mówimy, żeelement f (x) występuje na gałęzi P, jeśli x ∈ P.Zauważmy, że jeśli (D, f ) jest drzewem znakowanym elementami zbioru A,a P jest gałęzią w D, to element f (x) (gdzie x ∈ P) może na gałęzi Pwystąpić wielokrotnie.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 4 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa znakowaneNumeracja wystąpieńNiech (D, f ) będzie drzewem znakowanym, P gałęzią w D, gdzieD = (X , x 0 , R), a f : X → A. Elementy gałęzi P są, z definicji, liniowouporządkowane przez relację R. Poszczególne wystąpienia elementu a ∈ Ana gałęzi P można ponumerować, wykorzystując porządek R gałęzi P:pierwszym wystąpieniem a na P jest para (x i , a) taka, że a = f (x i )oraz x i jest R-najmniejszym elementem P takim, że a = f (x i );jeśli (x i , a) jest n-tym wystąpieniem a na P, przez n + 1 wystąpieniea na P rozumiemy parę (x j , a) taką, że a = f (x j ) oraz x j jestR-najmniejszym elementem P takim, że a = f (x i ) i x i Rx j . Jeśli takiex j nie istnieje, to (x i , a) jest ostatnim wystąpieniem a na P.Rozważane dalej drzewa będą rzędu skończonego. Nadto, będziemyrozważać sytuacje, gdy gałąź jest nieskończona dokładnie wtedy, gdy tensam element występuje na niej nieskończenie wiele razy.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 5 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa syntaktyczne termów i formułDrzewa syntaktyczne termówPrzez drzewo syntaktyczne termu rozumiemy każde znakowane drzewoskończonego rzędu (o zadanym poprzecznym porządku wierzchołków) Ttakie, że:Liście T są znakowane zmiennymi lub stałymi indywiduowymi.Każdy wierzchołek T , nie będący liściem, jest znakowany termemzłożonym postaci f (t 1 , . . . , t n ).Każdy wierzchołek, który jest znakowany termem postaci f (t 1 , . . . , t n )ma dokładnie n bezpośrednich potomków, znakowanych przezt 1 , . . . , t n oraz uporządkowanych (poprzecznie) w tej właśniekolejności.Jeśli korzeń drzewa syntaktycznego termu T jest znakowany termemf (t 1 , . . . , t n ), to mówimy, że T jest drzewem syntaktycznym termuf (t 1 , . . . , t n ).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 6 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa syntaktyczne termów i formułDrzewa syntaktyczne termówKażdy term t ma dokładnie jedno drzewo syntaktyczne.Jeśli T jest drzewem syntaktycznym termu bazowego, to liście T niesą znakowane zmiennymi.Przykład drzewa syntaktycznego termu:f (a, g(x, y))✟ ✟❍❍a g(x, y)✟❍x yUwaga. Drzewa syntaktyczne termów nie są, w ogólności drzewaminierozwojowymi w sensie watykańskim. Poszczególne ich wierzchołki (niebędące liśćmi) mogą mieć dowolną skończoną liczbę bezpośrednichpotomków, zależną od liczby argumentów symbolu funkcyjnegowystępującego w danym wierzchołku.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 7 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa syntaktyczne termów i formułDrzewa syntaktyczne formuł atomowychPrzez szkielet drzewa syntaktycznego formuły atomowejrozumiemy każde znakowane drzewo rzędu skończonego o wysokości1, którego korzeń jest znakowany formułą atomową, a liście (wporządku poprzecznym) są znakowane argumentami tej formuły. Jeślikorzeń takiego drzewa jest znakowany formułą atomową R(t 1 , . . . , t n ),to jego liście są znakowane termami t 1 , . . . , t n (w porządkupoprzecznym, w tej właśnie kolejności).Przez drzewo syntaktyczne formuły atomowej rozumiemy każdedrzewo otrzymane ze szkieletu drzewa syntaktycznego formułyatomowej przez zastąpienie liści tego szkieletu drzewamisyntaktycznymi termów znakujących te liście.Jeśli korzeń drzewa syntaktycznego formuły atomowej jest znakowanyformułą R(t 1 , . . . , t n ), to mówimy, że jest to drzewo syntaktycznetej właśnie formuły.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 8 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa syntaktyczne termów i formułDrzewa syntaktyczne formuł atomowychWprost z tej definicji wynika, że każda formuła atomowa ma dokładniejedno drzewo syntaktyczne. Oto przykład prostego drzewa syntaktycznegoformuły atomowej:R(a, f (x, y), g(a))❍✟ ✟✟✟ ❍❍❍a f (x, y) g(a)✟❍x y aJerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 9 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa syntaktyczne termów i formułSzkielety drzew syntaktycznych formułSzkieletem drzewa syntaktycznego formuły nazywamy każdeznakowane nierozwojowe w sensie watykańskim drzewo T z poprzecznymporządkiem wierzchołków takie, że:Liście T są znakowane formułami atomowymi.Jeśli w jest wierzchołkiem T nie będącym liściem i w ma dokładniejednego bezpośredniego potomka znakowanego formułą α, to w jestznakowany jedną z formuł: ¬α, ∀x α lub ∃ α, dla pewnej zmiennej x.Jeśli w jest wierzchołkiem T nie będącym liściem i w ma dokładniedwóch bezpośrednich potomków znakowanych formułami α oraz β (wtej kolejności, w porządku poprzecznym), to w jest znakowany jedną zformuł: α ∧ β, α ∨ β, α → β lub α ≡ β.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 10 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa syntaktyczne termów i formułDrzewa syntaktyczne formułPrzez drzewo syntaktyczne formuły rozumiemy każde znakowane drzewoz poprzecznie uporządkowanymi wierzchołkami otrzymane ze szkieletudrzewa syntaktycznego formuły poprzez zastąpienie liści tego szkieletudrzewami syntaktycznymi formuł atomowych znakujących te liście.Jeśli korzeń drzewa syntaktycznego formuły T jest znakowany formułą α,to mówimy, że T jest drzewem syntaktycznym formuły α.Oto prosty przykład drzewa syntaktycznego formuły:∃x (P(a, x) → Q(a, f (x, a, b)))P(a, x) → Q(a, f (x, a, b))✟ ✟✟ ❍ ❍❍P(a, x) Q(a, f (x, a, b))✟❍a x ✟ ✟ ❍ ❍a f (x, a, b)✟ ✟ ❍ ❍x a bJerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 11 / 111

O drzewach — przypomnienieDrzewa syntaktyczne termów i formułGłębokość formułyZauważmy, że:Każda formuła ma dokładnie jedno drzewo syntaktyczne.Jeśli korzeń szkieletu drzewa syntaktycznego jest znakowany formułąα, to wierzchołki tego szkieletu drzewa syntaktycznego są znakowanepodformułami formuły α oraz termami występującymi w α.Głębokością formuły α nazywamy wysokość jej drzewa syntaktycznego.Niektóre dowody indukcyjne dotyczące tablic analitycznych przeprowadzanesą przez indukcję właśnie po głębokości formuł.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 12 / 111

Intuicje dotyczące metody TAIntuicje dotyczące metody TAIntuicje dotyczące TA dla formuł bez kwantyfikatorów zostały podane nawykładach 11–12. Definicje podstawowych pojęć semantycznych dla KRPpodano w wykładach 16–17. Warunki spełniania formuł języka KRP (przezwartościowania w strukturach relacyjnych ) wykorzystują stałe indywiduowenazywające elementy uniwersum interpretacji. Odpowiadają imnastępujące, intuicyjnie (!) sformułowane, ustalenia:Gdy za prawdziwe (w ustalonej interpretacji) uznajemy zdanie postaci∃xα(x), to uznamy też za prawdziwe zdanie postaci α(a), dla pewnejstałej indywiduowej a, oznaczającej jakiś obiekt w uniwersum tejintepretacji.Gdy za prawdziwe (w ustalonej interpretacji) uznamy zdanie postaci∀xα(x), to uznamy też za prawdziwe wszystkie zdania postaci α(t),dla każdego termu bazowego oznaczającego jakiś obiekt z uniwersumtejże interpretacji.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 13 / 111

Intuicje dotyczące metody TAPrzypomnienie: relacja spełnianiaUwaga. Przypominamy (zobacz wykład 16), że definicja spełnianiaformuły w strukturze przez wartościowanie miała, dla przypadku formuł zkwantyfikatorami, postać następującą:M |= w ∀x i (α) wtedy i tylko wtedy, gdy M |= w mim ∈ M;M |= w ∃x i (α) wtedy i tylko wtedy, gdy M |= w mim ∈ M.α dla każdegoα dla pewnegoWartościowanie wim jest ciągiem, w którym na i-tym miejscu występujeelement m z uniwersum interpretacji M.Dla dowolnej interpretacji M w języku rachunku predykatów L niech L Moznacza język L, do którego dodajemy stałe indywiduowe c m dla każdego mnależącego do uniwersum interpretacji M. Stosujemy przy tym umowę, żeinterpretacją stałej c m w strukturze M jest element m.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 14 / 111

Intuicje dotyczące metody TAInterpretacja termów bazowychOkreślimy interpretację termów bazowych w dowolnej interpretacji M:(przypominamy, że) każda stała indywiduowa c jest interpretowanajako pewien element c M uniwersum struktury M;(przypominamy, że) każdy symbol funkcyjny n-argumentowy f jestinterpretowany jako pewna n-argumentowa funkcja f M określona nauniwersum struktury M i o wartościach w tym uniwersum;jeśli t 1 , . . . , t n są termami bazowymi, a f jest n-argumentowymsymbolem funkcyjnym, to interpretacją termu bazowego f (t 1 , . . . , t n )jest f M (t M 1 , . . . , tM n ).Jeśli każdy element interpretacji M jest wartością jakiegoś termu bazowegoz L, to można indukcyjnie określić relację |= spełniania zdań języka L winterpretacji M w następujący sposób (tu R M jest relacją będącąinterpretacją n-argumentowego predykatu R w M, a t M jest interpretacjątermu t w M):Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 15 / 111

Intuicje dotyczące metody TASpełnianie zdańM |= R(t 1 , . . . , t n ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodziR M (t M 1 , . . . , tM n );M |= (α) ∧ (β) wtedy i tylko wtedy, gdy M |= α oraz M |= β;M |= (α) ∨ (β) wtedy i tylko wtedy, gdy M |= α lub M |= β;M |= (α) → (β) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M |= α lubzachodzi M |= β;M |= ¬(α) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M |= α;M |= ∀x i (α) wtedy i tylko wtedy, gdy M |= α(x i /t) dla każdegotermu bazowego t;M |= ∃x i (α) wtedy i tylko wtedy, gdy M |= α(x i /t) dla pewnegotermu bazowego t.Formuła α(x i /t) powstaje z formuły α przez zastąpienie wolnych wystąpieńzmiennej x i termem t.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 16 / 111

Intuicje dotyczące metody TASpełnianie zdańJeśli nie każdy element interpretacji M jest wartością jakiegoś termubazowego z L, to powyższą definicję formułujemy w języku L M .Uwaga. Podobnie jak w przypadku KRZ, używanie pojęć semantycznychdla wyrażenia intuicji dotyczących tablic analitycznych w KRP jest jedyniechwytem reklamowym. Metoda tablic analitycznych dla KRP jestmetodą czysto syntaktyczną. Jej związek z pojęciami semantycznymiustalają twierdzenia o trafności i pełności.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 17 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice atomoweTablice atomoweNiech α oraz β będą dowolnymi formułami, a γ dowolną formułą atomowąjęzyka KRP. Tablicami atomowymi są wszystkie drzewa (znakowane)jednej z trzynastu poniższych postaci:㠬㬬ααJerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 18 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice atomoweTablice atomoweα ∧ βαβ¬(α → β)α¬β¬(α ∨ β)¬α¬βα ∨ β✟ ✟❍❍α βα → β✟❍¬α β¬(α ∧ β)✟✟ ❍❍¬α ¬βJerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 19 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice atomoweTablice atomowe(∀)∀x α(x)α(x/a)dla każdego termubazowego a(∃)∃x α(x)α(x/a)dla każdejnowej stałej a(¬∀)¬∀x α(x)(¬∃)¬∃x α(x)¬α(x/a)¬α(x/a)dla każdejnowej stałej adla każdego termubazowego aJerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 20 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice atomoweTablice atomowePrzypominamy, że term bazowy to term bez zmiennych.Gdy mówimy w warunkach (∃) oraz (¬∀) o nowych stałych, to mamy namyśli stałe nie występujące w formule z korzenia rozważanej tablicyatomowej.Przypomnijmy (zob. wykłady 16–17), że rozważamy język KRP, w którychjest przeliczalnie wiele stałych indywiduowych.Dla dowolnej formuły języka KRP można zatem znaleźć stałą, która w tejformule nie występuje.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 21 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczneTablice analityczneDefinicja tablic analitycznych jest indukcyjna:(a) Każda tablica atomowa jest tablicą analityczną.(b) Jeśli D jest tablicą analityczną, P jest gałęzią w D zawierającąwierzchołek (znakowany przez) α, to również D ⊔ P D α jest tablicąanalityczną.(c) Jeśli D 0 , D 1 , D 2 , . . . , D n , . . . jest ciągiem tablic analitycznychtakim, że D n+1 powstaje z D n (dla n 0) przez zastosowanie kroku(2), to ⊔ D n jest tablicą analityczną.Operacje ⊔ Poraz ⊔ były objaśnione w definicji TA dla KRZ.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 22 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczneTablice analityczneUwaga. Obowiązują oczywiście uwagi dotyczące nowych stałych, podanepo definicji tablic atomowych.Jeśli D jest tablicą analityczną, to przez L D rozumiemy język rachunkupredykatów, w którym mamy stałe indywiduowe dla wszystkich nowychstałych, wprowadzonych w trakcie konstrukcji tablicy D.Uwaga. W przypadku KRP jest istotne, że krok (b) w definicji tablicyanalitycznej każe przyłączać do ustalonej gałęzi całą (a więc łącznie zkorzeniem) tablicę atomową. Ma to mianowicie istotne znaczenie wprzypadku wystąpień formuł generalnie skwantyfikowanych oraz negacjiformuł egzystencjalnie skwantyfikowanych. Rzecz wyjaśnimy dokładniej wprzykładach poniżej.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 23 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczneTablice analityczneUwaga. W definicji tablic analitycznych dla KRP są też istotnewystąpienia formuł w tablicach. Definicja tablic analitycznych powinnawłaściwie uwzględniać funkcję znakującą.Tablice analityczne (w tym oczywiście tablice atomowe) powinny być, dlapełnej precyzji, definiowane jako pary (D, f ), gdzie D jest tablicąotrzymaną na mocy któregoś z warunków (a)–(c) powyższej definicji, a fjest funkcją ze zbioru wierzchołków drzewa D w zbiór F KRP wszystkichformuł języka KRP.Rezygnujemy z tej pedanterii. Będziemy korzystać ze znakowaniawierzchołków tablicy analitycznej formułami języka KRP, uznając, że wkażdym przypadku dane jest implicite znakowanie wierzchołków formułami.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 24 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczneTablice analityczneBudowanie tablic analitycznych będzie polegało na przedłużaniu gałęzi odrzewa atomowe. Dla zamykania gałęzi istotne będzie, jakie stałeindywiduowe bądź termy bazowe występują na tych gałęziach. Reguły (∀)oraz (¬∃) (z definicji tablic atomowych) pozwalają na posłużenie siędowolnym termem bazowym.W praktyce, wygodne jest uważanie tablic atomowych dla formułskwantyfikowanych oraz negacji formuł skwantyfikowanych za wyliczoneprzez następujące reguły (odniesienie do gałęzi w poniższych regułachoznacza gałąź, na której znajduje się formuła z korzenia rozważanej tablicyatomowej):Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 25 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczne: praktyczne regułyTablice analityczneReguła dla formuł generalnie skwantyfikowanych:R(∀)∀x α(x)α(x/t)dla każdego termu bazowego t występującego na rozważanej gałęzi.Reguła dla formuł egzystencjalnie skwantyfikowanych:R(∃)∃x α(x)α(x/a)dla nowej stałej indywiduowej a nie występującej dotąd na rozważanejgałęzi.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 26 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczne: praktyczne regułyTablice analityczneReguła dla negacji formuł generalnie skwantyfikowanych:R(¬∀)¬∀x α(x)¬α(x/a)dla nowej stałej indywiduowej a nie występującej dotąd na rozważanejgałęzi.Reguła dla negacji formuł egzystencjalnie skwantyfikowanych:R(¬∃)¬∃x α(x)¬α(x/t)dla każdego termu bazowego t występującego na rozważanej gałęzi.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 27 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczne: praktyczne regułyTablice analityczneReguły R(∀) oraz R(¬∃) są wzmocnione dodatkowym warunkiem: jeśli nagałęzi, której dotyczy ich zastosowanie nie ma jeszcze żadnej stałejindywiduowej, to posługujemy się jakąś z góry ustaloną stałą.Uwaga. Każda stała indywiduowa jest termem bazowym. Reguły R(∀)oraz R(¬∃) stosują się zatem również w odniesieniu do dowolnych stałychindywiduowych.Powyższe reguły polegają więc na stosowaniu następujących zasad:Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 28 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczne: praktyczne regułyTablice analityczneR(∀). Jeśli w danej gałęzi tablicy analitycznej wystąpiła formułapostaci ∀x α(x), to na tejże gałęzi umieszczamy wszystkie formułypostaci α(t), dla każdego termu bazowego t występującego narozważanej gałęzi.R(∃). Jeśli w danej gałęzi tablicy analitycznej wystąpiła formułapostaci ∃x α(x), to na tejże gałęzi umieszczamy formułę postaci α(a),gdzie a jest nową stałą indywiduową, nie występującą dotąd narozważanej gałęzi.R(¬∀). Jeśli w danej gałęzi tablicy analitycznej wystąpiła formułapostaci ¬∀x α(x), to na tejże gałęzi umieszczamy formułę postaci¬α(a), gdzie a jest nową stałą indywiduową, nie występującą dotąd narozważanej gałęzi.R(¬∃). Jeśli w danej gałęzi tablicy analitycznej wystąpiła formułapostaci ¬∃x α(x), to na tejże gałęzi umieszczamy wszystkie formułypostaci ¬α(t), dla każdego termu bazowego t występującego narozważanej gałęzi.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 29 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczne: praktyczne regułyTablice analityczneW przypadku drugiej i trzeciej z wymienionych wyżej reguł mówimy owprowadzaniu nowej stałej indywiduowej (i opuszczaniu kwantyfikatoraegzystencjalnego lub zanegowanego kwantyfikatora generalnego).W przypadku pierwszej i czwartej z wymienionych reguł mówimy orozwijaniu formuły generalnie skwantyfikowanej ze względu na danyterm bazowy [na daną stałą indywiduową] (oraz opuszczaniu kwantyfikatorageneralnego lub zanegowanego kwantyfikatora egzystencjalnego).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 30 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczne: praktyczne regułyTablice analityczneBudując tablice analityczne w KRP najpierw rozważamy formuły egzystencjalnieskwantyfikowane i wprowadzamy nowe stałe indywiduowe, następnie dlawszystkich formuł generalnie skwantyfikowanych umieszczamy na danej gałęziodpowiednie formuły otrzymane poprzez opuszczenie kwantyfikatora generalnego(lub negacji kwantyfikatora egzystencjalnego) i zastąpienie wiązanej przezeńzmiennej każdą stałą indywiduową występującą na tej gałęzi.Jeśli nie mamy do dyspozycji żadnej formuły egzystencjalnie skwantyfikowanej, amamy jakieś formuły generalnie skwantyfikowane (lub negacje egzystencjalnieskwantyfikowanych), to wprowadzamy nowe stałe indywiduowe przez rozwinięciedowolnej formuły generalnie skwantyfikowanej (lub negacji egzystencjalnieskwantyfikowanej).Jeśli w formule dla której zaczynamy budować tablicę analityczną występują jużjakieś termy bazowe (w szczególności, stałe indywiduowe), to oczywiścieobowiązują dla nich reguły R(∀) oraz R(¬∃).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 31 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice analityczne ze zbioru założeńTablice analityczne ze zbioru założeńMetodę TA można stosować nie tylko w odniesieniu do pojedynczychformuł, lecz również biorąc pod uwagę dowolne (w tym także nieskończone)zbiory formuł.Niech S będzie zbiorem zdań języka KRP. Tablice analityczne ze zbioruS są zdefiniowane przez warunki (a), (b) i (c) definicji tablic analitycznychoraz dodatkowy warunek:(b ∗ ) Jeśli D jest tablicą analityczną ze zbioru założeń S, P gałęzią wD oraz α ∈ S, to D ⊔ P α jest tablicą analityczną ze zbioru założeń S.Zbiór założeń może być też pusty — wtedy powyższa definicja redukuje siędo poprzedniej.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 32 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice sprzeczneTablice sprzeczneNiech D będzie tablicą analityczną ze zbioru założeń S i niech Pbędzie gałęzią w D. Mówimy, że P jest sprzeczna, gdy w P występujepara formuł wzajem sprzecznych, tj. formuły α oraz ¬α, dla pewnej α.Tablica analityczna D jest sprzeczna, gdy każda gałąź w D jestsprzeczna.Zamiast terminu: gałąź sprzeczna używa się też terminu: gałąźzamknięta. Gdy gałąź nie jest zamknięta, to mówimy też, że jest gałęziąotwartą.Zamiast terminu: tablica sprzeczna używa się też terminu: tablicazamknięta. Gdy tablica analityczna D zawiera co najmniej jedną gałąźotwartą, to mówimy też, że D jest otwarta.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 33 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeDowody tablicoweDowody tablicoweDowodem tablicowym formuły α ze zbioru założeń S nazywamykażdą sprzeczną tablicę analityczną ze zbioru S o korzeniu ¬α. Jeśli istniejedowód tablicowy formuły α ze zbioru założeń S, to piszemy S ⊢ tab α. JeśliS ⊢ tab α, to mówimy także, że α jest tablicowo wyprowadzalna(dowodliwa) z S.Jeśli α jest wyprowadzalna z pustego zbioru założeń, to piszemy ⊢ tab α imówimy, że α jest tablicowo wyprowadzalna (dowodliwa) w KRP.Zauważmy, że jeśli istnieje dowód tablicowy D formuły α ze zbioru założeńS, to istnieje także skończony dowód tablicowy α z S: wystarczyzamknąć każdą gałąź w D z chwilą wystąpienia na niej pary formułwzajem sprzecznych.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 34 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeKonsekwencja tablicowaKonsekwencja tablicowaOperację C tab konsekwencji tablicowej w KRP definiujemy następująco, dladowolnego zbioru formuł X :C tab (X ) = {α : X ⊢ tab α}.Tak określona operacja C tab spełnia warunki (C1)–(C4) z definicji ogólnejoperacji konsekwencji.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 35 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeZbiory tablicowo sprzeczneZbiory tablicowo sprzeczneZbiór formuł S języka KRP jest tablicowo sprzeczny, gdy S ⊢ tab α ∧ ¬αdla pewnego zdania α języka KRP. W przeciwnym przypadku S jesttablicowo niesprzeczny.Niech t 1 , t 2 , . . . , t n , . . . będzie wyliczeniem wszystkich termów bazowychrozważanego języka KRP. Oczywiście wszystkie stałe indywiduowea 1 , a 2 , . . . , a n , . . . są elementami tego wyliczenia. Będziemy zakładać, że tewyliczenia określają ustalone porządki liniowe w zbiorze wszystkich termówbazowych oraz w zbiorze wszystkich stałych indywiduowych.W poniższych definicjach zakłada się też, że dana jest jakaś funkcjaznakująca wierzchołki tablic analitycznych formułami.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 36 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeZredukowane wystąpienia formułZredukowane wystąpienia formułNiech D = ⊔ D n będzie tablicą analityczną ze zbioru założeń S, a Pgałęzią w D. Niech (v, α) będzie i-tym wystąpieniem α w P. Mówimy, żewystąpienie (v, α) jest zredukowane w P, gdy zachodzi jeden znastępujących przypadków:α nie jest ani postaci ∀x β(x) ani postaci ¬∃x β(x) i dla pewnego jtablica D j+1 otrzymana jest z tablicy D j przez zastosowanie reguły (b)z definicji tablic analitycznych do α oraz stosownego odcinkapoczątkowego P, tj. D j+1 = D j ⊔ Q D α , gdzie Q = P ∩ |D j | orazQ = v;lub:α jest postaci ∀x β(x) i β(t i ) występuje w P oraz w P istniejei + 1-sze wystąpienie αα jest postaci ¬∃x β(x) i ¬β(t i ) występuje w P oraz w P istniejei + 1-sze wystąpienie α.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 37 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice zakończoneTablice zakończoneTablica analityczna D jest zakończona, jeśli każde wystąpienie każdejformuły na każdej gałęzi otwartej jest zredukowane.Tablica analityczna D ze zbioru założeń S jest zakończona, jeśli każdewystąpienie każdej formuły na każdej gałęzi otwartej jest zredukowanei dla każdej αinS formuła α występuje na każdej gałęzi otwartej w D.Tablice analityczne, które nie są zakończone nazywamyniezakończonymi.Zanim zdefiniujemy tablice systematyczne przypomnijmy, że wierzchołkikażdego drzewa można uporządkować liniowo (wzdłużnie lub poprzecznie).W następnej definicji wykorzystamy (kanoniczny) poprzeczny porządekwierzchołków. Przypomnijmy, że jest on jednoznacznie określony przezkolejność wierzchołków (lewa gałąź, prawa gałąź) w tablicach atomowych.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 38 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice systematyczneTablice systematyczneNiech α będzie zdaniem języka KRP. Systematyczną tablicę analitycznąD(α) = ⊔ D n (α) dla α budujemy w sposób następujący:Krok początkowy.Tablica D 0 (α) jest tablicą atomową dla α. W przypadkach (∀) oraz (¬∃)korzystamy z termu bazowego t 1 , a w przypadkach (∃) i (¬∀) korzystamyze stałej a i dla pierwszego dostępnego i (tj. w tym przypadku takiego, żea i nie występuje w α). Wtedy oczywiście (jedyne) wystąpienie α w D 0 (α)jest zredukowane.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 39 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice systematyczneTablice systematyczneKrok następnikowy.Przypuśćmy, że tablica D n (α) została skonstruowana. Jeśli każdewystąpienie α w D n (α) jest zredukowane, to kończymy konstrukcję iD(α) = ⊔ D n (α) jest tablicą systematyczną dla α.W przeciwnym przypadku, niech v będzie pierwszym (w porządkupoprzecznym) wierzchołkiem takim, że dla pewnej formuły β wystąpienie(v, β) nie jest zredukowane na pewnej otwartej gałęzi P tablicy D n (α).Tablicę D n+1 (α) budujemy wykorzystując jeden z następujących (wzajemsię wykluczających) przypadków:Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 40 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice systematyczneTablice systematyczneJeśli β nie jest ani postaci ∀x γ(x) ani postaci ¬∃x γ(x), toD n+1 (α) = ⊔ (D n (α) ⊔ P D β ), gdzie suma ⊔ brana jest po wszystkichgałęziach otwartych P w D n (α), zawierających wystąpienie (v, β).[Przypominamy, że D β jest tablicą atomową o korzeniu (znakowanymprzez) β.] Jeśli β jest postaci ∃x γ(x) lub postaci ¬∀x γ(x), tokorzystamy ze stałej a j o najmniejszym dostępnym numerze.W przeciwnym przypadku:Jeśli β jest postaci ∀x γ(x) i (v, β) jest i-tym wystąpieniem β w P, toD n+1 (α) = ⊔ (D n (α) ⊔ P D t iβ ), gdzie suma ⊔ brana jest po wszystkichgałęziach otwartych P w D n (α), zawierających wystąpienie (v, β), adrzewo D t iβskłada się jedynie z korzenia β oraz liścia γ(t i).Jeśli β jest postaci ¬∃x γ(x) i (v, β) jest i-tym wystąpieniem β w P,to D n+1 (α) = ⊔ (D n (α) ⊔ P D t iβ ), gdzie suma ⊔ brana jest powszystkich gałęziach otwartych P w D n (α), zawierających wystąpienie(v, β), a drzewo D t iβskłada się jedynie z korzenia β oraz liścia ¬γ(t i).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 41 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice systematyczneTablice systematyczneKrok graniczny.W granicy bierzemy sumę: D(α) = ⊔ D n (α).Tablicę systematyczną zdania α ze zbioru założeń S, oznaczaną przezD(S, α) = ⊔ D n (S, α) budujemy w sposób następujący:W krokach parzystych (n = 2k) postępujemy, jak w definicji tablicsystematycznychW krokach nieparzystych (n = 2k + 1)D n+1 (S, α) = ⊔ (D n (S, α) ⊔ P α k ), gdzie suma ⊔ brana jest powszystkich gałęziach otwartych w D n (S, α), a α k jest k-tymelementem zbioru S (zakładamy, że S jest liniowo uporządkowany).Kontynuujemy tę konstrukcję tak długo, aż wszystkie elementy zbioruS zostaną uwzględnione.D(S, α) = ⊔ D n (S, α).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 42 / 111

Tablice analityczne dla KRP: definicjeTablice systematyczneTablice systematyczneChociaż tablice systematyczne są, w ogólności, drzewami nieskończonymi,to — jak udowodnimy niżej — są one zawsze tablicami zakończonymi.Pora na ilustrację wprowadzonych konstrukcji przykładami.Dla celów praktycznych konieczne jest ustalenie jakiejś notacji.Proponowana poniżej jest nieco nadmiarowa, ale sądzimy, że jest przyjaznadla czytelnika.Doświadczenia dydaktyczne ostatnich lat pokazują, że odbiorcami naszejposługi dydaktycznej są teraz dzieci z pokolenia ikonicznego, do którychłatwiej docierają obrazki i rysunki niż np. notacja algebraiczna.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 43 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: notacjaTA dla KRP: notacjaStosować będziemy następującą umowę notacyjną w graficznychreprezentacjach tablic analitycznych:√a oznacza opuszczenie kwantyfikatora egzystencjalnego (bądź negacjikwantyfikatora generalnego) i wprowadzenie w formule za tymkwantyfikatorem (odpowiednio, w negacji formuły) nowej stałejindywiduowej a w miejsce zmiennej wiązanej przez ten kwantyfikator;⋆ a oznacza zastąpienie formuły generalnie skwantyfikowanej (lubnegacji formuły egzystencjalnie skwantyfikowanej) przez formułę bezkwantyfikatora generalnego (odpowiednio, negację formuły), ze stałąindywiduową a wstawioną w miejsce zmiennej wiązanej przez tenkwantyfikator; notację ⋆ t stosujemy też, ogólniej, dla dowolnego termubazowego t;Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 44 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: notacjaTA dla KRP: notacjanumery (z kropką) umieszczane w górnej frakcji po prawej stronieformuł informują o kolejności wykonywanych działań; po kropcewystępuje symbol spójnika (bądź negacji spójnika) do któregostosujemy odnośną regułę (z reguł budowania tablic analitycznych wKRZ) lub symbole √ albo ⋆ wraz z termem bazowym (wszczególności, ze stałą indywiduową), których dotyczą;numery (w nawiasach) po lewej stronie formuł informują o wynikachwykonywanych działań; formuły z pnia drzewa, które nie powstały wwyniku stosowania żadnych reguł otrzymują numery 0.1, 0.2, 0.3, . . .;gałąź zamkniętą oznaczamy liściem × n,m , gdzie (n) oraz (m) sąnumerami formuł wzajem sprzecznych, występujących na tej gałęzi;gałęzie otwarte oznaczamy liściem ◦; jeśli mamy więcej gałęziotwartych, to liście te kolejno numerujemy; czasem używamy też np.symboli ♣, ♦, ♥ oraz ♠ (ewentualnie z indeksami numerycznymi) naoznaczenie gałęzi otwartych.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 45 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: notacjaTA dla KRP: notacjaPrzypomnijmy, że przez pień drzewa rozumiemy część wspólną wszystkichjego gałęzi.Tak więc, symbol √ dotyczy zastosowań reguł R(∃) oraz R(¬∀), natomiastsymbol ⋆ zastosowań reguł R(∀) oraz R(¬∃).Zilustrujmy podane wyżej reguły oraz umowę przykładami. We wszystkichtych przykładach kolejne kroki budowania tablic analitycznych wyliczane sąprzez komentarze (z prawej strony, w górnej frakcji) opatrzone numerami zkropką; wyniki wykonania tych kroków są numerowane z lewej strony,numery otrzymanych formuł podawane są w nawiasach.Śledzenie budowy tablicy analitycznej sprowadza się do obserwowaniakolejności wykonywanych kroków (z prawej strony formuł) i otrzymywanychwyników (z lewej strony formuł).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 46 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: notacjaTA dla KRP: notacjaStosowanie reguł dających rozgałęzienia (np. R(→), R(¬∧) daje w wynikudwie formuły; będziemy wtedy używać numerów (w nawiasach) z indeksamidolnymi: l (dla lewej formuły) oraz p (dla prawej formuły).W przypadku reguł bez rozgałęzień dających dwie formuły (np. R(∧),R(¬ →) otrzymane formuły numerować będziemy numerami z indeksamidolnymi g (dla pierwszej, górnej formuły) oraz d (dla drugiej, dolnejformuły).Reguły nie powodujące rozgałęzień i dające w wyniku jedną formułę (czyliR(¬¬), R(∀), R(¬∃)) nie wymagają sztuczek z indeksami.Wreszcie, reguły R(≡) oraz R(¬ ≡) dają w rezultacie cztery formuły,numerowane liczbami z indeksami dolnymi: lg, ld, pg oraz pd(odpowiednio: lewa górna, lewa dolna, prawa górna, prawa dolna).Najpierw będziemy rozważać przykłady w języku KRP bez symbolifunkcyjnych.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 47 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznejPokażemy, krok po kroku, jak tworzymy tablicę analityczną. Wybierzmyproste zdanie:(∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x)).Umieszczamy formułę w korzeniu tablicy:(0) (∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x))Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 48 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznejJest to implikacja, a więc stosujemy regułę dotyczącą tego spójnika, dającąw rezultacie rozgałęzienie. Zastosowanie reguły dotyczącej implikacjizaznaczamy z prawej strony formuły, której to zastosowanie dotyczy, przynumerze kroku, który tym samym wykonujemy. Formuły otrzymane wrezultacie wykonania tego kroku opatrujemy numerami w nawiasach z lewejstrony, jeśli potrzeba, to z indeksami. W rozważanym przypadku z prawejstrony formuły, od której zaczęliśmy umieszczamy komentarz 1.→ , którymożemy odczytać: w kroku pierwszym stosujemy regułę dotyczącąimplikacji do formuły z lewej strony komentarza. Otrzymujemy, zgodnie zestosowaną regułą, zaprzeczony poprzednik implikacji (formuła w gałęzilewej, o numerze (1 l )) oraz, w gałęzi prawej, następnik tej implikacji(formuła o numerze (1 p )):Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 49 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznej(0) (∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x)) 1.→❍ ❍✟ ✟✟✟✟✟✟❍❍❍ ❍(1 l ) ¬(∃x P(x) → ∃y Q(y)) (1 p) ∃x (P(x) → Q(x))Zajmiemy się najpierw gałęzią lewą. Formuła o numerze (1 l ) jestzaprzeczoną implikacją, a więc zastosowanie odpowiedniej reguły (cozaznaczamy pisząc w komentarzu z prawej strony 2.¬→ ) daje w wyniku dwieformuły: poprzednik tej implikacji (formuła o numerze (2 g )) oraz jejzaprzeczony następnik (formuła o numerze (2 d )), umieszczone jedna poddrugą na rozważanej gałęzi:Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 50 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznej(0) (∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x)) 1.→❍ ❍✟ ✟✟✟✟✟✟❍❍❍ ❍(1 l ) ¬(∃x P(x) → ∃y Q(y)) 2.¬→ (1 p) ∃x (P(x) → Q(x))(2 g ) ∃x P(x)(2 d ) ¬∃y Q(y)Formuła o numerze (2 g ) jest formułą egzystencjalnie skwantyfikowaną,możemy więc zastosować do niej regułę dotyczącą wprowadzania nowychstałych indywiduowych; zaznaczamy wykonanie kroku trzeciego pisząc zlewej strony formuły o numerze (2 g ) komentarz 3.√a (wprowadzenie nowejstałej indywiduowej a) i otrzymując w rezultacie formułę o numerze (3):Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 51 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznej(0) (∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x)) 1.→❍ ❍✟ ✟✟✟✟✟✟❍❍❍❍(1 l ) ¬(∃x P(x) → ∃y Q(y)) 2.¬→ (1 p) ∃x (P(x) → Q(x))(2 g ) ∃x P(x) 3.√ a(2 d ) ¬∃y Q(y)(3) P(a)Względem nowowprowadzonej stałej indywiduowej a należy rozwinąć (tzn.zastosować regułę opuszczania kwantyfikatora generalnego lub zanegowanegokwantyfikatora egzystencjalnego) wszystkie formuły generalnie skwantyfikowanelub zaprzeczenia wszystkich formuł egzystencjalnie skwantyfikowanychznajdujących się na rozpatrywanej gałęzi. Tu mamy formułę o numerze (2 d ),która jest zaprzeczeniem formuły generalnie skwantyfikowanej.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 52 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznejKrok czwarty polega więc na zastosowaniu odnośnej reguły, tj. R(¬∀) izapisaniu komentarza 4.⋆a z prawej strony formuły, do której reguła jeststosowana. Otrzymujemy w ten sposób formułę o numerze (4):(0) (∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x)) 1.→❍❍❍✟ ✟✟✟✟✟✟❍❍❍❍(1 l ) ¬(∃x P(x) → ∃y Q(y)) 2.¬→ (1 p) ∃x (P(x) → Q(x))(2 g ) ∃x P(x) 3.√ a(2 d ) ¬∃y Q(y) 4.⋆ a(3) P(a)(4) ¬Q(a)Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 53 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznejTo kończy budowanie lewej gałęzi drzewa; do znajdujących się na niejformuł nie można już zastosować żadnej z reguł, które mamy do dyspozycji.Uwaga. Stosujemy w tym momencie dwa uproszczenia, które będziemytakże konsekwentnie stosować wszędzie dalej.1. Po pierwsze, powinniśmy dopisać do tej gałęzi nie tylko formułę ¬Q(a),ale także raz jeszcze formułę ¬∃y Q(y), a dokładniej, powinniśmyprzedłużyć gałąź o drzewo:¬∃y Q(y)¬Q(a)zgodnie z definicją (budowania) tablicy analitycznej. Dla prostoty, zamiastwykonania tej procedury, dopisujemy do rozważanej gałęzi jedynie formułę¬Q(a).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 54 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznej2. Po drugie, z czysto teoretycznego punktu widzenia, jeśli na gałęzi jest formułageneralnie skwantyfikowana, lub — jak to właśnie ma miejsce w rozważanymprzypadku — zanegowana formuła egzystencjalnie skwantyfikowana ¬∃y Q(y), todo tej gałęzi dopisać należałoby wszystkie formuły postaci ¬Q(t), gdzie t jestdowolnym termem bazowym, a dokładniej, do tej gałęzi dołączyć należałobywszystkie drzewa atomowe postaci:¬∃y Q(y)¬Q(t)gdzie t jest dowolnym termem bazowym. Zarówno w rozważanym tu przypadku,jak i wszędzie dalej, będziemy konsekwentnie stosować również to drugie opisanetu uproszczenie: ograniczamy się do dopisania jedynie formuły ¬Q(a), gdyż a jestjedyną stałą na rozważanej gałęzi, względem której stosować można regułę R(¬∃)do formuły ¬∃y Q(y).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 55 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznejJak postępować, gdy na rozważanej gałęzi jest zdanie generalnieskwantyfikowane (lub zanegowane zdanie egzystencjalnie skwantyfikowane)oraz więcej niż jedna stała indywiduowa (lub, ogólniej, term bazowy),zobaczymy w jednym z następnych przykładów.Zwinnie przeskakujemy teraz na gałąź prawą. Formuła o numerze (1 p ) jestegzystencjalnie skwantyfikowana, stosujemy więc do niej regułę R(∃)dotyczącą opuszczania kwantyfikatora egzystencjalnego i wprowadzanianowej stałej indywiduowej. Ten, piąty krok zaznaczamy pisząc komentarz5. √b z prawej strony formuły o numerze (1 p ) i otrzymujemy w rezultacieformułę o numerze (5):Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 56 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznej(0) (∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x)) 1.→❍❍❍✟ ✟✟✟✟✟✟❍❍❍❍(1 l ) ¬(∃x P(x) → ∃y Q(y)) 2.¬→(1 p) ∃x (P(x) → Q(x)) 5.√ b(2 g ) ∃x P(x) 3.√ a(5) P(b) → Q(b)(2 d ) ¬∃y Q(y) 4.⋆ a(3) P(a)(4) ¬Q(a)Jedyne, co można jeszcze zrobić na tej gałęzi, to zastosowanie regułydotyczącej implikacji do formuły o numerze (5). Ten, szósty krok(zaznaczony komentarzem 6.→ z prawej strony formuły o numerze (5)) dajew rezultacie rozgałęzienie na formuły o numerach (6 l ) oraz (6 p ):Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 57 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznej(0) (∃x P(x) → ∃y Q(y)) → ∃x (P(x) → Q(x)) 1.→✟ ❍❍❍✟ ✟✟✟✟✟ ❍❍❍❍(1 l ) ¬(∃x P(x) → ∃y Q(y)) 2.¬→(1 p) ∃x (P(x) → Q(x)) 5.√ b(2 g ) ∃x P(x) 3.√ a(2 d ) ¬∃y Q(y) 4.⋆ a(3) P(a)(5) P(b) → Q(b) 6.→✟ ✟✟ ✟ ❍❍❍❍(6 l ) ¬P(b) (6 p) Q(b)(4) ¬Q(a)Budowa tablicy została zakończona.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 58 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 1: tworzenie tablicy analitycznejDodajmy jeszcze, że w rozważanym przypadku kolejność stosowania regułbyła jednoznacznie określona. Nie zawsze będziemy zmuszeni do takrozkosznej bezmyślności; często to, jakie reguły stosować w jakiejkolejności jest niezwykle istotne dla budowania tablic w sposób możliwienajbardziej efektywny (ze względu na rozważany problem), a ponadtozaspokoić pozwala tęsknoty estetyczne (budowane drzewa powinny byćładne), które nie są zarezerwowane jedynie dla przedstawicieli wyższej klasyśredniej w krajach cywilizacji judeochrześcijańskiej i euroatlantyckiej.Zauważmy też, że w gałęzi prawej mogliśmy się posłużyć symbolem a dlawprowadzenia nowej stałej indywiduowej (krok 5.). Tak samo jak w KRZ,to co „dzieje się” na jednej gałęzi nie ma żadnego wpływu na to, co „dziejesię” na pozostałych gałęziach.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 59 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 2: tworzenie tablicy analitycznejRozważmy formułę:∀x∀y∀z (R(x, y, z) ∨ Q(x, y)).Zbudujemy dla niej tablicę analityczną, stosując pewne uproszczenia, któreoczywiście objaśnimy:(0) ∃x∀y∀z (R(x, y, z) ∨ Q(x, y)) 1.√ a(1) ∀y∀z (R(a, y, z) ∨ Q(a, y)) 2.⋆ a(2) ∀z (R(a, a, z) ∨ Q(a, a)) 3.⋆ a(3) R(a, a, a) ∨ Q(a, a) 4.∨✟ ✟✟✟ ❍ ❍❍(4 l ) R(a, a, a) (4 p) Q(a, a)Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 60 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 2: tworzenie tablicy analitycznejFormuła w korzeniu jest skwantyfikowana egzystencjalnie, co nakazujewprowadzenie nowej stałej a (krok 1.). Otrzymana formuła o numerze (1)jest formułą generalnie skwantyfikowaną, i na tworzonej gałęzi występujestała a. Trzeba więc do formuły (1) zastosować regułę R(∀) względem tejstałej (krok 2.). Otrzymana formuła o numerze (2) jest formułą generalnieskwantyfikowaną, i na tworzonej gałęzi występuje stała a. Trzeba więc doformuły (2) zastosować regułę R(∀) względem tej stałej (krok 3.).Otrzymana formuła o numerze (3) nie rozpoczyna sie od kwantyfikatora;jest alternatywą, a więc trzeba do niej zastosować regułę R(∨) (krok 4.).Otrzymujemy rozgałęzienie. Ani do formuły o numerze (4 l ), ani do formułyo numerze (4 l ) nie można już stosować żadnych reguł, bo są to formułyatomowe. Koniec pracy.Uproszczenie polega tu na tym, że notacja ⋆ a zastępuje (teoretycznie wymagane)dopisanie do tworzonej gałęzi na nowo formuły, z której prawej strony notacja tajest umieszczona. Będziemy stosować to uproszczenie.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 61 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 2: tworzenie tablicy analitycznejMoże komuś wydawać się dziwne (albo i dziwaczne), że tłumaczymy tewszystkie uproszczenia. Należy podkreślić rzecz następującą. Precyzyjnedefinicje (tablicy analitycznej, tablicy systematycznej, itd.) są niezbędne,aby udowodnić, że metoda tablic analitycznych w KRP jest poprawna(trafna i pełna).Natomiast przy rozważaniu konkretnych, zwykle nieskomplikowanychprzykładów tablic analitycznych użyteczne stają się pewne uproszczenia,pozwalające zaoszczędzić czas, siły, miejsce na kartce, itd. Oczywiście,uproszczenia te nie mogą prowadzić do błędnych wyników.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 62 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 2: tworzenie tablicy analitycznejTak więc, gdy w tablicy analitycznej mamy zdanie generalnieskwantyfikowane postaci ∀x α(x) (lub zanegowane zdanie egzystencjalnieskwantyfikowane postaci ¬∃x α(x)), to teoretycznie powinniśmy dołączyćdo rozważanej gałęzi każde drzewo atomowe postaci:∀x α(x)α(t)lub każde drzewo atomowe postaci:dla dowolnego termu bazowego t.¬∃x α(x)¬α(t)W praktyce dołączamy jednak w takich przypadkach jedynie formuły α(t)(lub ¬α(t)), dla tych termów bazowych (w szczególności: dla tychstałych), które występują na rozważanej gałęzi.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 63 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 3: tworzenie tablicy analitycznejRozważmy formułę:∃x∀y R(a, x, y).Jej tablica analityczna ma postać następującą:(0) ∃x∀y R(a, x, y) 1.√ b(1) ∀y R(a, b, y) 2.⋆ b 3. ⋆ a(2) R(a, b, b)(3) R(a, b, a)Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 64 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 3: tworzenie tablicy analitycznejFormuła w korzeniu tablicy to formuła egzystencjalna, a więc w kroku 1.stosujemy regułę R(∃) i wprowadzamy nową stałą b, otrzymując formułę onumerze (1).Jest to formuła generalnie skwantyfikowana, a na rozważanej gałęzi mamydwie stałe: a oraz b.Trzeba zatem do formuły (1) dwukrotnie zastosować regułę R(∀): razwzględem stałej b, a po raz drugi względem stałej a (kolejność nie gra roli).W wyniku wykonania każdego z tych kroków (kroków 2. oraz 3.)otrzymujemy zdanie atomowe. Koniec pracy.Bardziej złożone przypadki zostały omówione w pliku tabkrz.pdf.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 65 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 4: tablica nieskończonaFormuła: ∃x P(x) ∧ ∀y∃z Q(y, z) ma nieskończoną tablicę analityczną:(0) ∃x P(x) ∧ ∀y∃z Q(y, z) 1.∧(1 g ) ∃x P(x) 2.√ a(1 d ) ∀y∃z Q(y, z) 3.⋆ a 5. ⋆ b 7. ⋆ c(2) P(a)(3) ∃z Q(a, z) 4.√ b(4) Q(a, b)(5) ∃z Q(b, z) 6.√ c(6) Q(b, c)(7) ∃z Q(c, z)Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 66 / 111.

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 4: tablica nieskończonaPowinno być widoczne, że budowy tej tablicy analitycznej zakończyć niemożna. Tak, jak każą reguły, wprowadziliśmy stałą indywiduowąopuszczając kwantyfikator egzystencjalny w formule o numerze (1 g ).Rozwinięcie formuły generalnej (1 d ) ze względu na tę stałą dało w wynikuzdanie egzystencjalne. Wprowadziliśmy nową stałą, rozwinęliśmy względemniej formułę generalną (1 d ), znów otrzymaliśmy formułę egzystencjalną, itd.Jeśli ktoś pragnie bliższego oswojenia się z ewentualnymi interpretacjami tejformuły, to proponujemy czytać P(x) np. jako x jest bezrobotna, zaśQ(x, y) jako x jest zapożyczona u y.Czy zdanie: Nie dość, że mamy bezrobocie, to w dodatku wszyscy majądługi brzmi swojsko?Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 67 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 5: tablica nieskończonaZdanie: Jest ktoś, kto jest szczęśliwy tylko wtedy, gdy wszyscy sąnieszczęśliwi ma dość ponury wydźwięk społeczny.Uznajmy, że być szczęśliwym to predykat jednoargumentowy. CzytajmyS(x) jako: x jest szczęśliwy. Zbudujmy tablicę analityczną dla formułyjęzyka KRP, która odpowiada strukturze składniowej rozważanego zdania:∃x∀y (S(x) → ¬S(y)) 1.√ a(1) ∀y (S(a) → ¬S(y)) 2.⋆ a(2) S(a) → ¬S(a) 3→✟ ✟✟ ✟ ❍❍❍❍(3 l ) ¬S(a) (3 p) ¬S(a)◦◦Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 68 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 5: tablica nieskończonaNa tym budowę tablicy musimy zakończyć — na żadnej gałęzi nie mażadnych formuł, do których można byłoby stosować jakiekolwiek regułyopuszczania stałych logicznych.Ponieważ ta tablica ma gałęzie otwarte, więc rozważana formuła jestprawdziwa w jakichś interpretacjach. Na przykład, jest prawdziwa wuniwersum jednoelementowym, w którym dopełnienie denotacji predykatuS zawiera całe to uniwersum. Wracając do interpretacji wyjściowej,rozpatrywane zdanie jest prawdziwe np. w świecie złożonym z jednegonieszczęśliwego osobnika. Jako ćwiczenie polecamy namysł nad tym, wjakich innych jeszcze światach zdanie to jest prawdziwe (czy mogą w nichistnieć ludzie szczęśliwi?).Zbudujmy teraz tablicę analityczną dla negacji rozważanej formuły:Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 69 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykłady¬(∃x∀y(S(x) → ¬S(y))) 1.⋆ a 3. ⋆ b 7. ⋆ c(1) ¬∀y (S(a) → ¬S(y)) 2.√ b(2) ¬(S(a) → ¬S(b)) 4.¬→(3) ¬∀y (S(b) → ¬S(y)) 6.√ c(4 g ) S(a)(4 d ) ¬¬S(b) 5.¬¬(5) S(b)(6) ¬(S(b) → ¬S(c)) 8.¬→(7) ¬∀y (S(c) → ¬S(y))(8 g ) S(b)(8 d ) ¬¬S(c) 9.¬¬(9) S(c).Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 70 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTA dla KRP: proste przykładyPrzykład 5: tablica nieskończonaNa początku, nie mamy tu do dyspozycji formuły egzystencjalnieskwantyfikowanej, do której moglibyśmy bezpośrednio zastosować regułę R(∃) aninegacji formuły generalnie skwantyfikowanej, do której moglibyśmy zastosowaćregułę R(¬∀). W takich przypadkach wprowadzamy nową stałą indywiduowąkorzystając z dowolnego zdania generalnie skwantyfikowanego lub negacji zdaniaegzystencjalnie skwantyfikowanego, tzn. rozwijamy takie zdanie ze względu nadowolną stałą indywiduową z języka KRP.Tu mamy do czynienia z drugim z takich przypadków. Wprowadzenie nowej stałejdaje w wyniku negację zdania generalnie skwantyfikowanego, to pozwalawprowadzić kolejną nową stałą; zastosowanie wobec tej drugiej stałej regułyR(¬∃) generuje następne zdanie egzystencjalne, itd.W rezultacie otrzymujemy gałąź nieskończoną. Jak zobaczymy później, oznaczato, że formuła ∃x∀y(S(x) → ¬S(y)) nie jest tautologią KRP. A więc — wszczególności — istnienie kogoś, kto żywiłby się wyłącznie Schadenfreude niejest logicznie konieczne.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 71 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTrochę heurystykiTrochę heurystykiTo co najważniejsze z praktycznego punktu widzenia, jeśli chodzi o metodętablic analitycznych da się streścić tak oto. Masz jakąś formułę (dokładniej:zdanie) języka KRP. Budujesz jej tablicę analityczną. Każda zkonstruowanych gałęzi jest próbą konstrukcji interpretacji, w którejrozważana formuła jest prawdziwa. Jeśli gałąź jest zamknięta (zawiera paręformuł wzajem sprzecznych), to gałąź taka nie może odpowiadać żadnejinterpretacji, w której badana formuła jest prawdziwa. Zamykanie gałęzi tozatem wykluczanie zachodzenia pewnych sytuacji. Natomiast istnieniegałęzi otwartych w tablicy analitycznej danej formuły ukazuje, że istniejąinterpretacje, w których formuła ta jest prawdziwa.Uwaga. Powyższe stwierdzenie, że istnienie gałęzi otwartych w tablicyanalitycznej danej formuły ukazuje, że istnieją interpretacje, w którychformuła ta jest prawdziwa zostanie precyzyjnie udowodnione.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 72 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTrochę heurystykiTrochę heurystykiKiedy budowę tablicy analitycznej uważamy za zakończoną? Dopiero wtedy,gdy do żadnej formuły, na żadnej gałęzi dotąd otrzymanego drzewa niemożna już stosować żadnych reguł, budowa tablicy jest zakończona.Wystosujmy następujący (nieco demagogiczny) apel do Humanistek (dlawzmocnienia mocy perswazyjnej, podajemy go w dwóch wersjach):Bądź mądrzejsza od komputera!Nie bądź głupsza od komputera!Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 73 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTrochę heurystykiTrochę heurystykiJeśli podczas tworzenia łańcucha formuł w konstruowanej tablicyanalitycznej uzyskamy w tym łańcuchu parę formuł wzajem sprzecznych, todalsza praca z tym łańcuchem jest niepotrzebna: możemy ją zakończyć,doklejając do takiego łańcucha liść z informacją o uzyskaniu sprzeczności iotrzymując w ten sposób gałąź zamkniętą drzewa, traktowaną jako twórkompletny. Pamiętasz: Sprzeczność to śmierć logiczna. Nadto, z kulturymasowej pamiętasz: A kto umarł, ten nie żyje. Podstawowym celembudowania tablic analitycznych jest uzyskiwanie łańcuchów zamkniętych, tj.zbiorów formuł wśród których jest para formuł wzajem sprzecznych. Jeślijakiś zbiór formuł zawiera parę formuł wzajem sprzecznych, to każdy jegonadzbiór także tę parę zawiera. Można zakończyć pracę.Sens powyższego apelu proszę odbierać następująco: nie wykonujbezmyślnie wszystkich reguł, staraj się pamiętać, jakiemu celowi służyTwoja praca — masz mianowicie wykluczać zachodzenie pewnych sytuacji.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 74 / 111

TA dla KRP: notacja i proste przykładyTrochę heurystykiTrochę heurystykiGdy wszystkie gałęzie tablicy analitycznej zdania α są zamknięte, to nieistnieje interpretacja, w której zdanie to jest prawdziwe. Gdy któraś gałąźtablicy analitycznej zdania α jest otwarta, to gałąź taka odpowiadainterpretacji, w której α jest prawdziwa, tj. biorąc pod uwagę wszystkieformuły (atomowe i negacje atomowych) występujące na tej gałęzi możnapodać interpretację, w której wszystkie formuły tej gałęzi (a więc takżeformuła stanowiąca korzeń drzewa) są prawdziwe.Poniżej pokazujemy (dowód w pliku tabkrp.pdf), że gałęzie otwarte tablicanalitycznych (budowanych w pewien specjalny, pedantyczny sposób)tworzą zbiory Hintikki, a więc na mocy lematu Hintikki mają modele.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 75 / 111

Niektóre własności TANiektóre własności TATwierdzenie 1.Każda systematyczna tablica analityczna jest zakończona.Twierdzenie 2.Jeśli każda gałąź systematycznej tablicy analitycznej D jest sprzeczna, to Djest tablicą skończoną.Twierdzenia powyższe będą wykorzystane w dowodach trafności i pełnościmetody TA w KRP.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 76 / 111

Poprawność metody TA w KRPModele HerbrandaModele HerbrandaJeśli S jest dowolnym zbiorem formuł języka KRP (ustalonej sygnatury), toprzez uniwersum Herbranda dla S rozumiemy zbiór H S określonyindukcyjnie następująco:(i) jeśli stała indywiduowa a k występuje w jakiejś formule ze zbioru S,to a k ∈ H S(ii) jeśli t 1 , . . . , t nj są dowolnymi termami należącymi do H S , tof n jj(t 1 , . . . , t nj ) także należy do H S , dla dowolnego symbolufunkcyjnego f n jj.Jeśli w formułach z S nie występuje żadna stała indywiduowa, to warunek(i) definicji zbioru H S zastępujemy warunkiem: a k ∈ H S dla dowolniewybranej stałej indywiduowej a k .Jeśli w formułach z S występuje co najmniej jeden symbol funkcyjny, to H Sjest zbiorem nieskończonym.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 77 / 111

Poprawność metody TA w KRPModele HerbrandaModele HerbrandaUniwersum Herbranda dla danego zbioru formuł S jest zatem zbioremwszystkich termów bez zmiennych utworzonych (z użyciem symbolifunkcyjnych) ze stałych indywiduowych występujących w formułach zbioruS. Interpretacją Herbranda dla zbioru formuł S nazywamy interpretację〈H S , ∆ S 〉 spełniającą następujące warunki:∆ S (a k ) = a k dla dowolnej stałej indywiduowej a k należącej do H S ;∆ S (f n jj(t 1 , . . . , t nj )) = f n jj(t 1 , . . . , t nj ) dla dowolnych termówt 1 , . . . , t nj należących do H S .Modelem Herbranda dla zbioru formuł S nazywamy każdą interpretacjęHerbranda dla S, w której prawdziwe są wszystkie formuły z S. UniwersaHerbranda tworzone są z wyrażeń języka KRP. Tak więc, zawsze mamymożliwość budowania interpretacji, o ile tylko dany jest język. Wystarczybudować struktury relacyjne z samych wyrażeń językowych.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 78 / 111

Poprawność metody TA w KRPZbiory HintikkiZbiory HintikkiNiech S będzie dowolnym zbiorem formuł języka KRP (ustalonejsygnatury). Mówimy, że S jest zbiorem Hintikki, wtedy i tylko wtedy, gdyzachodzą następujące warunki:(i) jeśli α jest formułą atomową bez zmiennych wolnych, to α nienależy do S lub ¬(α) nie należy do S(ii) jeśli (α) ∧ (β) należy do S, to α należy do S oraz β należy do S(iii) jeśli (α) ∨ (β) należy do S, to α należy do S lub β należy do S(iv) jeśli ∀x n (α) należy do S, to α(x n /a k ) należy do S, dla każdejstałej indywiduowej a k(v) jeśli ∃x n (α) należy do S, to α(x n /a k ) należy do S, dla conajmniej jednej stałej indywiduowej a k .Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 79 / 111

Poprawność metody TA w KRPZbiory HintikkiLemat HintikkiLemat Hintikki.Każdy zbiór Hintikki ma model.Ważną konsekwencją Lematu Hintikki dla metody tablic analitycznych jestto, że każda gałąź otwarta w każdej systematycznej tablicy analitycznej jestzbiorem Hintikki, a więc, na mocy powyższego lematu, jest także zbioremspełnialnym (ma model).Przy tym, ów model jest modelem Herbranda: jest konstruowany z wyrażeńjęzyka KRP.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 80 / 111

Poprawność metody TA w KRPTrafność metody TA w KRPTrafność metody TA w KRPTwierdzenie 3.Niech S będzie zbiorem zdań, a α zdaniem języka rachunku predykatów L.Jeśli D = ⋃ D n jest tablicą analityczną ze zbioru założeń S o korzeniu ¬α,nto dla dowolnej interpretacji M języka L, która jest modelem S ∪ {¬α}istnieje interpretacja M ′ języka L D taka, że dla pewnej gałęzi P w Dzachodzi następujący warunek W (P, M ′ ):W (P, M ′ ) Dla każdego zdania β:β występuje w P wtedy i tylko wtedy, gdy M ′ |= β¬β występuje w P wtedy i tylko wtedy, gdy M ′ β.Twierdzenie 4. Trafność metody tablic analitycznych w KRP.Jeśli istnieje istnieje dowód tablicowy D z założeń S dla α, to S |= α.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 81 / 111

Poprawność metody TA w KRPPełność metody TA w KRPPełność metody TA w KRPTwierdzenie 5.Niech P będzie gałęzią otwartą w systematycznej tablicy analitycznej D zzałożeń S i o korzeniu ¬α. Wtedy istnieje interpretacja M P , w którejwszystkie elementy S są prawdziwe, a α jest fałszywa.Twierdzenie 6.Dla dowolnego zdania α oraz zbioru zdań S zachodzi alternatywa:systematyczna tablica analityczna z założeń S o korzeniu ¬α jestdowodem tablicowym α z S;istnieje gałąź otwarta P w tablicy analitycznej z założeń S o korzeniu¬α oraz struktura M P (zdefiniowana w twierdzeniu 3.) takie, że:M P |= S oraz M P |= ¬α.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 82 / 111

Poprawność metody TA w KRPPełność metody TA w KRPPełność metody TA w KRPTwierdzenie 7. Pełność metody tablic analitycznych w KRP.(1) Każda tautologia KRP ma dowód tablicowy.(2) Dla dowolnych S oraz α: jeśli S |= α, to istnieje dowód tablicowyα ze zbioru założeń S.(3) Dla dowolnego zbioru zdań S: S nie jest spełnialny (nie mamodelu) wtedy i tylko wtedy, gdy S jest tablicowo sprzeczny (tj.istnieje dowód tablicowy zdania β ∧ ¬β ze zbioru założeń S, dlapewnego zdania β).Zwróćmy uwagę na konstruktywny charakter twierdzenia o pełności. Dladowolnego zbioru formuł S, albo nie jest on spełnialny, albo wskazaćmożna model dla S.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 83 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPCo nam daje trafność i pełność TA w KRP?Skoro metoda TA w KRP jest trafna i pełna, to można ją wykorzystywaćm.in. dla odpowiedzi na następujące pytania:czy dane zdanie języka KRP jest tautologią (pamiętając przy tym, żejeśli α jest tautologią KRP, to uzyskamy odpowiedź, ale jeśli αtautologią KRP nie jest, to tablica analityczna zdania ¬α może byćnieskończona, i wtedy metoda TA nie daje odpowiedzi w skończonejliczbie kroków);czy dany zbiór formuł języka KRP nie jest spełnialny;czy zdanie α wynika logicznie ze zbioru zdań S, itp.Pamiętamy oczywiście, że metoda TA nie dostarcza algorytmu dlaustalania tautologiczności formuł języka KRP.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 84 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPTautologie KRPPrzypominamy, że formuła α jest tautologią KRP, gdy jest prawdziwa wewszystkich interpretacjach. Oznacza to, że formuła α nie jest tautologią,dokładnie wtedy, gdy w co najmniej jednej interpretacji prawdziwe jestzaprzeczenie formuły α, tj. formuła ¬α. Zatem, formuła α jest tautologiąKRP dokładnie wtedy, gdy w tablicy analitycznej formuły ¬α wszystkiegałęzie są zamknięte. Sprawdzenie metodą tablic analitycznych, czy danaformuła α jest tautologią KRP polega więc na:przypuszczeniu, że ¬α jest prawdziwa w co najmniej jednejinterpretacji;zbudowaniu tablicy analitycznej formuły ¬α;sprawdzeniu, czy wszystkie gałęzie są zamknięte;jeśli tak jest, to formuła α jest tautologią KRP;jeśli tak nie jest, tzn. drzewo zawiera co najmniej jedną gałąź otwartą(skończoną lub nieskończoną), to α nie jest tautologią KRP.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 85 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPKontrtautologie KRPSprawdzanie, czy dana formuła jest kontrtautologią KRP jest procedurądualną do powyższej. Przypomnijmy, że formuła α jest kontrtautologiąKRP wtedy i tylko wtedy, gdy jest fałszywa we wszystkich interpretacjach.Tak więc, formuła α nie jest kontrtautologią dokładnie wtedy, gdy jestprawdziwa w co najmniej jednej interpretacji. Aby sprawdzić, czy formuła αjest kontrtautologią KRP procedurę tablic analitycznych stosujemynastępująco:przypuszczamy, że α jest prawdziwa w co najmniej jednej interpretacji;budujemy tablicę analityczną dla α;jeśli wszystkie gałęzie tablicy są zamknięte, to formuła α jestkontrtautologią KRP;jeśli tablica analityczna dla α zawiera gałęzie otwarte, to α nie jestkontrtautologią KRP, a z gałęzi otwartych odtworzyć możemyinterpretacje, w których α jest prawdziwa.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 86 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPPrzykład: Uniwersalny OszustPokażemy, że formuła ∃x∀y P(x, y) → ∃z P(z, z) jest tautologią KRP.Istotnie, formuła ta ma następujący dowód tablicowy:(0) ¬(∃x∀y P(x, y) → ∃z P(z, z)) 1.¬→(1 g ) ∃x∀y P(x, y) 2.√ a(1 d ) ¬∃z P(z, z) 3.⋆ a(2) ∀y P(a, y) 4.⋆ a(3) ¬P(a, a)(4) P(a, a)× 3,4Zauważ, że rozważana formuła jest strukturą składniową zdania: Jeśli ktośoszukuje wszystkich, to ktoś sam siebie oszukuje.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 87 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPPrzykład: Jedno z Praw De MorganaOto dowód tablicowy prawa ¬∃x α(x) ≡ ∀x ¬α(x):(0) ¬(¬∃x α(x) ≡ ∀x ¬α(x)) 1.¬≡❍❍✟ ✟✟✟✟✟❍❍❍❍(1 lg ) ¬∃x α(x) 3.⋆ a(1 pg ) ∀x ¬α(x) 6.⋆ a(1 ld ) ¬∀x ¬α(x) 2.√ a (1 pd ) ¬¬∃x α(x) 4.¬¬(2) ¬¬α(x/a)(4) ∃x α(x) 5.√ a(3) ¬α(x/a)(5) α(x/a)× 2,3(6) ¬α(x/a)× 5,6Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 88 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPPrzykład: formuła, która nie jest tautologią KRPPokażemy, że nie jest tautologią KRP następująca formuła, w którejwystępuje stała indywiduowa a:∃x (Pa → Qx) ≡ (Pa → ∀x Qx)W tym celu zbudujemy tablicę analityczną negacji tej formuły. Okaże się,że ma ona gałęzie otwarte. Skoro tak, to owa zanegowana formuła jestprawdziwa w co najmniej jednej interpretacji, a to oznacza, że samaformuła powyższa nie jest tautologią (bo gdy jej zaprzeczenie jestprawdziwe w jakiejś interpretacji, to ona sama jest w tejże interpretacjifałszywa; nie jest więc prawdziwa we wszystkich interpretacjach, ergo niejest tautologią KRP). Oto tablica:Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 89 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPPrzykład: formuła, która nie jest tautologią KRP(0) ¬(∃x (P(a) → Q(x)) ≡ (P(a) → ∀x Q(x))) 1.¬≡✟ ❍❍❍✟ ✟✟✟✟✟ ❍❍❍❍(1 lg ) ∃x (P(a) → Q(x)) 2.√ b (1 pg ) ¬∃x (P(a) → Q(x)) 6.⋆ a(1 ld ) ¬(P(a) → ∀x Q(x)) 3.¬→(2) P(a) → Q(b) 5.→(3 g ) P(a)(3 d ) ¬∀x Q(x) 4.√ c(4) ¬Q(c)✟ ✟✟ ✟ ❍❍(5 l ) ¬P(a)❍❍(5 p) Q(b)× 3g ,5 l♠(1 pd ) P(a) → ∀x Q(x) 8.→(6) ¬(P(a) → Q(a)) 7.¬→(7 g ) P(a)(7 d ) ¬Q(a)✟ ✟✟✟❍❍❍ ❍(8 l ) ¬P(a) (8 p) ∀x Q(x) 9.⋆ a× 7g ,8 l(9) Q(a)× 7d ,9Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 90 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPPrzykład: formuła, która nie jest tautologią KRPInterpretacja wyznaczona przez gałąź otwartą tablicy przedstawiona jest wponiższej tabelce:♠ P Qa + ?b ? +c ? –Uniwersum interpretacji to zbiór {a, b, c}. Jeśli element x należy dodenotacji predykatu R, to na przecięciu odpowiedniego wiersza i kolumnpiszemy znak „+”, jeśli nie należy, piszemy znak „–”. Znak „?” odpowiadasytuacji, gdy na gałęzi otwartej tablicy nie ma informacji, czy należypostawić „+” czy „–”.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 91 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPNiepoznawalne Imię BogaFormuła:ma następującą tablicę analityczną:(⋆) ∀x∃y R(y, x) → ∀x R(a, x)(0) ∀x∃y R(y, x) → ∀x R(a, x) 1.→❍ ❍✟ ✟✟✟✟✟❍❍❍❍(1 l ) ¬∀x∃y R(y, x) 2.√ b (1 p) ∀x R(a, x) 5.⋆ a(2) ¬∃y R(y, b) 3.⋆ a 4. ⋆ b(3) ¬R(a, b)(5) R(a, a)♠(4) ¬R(b, b)♣Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 92 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPNiepoznawalne Imię BogaTablica ma dwie gałęzie otwarte. Badana formuła nie jest zatemkontrtautologią KRP. Poniższe tabelki podają interpretacje, w których (⋆)jest prawdziwa:R ♣ a ba ? –b ? –R ♠aa +Tabelki te określają, między jakimi elementami uniwersum zachodzi relacja,będąca denotacją rozważanego predykatu.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 93 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPA teraz tablica dla negacji formuły (⋆):(0) ¬(∀x∃y R(y, x) → ∀x R(a, x)) 1.¬→(1 g ) ∀x∃y R(y, x) 3.⋆ a 4. ⋆ b 7. ⋆ c 8. ⋆d . . .(1 d ) ¬∀x R(a, x) 2.√ b(2) ¬R(a, b)(3) ∃y R(y, a) 5.√ c(4) ∃y R(y, b) 5.√ d(5) R(c, a)(6) R(d, b)(7) ∃y R(y, c) 9.√ e(8) ∃y R(y, d) 10.√ f.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 94 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPTautologie KRPNiepoznawalne Imię BogaBudowy tej tablicy zakończyć nie można, co powinno być wyraźniewidoczne po prześledzeniu kilku pierwszych kroków w powyższejkonstrukcji. Formuła (⋆) nie jest tautologią KRP. Metoda tablicanalitycznych nie daje odpowiedzi w skończonej liczbie kroków. Możemyjednak, zauważając regularność w konstruowaniu coraz to większychfragmentów tablicy analitycznej negacji formuły (⋆), podać interpretacjęnieskończoną, w której negacja (⋆) jest prawdziwa. Nie upoważnia nas dotego sama metoda — kierujemy się zatem intuicjami (wychodzącymi pozalogikę pierwszego rzędu).Formuła (⋆) jest strukturą składniową np. zdania: O ile za każdą liczbąnaturalną następuje niemniejsza od niej liczba naturalna, to Jedyna TajnaLiczba Naturalna Kodująca Niepoznawalne Imię Dobrego Pana NaszegoJHWH jest niemniejsza od wszystkich liczb naturalnych.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 95 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPPrzypominamy, że zbiór formuł jest semantycznie niesprzeczny(spełnialny), gdy ma co najmniej jeden model, tj. gdy wszystkie jegoelementy są prawdziwe w co najmniej jednej wspólnej interpretacji. Wprzeciwnym przypadku, tj. gdy nie ma żadnego modelu (wszystkie jegoelementy nie są prawdziwe w żadnej wspólnej interpretacji), jestsemantycznie sprzeczny. Badanie rozważaną metodą, czy dany(skończony) zbiór formuł języka KRP jest semantycznie niesprzecznypolega na:przypuszczeniu, że wszystkie rozważane formuły są prawdziwe (w conajmniej jednej wspólnej interpretacji);zbudowaniu tablicy analitycznej, tj. drzewa, w którego pniuumieszczone są wszystkie rozważane formuły;konkluzji, uzależnionej od kształtu otrzymanego drzewa.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 96 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPMożliwe są następujące sytuacje dla danego zbioru formuł X :wszystkie gałęzie tablicy są zamknięte; wtedy zbiór X jestsemantycznie sprzeczny (wszystkie elementy zbioru X nie mogą byćwspółprawdziwe);pewne gałęzie tablicy są otwarte; wtedy X jest semantycznieniesprzeczny, a każda z otwartych gałęzi tablicy pozwala utworzyćinterpretację, w której wszystkie elementy zbioru X sąwspółprawdziwe.Może warto w tym miejscu zaznaczyć, że wszystkie problemy dotyczącezastosowań TA w KRP sprowadzają się do badania, czy pewne zbioryformuł są semantycznie sprzeczne, czy też semantycznie niesprzeczne.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 97 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPPrzykład: zbiór semantycznie sprzecznySprawdzimy, czy jest semantycznie niesprzeczny zbiór złożony znastępujących formuł:¬∃x (P(x) ∧ Q(x))∀x (P(x) → Q(x))∃x P(x)Budujemy tablicę analityczną, tj. drzewo, w którego pniu umieszczamy teformuły. Jeśli wszystkie gałęzie tej tablicy się zamkną, to badany zbiórformuł jest semantycznie sprzeczny. Jeśli pozostanie jakaś gałąź otwarta, tozbiór ten jest semantycznie niesprzeczny.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 98 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPPrzykład: zbiór semantycznie sprzeczny(0.1) ¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) 2.⋆ a(0.2) ∀x (P(x) → Q(x)) 3.⋆ a(0.3) ∃x P(x) 1.√ a(1) P(a)(2) ¬(P(a) ∧ Q(a)) 4.¬∧(3) P(a) → Q(a) 5.→❍✟ ✟✟✟✟❍❍❍❍(4 l ) ¬P(a)(4 p) ¬Q(a)× 1,4l ✟ ✟ ✟ ❍❍❍(5 l ) ¬P(a) (5 p) Q(a)× 1,5lTablica zamknięta. Zbiór semantycznie sprzeczny.× 4p,5 pJerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 99 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPPrzykład: zbiór semantycznie niesprzecznyPokażemy, że zbiór złożony z poniższych formuł jest semantycznieniesprzeczny, tzn. istnieje interpretacja, w której wszystkie te formuły sąjednocześnie prawdziwe.∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))∀x (P(x) → R(x))∀x (Q(x) → R(x))Budujemy tablicę analityczną, tj. drzewo, w którego pniu umieszczamypowyższe formuły. Jest to zatem przypuszczenie, że wszystkie one mogąbyć prawdziwe w co najmniej jednej interpretacji. Przypuszczenie to będziepotwierdzone, jeśli co najmniej jedna gałąź tablicy zostanie otwarta; wtedy,zgodnie z definicją, zbiór tych formuł jest semantycznie niesprzeczny.Gdyby wszystkie gałęzie tablicy zostały zamknięte, to powyższeprzypuszczenie musielibyśmy odrzucić — rozważany zbiór formuł byłbysemantycznie sprzeczny. A oto tablica:Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 100 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRP(0.1) ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)) 1.√ a(0.2) ∀x (P(x) → R(x)) 2.⋆ a(0.3) ∀x (Q(x) → R(x)) 3.⋆ a(1) P(a) ∧ ¬Q(a) 4.∧(2) P(a) → R(a) 5.→(3) Q(a) → R(a) 6.→(4 g ) P(a)(4 d ) ¬Q(a)❍ ❍✟ ✟✟✟✟ ❍❍❍(5 l ) ¬P(a)(5 p) R(a)× 4g ,5 l ✟ ✟✟ ❍❍❍(6 l ) ¬Q(a) (6 p) R(a)◦◦Tablica ma gałęzie otwarte. Zbiór semantycznie niesprzeczny.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 101 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPSemantyczna niesprzeczność w KRPPrzykład: zbiór semantycznie niesprzecznyTablica ma dwie gałęzie otwarte i do żadnej formuły, na żadnej z tychgałęzi, nie można już stosować żadnych reguł. Zatem istnieją interpretacje,w których wszystkie trzy powyższe formuły są jednocześnie prawdziwe.Z każdej z gałęzi otwartych uzyskać można informację, jakie zdaniaatomowe zachodzą w każdej z interpretacji, wyznaczonych przez tę gałąź.W przypadku rozważanej tablicy, informacje te są takie same na każdejgałęzi otwartej; otrzymujemy więc następującą interpretację, w którejwszystkie trzy rozważane zdania są prawdziwe:P Q Ra + – +Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 102 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPWynikanie logiczne w KRPPrzypominamy, że formuła α wynika logicznie ze zbioru formuł X , gdykażdy model zbioru X jest też modelem α, tj. gdy α jest prawdziwa wkażdej interpretacji, w której prawdziwe są wszystkie elementy zbioru X .Ustalenie zachodzenia wynikania logicznego metodą wprost wymaga więc wogólności przejrzenia nieskończenie wielu interpretacji, co nie jestoczywiście procedurą efektywną.Zauważmy jednak, że formuła α nie wynika logicznie ze zbioru formuł Xwtedy i tylko wtedy, gdy w co najmniej jednym modelu dla X formuła αjest fałszywa.Zatem, gdy dla ustalonego X oraz α uda się wykluczyć sytuację polegającąna tym, że w co najmniej jednej interpretacji formuła α jest fałszywa, awszystkie formuły ze zbioru X są w tejże interpretacji prawdziwe, topotwierdzimy w ten sposób, że α wynika logicznie z X .Jeszcze inaczej mówiąc: jeśli wykluczymy przypadek, że wszystkie formułyze zbioru X oraz formuła ¬α są współprawdziwe, to wykażemy, iż α wynikalogicznie z X .Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 103 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPWynikanie logiczne w KRPUstalanie za pomocą metody tablic analitycznych czy dana formuła αwynika logicznie z danego (skończonego) zbioru formuł X polega na:założeniu, że wszystkie formuły z X są prawdziwe;przypuszczeniu, że formuła ¬α jest prawdziwa;zbudowaniu tablicy analitycznej, tj. drzewa, w którego pniu sąwszystkie formuły ze zbioru X oraz formuła ¬α.Możliwe są następujące sytuacje:otrzymana tablica analityczna ma wszystkie gałęzie zamknięte; wtedyformuła α wynika logicznie ze zbioru formuł X ;otrzymana tablica analityczna zawiera gałęzie otwarte; wtedy formułaα nie wynika logicznie ze zbioru X , a znalezione gałęzie otwartepozwalają skonstruować takie interpretacje, które są modelami zbioruprzesłanek X , a w których formuła α jest fałszywa.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 104 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPWynikanie logiczne w KRPW jeszcze innym sformułowaniu:formuła α wynika logicznie ze zbioru formuł X wtedy i tylko wtedy,gdy zbiór formuł X ∪ {¬α} jest semantycznie sprzeczny;formuła α nie wynika logicznie ze zbioru formuł X wtedy i tylkowtedy, gdy zbiór formuł X ∪ {¬α} jest semantycznie niesprzeczny.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 105 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPPrzykład: Chichot PolitykiWnioskowanie: Z pewnego polityka śmieją się wszyscy politycy. Zatemjakiś polityk śmieje się sam z siebie. przebiega wedle reguły:∃x (P(x) ∧ ∀y (P(y) → S(y, x)))∃x (P(x) ∧ S(x, x))Odczytujemy tu: P(x) — x jest politykiem, S(x, y) — x śmieje się z y.Gdyby reguła ta była niezawodna, to zbudowana wedle reguł sztuki tablicaanalityczna (w pniu drzewa przesłanka oraz zaprzeczony wniosek) miałabywszystkie gałęzie zamknięte. Sprawdźmy:Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 106 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPPrzykład: Chichot Polityki(0.1) ∃x(P(x) ∧ ∀y(P(y) → S(y, x))) 1.√ a(0.2) ¬∃x(P(x) ∧ S(x, x)) 3.⋆ a(1) P(a) ∧ ∀y (P(y) → S(y, a)) 2. ∧(2 g ) P(a)(2 d ) ∀y (P(y) → S(y, a)) 4.⋆ a(3) ¬(P(a) ∧ S(a, a)) 5.¬∧(4) P(a) → S(a, a) 6.→✟ ❍✟ ✟✟✟ ❍❍❍❍(5 l ) ¬P(a)(5 p) ¬S(a, a)× 2g ,5 l ✟ ✟✟ ✟ ❍❍❍❍(6 l ) ¬P(a) (6 p) S(a, a)× 2g ,6 l× 5p,6pTablica zamknięta. Reguła niezawodna. Wnioskowanie dedukcyjne.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 107 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPPrzykład: Reguła ZawodnaPokażemy, że zawodna jest reguła wnioskowania:∀x (P(x) → Q(x))∀x (R(x) → Q(x))∀x (P(x) → R(x))Budujemy tablicę analityczną, w której pniu umieszczamy przesłanki orazzaprzeczony wniosek reguły. Jeśli taka tablica ma wszystkie gałęziezamknięte, to reguła jest niezawodna. W przeciwnym przypadku jestzawodna.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 108 / 111

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPPrzykład: Reguła Zawodna(0.1) ∀x (P(x) → Q(x)) 2.⋆ a(0.2) ∀x (R(x) → Q(x)) 3.⋆ a(0.3) ¬∀x (P(x) → R(x)) 1.√ a(1) ¬(P(a) → R(a)) 4.¬→(2) P(a) → Q(a) 5.→(3) R(a) → Q(a) 6.→(4 g ) P(a)(4 d ) ✟¬R(a)❍✟ ✟✟✟ ❍❍❍❍(5 l ) ¬P(a)(5 p) Q(a)× 4g ,5 l ✟ ✟ ✟ ❍❍❍(6 l ) ¬R(a) (6 p) Q(a)♠Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 109 / 111♣

Zastosowania twierdzeń o trafności i pełności TA w KRPWynikanie logiczne w KRPPrzykład: Reguła ZawodnaTablica ma gałęzie otwarte, a zatem rozważana reguła jest zawodna.Na gałęziach otwartych zakończonych liśćmi ♠ oraz ♣ występują te sameformuły atomowe i negacje formuł atomowych. Gałęzie te wyznaczajązatem tę samą interpretację, w której przesłanki reguły są prawdziwe, a jejwniosek fałszywy:P Q Ra + + −Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 110 / 111

KoniecKoniecPrzedstawione wyżej przykłady były bardzo proste. W pliku tabkrp.pdfpodajemy kilkadziesiąt nieco bardziej złożonych przykładów. Nieprzytaczamy ich tutaj m.in. dlatego, że odnośne tablice analityczne niemieszczą się w całości na pojedynczym slajdzie.W następnej prezentacji dotyczącej TA w KRP omawiamy:prefiksowe postacie normalne formuł i skolemizacjęwykorzystanie TA w dowodach niektórych twierdzeń metalogicznychdotyczących KRPTA w KRP z identycznościąTA w KRP z symbolami funkcyjnymi.Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 18, 19 Metoda TA w KRP (1) 111 / 111