Matematická analýza 1

1 Funkce – Teoretické základy 1.1 Pojem funkceGraf funkce je podle definice množina G všech bodů v rovině vetvaru [x; f(x)]. Představme si (viz obrázek 3), že existují (alespoň)dva různé body [x; y] a [x; z] náležející množině G. Pak by ovšemmuselo platit f(x) = y a f(x) = z. Z toho však plyne, že hodnota f(x) není jednoznačně definována. Taková množina bodů tedynemůže být grafem funkce.Cvičení 1.1 Určete definiční obory a načrtněte grafy funkcía) y = 2x ; b) y = √ x ; c) y = 1 x . −1 1 2 3 xObrázek 3 K úkoluy321[x; y][x; z]Definice 1.3 Obor hodnot funkce f : A → R je množina všech reálných čísel y, ke kterým existuječíslo x ∈ A takové, že platí y = f(x). Značí se Rng f, někdy také f(A).Jestliže známe graf funkce f, můžeme obor hodnot určit snadno.Obor hodnot je podle definice množina těch čísel y takových, žebod [x; y] náleží grafu funkce pro nějaké x. Chceme-li získat oborhodnot, musíme sestrojit kolmé průměty všech bodů grafu funkcedo osy y. Situaci zachycuje obrázek 4.Předchozí odstavec si přečtěte znovu a uvědomte si, proč tomutak je.yRng ff(x)xObrázek 4 Určení oboru hodnot8

1 Funkce – Teoretické základy 1.1 Pojem funkcePříklad 1.3 Určeme definiční obor funkce f(x) =jejího oboru hodnot.1x 2 − 3x + 2 a zjistěme, zda číslo y = 1 2patří doDefiničním oborem je množina všech reálných čísel x, pro která má uvedený zlomek smysl, tj. pro kteráplatí x 2 − 3x + 2 ≠ 0. Tento trojčlen lze rozložit na součin (x − 1)(x − 2). Přitom platí (x − 1)(x − 2) ≠ 0právě tehdy, když x ≠ 1 a x ≠ 2. Z toho plyne, že definiční obor je množina Dom f = R \ {1; 2}.Nyní zjistěme, zda číslo y patří do oboru hodnot. Je třeba zjistit, zda existuje x takové, že platí f(x) = y.1Zkusme tuto rovnicix 2 − 3x + 2 = 1 2 vyřešitẋ2 − 3x + 2 = 2x 2 − 3x = 0x(x − 3) = 0Odtud je vidět, že pro x = 0 a x = 3 platí f(x) = y. Tedy takové x existuje a číslo y = 1 patří do oboru2hodnot Rng f. //V dalších lekcích si postupně ukážeme, jak se určují obory hodnot u konkrétních funkcí.Úkol Zkuste vlastními slovy říct, co to je funkce, definiční obor, obor hodnot a graf funkce. Vysvětlete,jak se určuje, zda nějaké číslo patří do definičního oboru nebo oboru hodnot dané funkce.9

1 Funkce – Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcí1.2 Základní vlastnosti funkcíDefinice 1.4 Funkce f a g se rovnají právě tehdy, když mají stejné definiční obory, tedy Dom f == Dom g, a pro všechna x ∈ Dom f platí f(x) = g(x).Příklad 1.4 Mějme funkci f(x) = x2 − 1a funkci g(x) = x + 1. Pro všechna čísla x z definičního oborux − 1Dom f platí f(x) = x + 1 = g(x). Přesto se však funkce f a g nerovnají. Funkce totiž mají různé definičníobory. Definiční obor funkce f je Dom f = R \ {1}, kdežto Dom g = R. //Definice 1.5 Nechť je funkce f definována na intervalu J. Jestliže pro všechna x, y ∈ J taková, žex < y, platíf(x) < f(y), nazývá se funkce f rostoucí na J;f(x) ≤ f(y), nazývá se funkce f neklesající na J;f(x) > f(y), nazývá se funkce f klesající na J;f(x) ≥ f(y), nazývá se funkce f nerostoucí na J.Je-li funkce f rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí na J, nazývá se monotonní na J. Je-li funkce frostoucí, nebo klesající na J, nazývá se ryze monotonní na J. Je-li interval J přímo definičním oboremfunkce f, pak se přívlastek „na J vynechává.Z této definice je ihned vidět, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající a každá klesající funkce jenerostoucí. Naopak to platit nemusí. V příkladu 1.5 bude ukázána funkce, která je neklesající, ale nenírostoucí.Pozor! Z toho, že funkce není rostoucí, neplyne, že je nerostoucí. Podobně, funkce, která není klesající, nemusí být neklesající. V příkladu 1.11 bude nadefinována funkce, která nemá žádnou z vlastností uvedenýchv definici 1.5.10

1 Funkce – Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcíÚkol Zda má funkce některou z uvedených vlastností, lze jednoduše určit z jejího grafu. Graf rostoucí funkce zleva dopravastoupá; graf klesající funkce zleva doprava klesá. Grafy neklesajících a nerostoucích funkcí mohou být někde rovnoběžné s osou x.Na obrázku 5 jsou uvedeny grafy čtyř funkcí. Určete u všech zobrazených funkcí, jaké vlastnosti z definice 1.5 mají.Předpokládám, že jste úkol vyřešili správně: Funkce f 1 je rostoucía tudíž i neklesající. Funkce f 2 je neklesající. Funkce f 3 je klesajícía tedy i nerostoucí. Funkce f 4 je nerostoucí. Všechny funkce jsoumonotonní, ale ryze monotonní jsou pouze funkce f 1 a f 3 .y54321f 3f 4f 1f 21 2 3 4 5Obrázek 5 K úkoluxPříklad 1.5 Celá část [x] reálného čísla x je definována jakonejvětší celé číslo menší nebo rovné číslu x. Kupříkladu je [−3] == −3, [2,85] = 2 nebo [ − 3,14] = −4. Graf funkce celá část je naobrázku 6. Tato funkce je neklesající, ale není rostoucí. To se dokážesnadno. Zvolme si různá čísla x, y tak, aby x < y. Protože je [x] ≤≤ x, je [x] celé číslo menší než y. Protože [y] je největší celé číslomenší než y, je [x] ≤ [y]. Celá část je tedy neklesající. Pro číslax = 1 a y = 1,5 platí x < y, ale neplatí [x] < [y]. Proto celá částnení rostoucí. Pokuste se najít funkci, která je nerostoucí, ale neníklesající. //y21−2 −1 1 2 3 x−1−2Obrázek 6 Graf funkce celá částDefinice 1.6 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže pro každá dvě čísla x, y ∈ A taková, že x ≠ y, platíf(x) ≠ f(y), pak se funkce f nazývá prostá.11

1 Funkce – Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcíEkvivalentní definice 1.6 Funkce f je prostá, jestliže z toho, že f(x) = f(y), plyne x = y.Chceme-li zjistit, zda je funkce f prostá, postupujeme následovně: Napíšeme rovnost f(x) = f(y). Jestližese nám ekvivalentními nebo důsledkovými úpravami podaří dojít k rovnosti x = y, pak je funkce f prostá.Příklad 1.6 Funkce f(x) = x 2 není prostá, protože platí −1 ≠ 1 a f(−1) = f(1) = 1. Naproti tomufunkce g(x) = 2x + 3 prostá je, protože z rovnosti g(x) = g(y) ekvivalentními úpravami dostanemex = y:2x + 3 = 2y + 32x = 2yx = y //Věta 1.1 Funkce f je prostá právě tehdy, když pro každé y ∈ Rng f existuje jediné x ∈ Dom f takové,že y = f(x).Důkaz Zleva doprava provedu důkaz nepřímo. Předpokládejme, že existují různá čísla x, t ∈ Dom ftaková, že f(x) = f(t) = y. Potom platí x ≠ t, ale f(x) = f(t) a podle definice 1.6 funkce f není prostá.Zprava doleva budu větu také dokazovat nepřímo. Z definice 1.6 plyne, že funkce f není prostá, jestližeexistují různá čísla x, t ∈ Dom f taková, že f(x) = f(t) = y. Takže existuje číslo y a alespoň dvě různáčísla x taková, že y = f(x). To je ale znamená, že není pravda, že pro každé y existuje jediné x takové, žey = f(x).□12

1 Funkce – Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcíJestliže tedy existuje číslo y ∈ Rng f takové, že existují (alespoňdvě) různá čísla x, t ∈ Dom f, pro která platí f(x) = f(t) = y,pak funkce f není prostá. Toto je přímý důsledek předchozí věty.Situace je zachycena na obrázku 7.y43Věta 1.2 Každá ryze monotonní funkce je prostá.Důkaz Větu dokážu pro rostoucí funkci. Zvolme různá čísla x, y.Je-li x < y, je f(x) < f(y) a tedy f(x) ≠ f(y). Je-li x > y, jef(x) > f(y) a tedy f(x) ≠ f(y). Pro x ≠ y tudíž platí f(x) ≠ f(y)a rostoucí funkce je prostá. Pro klesající funkci je důkaz analogický.(Proveďte.)□2[x, y] [t, y]1−2 −1 1 2 xObrázek 7 K výkladu definice 1.6Příklad 1.7 Pro x < y je 2x + 3 < 2y + 3. Proto je funkce f(x) = 2x + 3 rostoucí. Podle věty 1.2 jefunkce f prostá. //Definice 1.7 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže pro všechna x ∈ A platíf(x) > 0, nazývá se funkce f kladná;f(x) ≥ 0, nazývá se funkce f nezáporná;f(x) < 0, nazývá se funkce f záporná;f(x) ≤ 0, nazývá se funkce f nekladná.13

1 Funkce – Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcíFunkce f se tedy nazývá kladná, jsou-li všechny její hodnoty f(x) kladné. Obdobně pro ostatní vlastnosti.Z definice 1.7 ihned plyne, že každá kladná funkce je zároveň nezáporná a každá záporná funkce je nekladná.Příklad 1.8 Funkce f(x) = x 2 +1 je kladná, protože číslo x 2 +1 je pro všechna x kladné. Funkce g(x) = x 2je nezáporná, protože číslo x 2 je pro všechna x nezáporné. Přesto g není funkce kladná, jelikož pro x = 0není číslo x 2 = 0 kladné. //Cvičení 1.2 Najděte funkci, která je nekladná a zároveň nezáporná.Definice 1.8 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže existuje konstantam ∈ R taková, že pro všechna x ∈ A platí m ≤ f(x), nazývá se funkce f zdola omezená;M ∈ R taková, že pro všechna x ∈ A platí f(x) ≤ M, nazývá se funkce f shora omezená.Je-li funkce f omezená zdola i shora, nazývá se omezená.Graf funkce zdola omezené konstantou m leží celý v polorovině „nad přímkou y = m. Graf funkce shoraomezené konstantou M leží celý v polorovině „pod přímkou y = M. Graf funkce omezené konstantamim a M leží celý v rovinném pásu ohraničeném přímkami y = m a y = M.Nechť je funkce f zdola omezená konstantou m a nechť n < m. Ihned z definice 1.8 plyne, že funkce f jezdola omezená i konstantou n. Obdobně, je-li funkce f shora omezená konstantou M a N > M, je funkce fshora omezená i konstantou N.Věta 1.3 Funkce f je omezená právě tehdy, když existuje kladná konstanta K taková, že pro všechnax ∈ Dom f platí |f(x)| ≤ K.14

1 Funkce – Teoretické základy 1.2 Základní vlastnosti funkcíDůkaz Nerovnost |f(x)| ≤ K je ekvivalentní s nerovností −K ≤ f(x) ≤ K. Při důkazu zprava dolevase má dokázat existence konstant m a M takových, že m ≤ f(x) ≤ M. Stačí tedy dosadit m = −K aM = K.Při důkazu zleva doprava je třeba najít konstantu K, aby −K ≤ f(x) ≤ K. V případě, že bude −K > m,se může stát, že bude existovat x takové, že f(x) < −K. Proto musí být −K ≤ m, neboli K ≥ −m.Obdobně musí být K ≥ M. Za konstantu K tedy stačí zvolit větší z čísel −m a M.□Příklad 1.9 Mějme dánu funkci f(x) = 1 + x 2 . Protože pro všechna x je x 2 ≥ 0, je pro všechna xhodnota f(x) ≥ 1. Tato funkce je tedy zdola omezená konstantou m = 1. Není však shora omezená,protože pro velká x roste hodnota f(x) nade všechny meze. //Cvičení 1.3 Určete, zdali jsou následující funkce shora nebo zdola omezené a v kladném případě určetejakými konstantami.a) f(x) = √ x + 1 − 2 ; b) f(x) = 1 + 2x − x 2 ; c) f(x) = 2x + 3 .Definice 1.9 Nechť f : A → R je funkce. Jestliže pro všechna x ∈ A platí −x ∈ A a zároveň platíf(−x) = f(x), nazývá se funkce f sudá;f(−x) = −f(x), nazývá se funkce f lichá.Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic.Příklad 1.10 Určeme, zda je funkce f(x) = x n , kde n ∈ N, sudá nebo lichá.Pro sudá n platí f(−x) = (−x) n = x n = f(x) a funkce f je sudá. Pro lichá n platí f(−x) = (−x) n == −x n = −f(x) a funkce f je lichá. //15

1 Funkce – Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemi1.3 Základní operace s funkcemiDefinice 1.11 Nechť f : A → R a g : B → R jsou funkce. Součtem, rozdílem, součinem a podílemfunkcí f a g nazýváme postupně funkce f + g, f − g, fg a f , definované vztahyg(f + g)(x) = f(x) + g(x) ,(f − g)(x) = f(x) − g(x) ,(fg)(x) = f(x)g(x) ,f f(x)(x) =g g(x) .Chceme-li vypočítat hodnotu součtu funkcí v bodě x, vypočteme hodnoty funkcí v bodě x a tyto hodnotyjednoduše sečteme. Toto platí obdobně pro ostatní tři operace.Definiční obor součtu f + g je množina všech bodů x, ve kterých je součet f(x) + g(x) definován. V těchtobodech x proto musí být definovány hodnoty f(x) a g(x). Z toho plyne, že takové body x musí patřitjak do Dom f, tak do Dom g, neboli musí být x ∈ Dom f ∩ Dom g. Definiční obor součtu funkcí je tedyroven průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g. Toto platí obdobněpro rozdíl a součin funkcí.U podílu je situace trošku složitější. K tomu, aby číslo x patřilo do Dom f , je navíc nutné, aby g(x) ≠ 0.g(Proč?) Definiční obor podílu funkcí je tudíž množina bodů x• patřících do průniku definičních oborů jednotlivých funkcí,• ve kterých není jmenovatel roven nule.18

1 Funkce – Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemiJinými slovy platíDom f g= Dom f ∩ Dom g ∩ {x ∈ R: g(x) ≠ 0} = Dom f ∩ {x ∈ Dom g : g(x) ≠ 0} .Pokud nejsou zadány definiční obory jednotlivých funkcí, pak se definiční obor určuje jako množina všechčísel x, pro která mají všechny prováděné operace smysl.Příklad 1.12 Určeme součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f(x) = x 3 −x 2 a g(x) = x a určeme definičníobory těchto nových funkcí:(f + g)(x) = f(x) + g(x) = ( x 3 − x 2) + ( x ) = x 3 − x 2 + x ,(f − g)(x) = f(x) − g(x) = ( x 3 − x 2) − ( x ) = x 3 − x 2 − x ,(fg)(x) = f(x)g(x) = ( x 3 − x 2)( x ) = x 4 − x 3 ,f f(x)(x) =g g(x) = x3 − x 2x= x 2 − x pro x ≠ 0 .Výrazy (f + g)(x), (f − g)(x) a (fg)(x) mají smysl pro všechna x ∈ R, a proto jsou definiční obory funkcíf + g, f − g a fg rovnyDom(f + g) = Dom(f − g) = Dom(fg) = R .Výraz f (x) má smysl (přesněji řečeno operace prováděné při jeho výpočtu lze provést) pouze pro x ≠ 0.gProto je definiční obor funkce f g roven Dom f g= R \ {0} . //Cvičení 1.5 Dokažte, že součet a součin dvou kladných funkcí jsou kladné funkce.19

1 Funkce – Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemiDefinice 1.12 Nechť A a B jsou množiny reálných čísel takové, že A ⊆ B, a nechť f : A → R ag : B → R jsou funkce. Dále nechť pro všechna čísla x ∈ A platí f(x) = g(x). Potom se funkce g nazývározšíření funkce f na množinu B. Funkce f se nazývá zúžení (restrikce) funkce g na množinu A.Příklad 1.13 Mějme dánu funkci f : R → R danou předpisem f(x) = x 2 . Tato funkce není prostá. (Proč?)Proveďme nyní zúžení funkce f na množinu 〈0; +∞). Jinými slovy vytvořme funkci g : 〈0; +∞) → R danoupředpisem g(x) = x 2 . Funkce g je rostoucí, a tedy je prostá. Zkuste sami najít jinou množinu M tak, abyzúžení funkce f na množinu M byla prostá funkce. //Definice 1.13 Nechť f : A → naB je prostá funkce. Definujme novou funkci f −1 : B → naA tak, že každémučíslu y ∈ Rng f je přiřazeno právě to x ∈ Dom f, pro které je f(x) = y. Funkce f −1 se nazývá funkceinverzní k funkci f.Výraz f : A na→ B v předchozí definici znamená, že A je definiční obor Dom f a B je obor hodnot Rng f.Z definice ihned plyne: Jestliže f −1 je inverzní funkce k funkci f, pak f −1 (y) = x právě tehdy, kdyžf(x) = y. Dále platí f(f −1 (y)) = y pro všechna y ∈ Rng f a f −1 (f(x)) = x pro všechna x ∈ Dom f.Výpočet inverzní funkce provádíme ve dvou krocích.• Rovnici y = f(x) vyřešíme vzhledem k proměnné x.• Poté zaměníme všechny výskyty proměnné x za proměnnou y a naopak.Dostaneme inverzní funkci y = f −1 (x). Ukážeme si to na příkladu.20

1 Funkce – Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemiPříklad 1.14 Mějme funkci f(x) = 2x + 3 a určeme k ní funkci inverzní.x − 1Abychom mohli vůbec hovořit o inverzní funkci, musíme nejdříve dokázat, že f je prostá funkce. Podlevěty 1.1 stačí dokázat, že pro každé y existuje jediné x takové, že y = f(x). To dokážeme tak, že vyřešímerovnici y = f(x) vzhledem k proměnné x a ukážeme, že má jediné řešení.y = 2x + 3x − 1xy − y = 2x + 3x(y − 2) = y + 3x = y + 3y − 2Rovnice y = f(x) má tedy jediné řešení. Z toho plyne, že funkce f je prostá. Můžeme tedy přikročitk určení inverzní funkce. První krok jsme však již udělali. Nyní stačí zaměnit proměnné x a y. Dostanemey = x + 3x − 2 . Inverzní funkce k funkci f je tedy funkce f −1 (x) = x + 3x − 2 . //Cvičení 1.6 Určete inverzní funkce k funkcíma) y = 2x + 3 ; b) y = x 2 − 3x + 2 ; c) y = x 3 − 3 .Úkol Zkuste vysvětlit, proč je v definici inverzní funkce nutný předpoklad, že funkce f je prostá.Předpokládejme, že funkce f není prostá. Pak existují dvě různá čísla x, t taková, že f(x) = f(t). Označmey = f(x). Pak by ovšem muselo být f −1 (y) = x a zároveň f −1 (y) = t, a tedy hodnota f −1 (y) by nebylaurčena jednoznačně.21

1 Funkce – Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemiDefinice 1.14 Nechť A a B jsou množiny reálných čísel a f : B → R a g : A → R jsou funkce. Definujmefunkci f ◦ g předpisem (f ◦ g)(x) = f ( g(x) ) Tato funkce f ◦ g se nazývá funkce složená z funkcí f a g.Nyní se pokusme odvodit, kdy patří číslo x do definičního oboru Dom(f ◦ g). V prvé řadě musí býtdefinováno číslo g(x). Číslo x tedy musí patřit do množiny Dom g = A. Dále musí číslo g(x) patřit doDom f = B. Množina čísel x, pro které platí g(x) ∈ B, se označuje g −1 (B). Z toho plyne, že platíDom(f ◦ g) = A ∩ g −1 (B).Nejsou-li zadány definiční obory funkcí f a g, pak se definiční obor funkce f ◦ g určuje jako množina všechčísel x, pro která mají operace prováděné při výpočtu f(g(x)) smysl.Příklad 1.15 Určeme funkce f ◦ g a g ◦ f složené z funkcí f(x) = x + 1x − 1 a g(x) = x2 . Dále určemejejich definiční obory.(f ◦ g)(x) = f ( g(x) ) = f ( x 2) = x2 + 1x 2 − 1Dom(f ◦ g) = R \ {−1; 1}(g ◦ f)(x) = g ( f(x) ) ( ) ( ) 2x + 1 x + 1= g =x − 1 x − 1Dom(g ◦ f) = R \ {−1} //Z předchozího příkladu je vidět, že skládání funkcí není komutativní, tj. obecně neplatí, že f ◦ g = g ◦ f.Věta 1.6 Skládání funkcí je asociativní, neboli platí f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.Z této věty plyne, že při skládání více funkcí můžeme psát jednoduše f ◦ g ◦ h.22

1 Funkce – Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemiMáte-li zájem, můžete se pokusit určit, zda složení n funkcí, z nichž je m klesajících (nerostoucích), jefunkce rostoucí nebo klesající (neklesající nebo nerostoucí). //Důsledek Nechť a, b, c, d ∈ R jsou libovolné konstanty, přičemž a, c ≠ 0 a nechť f je prostá funkce. Pakfunkce g(x) = af(cx + d) + b je také prostá.Důkaz Funkce p(x) = ax + b a q(x) = cx + d jsou prosté. Funkce f je podle předpokladů také prostá.Platí g = p ◦ f ◦ q. (Ověřte!) Funkce g je tedy složená ze tří prostých funkcí a podle příkladu 1.16 je prostá.□Úkol Řekněte zpaměti definici složené a inverzní funkce.24

1 Funkce – Teoretické základy 1.3 Základní operace s funkcemiShrnutí Funkce je nějaký předpis přiřazující každému číslu z definičního oboru jedno číslo z oboruhodnot. Graf funkce je množina bodů [x; y] v rovině takových, že y = f(x). Funkce je rostoucí, jestližes rostoucí hodnotou proměnné x roste hodnota f(x). Podobně se definuje funkce klesající, nerostoucí aneklesající. Funkce, která je rostoucí, nebo klesající, se nazývá ryze monotonní. Funkce f se nazývá prostá,jestliže ke každému y existuje jediné x takové, že y = f(x). Jestliže jsou všechny hodnoty f(x) kladné,nazývá se funkce f kladná. Obdobně se definuje funkce záporná, nekladná a nezáporná. Je-li graf funkcesouměrný podle osy y, nazývá se funkce sudá. Je-li graf souměrný podle počátku soustavy souřadnic,nazývá se funkce lichá. Jestliže se hodnoty f(x) pravidelně opakují, nazývá se funkce periodická. Hodnotasoučtu funkcí je součet hodnot funkcí. Podobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí. Inverzní funkcef −1 k prosté funkci f se definuje tak, aby platilo f −1 (f(x)) = x. Složení funkcí je definováno (f ◦ g)(x) == f(g(x)).Tato kapitola byla dle mého názoru dosti jednoduchá. Jestliže Vám však činila potíže, asi jste na středníškole neměl(a) matematiku. V tom případě Vám doporučuji pročíst si ještě jednou tuto kapitolu neboknihu [7]. Budete se muset v tomto předmětu více snažit, ale věřím, že brzy ostatní doženete.25

1 Funkce – Teoretické základy CvičeníCvičeníCvičení 1.9 Určete definiční obory a obory hodnot funkcía) f(x) = x − [x] ; b) f(x) = xD(x) ; c) f(x) = √ 1 − x 2 .Cvičení 1.10 Určete funkce inverzní k funkcíma) f(x) = ax + b ; b) f(x) = D(x) ; c) f(x) = x 4 − 2x 2 + 1 .Cvičení 1.11 Je dána funkce f(x) = 3√ 6 − x 3 .a) Určete funkce f ◦ f, f ◦ f ◦ f, f ◦ f ◦ f ◦ f,. . . .b) Najděte další funkce, jež mají stejnou vlastnost jako funkce f v části a).Cvičení 1.12 Nechť platí f = f −1 . Dokažte, že pro všechna x ∈ Dom f platí f(f(f(f(x)))) = x.26

1 Funkce – Teoretické základy ŘešeníŘešeníCvičení 1.1 a) R ; b) 〈0; +∞) ; c) R \ {0} . Grafy jsou na obrázku 9.y21c)−3 −2 −1 1 2b) −1x−2a)−3Obrázek 9 Cvičení 1.1Cvičení 1.2 f(x) = 0 pro všechna x ∈ Dom f.Cvičení 1.3 a) Zdola omezená konstantou −2; b) Shora omezená konstantou 2; c) Není omezená zdola anishora.Cvičení 1.4 Pro sudou funkci f platí f(x) = f(−x), což znamená, že ve dvou různých bodech má stejnouhodnotu a proto není prostá.Cvičení 1.5 Pro všechna x je f(x) > 0 a g(x) > 0. Odtud plyne, že f(x) + g(x) > 0 a f(x)g(x) > 0 provšechna x.Cvičení 1.6 a) x − 3 ; b) Funkce není prostá; c) 3√ x + 3.227

1 Funkce – Teoretické základy ŘešeníCvičení 1.7a) (f ◦ f)(x) = 7x + 3x + 4 , b) √ √x (f ◦ f)(x) = + 1 + 1 ,(f ◦ g)(x) = 2x2 + 9x 2 + 2 , (f ◦ g)(x) = √ x + 1 ,(g ◦ f)(x) = 7x2 + 6x + 12x 2 − 2x + 1 , (g ◦ f)(x) = √ x + 1 ,(g ◦ g)(x) = x 4 + 6x + 12 ; (g ◦ g)(x) = x .Cvičení 1.8 e(x) = x pro všechna x ∈ Dom e.Cvičení 1.9 a) Dom f = R, Rng f = 〈0; 1); b) Dom f = Rng f = Q ; c) Dom f = 〈−1; 1〉, Rng f = 〈0; 1〉.Cvičení 1.10 f −1 (x) = x − bapro a ≠ 0; b), c) Funkce f nejsou prosté.Cvičení 1.11 a) x = (f ◦ f)(x) = (f ◦ f ◦ f ◦ f)(x) = · · · , f(x) = (f ◦ f ◦ f)(x) = · · · ; b) Tuto vlastnostmají například všechny funkce f(x) = n√ a − x n .Cvičení 1.12 (f ◦ f ◦ f ◦ f)(x) = ((f −1 ◦ f) ◦ (f −1 ◦ f))(x) = x.28

2 Algebraické funkce 2.1 Transformace grafu2.1 Transformace grafuV této části se dozvíte, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkce. Aby byl výklad jasnější, budu stále obměňovat funkci ϕ, jejíž graf je na obrázku 10. Její graf bude vždy zelený, zatímco nové grafy budou modré. Transformace budou navíczdůrazněny červenými šipkami.Přičtení čísla k hodnotě funkce Nechť b je reálné číslo a f jefunkce. Mějme funkci g, která vznikne přičtením čísla b k funkci f.Platí tedy g(x) = f(x) + b. Nechť bod A = [x; f(x)] patří grafufunkce f. Posunutím bodu A o b jednotek nahoru dostaneme bodB = [x; f(x) + b] = [x; g(x)]. Bod B tedy patří grafu funkce g. Graffunkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o b jednotek nahoru. (V případě b < 0 se graf samozřejměposouvá o −b jednotek dolů.) Na obrázku 11 je graf funkce τ(x) = ϕ(x) + 1, na obrázku 12 je graf funkceω(x) = ϕ(x) − 1.y4321−1 1 2 3 4 5−1Obrázek 10 Graf funkce ϕϕxyy443τ32ϕ2ϕ11ω−1 1 2 3 4 5−1Obrázek 11 K textux−1 1 2 3 4 5−1Obrázek 12 K textux30

2 Algebraické funkce 2.1 Transformace grafuVynásobení argumentu funkce číslem Nechť c je reálné číslo a f je funkce. Vytvořme funkci g(x) == f(cx). Nechť bod [ A = [x;]f(x)] [ patří ( grafu )] funkce f. Podělením x-ové souřadnice bodu A číslem cx x xdostaneme bod B =c ; f(x) =c ; g . Bod B tedy patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž[ ]cxmnožina ( všech ) bodůc ; y takových, že bod [x; y] patří grafu funkce f. Na obrázku 17 je graf funkce3τ(x) = ϕ2 x , na obrázku 18 je graf funkce ω(x) = ϕ(− 4 )5 x .yy44332τϕω2ϕ11−1 1 2 3 4 5−1Obrázek 17 K textux−6 −4 −2 2 4−1Obrázek 18 K textuxÚkol Je dán graf funkce f(x). Popište, jak se konstruují grafy funkcí f(x) + b, af(x), f(x + d), f(cx).Pokuste se vysvětlit, jak by se zkonstruoval graf funkce af(cx + d) + b.32

2 Algebraické funkce 2.2 Lineární funkce2.2 Lineární funkceDefinice 2.1 Funkce f(x) = ax + b, kde a, b ∈ R, se nazývá lineární funkce. Speciálně (při a = 0) sefunkce f(x) = b nazývá konstantní funkce.Protože operace prováděné při výpočtu ax + b lze provést pro všechna x ∈ R, je definiční obor rovenDom f = R.Konstantní funkce f(x) = b Graf funkce f je množina všech bodů [x; b]. Tato množina ovšem nenínic jiného než přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0; b]. Graf funkce f je na obrázku 21.ybxObrázek 21 Graf konstantní funkceFunkce f nabývá pouze jediné hodnoty b, a proto je Rng f = {b}. Funkce f není rostoucí ani klesající, aleje nerostoucí a neklesající. (To není totéž!) Protože je f(x) = f(−x) = b, je funkce f sudá. Pro všechnačísla x ∈ R a t > 0 platí f(x) = f(x + t) = b, proto je funkce f periodická a její periodou je libovolnéčíslo t > 0. Konstantní funkce jsou jediné funkce s touto vlastností. Funkce f není prostá, protože jeperiodická.34

2 Algebraické funkce 2.2 Lineární funkceFunkce f(x) = x Graf funkce f je množina všech bodů [x; f(x)] = [x; x], tedy je to přímka procházejícípočátkem soustavy souřadnic a svírající s osami x a y úhel 45 ◦ . Graf funkce f je na obrázku 22.yxObrázek 22 Graf funkce f(x) = xKe každému číslu y ∈ R existuje číslo x ∈ R takové, že y = f(x). Proto je Rng f = R. Funkce f je rostoucí,a proto prostá. Z toho také plyne, že f není periodická. Protože f(−x) = −x = −f(x), je funkce f lichá.Funkce f(x) = ax + b pro a ≠ 0 Grafem funkce f je opět přímka. Tato přímka prochází na ose ybodem [0; f(0)] = [0; b]. Zjistěme, kterým bodem na ose x tato přímka prochází. Označme tento bod [x; 0].Pro číslo x musí platit f(x) = 0. Vyřešením této rovnice dostaneme x = − b . Graf funkce f je pro a > 0ana obrázku 23, pro a < 0 na obrázku 24. Protože ke každému číslu y ∈ R existuje číslo x ∈ R takové, žey = f(x), je Rng f = R. Pro a > 0 platíx < yax < ayax + b < ay + b ,35

2 Algebraické funkce 2.2 Lineární funkcea proto je pro a > 0 funkce f rostoucí. Obdobně pro a < 0 je f klesající. Funkce f je tedy ryze monotonní,a proto prostá a neperiodická.yy− b axb− b abxObrázek 23 K textuObrázek 24 K textuPříklad 2.1 Určeme číslo b tak, aby funkce f(x) = ax + b byla lichá.Musí platit −x = f(−x). Úpravou tohoto vztahu postupně dostaneme−ax − b = −ax + b− b = b2b = 0b = 0Z toho plyne, že funkce f(x) = ax + b je lichá právě tehdy, když je b = 0. //Úkol Řekněte, jak se určí průsečíky grafu funkce s osami x a y.36

2 Algebraické funkce 2.3 Kvadratické funkce2.3 Kvadratické funkceDefinice 2.2 Funkce f(x) = ax 2 + bx + c, kde a ≠ 0 a b, c ∈ R, se nazývá kvadratická funkce.Funkce f(x) = x 2 Grafem funkce f je množina všech bodů [x; x 2 ]. Je to křivka, která se nazývá parabola. Graf funkce f je uveden na obrázku 25.y8642−2 −1 1 2Obrázek 25 Graf funkce f(x) = x 2Jestliže je y ≥ 0, pak existuje číslo x ∈ R takové, že f(x) = y. Je-li však y < 0, pak žádné takové xneexistuje. Proto je Rng f = 〈0; +∞). Funkce f je klesající na intervalu (−∞; 0〉 a rostoucí na 〈0; +∞).Protože platí f(−x) = (−x) 2 = x 2 = f(x), je funkce f sudá. Z toho plyne, že f není prostá. Funkce f neníperiodická.x37

2 Algebraické funkce 2.3 Kvadratické funkceFunkce f(x) = ax 2 pro a ≠ 0 Grafem funkce f je parabola procházející body [0; 0] a [±1; a]. Proa > 0 má funkce f stejné vlastnosti jako funkce x 2 . Pro a < 0 je f rostoucí na (−∞; 0〉, klesající na〈0; +∞) a Rng f = (−∞; 0〉. Graf funkce f pro a < 0 je uveden na obrázku 26.y −1 1axb2ayb 2 − 4ac4axObrázek 26 Graf funkce f(x) = ax 2Obrázek 27 K textuFunkce f(x) = ax 2 + bx + c Grafem funkce f je opět parabola. Abychom zjistili, jak tato parabolavypadá, musíme nejdříve funkci f upravit:(f(x) = ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) ((= a x + b ) 2− b2a2a 4a + c ) (= a x + b ) 2− b2 − 4ac2 a2a 4aGraf funkce f tedy vznikne posunutím grafu funkce ax 2 ob2a jednotek doleva a b2 − 4ac[jednotek dolů.4aSituaci ilustruje obrázek 27. Vrchol paraboly je tedy v bodě − b]2a ; − 4ac)−b2 . Pro a > 0 je parabola4a„otevřená nahoru, a proto Rng f =〈c − b2〉4a ; +∞ . Pro a < 0 je parabola „otevřená dolů, a protoRng f =(−∞; c − b2. Funkce f není prostá ani periodická. Pro a > 0 (a < 0) je funkce f klesající4a((rostoucí) na intervalu −∞; − b 〉〈a rostoucí (klesající) na intervalu − b )2a2a ; +∞ .38

2 Algebraické funkce 2.3 Kvadratické funkcePříklad 2.2 Určeme číslo b tak, aby funkce f(x) = ax 2 + bx + c byla sudá.Pro všechna x musí platit f(x) = f(−x). Úpravami této rovnosti postupně dostanemea(−x) 2 + b(−x) + c = ax 2 + bx + cax 2 − bx + c = ax 2 + bx + c−bx = bx2bx = 0 .Protože toto musí platit pro všechna x, musí být b = 0. //Cvičení 2.1 Určete průsečíky grafu funkce f(x) = ax 2 + bx + c s osami x a y.39

2 Algebraické funkce 2.4 Lineární lomená funkce2.4 Lineární lomená funkceDefinice 2.3 Funkce f(x) = ax + b , kde c ≠ 0 a ad ≠ bc, se nazývá lineární lomená funkce.cx + dProtože f(x) je zlomek, nesmí být jmenovatel roven nule. Nesmí tedy platit x = − d . Z toho plyne, že{cDom f = R \ − d }.cyFunkce f(x) = 1 Grafem této funkce je křivka na obrázku 28,xkterá se nazývá hyperbola. Tato křivka se „neustále přibližujek osám x a y, ale nikdy je neprotne.Určeme obor hodnot. Rng f je množina těch čísel y, pro která márovnice f(x) = y řešení. Jednoduchou úpravou této rovnice dostaneme x = 1 . Z toho plyne, že při y = 0 nemá rovnice f(x) = yyřešení, neboli Rng f = R \ {0}. Pro 0 < x < y platí 1 y < 1 x , neboliObrázek 28 Graf funkce f(x) = 1 xxf(y) < f(x). Z toho plyne, že funkce f je klesající na intervalu (0; +∞). Obdobně je f klesající na (−∞; 0).Přesto však f není klesající na celém svém definičním oboru, protože například f(1) = 1 > −1 = f(−1).Protože ke každému číslu y ∈ Rng f existuje jediné číslo x takové, že f(x) = y, je funkce f prostá. Z tohotaké plyne, že f není periodická. Protože platí f(−x) = 1−x = − 1 = −f(x), je f lichá funkce.xFunkce f(x) = a x pro a ≠ 0 40

2 Algebraické funkce 2.4 Lineární lomená funkceÚkol Odvoďte sami vlastnosti této funkce.Funkce f(x) = ax + bcx + dji nejdříve upravit.K určení vlastností této funkce je opět nutnoya adf(x) = ax + b (cx + d) −cx + d = c c + bcx + dad − bc= a c − ( cc x + d ) =cbc − adc 2x + d c+ a cacdcx(bc − ad)/c2Graf funkce f vznikne posunutím grafu funkce o d x c jednotekdoleva a a jednotek nahoru. Situace je zachycena na obrázku 29. GrafcObrázek 29 K textufunkce f se „stále přibližuje k přímkám y = a c a x = −d , ale nikdy je neprotne. Z toho plyne, že{ }caRng f = R \ .cÚkol Odvoďte sami další vlastnosti.41

2 Algebraické funkce 2.5 Další funkce2.5 Další funkceDefinice 2.4 Dirichletova funkce D(x) je funkce definovaná na Dom D = R, pro kterou platí: pro x ∈ Qje D(x) = 1, pro x ∉ Q je D(x) = 0.Ihned z definice plyne, že Rng D = {0; 1}. Funkce D není ani rostoucí ani klesající. Již dříve bylo dokázáno,že D je periodická a její periodou je libovolné a ∈ Q + . Z toho plyne, že D není prostá.Cvičení 2.2 Dokažte, že D je sudá funkce.Definice 2.5 Riemannova funkce R(x) je funkce definovaná na Dom R = R následovně: R(0) = 1; pro x ∉ Qje R(x) = 0; pro číslo x = p , kde p a q jsou nesoudělnáqčísla, je R(x) = 1 q .Ihned z definice plyne, že Rng R = {0} ∪{ 1q : q ∈ N }.Funkce R není rostoucí ani klesající. R je periodická a jejíperiodou je libovolné kladné celé číslo. Z toho plyne, že Rnení prostá. Graf Riemannovy funkce je na obrázku 30.Obrázek 30 Graf Riemannovy funkceCvičení 2.3 Dokažte, že R je sudá funkce.42

2 Algebraické funkce 2.5 Další funkceShrnutí Graf funkce f(x) + b vznikne posunutím grafu funkce f(x) o b jednotek nahoru. Graf funkceaf(x) vznikne natáhnutím grafu funkce f(x) do výšky na a-násobek. Graf funkce f(cx) vznikne „stáhnutím grafu funkce f(x) do šířky na jednu c-tinu. Graf funkce f −1 (x) vznikne překlopením grafu funkce f(x)kolem přímky y = x.Tato kapitola byla snadná. Sloužila především ke shrnutí učiva ze střední školy pro studenty, jimžmatematika činila potíže. Uvedené vlastnosti není třeba umět zpaměti, protože si je lze snadno odvodit.Důležité je umět z grafu funkce vyčíst základní vlastnosti, obdobně jako ve cvičení 2.5.43

2 Algebraické funkce CvičeníCvičeníCvičení 2.4 Červená křivka na obrázku 31 je graf funkce f, která je sudá a má periodu t = 4. Modrákřivka vznikla posunutím červené křivky o dvě jednotky nahoru a jednu jednotku doprava. Určete všechnyfunkce, jejichž grafem je modrá křivka.a) 2f(x) − 1 b) f(2x + 1) c) f(2 − x) + 1 d) f(x − 1) + 2 e) 2 + f(5 − x)f) 5 − f(2x) g) f(x + 7) + 2 h) 3f(2x − 1) + 1 i) f(x + 6) − 1 j) f(1 − x) + 6Cvičení 2.5 Na obrázku 32 jsou grafy funkcíf, g, a h. Která z následujících tvrzení jsoupravdivá?a) Žádná z těchto funkcí není rovna funkci2x 2 + 4.b) V intervalu 〈−2; 2〉 existuje bod x 0 takový,že g(x 0 )h(x 0 ) = 0.c) Rovnice f(x) − h(x) = 0 nemá v intervalu〈−2; 2〉 žádné řešení.d) Pro každé x ∈ 〈−2; 2〉 platí f(x) = f(−x).−4 −2 2 4 6xe) Existuje interval 〈a; b〉 ⊆ 〈−2; 2〉 takový, že pro každé x ∈ 〈a; b〉 platí h(x) ≤ g(x) ≤ f(x).f) Rovnice g(x) + h(x) = 0 má na intervalu 〈−2; 2〉 alespoň jedno řešení.y321−1Obrázek 31 Cvičení 2.4y42−2 −1 1 2xg−2−4Obrázek 32 Cvičení 2.5fh44

2 Algebraické funkce CvičeníCvičení 2.6 Určete základní vlastnosti (definiční obor, obor hodnot, monotonnost, průsečíky s osami,zda je funkce sudá nebo lichá) následujících funkcí a načrtněte jejich grafy.a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = 6 − 2x c) f(x) = 4x 2 − 20x + 24 d) f(x) = (x − 2) 2 − (2x − 1) 2e) f(x) = 2x + 3 f) f(x) = 3x − 9 g) f(x) = R(x)(1 − D(x))x − 12x − 445

2 Algebraické funkce ŘešeníŘešení[ √ ]−b ± b2 − 4acCvičení 2.1 Průsečík s osou y je [0; c]. Průsečíky s osou x jsou; 0 , pokud je b 2 ≥ 4ac.2aCvičení 2.2 Pro x ∈ Q je D(x) = 1 a −x ∈ Q, a proto D(−x) = 1. Pro x ∉ Q je D(x) = 0 a −x ∉ Q, aproto D(x) = 0.Cvičení 2.3 Pro x = 0 je −x = 0, a proto R(x) = R(−x) = 0. Pro x ∉ Q je R(x) = 0 a −x ∉ Q, a protoR(−x) = 0. Pro x = p q , kde p a q jsou nesoudělná, jsou čísla −p a q nesoudělná a R(x) = R(−x) = 1 q .Cvičení 2.4 d), e) a g).Cvičení 2.5 a), b), e) a f)Cvičení 2.6 a) Dom f = Rng f = R, funkce je rostoucí na R, není sudá ani lichá, průsečík s osou x je[− 4 3 ; 0 ], s osou y je [0; 4], graf je na obrázku 33.b) Dom f = Rng f = R, funkce je klesající na R, není sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou yje [0; 6], graf je na obrázku 33.(c) f(x) = 4(x − 2)(x − 3) = 4 x − 5 2− 1, Dom f = R, Rng f = 〈−1; +∞), funkce je klesající na(2)−∞; 5 〉〈 ) 5, rostoucí na22 ; +∞ , není sudá ani lichá, průsečíky s osou x jsou [2; 0] a [3; 0], s osou y je[0; 24], graf je na obrázku 33.d) f(x) = −3x 2 + 3, Dom f = R, Rng f = (−∞; 3〉, funkce je rostoucí na (−∞; 0〉, klesající na 〈0; +∞),je sudá, průsečíky s osou x jsou [±1; 0], s osou y je [0; 3], graf je na obrázku 33.46

2 Algebraické funkce Řešeníe) f(x) = 2 + 5 , Dom f = R \ {1}, Rng f = R \ {2}, funkce je klesající na (−∞; 1) a (1; +∞) neníx − 1sudá ani lichá, průsečík s osou x je[− 3 ]2 ; 0 , s osou y je [0; −3], graf je na obrázku 34.f) f(x) = 3 2 − 3/2{ } 3x − 2 , Dom f = R \ {2}, Rng f = R \ , funkce je rostoucí na (−∞; 2) a (2; +∞), není[ 2sudá ani lichá, průsečík s osou x je [3; 0], s osou y je 0; 9 ], graf je na obrázku 34.4g) f(x) = 0, Dom f = R, Rng f = {0}, funkce je konstantní (a tedy nerostoucí a neklesající) na R, je sudái lichá, průsečíky s osou x jsou [t; 0] pro každé t ∈ R, s osou y je [0; 0], graf je na obrázku 33.yb)10c)a)y105g)−2 −1 1 2 3−5x5 f)−2 −1 1 2 3−5x−10d)−15Obrázek 33 Cvičení 2.6−10 e)−15Obrázek 34 Cvičení 2.647

3 Spojitost3 SpojitostObsah lekce3.1. Okolí bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Spojitost v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Spojitost na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4. Věty o spojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Klíčová slovaOkolí bodu, spojitost v bodě, spojitost na intervalu, Darbouxova vlastnost, Weierstrassova věta.48

3 Spojitost 3.1 Okolí bodu3.1 Okolí boduDefinice 3.1 Nechť a je reálné číslo a δ > 0. Potom interval(a − δ; a + δ) se nazývá δ-okolí bodu a a označuje se U δ (a);(a − δ; a〉 se nazývá levé δ-okolí bodu a a označuje se U − δ (a);〈a; a + δ) se nazývá pravé δ-okolí bodu a a označuje se U + δ (a).Vyjmutím bodu a z (levého, pravého) δ-okolí bodu a dostaneme tzv. redukované (levé, pravé) δ-okolíbodu a, které se označuje P δ (a) (P − δ (a), P+ δ (a)).Redukované okolí se také někdy nazývá prstencové okolí. Jednostranná redukovaná okolí lze rovněž zapsatve tvaru P − δ (a) = (a − δ; a), P+ δ(a) = (a; a + δ).Příklad 3.1 Zapišme pomocí nerovností, že číslo x patří do redukovaného 1-okolí bodu 2.Platí P 1 (2) = (1; 2) ∪ (2; 3). Vztah x ∈ P 1 (2) lze zapsat ve tvaru 0 < |x − 2| < 1. //Úkol Zapište pomocí nerovností, že číslo x patří do (redukovaného) (levého/pravého) δ-okolí bodu a.49

3 Spojitost 3.1 Okolí boduSprávné řešení jex ∈ U δ (a) ⇐⇒ a − δ < x < a + δ ⇐⇒ |x − a| < δ ,x ∈ U − δ(a) ⇐⇒ a − δ < x ≤ a ,x ∈ U + δ(a) ⇐⇒ a ≤ x < a + δ ,x ∈ P δ (a) ⇐⇒ 0 < |x − a| < δ ,x ∈ P − δ(a) ⇐⇒ a − δ < x < a ,x ∈ P + δ(a) ⇐⇒ a < x < a + δ .Cvičení 3.1 Vyjádřete následující intervaly jako okolí bodu.a) (3; 5) , b) 〈6; 7) , c) 〈0; 2〉 .50

3 Spojitost 3.2 Spojitost v bodě3.2 Spojitost v boděDefinice 3.2 Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že provšechna x ∈ U δ (a) platí f(x) ∈ U ε (f(a)), neboli stručněji∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U δ (a): f(x) ∈ U ε (f(a)) .Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z δ-okolíbodu a zobrazí do ε-okolí bodu f(a). Situace je zachycena na obrázku 35.yf(a) + εf(a)f(x)f(a) − εfa − δxaa + δObrázek 35 Spojitost funkce v boděGeometricky lze (nepřesně) říci, že funkce je spojitá v bodě a, jestliže její graf „můžeme na okolí bodu anakreslit jedním tahem.Při zjišťování, zda je funkce f spojitá v bodě a, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, aby provšechna x ∈ U δ (a) platilo f(x) ∈ U ε (f(a)). Přitom stačí dokázat, že f(x) ∈ U Kε (f(a)), kde K je nějakákladná konstanta. Ukážeme si to na příkladu.x51

3 Spojitost 3.2 Spojitost v boděPříklad 3.2 Funkce y = x 2 je spojitá v každém bodě a ∈ R.Nechť ε > 0 je libovolné pevně zvolené číslo. Máme najít číslo δ > 0 tak, aby pro všechna x ∈ U δ (a)platilo x 2 ∈ U ε (a 2 ). Jinými slovy musí platit |x 2 − a 2 | < ε. Pro všechna x ∈ U δ (a) platí |x − a| < δ. Dáleplatí|x + a| = |(x − a) + 2a| ≤ |x − a| + 2|a| < δ + 2|a| .Z toho plyne, že|x 2 − a 2 | = |x − a| · |x + a| < δ(δ + 2|a|) .Je třeba nalézt číslo δ > 0 tak, aby δ(δ+2|a|) ≤ ε, protože potom bude |x 2 −a 2 | < ε pro všechna x ∈ U δ (a).Nerovnost δ(δ + 2|a|) ≤ ε je ekvivalentní s nerovností δ 2 + 2|a|δ − ε ≤ 0. Tato nerovnost platí pro〈δ ∈ −|a| − √ a 2 + ε; −|a| + √ 〉a 2 + ε .Protože je ε > 0, je a 2 + ε > a 2 , a proto −|a| + √ a 2 + ε > 0. Protože musí být δ > 0, lze vzít δ = −|a| ++ √ a 2 + ε, tedy takové číslo δ > 0 existuje a funkce x 2 je spojitá v každém bodě a ∈ R. //Z tohoto příkladu je vidět, že i v případě tak jednoduché funkce, jako je x 2 , je zjišťování spojitosti podledefinice dosti složité. Proto se při zjišťování spojitosti většinou využívají věty uvedené v části 3.4.V definici spojitosti se vyskytuje číslo f(a). Aby funkce f mohla být v bodě a spojitá, musí číslo f(a)existovat. Jinými slovy musí být a ∈ Dom f. Taktéž musí existovat f(x) pro x z nějakého δ-okolí bodu a.Tedy musí být U δ (a) ⊆ Dom f. Kontrapozicí této věty ihned dostávámeVěta 3.1 Jestliže číslo a s nějakým svým okolím nepatří do definičního oboru Dom f, není funkce fv bodě a spojitá.Příklad 3.3 Funkce f(x) = 1 xnení definována v bodě x = 0, a proto není spojitá v bodě 0. //52

3 Spojitost 3.2 Spojitost v boděPříklad 3.4 Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě a ∈ R.Nechť a ∈ Q. Potom je D(a) = 1. Zvolme ε ∈ (0; 1). V každém U δ (a) existuje alespoň jedno číslo x ∉ Q.Pro toto x platí x ∈ U δ (a), ale D(x) = 0 ∉ U ε (D(a)). Pro a ∉ Q je důkaz obdobný. //Funkce f(x) = √ x je spojitá v každém bodě a > 0. V bodě 0 spojitá není, protože při jakémkoliv δ > 0nepatří levé δ-okolí bodu 0 do definičního oboru. Cítíme však, že „napravo od bodu 0 je odmocninav jistém smyslu „spojitá. Proto se definují jednostranné spojitosti.Definice 3.3 Funkce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0takové, že pro všechna x ∈ U + δ (a) (x ∈ U− δ (a)) platí f(x) ∈ U ε(f(a)), neboli stručněji∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U + δ (a): f(x) ∈ U ε(f(a)) pro spojitost zprava a∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U − δ (a): f(x) ∈ U ε(f(a)) pro spojitost zleva.yf(a) + εf(x)f(a)ff(a) − εaxa + δObrázek 36 Spojitost v bodě zpravaFunkce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každýbod x z pravého (levého) δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f(a). Situace je pro spojitost zpravazachycena na obrázku 36. Pro spojitost zleva je situace podobná. (Nakreslete!)53x

3 Spojitost 3.2 Spojitost v boděPříklad 3.5 Funkce f(x) = √ x je zprava spojitá v bodě a = 0.To se dokáže snadno. Je třeba k číslu ε > 0 najít číslo δ > 0 takové, aby pro každé číslo x takové, že0 ≤ x < δ, platilo −ε < √ x < ε. Umocněním poslední nerovnosti na druhou dostaneme 0 ≤ x < ε 2 . Stačítedy vzít δ = ε 2 . //Věta 3.2 Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a spojitá zleva i zprava.Důkaz Je snadný, ale budu ho provádět podrobně.Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá v bodě a, aproto existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ U δ (a) platí f(x) ∈ U ε (f(a)). Protože je U − δ (a) ⊆ U δ(a), taképro všechna x ∈ U − δ (a) platí f(x) ∈ U ε(f(a)). To ale znamená, že funkce f je zleva spojitá v bodě a.Obdobně platí U + δ (a) ⊆ U δ(a), a proto funkce f je spojitá zprava v bodě a.Nyní provedu důkaz zprava doleva. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá zleva v bodě a, aproto existuje číslo δ 1 takové, že pro všechna x ∈ U − δ 1(a) platí f(x) ∈ U ε (f(a)). Funkce f je zároveň v bodě aspojitá zprava, a proto existuje číslo δ 2 takové, že i pro všechna x ∈ U + δ 2(a) platí f(x) ∈ U ε (f(a)). Jinýmislovy platí f(x) ∈ U ε (f(a)) pro všechna x ∈ U − δ 1(a) ∪ U + δ 2(a). Položme δ = min{δ 1 ; δ 2 }. Platí U − δ (a) ⊆⊆ U − δ 1(a) a U + δ (a) ⊆ U+ δ 2(a), neboli U − δ (a) ∪ U+ δ (a) ⊆ U− δ 1(a) ∪ U + δ 2(a). Dále platí U δ (a) = U − δ (a) ∪ U+ δ (a).Z toho ovšem plyne, že f(x) ∈ U ε (f(a)) pro všechna x ∈ U δ (a).□54

3 Spojitost 3.3 Spojitost na intervalu3.3 Spojitost na intervaluDefinice 3.4 Funkce f je spojitá na intervalu (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě c ∈ (a; b).Funkce f je spojitá na intervalu 〈a; b〉, jestliže je spojitá na intervalu (a; b) a navíc je spojitá zpravav bodě a a spojitá zleva v bodě b. Jestliže je definiční obor Dom f intervalem a funkce f je spojitá nacelém Dom f, pak se stručně říká, že funkce f je spojitá.Z definice 3.4 ihned plyne toto: Je-li funkce f spojitá na intervalu I a J je jeho podinterval, pak je funkce fspojitá i na intervalu J.Příklad 3.6 Funkce f(x) = x je spojitá na R.Zvolme si libovolně a ∈ R. Dokážeme, že f je spojitá v bodě a. Nechť ε > 0. Je třeba najít číslo δ, abypro včechna x ∈ U δ (a) platilo f(x) ∈ U ε (f(a)). Protože je f(x) = x a f(a) = a, je třeba, aby pro všechnax ∈ U δ (a) platilo x ∈ U ε (a). Stačí tedy vzít δ = ε. //Příklad 3.7 Konstantní funkce f(x) = c, kde c ∈ R je libovolná konstanta, je spojitá na R.Zvolme si libovolně a ∈ R. Dokážeme, že f je spojitá v bodě a. Nechť ε > 0. Je třeba najít číslo δ, aby provšechna x ∈ U δ (a) platilo f(x) ∈ U ε (f(a)). Protože je f(x) = f(a) = c a c ∈ U ε (c), platí f(x) ∈ U ε (f(a))dokonce pro všechna x ∈ R. Číslo δ > 0 tedy může být libovolné. //Cvičení 3.2 Dokažte, že funkce f(x) = |x| je spojitá na R.55

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitosti3.4 Věty o spojitostiVěta 3.3 Nechť funkce f a g jsou spojité v bodě a. Pak jsou i funkce f +g, f −g a fg spojité v bodě a.Je-li navíc g(a) ≠ 0, je i funkce f spojitá v bodě a.gDůkaz bude uveden později.Důsledek Jsou-li funkce f 1 , . . . , f n spojité, jsou spojité i funkce f 1 + · · · + f n a f 1 · · · f n .Důkaz Provede se matematickou indukcí.□Důsledek Je-li funkce f spojitá v bodě a a c ∈ R je libovolná konstanta, pak je funkce g(x) = cf(x)spojitá v bodě a.Důkaz Konstantní funkce c je spojitá na R, a tedy je spojitá i v bodě a. Součin dvou funkcí spojitýchv bodě a je podle věty 3.3 funkce spojitá v bodě a.□Důsledek Libovolná racionální lomená funkce je spojitá ve všech bodech, ve kterých není jmenovatelroven nule. Speciálně je každý mnohočlen a 0 + a 1 x + · · · + a n x n spojitý na R.56

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitostiDůkaz Funkce x 1 je spojitá. Předpokládejme, že je spojitá funkce x k pro nějaké k ∈ N. Pak podlevěty 3.3 je spojitá i funkce x k+1 = x · x k . Funkce x n je proto spojitá pro každé n ∈ N. Je-li a n ∈ Rlibovolná konstanta, je podle předchozího důsledku funkce a n x n spojitá. Podle prvního důsledku je spojitái funkce (mnohočlen) a 0 + a 1 x + · · · + a n x n . Podle věty 3.3 je podíl dvou mnohočlenů, tedy racionálnílomená funkce, spojitý ve všech bodech, ve kterých není jmenovatel roven nule.□Příklad 3.8 I když jsou funkce f a g nespojité v bodě a, může přesto funkce f +g být spojitá v bodě a.Příkladem jsou funkce f(x) = D(x) a g(x) = 1 − D(x). Ani jedna z nich není spojitá v žádném bodě.Ale funkce (f + g)(x) = 1 je funkce konstantní, a tedy spojitá. //Cvičení 3.3 Nechť je funkce f spojitá v bodě a a funkce g nespojitá v bodě a. Co lze říct o funkcíchf + g a f − g?Věta 3.4 Je-li funkce f spojitá v bodě a a funkce g spojitá v bodě b = f(a), je funkce g ◦ f spojitáv bodě a.Důsledek Nechť funkce f je spojitá. Protože absolutní hodnota je spojitá funkce, je i funkce |f|(x) == |f(x)| spojitá.Cvičení 3.4 Existuje funkce f, která není spojitá v žádném bodě a ∈ Dom f, pro kterou je funkce |f|spojitá v každém bodě a ∈ Dom f?57

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitostiVěta 3.5 Jestliže je funkce f spojitá v bodě a a platí f(a) > 0 (f(a) < 0), pak existuje číslo δ > 0takové, že pro všechna x ∈ U δ (a) platí f(x) > 0 (f(x) < 0).Tato věta říká, že když je spojitá funkce v nějakém bodě různá od nuly, pak na jeho nějakém okolí neměníznaménko. Situace je pro f(a) > 0 zachycena na obrázku 37.yff(a) + εf(a)0 = f(a) − ε a − δ a a + δxObrázek 37 K větě 3.5Důkaz Větu dokážu pro f(a) > 0. Pro f(a) < 0 je situace podobná (proveďte).Z definice spojitosti plyne, že pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈ U δ (a) je |f(x)−f(a)| 0 tak, že pro všechna x ∈ U δ (a) platí |f(x) − f(a)| < f(a).Z této nerovnosti ale pro f(a) > 0 plyne f(x) > 0.□Kontrapozicí věty 3.5 dostávámeDůsledek Jestliže funkce f mění na okolí bodu a znaménko, pak platí f(a) = 0 nebo f není spojitáv bodě a.58

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitostiZ toho plyne, že funkce může (ale nemusí) měnit znaménko pouze v bodech, v nichž je rovna nule nebov nichž není spojitá.Příklad 3.9 Určeme intervaly, na nichž je funkce f(x) = x2 − 8x + 12kladná, nebo záporná.x 3 − 4x 2Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je funkce rovna nule nebo není spojitá. Funkce můžeměnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními bodyintervalů, na nichž je funkce kladná, nebo záporná. K určení znaménka funkce na některém intervalu stačíurčit znaménko hodnoty funkce v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, vekterém se hodnota f(x) spočítá snadno.Funkce f(x) je rovna nule v těch bodech, ve kterých je čitatel roven nule. Řešením rovnice x 2 −8x+12 = 0jsou čísla x = 2 a x = 6. Funkce f(x) není spojitá v těch bodech, v nichž je jmenovatel roven nule. Řešenímrovnice x 3 − 4x 2 = 0 jsou čísla x = 0 a x = 4. Nanesme proto na osu x body 0, 2, 4 a 6 (viz obrázek 38).0 2 4 6Obrázek 38 K příkladu− − + − +0 2 4 6Obrázek 39 K příkladuNyní určeme hodnoty funkce f ve vnitřních bodech vyznačených intervalů.f(−1) = 21−5 = − 21 5f(1) = 5−3 = − 5 3f(3) = −3 = 1 −9 = − 3325 25f(5) = −3f(7) = 5147< 0, a tedy f je záporná na intervalu (−∞; 0);< 0, a tedy f je záporná na intervalu (0; 2);> 0, a tedy f je kladná na intervalu (2; 4);< 0, a tedy f je záporná na intervalu (4; 6);> 0, a tedy f je kladná na intervalu (6; +∞).Symbolicky je toto zakresleno na obrázku 39. //59

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitostiVěta 3.6 Jestliže je funkce f spojitá v bodě a, pak existuje číslo δ > 0 takové, že funkce f je omezenána U δ (a).Důkaz Zvolme libovolně číslo ε > 0. Protože je funkce f spojitá v bodě a, existuje číslo δ > 0 takové, žepro všechna x ∈ U δ (a) platí f(x) ∈ U ε (f(a)). Jinými slovy pro všechna x ∈ U δ (a) platí f(a) − ε < f(x)

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitostiPříklad 3.10 ( Obrácená věta neplatí. Mějme funkci ( f : 〈−1; 1〉 → R definovanou následovně: Pro lichá1 1n ∈ Z je f = 1, pro sudá n ∈ Z \ {0}, je f = 0, mezi bodyn)n)1 n a 1je funkce f lineární.n + 1Graf funkce f je na obrázku 41. Tato funkce má Darbouxovu vlastnost, ale v bodě a = 0 není spojitá.y1−1−1 −12 3111543121xObrázek 41 Graf funkce f //Důsledek Jestliže je funkce f spojitá na intervalu 〈a; b〉 a čísla f(a) a f(b) mají různá znaménka, pakexistuje (alespoň jeden) bod c ∈ (a; b) takový, že f(c) = 0.Věta 3.8 (Weierstrassova věta) Funkce, která je spojitá na uzavřeném intervalu, je na tomto intervaluomezená a nabývá na něm svého maxima a minima.Že funkce f nabývá na intervalu 〈a; b〉 svého maxima, znamená, že existuje číslo c ∈ 〈a; b〉 takové, že provšechna x ∈ 〈a; b〉 je f(c) ≥ f(x). Obdobně pro minimum.61

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitostiPříklad 3.11 Funkce, která je definovaná na uzavřeném intervalu, ale není na něm spojitá, nemusísvého maxima nabývat. Příkladem je funkce f definovaná na intervalu 〈−1; 1〉, pro niž platí f(x) == 1 − x 2 pro x ≠ 0 a f(0) = 0. V blízkosti bodu x = 0 se hodnoty funkce blíží hodnotě 1, ale této hodnotynedosahují.Dále také funkce, která je spojitá, avšak pouze na otevřeném intervalu, nemusí svého maxima nabývat.Ukázkou je funkce f(x) = x 2 definovaná na intervalu (0; 1). V blízkosti bodu x = 1 se hodnoty funkce blížíhodnotě 1, ale této hodnoty nedosahují.Nalezněte podobné příklady na neexistenci minima a na neomezenost funkce při nesplnění předpokladůvěty 3.8. //62

3 Spojitost 3.4 Věty o spojitostiShrnutí δ-okolí bodu a je interval U δ (a) = (a−δ; a+δ), levé δ-okolí je (a−δ; a〉, pravé δ-okolí 〈a; a+δ).Redukované okolí P(a) vznikne z okolí U(a) vyjmutím bodu a.Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U δ (a): f(x) ∈ U ε (f(a)). Obdobně se definujespojitost zprava a zleva. Funkce je spojitá na intervalu, jestliže je spojitá ve všech vnitřních bodech tohotointervalu a dále spojitá zprava v levém a zleva v pravém krajním bodě, pokud tyto body patří k intervalu.Jestliže jsou v daném bodě spojité dvě funkce, pak jsou v tomto bodě spojité i jejich součet, rozdíl, součina podíl, jestliže je jmenovatel různý od nuly. Z toho plyne, že každý mnohočlen je spojitá funkce. Je-lifunkce f spojitá v bodě a a funkce g spojitá v bodě f(a), pak je funkce g ◦ f spojitá v bodě a.Funkce má Darbouxovu vlastnost, jestliže když nabývá dvou hodnot, pak nabývá všech hodnot mezi nimi.Funkce spojitá na intervalu má na něm Darbouxovu vlastnost. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu naněm nabývá maxima a minima.Tato kapitola byla již složitější, ale předpokládám, že Vám nečinila potíže. Na pojmu okolí je založenacelá vyšší matematika, proto je dobré s ním umět pracovat, hlavně v ε-δ-definicích. Jestliže však znáteuvedené věty, lze se ε-δ-definicím v případě „rozumných funkcí vyhnout. Z tohoto důvodu si zopakujtevšechny uvedené věty.63

3 Spojitost CvičeníCvičeníCvičení 3.5 Který z následujících výroků je definicí spojitosti funkce f v bodě a?a) ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∀x ∈ U δ (x): f(x) ∈ U ε (f(x));b) ∀ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ U ε (x): f(x) ∈ P δ (f(x));c) ∃δ > 0 ∃ε > 0 ∀x ∈ P δ (x): f(x) ∈ P ε (f(x));d) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U δ (x): f(x) ∈ U ε (f(x)).Cvičení 3.6 Určete intervaly spojitosti následujících funkcía) f(x) = x 3 + x 2 − 12x; b) f(x) =11x 3 + x 2 − 12x ; c) f(x) = x − 1x − 11x + 1 .x + 1Cvičení 3.7 Řešte nerovnice4x − x2x + 1a) ≤ 0; b)x + 7 5 − x > 0; c) x3 + x2 x 3 − x < 0; d) 3x + 2 > 1.Cvičení 3.8 Dokažte, že rovnice x 3 − 5x − 1 = 0 má alespoň jeden kořen v intervalu (−1; 0).64

3 Spojitost ŘešeníŘešeníCvičení 3.1 a) (3; 5) = U 1 (4) = P + 2 (3) = P − 2 (5); b) 〈6; 7) = U + 1 (6); c) 〈0; 2〉 není okolí.Cvičení 3.2 Pro dané a ∈ R a ε > 0 zvolme δ = ε. Potom pro x ∈ U δ (a) je |f(x) − f(a)| = ∣ ∣ |x| − |a|∣ ∣ ≤≤ |x − a| < δ = ε.Cvičení 3.3 Funkce f + g a f − g jsou nespojité v bodě a. Kdyby funkce f + g byla spojitá v bodě a, pakby funkce g = (f + g) − f jako rozdíl funkcí spojitých v bodě a byla spojitá v bodě a, což je spor. Podobněpro funkci f − g.Cvičení 3.4 Taková funkce existuje, například f(x) = 2D(x) − 1.Cvičení 3.5 d)Cvičení 3.6 a) R; b) (−∞; −4), (−4; 0) a (0; 3); c) −∞; −1,(−1; − 1 ),(− 1 )2 2 ; 0 , (0; 1) a (1; +∞).Cvičení 3.7 a) x ∈ (−7; 0〉∪〈4; +∞); b) x ∈ (−∞; − √ 5)∪(−1; √ 5); c) x ∈ (−1; 0)∪(0; 1); d) x ∈ (−2; 1).Cvičení 3.8 Označme f(x) = x 3 − 5x − 1. Platí f(−1) = 3 a f(0) = −1. Funkce f je spojitá, a proto máDarbouxovu vlastnost. Z toho plyne, že pro 0 ∈ (−1; 3) existuje c ∈ (−1; 0) takové, že f(c) = 0.65

4 Limita4 LimitaObsah lekce4.1. Pojem limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Věty o limitách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3. Nevlastní limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4. Počítání limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Klíčová slovaLimita.66

4 Limita 4.1 Pojem limity4.1 Pojem limityDefinice 4.1 Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že provšechna x ∈ P δ (a) platí f(x) ∈ U ε (A), neboli stručnějilim f(x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P δ(a): f(x) ∈ U ε (A) .x→aEkvivalentní definice 4.1 Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže pro každé okolí U(A) bodu A existujeredukované okolí P(a) bodu a takové, že pro všechna x ∈ P(a) platí f(x) ∈ U(A), neboli stručnějilim f(x) = A ⇐⇒ ∀U(A) ∃P(a) ∀x ∈ P(a): f(x) ∈ U(A) .x→aŽe má funkce f v bodě a limitu A, se někdy zapisuje „f(x) → Apro x → a. Tento zápis je velmi výstižný. Jestliže se číslo x blížíčíslu a, blíží se hodnota f(x) číslu A. Jinými slovy, A je číslo, kekterému se blíží hodnota f(x), jestliže se x blíží k a.Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ke každému libovolně malému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že se každý bod x z redukovanéhoδ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu A. Situace je zachycena naobrázku 42.yA + εAf(x)A − εa − δxaa + δDobře si uvědomte rozdíl v definici limity a spojitosti funkce v bodě.V definici spojitosti se vyskytuje U δ (a), zatímco v definici limity se Obrázek 42 Limita funkcevyskytuje P δ (a). V definici limity se vůbec nehovoří o hodnotě f(a).Z toho vyplývá, že limita funkce f v bodě a nezávisí na hodnotě f(a), ale pouze na hodnotách funkce fna okolí bodu a. Funkce f nemusí být v bodě a vůbec definována.fx67

4 Limita 4.1 Pojem limityPři zjišťování, zda má funkce f v bodě a limitu A, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, abypro všechna x ∈ P δ (a) platilo f(x) ∈ U ε (A). Přitom stačí dokázat, že f(x) ∈ U Kε (A), kde K je nějakákladná konstanta.Příklad 4.1 Označme f(x) = x3 + xa určeme lim f(x).xx→0V bodě 0 není funkce definována. Pro x blízké nule jsou hodnoty f(x) uvedeny v tabulce.x −0,1 −0,01 −0,001 0,001 0,01 0,1f(x) 1,01 1,0001 1,000001 1,000001 1,0001 1,01Pro x blízké nule jsou hodnoty f(x) blízké jedné. Z toho „plyne, že by mohlo být limx→0f(x) = 1. Toto jeovšem nutno dokázat.Nechť je dáno číslo ε > 0. Je třeba najít číslo δ > 0 tak, aby pro všechna x ∈ P δ (0) platilo f(x) ∈ U ε (1).Jinými slovy musí platit0 < |x| < δ ⇒x 3 + x∣ − 1x ∣ < ε .Pro x ∈ P δ (0), tedy pro x ≠ 0, však platí x3 + x= x 2 + 1, a proto se předchozí implikace zjednoduší naxtvar0 < |x| < δ ⇒ |x 2 | < ε .Aby tato implikace platila, stačí při daném ε zvolit δ = √ ε. Proto je limx→0f(x) = 1. //68

4 Limita 4.1 Pojem limityDefinice 4.2 Bod a se nazývábod spojitosti funkce f, jestliže platí lim f(x) = f(a);x→abod odstranitelné nespojitosti funkce f, jestliže lim f(x) = A a f(a) ≠ A, nebox→af(a) není definováno;bod neodstranitelné nespojitosti funkce f, jestliže lim f(x) neexistuje.x→aPříklad 4.2 a) Mějme funkci a(x) = x 2 . Pro ni platí a(0) = 0 = limx→0a(x). Z toho plyne, že bod 0 jebod spojitosti funkce a. Graf funkce a je na obrázku 43.b) Mějme funkci b(x) = |sgn x|. Připomínám, že funkce sgn x (čteme signum x) je rovna jedné pro x > 0,nule pro x = 0 a mínus jedné pro x < 0. Platí b(0) = 0, ale lim b(x) = 1. Z toho plyne, že bod 0 je bodx→0odstranitelné nespojitosti funkce b. Graf funkce b je na obrázku 44.y1y21−11x−1Obrázek 43 Graf funkce a(x)−11 xObrázek 44 Graf funkce b(x)69

4 Limita 4.1 Pojem limityc) Mějme funkci c(x) = 1 /( 1 + 1 ). Funkce c není definována pro x = 0. Platí lim c(x) = 0. Z toho plyne,xx→0že bod 0 je bod odstranitelné nespojitosti funkce c. Graf funkce je na obrázku 45.( 1d) Mějme sudou funkci d: 〈−1; 1〉 → R definovanou pro n ∈ N následovně: d = 1 pro n liché,( n)1d = 0 pro n sudé různé od nuly, a mezi těmito body je funkce d lineární. Funkce d není pro x = 0n)definována a ani neexistuje limx→0d(x). Z toho plyne, že bod 0 je bod neodstranitelné nespojitosti funkce d.Graf funkce d je na obrázku 46.y1y1−1 1x−1−2Obrázek 45 Graf funkce c(x)−1−1 −12 3111543Obrázek 46 Graf funkce d(x) //121xZe stejných důvodů, z jakých se definovala jednostranná spojitost, se definují jednostranné limity.70

4 Limita 4.1 Pojem limityDefinice 4.3 Funkce f má v bodě a limitu zprava (zleva) A, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0takové, že pro všechna x ∈ P + δ (a) (x ∈ P− δ (a)) platí f(x) ∈ U ε(A), neboli stručnějilim f(x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈x→a+ P+ δ (a): f(x) ∈ U ε(A) pro limitu zprava alim f(x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈x→a− P− δ (a): f(x) ∈ U ε(A) pro limitu zleva.Příklad 4.3 Určeme jednostranné limity funkce x + sgn x v bodě a = 0.Nalevo od bodu a, tedy pro x < 0, se funkce x+sgn x chová jako funkce x−1, a proto je lim (x + sgn x) =x→0−= lim (x − 1) = −1.x→0−Napravo od bodu a, tedy pro x > 0, se funkce x+sgn x chová jako funkce x+1, a proto je lim (x + sgn x) =x→0+= lim (x + 1) = 1.x→0+Tento výpočet nebyl příliš matematický. Proto proveďte podrobný důkaz. Graf funkce x + sgn x na okolíbodu 0 je na obrázku 47.y21−1 1x−1−2Obrázek 47 Graf funkce x + sgn x //71

4 Limita 4.2 Věty o limitách4.2 Věty o limitáchVěta 4.1 Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu.Věta říká, že funkce v bodě buď limitu nemá, nebo má právě jednu. Jinými slovy, jestliže má funkce v bodělimitu, pak je tato limita jediná.Důkaz Předpokládejme, že má funkce f v bodě a dvě limity A a B, bez újmy na obecnosti, A < B.Zvolme ε = B − A . Protože má funkce f v bodě a limitu A, existuje číslo δ 1 takové, že pro všechna2x ∈ P δ1 (a) platí f(x) ∈ U ε (A). Protože i číslo B je limitou funkce f v bodě a, existuje číslo δ 2 takové, žepro všechna x ∈ P δ2 (a) platí f(x) = U ε (B). Zvolme δ = min{δ 1 ; δ 2 }. Pro všechna x ∈ P δ (a) musí platitf(x) ∈ U ε (A) ∩ U ε (B). Ale při takto zvoleném čísle ε platí U ε (A) ∩ U ε (B) = ∅, což je spor. Funkce f tedymůže mít v bodě a nejvýše jednu limitu.□Věta 4.2 Funkce f má v bodě a limitu právě tehdy, když má v bodě a limitu zleva i zprava a tytolimity jsou si rovny.Důkaz se provede podobně jako důkaz věty 3.2 (funkce je spojitá v bodě právě tehdy, když je v něm spojitázleva i zprava), pouze se zamění U(a) za P(a) a U(f(a)) za U(A).Příklad 4.4 Pro funkci f(x) = x + sgn x platí lim f(x) = −1 ≠ 1 = lim f(x). Z toho plyne, že limitax→0− x→0+f(x) neexistuje. //limx→0Cvičení 4.1 Nechť f je sudá funkce a nechť platí limjejí hodnotu.x→0+f(x) = A. Dokažte, že existuje lim f(x) a určetex→072

4 Limita 4.2 Věty o limitáchVěta 4.3 Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když limx→af(x) = f(a).Důkaz Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Podle definice spojitosti v bodě pro každé ε > 0 existujeδ > 0 tak, že pro každé x ∈ U δ (a) platí f(x) ∈ U ε (f(a)). Protože je P δ (a) ⊆ U δ (a), platí f(x) ∈ U ε (f(a))také pro všechna x ∈ P δ (a). Z toho ovšem plyne, že lim f(x) = f(a).x→aNyní provedu důkaz zprava doleva. Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každéx ∈ P δ (a) platí f(x) ∈ U ε (f(a)). Pro x = a také platí f(x)[ = f(a)] ∈ U ε (f(a)). Protože je U δ (a) == P δ (a) ∪ {a}, platí f(x) ∈ U ε (f(a)) pro všechna x ∈ U δ (a). Z toho ovšem plyne, že funkce f je spojitáv bodě a.□Příklad 4.5 Určeme limitu limx→2(2x 2 − 5).Funkce 2x 2 − 5 je spojitá v bodě 2, a proto platí limx→2(2x 2 − 5) = 2 · 2 2 − 5 = 3. //V praxi se však častěji počítají limity v bodech, v nichž funkce spojitá není.Věta 4.4 Nechť lim f(x) = A a lim g(x) = B. Potom platíx→a x→a( )lim f(x) + g(x) = A + B ,Je-li navíc B ≠ 0, platíx→alimx→a(f(x) − g(x))= A − B ,limx→a(f(x)g(x))= AB .f(x)limx→a g(x) = A B .73

4 Limita 4.2 Věty o limitáchTato věta říká, že limita součtu, rozdílu, součinu, nebo podílu je rovna součtu, rozdílu, součinu, nebopodílu limit.Důkaz Důkaz provedu pouze pro součet a rozdíl. Protože je limx→af(x) = A, existuje k libovolnému čísluε > 0 číslo δ 1 > 0 takové, že pro všechna x ∈ P δ1 (a) platí f(x) ∈ U ε (A). Podobně existuje číslo δ 2 > 0takové, že pro všechna x ∈ P δ2 (a) platí g(x) ∈ U ε (B). Zvolme δ = min{δ 1 ; δ 2 }. Pro všechna x ∈ P δ (a)platí |f(x) − A| < ε a |g(x) − B| < ε. Dále pro všechna x ∈ P δ (a) platí|(f(x) + g(x)) − (A + B)| = |f(x) − A + g(x) − B| ≤ |f(x) − A| + |g(x) − B| < ε + ε = 2ε ,|(f(x) − g(x)) − (A − B)| = |f(x) − A + B − g(x)| ≤ |f(x) − A| + |B − g(x)| < ε + ε = 2ε ,z čehož plyne, že limx→a(f(x) + g(x))= A + B a limx→a(f(x) − g(x))= A − B.□Zde uvedu obdobnou větu o spojitosti, tentokrát již i se slibovaným důkazem.Věta 3.3 Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, jsou také funkce f + g, f − g a fg spojité v bodě a.Je-li navíc g(a) ≠ 0, je také funkce f spojitá v bodě a.gDůkaz Funkce f a g jsou spojité v bodě a, a proto podle věty 4.3 platí lim f(x) = f(a) a lim g(x) = g(a).x→a x→aPodle věty 4.4 platí( )(f + g)(x) = lim f(x) + g(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a) .limx→ax→aZ toho ovšem podle věty 4.3 plyne, že funkce f + g je spojitá v bodě a.Zcela analogicky se věta dokáže pro rozdíl, součin a podíl funkcí.□74

4 Limita 4.2 Věty o limitáchDůsledek Nechť c ∈ R je libovolná konstanta. Potom platí limx→acf(x) = c limx→af(x).Důkaz Konstantní funkce g(x) = c je spojitá, a proto podle věty 4.3 je lim c = c. Podle věty 4.4 platíx→alim cf(x) = c lim f(x).□x→a x→aCvičení 4.2 Nechť c 1 , . . . c n , ∈ R jsou dané konstanty a nechť platí lim f 1 (x) = A 1 , . . . , lim f n (x) = A n .( x→a x→aUrčete lim c1 f 1 (x) + · · · + c n f n (x) ) .x→aVěta 4.5 (Věta o limitě složené funkce) Jestliže je lim f(x) = A a lim g(y) = B a jestliže existuje číslox→a y→Aδ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P δ (a) platí f(x) ≠ A, pak platí lim g(f(x)) = B.x→aPříklad 4.6 Podmínka ∃δ > 0 ∀x ∈ P δ (a): f(x) ≠ A ve větě 4.5 je důležitá. Při jejím nesplnění nemusívěta platit.Mějme funkce f(x) = 0 a g(x) = |sgn x|. Nechť a = 0. Potom je A = lim f(x) = 0 a lim g(y) = 1. Nax→0 y→0druhou stranu však platí lim g(f(x)) = lim g(0) = g(0) = 0. //x→0 x→0Důsledek Nechť a, c, d ∈ R, c ≠ 0 jsou daná čísla. Potom platí lim f(cx + d) = lim f(y). Uvedenáx→a y→ca+drovnost znamená: Pokud existuje jedna limita, pak existuje i druhá a obě se rovnají; pokud jednaneexistuje, pak neexistuje ani druhá. Použití tohoto vzorce budu nazývat „zavedení substituce y = cx + d.75

4 Limita 4.2 Věty o limitáchPříklad 4.7 Určeme limitu lim R(x).x→1V příkladu 4.11 dokážeme, že lim R(y) = 0. Zatím mi musíte věřit, že to je pravda. Riemannova funkcey→0má periodu t = 1, a proto platí R(y + 1) = R(y). Je vhodné zavést substituci x = y + 1, protože se limitalimx→1R(x) převede na limitu limy→0R(y), jejíž hodnotu známe. Platílimx→1R(x) = limy→0R(y + 1) = lim R(y) = 0 . //y→0Věta 4.6 Jestliže je limx→af(x) = A a funkce g je spojitá v bodě A, pak platí limx→ag ( f(x) ) = g ( limx→af(x) ) .(√x 3 − 5x 2 3+ 8x − 4Příklad 4.8 Určeme limitu lim+ 1).x→2 x 2 − 4x + 4Budeme postupně používat větu 4.6.(√x3 − 5xlim2 3 ( √+ 8x − 4x3 − 5x+ 1)= lim2 3+ 8x − 4+ 1)=x→2 x 2 − 4x + 4x→2 x 2 − 4x + 4(√x= lim3 − 5x 2 3+ 8x − 4+ 1)=x→2 x 2 − 4x + 4(√=limx→2(x − 1)(x 2 3− 4x + 4)+ 1)=x 2 − 4x + 4) 3= (√ ) 32 − 1 + 1 = 8 //=(√limx→2(x − 1) + 176

4 Limita 4.2 Věty o limitáchVěta 4.7 Jestliže platí lim f(x) < lim g(x), pak existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P δ (a)x→a x→aplatí f(x) < g(x).Příklad 4.9 Obrácená věta neplatí. Pro funkce f(x) = x 4 a g(x) = x 2 a číslo δ = 1 platí f(x) < g(x)pro x ∈ P δ (0), ale neplatí lim f(x) < lim g(x), protože se obě limity rovnají. Určete jejich hodnotu! //x→0 x→0Platí ale věta podobná.Věta 4.8 Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P δ (a) platí f(x) ≤ g(x), a jestliže existujílimity lim f(x) a lim g(x), pak platí lim f(x) ≤ lim g(x).x→a x→a x→a x→aVěta 4.9 Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P δ (a) platí f(x) = g(x), a jestližeexistuje limita lim f(x), pak existuje limita lim g(x) a platí lim f(x) = lim g(x).x→a x→a x→a x→aDůkaz Označme A = lim f(x). Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje číslo γ > 0 takové, že prox→ax ∈ P γ (a) je f(x) ∈ U ε (A). Označme β = min{γ; δ}. Potom pro x ∈ P β (a) platí g(x) = f(x) ∈ U ε (A). Toale znamená, že lim g(x) = A.□x→aVěta 4.9 je nejdůležitější větou této kapitoly. Její využití v praxi je následující: Má se vypočítat limx→af(x).Na funkci f(x) se provedou úpravy platné pro x ≠ a. Takto se získá funkce g(x), která je spojitá v bodě a.Potom platí limx→af(x) = g(a).77

4 Limita 4.2 Věty o limitáchx + 3Příklad 4.10 Určeme limitu lim √ .x→−3 x + 4 − 1Pro libovolné δ ∈ (0; 1) na okolí P δ (−3) platíx + 3√ x + 4 − 1=x + 3√ x + 4 − 1√ x + 4 + 1√ x + 4 + 1== √ x + 4 + 1 ,(x + 3)(√ x + 4 + 1)x + 4 − 1=(x + 3)(√ x + 4 + 1)x + 3 (√ ) √a proto je lim √ = lim x + 4 + 1 = −3 + 4 + 1 = 2. //x→−3 x + 4 − 1 x→−3x + 3=Věta 4.10 (Věta o třech limitách, Věta o dvou policajtech, Věta o VB) Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, žepro všechna x ∈ P δ (a) platí g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) a jestliže platílimx→ag(x) = limx→ah(x) = A, pak platí limx→aSituaci ilustruje obrázek 48.f(x) = A.Důkaz Podle předpokladů ke každému ε > 0 existují číslaδ 1 , δ 2 > 0 taková, že pro x ∈ P δ1 (a) je g(x) ∈ U ε (A) a prox ∈ P δ2 (a) je h(x) ∈ U ε (A). Označme γ = min{δ; δ 1 ; δ 2 }. Potom pro x ∈ P γ (a) platíyhfgAaxObrázek 48 K větě o dvou policajtechA − ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < A + ε ,neboli f(x) ∈ U ε (A). Odtud již plyne, že limx→af(x) = A.□78

4 Limita 4.2 Věty o limitáchCvičení 4.3 Vypočtěte následující limity.x 2 − 16a) limx→−4 x + 4 ,x 2 + x − 2b) limx→−2 x 2 + 5x + 6 ,Věta 4.11 limx→af(x) = 0 platí právě tehdy, když platí limx→a|f(x)| = 0.2 − √ x − 3c) lim.x→7 x 2 − 49Důkaz Zde provedu důkaz pouze zleva doprava. Opačným směrem se provede podobně. (Proveďte!)Podle definice limity pro každé číslo ε > 0 existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P δ (a) platí|f(x) − 0| < ε. Protože je∣ |f(x)| − 0∣ ∣ =∣ ∣|f(x)|∣ ∣ = |f(x)| = |f(x) − 0| < ε ,pro všechna x ∈ P δ (a) platí ∣ ∣|f(x)| − 0 ∣ ∣ < ε, neboli limx→a|f(x)| = 0.□Cvičení 4.4 S pomocí věty 4.11 určete limitu limx→0(2D(x) − 1)x.Věta 4.12 Jestliže existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P δ (a) platí |f(x)| ≤ |g(x)| a jestližeplatí lim g(x) = 0, pak platí lim f(x) = 0.x→a x→aPříklad 4.11 Určeme limitu limx→0R(x).Pro x ∈ (0; 1) \ Q je R(x) = 0 < x. Pro x = p q ∈ (0; 1) ∩ Q je R(x) = 1 q ≤ p = x. Z toho plyne,qže R(x) ≤ x pro x ∈ (0; 1). Pro x ∈ (−1; 0) je R(x) = R(−x) ≤ −x. Z toho plyne, že |R(x)| ≤ |x| prox ∈ P 1 (0). Dále je lim x = 0. Podle věty 4.12 je lim R(x) = 0. //x→0 x→079

4 Limita 4.2 Věty o limitáchVěta 4.13 Jestliže je limx→af(x) = 0 a existují čísla δ > 0 a K ≥ 0 taková, že pro všechna x ∈ P δ (a)platí |g(x)| ≤ K, pak platí limx→af(x)g(x) = 0.Důkaz Podle věty 4.11 platí limx→a|f(x)| = 0. Pro všechna x ∈ P δ (a) platí |g(x)| ≤ K, neboli|f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| ≤ K|f(x)| = |Kf(x)| .Dále je limx→aKf(x) = K limx→af(x) = 0, a tedy podle věty 4.12 je limx→af(x)g(x) = 0.□Věta 4.13 říká toto: Je-li limx→af(x) = 0 a funkce g je omezená na okolí bodu a, pak platí limx→af(x)g(x) = 0.( 1Příklad 4.12 Nechť d(x) je funkce z příkladu 4.2 (d)( ) 1= 1, d = 0, mezi těmito body2n2n + 1lineární). Určeme limitu lim xd(x).x→0Funkce d(x) je omezená. Dále platí lim x = 0. Z toho plyne, že lim xd(x) = 0. //x→0 x→0Úkol Podobné věty existují i pro jednostranné limity. Projděte si všechny uvedené věty a řekněte, jakse změní.80

4 Limita 4.2 Věty o limitáchShrnutí 1 Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ P δ (a): f(x) ∈ U ε (A).Zapisujeme lim f(x) = A. Analogicky se definují limity zprava a zleva. Limita je číslo, k němuž se blížíx→ahodnoty f(x), když se x blíží k číslu a. Funkce může mít v daném bodě nejvýše jednu limitu. Limita existujeprávě tehdy, když existují obě jednostranné limity a jsou si rovny. Pro spojité funkce platí lim f(x) = f(a).Limita součtu je rovna součtu limit; analogicky pro rozdíl, součin a podíl. Jestliže se dvě funkce rovnají nanějakém redukovaném okolí bodu a, pak se jejich limity v bodě a rovnají. Limita součinu omezené funkcea funkce s limitou rovnou nule je rovna nule.81

4 Limita 4.3 Nevlastní limity4.3 Nevlastní limityDefinice 4.4 Množina R ∗ = R ∪ {−∞; +∞} se nazývá rozšířená reálná osa. Čísla +∞ a −∞ senazývají nevlastní (nekonečná) reálná čísla.Na roozšířené reálné ose se definují následující operace:Definice 4.5 ∀a ∈ R : a + (+∞) = a − (−∞) = +∞∀a ∈ R : a + (−∞) = a − (+∞) = −∞(+∞) + (+∞) = (+∞) − (−∞) = +∞(−∞) + (−∞) = (−∞) − (+∞) = −∞∀a ∈ R + : a(+∞) = (+∞)a = +∞∀a ∈ R + : a(−∞) = (−∞)a = −∞∀a ∈ R − : a(−∞) = (−∞)a = +∞∀a ∈ R − :∀a ∈ R :a(+∞) = (+∞)a = −∞(+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞(+∞)(−∞) = (−∞)(+∞) = −∞a+∞ = a−∞ = 0Nedefinuje se (±∞) − (±∞), (±∞) + (∓∞), 0(±∞), a 0 , ±∞ 0 , ±∞ . Tyto výrazy se nazývají neurčité±∞výrazy.82

4 Limita 4.3 Nevlastní limityPříklad 4.13 Určeme hodnotu výrazu4 + (−∞)2 − (1/+∞) .4 + (−∞)2 − 1+∞= 4 + (−∞)2 − 0= −∞ 2= 1 (−∞) = −∞ //2Definice 4.6 Nechť K je reálné číslo. PotomK-okolí bodu +∞ je interval U K (+∞) = (K; +∞);redukované K-okolí bodu +∞ je interval P K (+∞) = (K; +∞);K-okolí bodu −∞ je interval U K (−∞) = (−∞; K);redukované K-okolí bodu −∞ je interval P K (−∞) = (−∞; K).Zde znovu připomínám definici limity: Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže pro každé okolí U(A)bodu A existuje redukované okolí P(a) bodu a takové, že pro všechna x ∈ P(a) platí f(x) ∈ U(A).S pomocí definice 4.6 již můžeme nadefinovat nevlastní limity.83

4 Limita 4.3 Nevlastní limityDefinice 4.7 Funkce f má v bodě a ∈ R (nevlastní) limitu +∞,jestliže pro každé K ∈ R existuje δ > 0 takové, že pro všechnax ∈ P δ (a) platí f(x) > K, neboli stručnějilim f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ P δ(a): f(x) > K .x→aFunkce f má v (nevlastním) bodě +∞ limitu A ∈ R, jestliže prokaždé ε > 0 existuje K ∈ R takové, že pro všechna x > K platíf(x) ∈ U ε (A), nebolilim f(x) = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃K ∈ R ∀x > K : f(x) ∈ U ε(A) .x→+∞Funkce f má v (nevlastním) bodě +∞ (nevlastní) limitu +∞, jestliže pro každé L ∈ R existuje K ∈ Rtakové, že pro všechna x > K platí f(x) > L, neboli stručnějiyf(x)Ka − δ axa + δObrázek 49 Nevlastní limitafSituaci ilustrují postupněobrázky 49, 50 a 51.xlim f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R ∃K ∈ R ∀x > K : f(x) > L .x→+∞yyfA + εf(x)AA − εff(x)LK xxK x xObrázek 50 Limita v nevlastním bodě Obrázek 51 Nevl. limita v nevl. bodě84

4 Limita 4.3 Nevlastní limityAnalogicky se definuje, že limx→af(x) = −∞,lim f(x) = A, limx→−∞f(x) = ±∞, lim f(x) = ±∞. Proveďte!x→±∞ x→a±Úkol Téměř všechny věty z části 4.2 platí i pro nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. Důkazyse musí rozdělit na případy, kdy jsou limity vlastní, nebo nevlastní a ve vlastních (konečných), nebonevlastních bodech. Přitom se využívají vztahy uvedené v definicích 4.5 a 4.6. Určete, jaký tvar mají tytověty pro nevlastní limity.Pro nevlastní limity platí samozřejmě i další věty. Zde uvedu pouze jednu.Věta 4.14 Nechť platí lim f(x) > 0 a lim g(x) = 0 a nechť existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechnax→a x→af(x)x ∈ P δ (a) platí g(x) > 0. Potom platí lim = +∞. Podobně platíx→a g(x)lim f(x) > 0 ∧ lim g(x) = 0 ∧ ∃δ > 0 ∀x ∈ P f(x)δ(a): g(x) < 0 ⇒ limx→a x→a x→a g(x) = −∞ ,lim f(x) < 0 ∧ lim g(x) = 0 ∧ ∃δ > 0 ∀x ∈ P f(x)δ(a): g(x) > 0 ⇒ limx→a x→a x→a g(x) = −∞ ,lim f(x) < 0 ∧ lim g(x) = 0 ∧ ∃δ > 0 ∀x ∈ P f(x)δ(a): g(x) < 0 ⇒ limx→a x→a x→a g(x) = +∞ .85

4 Limita 4.4 Počítání limit4.4 Počítání limitV této části se zaměřím na počítání limit racionálních lomených funkcí. V následujícím textu budou P a Qmnohočleny, které nejsou identicky rovny nule, a číslo a bude konečné. Že mnohočlen P není identickyroven nule, znamená, že existuje (alespoň jeden) bod x ∈ R, pro který platí P (x) ≠ 0.4.4.1 Limita limx→aP (x)Q(x)Případ Q(a) ≠ 0 V tomto případě je funkce P (x)Q(x)= P (a)Q(a) .P (x)v bodě a spojitá a podle věty 4.3 platí limx→a Q(x) =Případ Q(a) = 0 a P (a) = 0 V tomto případě je číslo a kořenem rovnice Q(x) = 0, a proto lzemnohočlen Q vyjádřit ve tvaru Q(x) = (x − a)Q 1 (x), kde Q 1 je nějaký mnohočlen. Analogicky platíP (x) = (x − a)P 1 (x). Dále existuje redukované okolí bodu a, na kterém platí Q(x) ≠ 0. Na tomto okolíplatí P (x)Q(x) = (x − a)P 1(x)(x − a)Q 1 (x) = P 1(x)Q 1 (x)P (x)limx→a Q(x)a podle věty 4.3 platí limx→ase takto převede na vyšetřování limity limx→aP (x)Q(x) = limx→aP 1 (x). Vyšetřování limityQ 1 (x)P 1 (x), ve které se vyskytují jednodušší mnohočleny.Q 1 (x)Případ Q(a) = 0 a P (a) ≠ 0 Tento případ je nejsložitější, protože je třeba vyšetřovat jednostrannélimity. Dále zde předpokládejme, že P (a) > 0. (Případ P (a) < 0 je stejný, pouze s opačnými znaménky.)86

4 Limita 4.4 Počítání limitP (x)Jestliže na nějakém redukovaném pravém okolí bodu a platí Q(x) > 0, podle věty 4.14 platí limx→a+ Q(x) =P (x)= +∞. Obdobně pro limitu zleva. Aby mohla limita lim existovat, musí se limity zleva a zpravax→a Q(x)rovnat.Tento postup budu ilustrovat na příkladu.Příklad 4.14 Vypočtěme limitu funkce f(x) = x2 − 6x + 8v bodech a = 1; 2; 3; 4.x 2 − 5x + 6a) Případ a = 1: Pro x = 1 je jmenovatel roven dvěma, a tedy funkce f je spojitá v bodě 1. V tomtopřípadě je limita rovna přímo hodnotě funkce, neboli lim f(x) = f(1) = 3x→1 2 .b) Případ a = 2: Pro x = 2 je jmenovatel roven nule. Čitatel je také roven nule. Proto lze zlomekzkrátit výrazem (x − 2). Pro x ∈ P 1 (2) platí x2 − 6x + 8 (x − 2)(x − 4)=x 2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) = x − 4 , z čehož plyne, žex − 3x 2 − 6x + 8limx→2 x 2 − 5x + 6 = lim x − 4x→2 x − 3 . Funkce x − 4x − 3c) Případ a = 3: Na okolí bodu 3 platí f(x) = x − 4je v bodě 2 spojitá, a proto limx→2x − 4x − 3 = 2 − 42 − 3 = 2.. Zde je čitatel nenulový, ale jmenovatel je rovenx − 3nule. Proto je nutné šetřit znaménka funkce na okolí bodu 3. Nalevo je x − 4 < 0 a x − 3 < 0, a protox 2 − 6x + 8x 2 − 6x + 8lim= +∞. Napravo (blízko bodu 3) je x−4 < 0 a x−3 > 0, a proto limx→3− x 2 − 5x + 6 x→3+ x 2 − 5x + 6 = −∞.Protože se jednostranné limity nerovnají, (oboustranná) limita v bodě 3 neexistuje.d) Případ a = 4: Zde je čitatel roven nule a jmenovatel různý od nuly. Nenechte se zmást. Hodnotačitatele není důležitá. Důležité je, že jmenovatel je různý od nuly, a proto je f spojitá v bodě a a platíf(x) = f(4) = 0. //limx→487

4 Limita 4.4 Počítání limit4.4.2 Limita limx→±∞ xnPři výpočtu této limity je také nutno vyšetřit několik případů.Případ x → +∞ a n > 0 V tomto případě platílimx→+∞ xn= +∞. To se dokáže snadno. Je třebadokázat, že pro každé L > 0 existuje K > 0 takové, že pro všechna x > K platí x n > L. Stačí zvolitK = n√ L.Případ x → −∞ a n > 0 sudé Postupuje se zavedením substituce y = −x. Potom platí= limy→+∞ (−y)n =limy→+∞ yn . Podle předchozího případu jelimx→+∞ xn = +∞Případ x → −∞ a n > 0 liché Postupuje se zavedením substituce y = −x. Potom platí= limy→+∞ (−y)n = − limy→+∞ yn . Podle prvního případu je limx→−∞ xn = −∞.Případ n < 0 V tomto případě platílimx→±∞ xn =1, který je roven nule. Proto platí lim±∞ x→±∞ xn = 0.limx→±∞limx→−∞ xn =limx→−∞ xn =1x = 1. Zde vždy dostaneme výraz−n lim x−nx→±∞88

4 Limita 4.4 Počítání limitP (x)4.4.3 Limita limx→±∞ Q(x)Zde budu používat zkrácený zápis sčítánín∑a i = a m + a m+1 + · · · + a n .Předpokládejme, že stupeň mnohočlenu je P je m. To znamená, žei=mP (x) =m∑p i x i = p m x m + · · · + p 1 x + p 0 ,i=0kde p m ≠ 0. Dále předpokládejme, že stupeň mnohočlenu Q je n aQ(x) =n∑q i x i = q n x n + · · · + q 1 x + q 0 ,i=0kde je q n ≠ 0.Vyšetřujme danou limitu pro x → +∞. Nejdříve je třeba limitu trochu upravit.P (x)limx→+∞ Q(x) =limx→+∞m∑p i x ii=0n∑=q i x ii=0(x mlim (x→+∞x np m + m−1 ∑ )p i x i−mi=0q n + n−1 ∑i=0q i x i−n ) = limx→+∞x m (p m + m ∑j=1x n (q n + n ∑j=1p m−j x −j )q n−j x −j )89

4 Limita 4.4 Počítání limitV posledním kroku byla v čitateli použita substituce j = m − i, ve jmenovateli j = n − i. Nyní použijemevětu 4.4 (o limitě součtu, . . . ). S využitím diskuze o předchozí limitě postupně dostaneme∑px m m + m p m−j= limx→+∞ x ·j=1n ∑q n + np n−jj=1limx→+∞ x−j= limlimx→+∞ x−j x→+∞∑px m m + m p m−j · 0x ·j=1n ∑q n + n p n−j · 0j=1x m= limx→+∞ x · pm .n q nZ tohoto je vidět, že při vyšetřování limity racionální lomené funkce v nevlastním bodě se stačí omezit načleny nejvyššího řádu, tedy členy s nejvyšší mocninou.Opět je třeba rozlišit několik případů.Případ m < n Protože je m − n < 0, dostáváme s využitím předchozíhoP (x)limx→+∞ Q(x) = p m x mlimq n x→+∞ x = lim p mx m−n = p m· 0 = 0 .n x→+∞ q n q nPřípad m = n Zde je xmP (x)= 1, a proto platí limxn x→+∞ Q(x) = p m.q nPřípad m > n Zde platíx mlimx→+∞ x nje číslo p mq nkladné, a proto je limx→+∞= +∞, protože je m − n > 0. Mají-li čísla p m a q n stejná znaménka,P (x)Q(x) = p mq nrůzná znaménka, je číslo p mq nzáporné, a proto limx→+∞limx→+∞ xm−n = +∞. Jestliže naopak mají čísla p m a q nP (x)Q(x) = −∞.90

4 Limita 4.4 Počítání limitLimita pro x → −∞ se substitucí y = −x převádí na předcházející případy. Proveďte podrobnou diskuzivšech případů.Příklad 4.15 Vypočtěme následující limitylimx→−∞2x 3 − x 2 + 5limx→+∞ x 2 + x − 2 = limx→+∞4x 3 − x + 23x 3 + x 2 + x − 1 =x 2 − 2x + 52x 3 − x 2 + 4 =limx→+∞limx→−∞limx→+∞2x 3x 2= 2 lim x = 2(+∞) = +∞x→+∞4x 33x = lim 43 x→−∞ 3 = 4 3x 22x = 0 //391

4 Limita 4.4 Počítání limitShrnutí 2 K-(redukované) okolí bodu +∞ je interval (K; +∞). K-(redukované) okolí bodu −∞ jeinterval (−∞; K). Funkce f má v bodě a limitu A, jestliže ∀U(A) ∃P(a) ∀x ∈ P(a): f(x) ∈ U(A).Při výpočtu limity racionální lomené funkce ve vlastním bodě a je nutno rozlišit několik případů. Když jejmenovatel nenulový, je limita rovna přímo hodnotě f(a). Je-li čitatel i jmenovatel roven nule, lze zlomekzkrátit výrazem (x − a). Když je jmenovatel nulový a čitatel nenulový, jsou jednostranné limity nekonečné;znaménka je třeba určit z chování funkce na okolí P (a).Při výpočtu limity racionální lomené funkce v nevlastním bodě se počítá pouze se členy s nejvyšší mocninou. Když je mocnina u čitatele menší než u jmenovatele, je limita rovna nule. Když se obě mocninyrovnají, pak je limita rovna podílu koeficientů u těchto mocnin. Když je mocnina u čitatele větší nežu jmenovatele, je limita nekonečná.Limita patří k nejdůležitějším pojmům matematické analýzy a proto je nutné umět limity počítat rychle.Dosud máme k dispozici málo funkcí, a proto jsme mohli probrat pouze pár typů limit. V následujícíchkapitolách nadefinuji další funkce. Limity těchto funkcí se často převádějí na limity racionálních lomenýchfunkcí. Proto je nutné, abyste uměli tyto limity rychle vyčíslit. Ale brzy uvidíte, že některé limity spočítátehned, jak se na ně podíváte.92

4 Limita CvičeníCvičeníCvičení 4.5 Určete následující limity.x 2 − 1a) limx→0 2x 2 − x − 1x 2 − 1b) limx→1 2x 2 − x − 1(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1c) limx→0 x(1 + x) 5 − (1 + 5x)d) limx→0 x 2 + x 5e) limx→1x 3 − 3x + 2x 4 − 4x + 3f) limx→3x 2 − 5x + 6x 2 − 8x + 15g) limx→1x 4 − 3x + 2x 5 − 2x + 1x 3 − 2x 2 − 4x + 8h) limx→2 x 4 − 8x 2 + 16i) limx→−1x 3 − 2x − 1x 5 − 2x − 1j) limx→2(x 2 − x − 2) 20(x 3 − 12x + 16) 10Cvičení 4.6 Určete následující limity.a) limx→+∞b) limx→+∞c) limx→+∞x 22x 2 − x − 1(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(2x − 3) 20 (3x + 2) 302x + 3d) limx→+∞ 3x − 13x − 1(5x − 1) 5 e) limx→+∞x 2 + 1x 3 − 3x + 1f) lim(2x + 1) 50 x→+∞ 2 − x 2 − x 393

4 Limita ŘešeníŘešeníCvičení 4.1 Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro x ∈ (0; δ) je f(x) ∈ U ε (A). Pro x ∈ (−δ; 0) platíx ∈ Dom f a f(x) = f(−x). Proto pro x ∈ (−δ; 0) je f(x) = f(−x) ∈ U ε (A) a lim f(x) = A. Odtudx→0−plyne, že lim f(x) = A.x→0Cvičení 4.2 c 1 A 1 + · · · + c n A n .Cvičení 4.3 a) −8; b) −3; c) − 1 56 .Cvičení 4.4 Platí limx→0∣ ∣(2D(x) − 1)x∣ ∣ = limx→0|x| = 0, a proto limx→0(2D(x) − 1)x = 0.Cvičení 4.5 a) 1; b) 2 3 ; c) 6; d) 10; e) 1 2 ; f) −1 2 ; g) 1 3 ; h) 1 4 ; i) 1 3 ; j) ( 32) 10.Cvičení 4.6 a) 1 ( ) 302 ; b) 1 33125 ; c) ; d) 2 ; e) 0; f) −1.2 394

5 Transcendentní funkce5 Transcendentní funkceObsah lekce5.1. Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2. Cyklometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3. Exponenciální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.4. Logaritmická funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Klíčová slovaGoniometrické, cyklometrické, exponenciální, logaritmické funkce.95

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkce5.1 Goniometrické funkceVěta 5.1 Existuje jediná dvojice funkcí ϕ: R → R a ψ : R → R a jediné číslo π > 0 splňující následujícípodmínky:〈(1) ∀x ∈ R: ϕ 2 (x) + ψ 2 (x) = 1 , (4) ϕ je rostoucí na 0; π 〉,( )2π(2) ∀x, y ∈ R: ϕ(x + y) = ϕ(x)ψ(y) + ϕ(y)ψ(x) , (5) ϕ = 1 ,2(3) limx→0ϕ(x)x= 1 , (6) ψ(π) = −1 .Výraz ϕ 2 (x) se používá jako zkratka výrazu (ϕ(x)) 2 . Obdobně pro ψ 2 (x) a podobně.Důkaz Není složitý, ale je až příliš „matematický. Zde uvedu pouze důkaz jednoznačnosti čísla π.Předpokládejme, že existují čísla π〈1 a π 2 splňující podmínky (1)–(6). Bez újmy na obecnosti nechť jeπ 1 < π 2 . Podle (4) je ϕ rostoucí na 0; π 〉2. Dále je π 122 < π ( ) ( )22 , a proto ϕ π1 π2< ϕ . Podle (5) však( ) ( )2 2π1 π2platí ϕ = ϕ = 1, což je spor. Takové číslo π tedy existuje právě jedno. □2 2Definice 5.1 Funkce ϕ a ψ z věty 5.1 se po řadě nazývají sinus a kosinus a označují se sin a cos. Číslo πse nazývá Ludolfovo číslo.96

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkceS využitím definice 5.1 lze vztahy (1)–(6) zapsat takto:(1) ∀x ∈ R: sin 2 x + cos 2 x = 1 , (4) sin je rostoucí na(2) ∀x, y ∈ R: sin(x + y) = sin x · cos y + sin y · cos x , (5) sin π 2 = 1 ,sin x(3) lim = 1 , (6) cos π = −1 .x→0 x〈0; π 〉,2Vlastnosti funkcí sin a cos Lze je dokázat z uvedených šesti vlastností. Vlastnosti označené (!) jevelmi dobré umět zpaměti.Součtové vzorce (!)sin(x + y) = sin x · cos y + sin y · cos xcos(x + y) = cos x · cos y − sin x · sin yHodnoty funkcí dvojnásobného argumentu (!)sin 2x = 2 sin x · cos xcos 2x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x97

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkceHodnoty funkcí polovičního argumentu Tyto vzorce lze snadno odvodit z předchozích vzorců.∣ sin x √ 1 − cos x2 ∣ = 2∣ cos x √ 1 + cos x2 ∣ = 2Skutečná hodnota sin x 2 , tedy sin x 2 = √ · · ·, nebo sin x 2 = −√ · · ·, se určí podle toho, zda je sin x 2 větší,nebo menší než nula. Obdobně pro funkci cos.Hodnoty funkcí na intervalu〈0; π 〉(!)2x 0sin x 0cos x 1π612√32π4√22√22π3√3212π21098

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkceTyto hodnoty se dobře pamatují za předpokladu, že se vyjádří v následujícím tvaru:x 0√0sin x2√4cos x2π6√12√32π4√22√22π3√32√12π2√42√02Další hodnoty funkcí (!)sin(x + π) = − sin xcos(x + π) = − cos xsin(x + 2π) = sin xcos(x + 2π) = cos x , obě funkce mají periodu 2π(sin x + π )= cos x2sin(π − x) = sin xcos(−x) = cos x , funkce cos je sudásin(−x) = − sin x , funkce sin je lichá99

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkcex 0π 3ππ2 22πsin x 0 1 0 −1 0cos x 1 0 −1 0 1Spojitost Funkce sin a cos jsou spojité na R.Grafy funkcí (!) Jsou na obrázcích 52 a 53.y1y1−π π 2π 3π x−π π 2π 3π x−1−1Obrázek 52 Graf funkce sin xObrázek 53 Graf funkce cos x100

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkceGeometrický význam Sledujte obrázek 54. Mějme jednotkovou kružnici (tj. o poloměru r = 1) sestředem v počátku. Dále mějme polopřímku svírající s kladným směrem osy x úhel ϕ (v radiánech).Označme A průsečík této polopřímky a kružnice. Potom bod A má souřadnice A = [cos ϕ; sin ϕ].ysin ϕ1Aϕ−1 cos ϕ 1 x−1Obrázek 54 K textuProtože plný úhel má velikost 2π, je bod A při úhlech ϕ a ϕ + 2π tentýž, z čehož také plyne perioda 2πfunkcí sin a cos.sin mxPříklad 5.1 Určeme limitu lim , kde m, n ∈ R a n ≠ 0.x→0 nxSubstitucí y = mx ihned dostanemesin mxlimx→0 nx= m n lim sin mxx→0 mx= m n lim sin yy→0 y= m n · 1 = m n . //101

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkceDefinice 5.2 Funkce tg x = sin xcos xse nazývá tangens. Funkce cotg x = se nazývá kotangens.cos x sin xFunkce sin, cos, tg a cotg se nazývají goniometrické funkce.Vlastnosti funkce tgPlynou přímo z vlastností funkcí sin a cos.Hodnota funkce dvojnásobného argumentu. tg 2x =2 tg x1 − tg 2 xHodnoty na intervalu〈0; π )(!)2x 0tg x 0π√633π41π3√3V bodě π 2není funkce tg definována, ale platílimx→ π 2 − tg x = +∞ ,lim tg x = −∞ .x→ π 2 +102

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkceDalší hodnoty funkce tg( π)tg2 − x = 1tg x(tg x + π )= −12 tg xtg(x + π) = tg x ,tg(−x) = − tg x ,funkce tg má periodu πfunkce tg je licháSpojitost Funkce tg je spojitá ve všech bodech x ∈ R s výjimkou bodů x = (2k + 1) π , kde k ∈ Z.2Graf funkce tg (!) Je na obrázku 55.y5−π π 2πx−5Obrázek 55 Graf funkce tg x103

5 Transcendentní funkce 5.1 Goniometrické funkcetg xPříklad 5.2 Určeme limitu limx→0 x .tg xlimx→0 x= lim 1 sin xx→0 cos x x= 1 1 lim sin xx→0 x = 1 //Úkol Odvoďte základní vlastnosti funkce cotg.Spousta dalších vzorců týkajících se goniometrických funkcí je uvedena v knize [1] na stranách 357–367.104

5 Transcendentní funkce 5.2 Cyklometrické funkce5.2 Cyklometrické funkceCyklometrické funkce jsou funkce inverzní ke goniometrickým funkcím. Protože goniometrické funkce jsouryze monotonní pouze na určitých intervalech, je třeba nejdříve provést zúžení funkcí na dané intervaly.Definice 5.3a) Funkce arcsin: 〈−1; 1〉 →nazývá se arkussinus.〈− π 2 ; π 〉2je funkce inverzní k funkci sin zúžené na interval〈− π 2 ; π 〉;2b) Funkce arccos: 〈−1; 1〉 → 〈0; π〉 je funkce inverzní k funkci cos zúžené na interval 〈0; π〉; nazývá searkuskosinus. (c) Funkce arctg: R → − π 2 ; π )(je funkce inverzní k funkci tg zúžené na interval − π 22 ; π ); nazývá se2arkustangens.d) Funkce arccotg: R → (0; π) je funkce inverzní k funkci cotg zúžené na interval (0; π); nazývá se arkuskotangens.Ihned z definice plyne, žesin arcsin x = x pro x ∈ 〈−1; 1〉 ,cos arccos x = x pro x ∈ 〈−1; 1〉 ,tg arctg x = x pro x ∈ R ,cotg arccotg x = x pro x ∈ R .105

5 Transcendentní funkce 5.2 Cyklometrické funkceVlastnosti cyklometrických funkcíHodnoty funkcí opačného argumentuarcsin(−x) = − arcsin xarccos(−x) = π − arccos xarctg(−x) = − arctg xarccotg(−x) = π − arccotg xMonotonnost funkcí Funkce arcsin a arctg jsou rostoucí. Funkce arccos a arccotg jsou klesající.Spojitost Všechny uvedené cyklometrické funkce jsou spojité (na svých definičních oborech).Limity funkcí (!)limx→+∞ arctg x = π 2lim arctg x = −πx→−∞ 2lim arccotg x = 0x→+∞lim arccotg x = πx→−∞Další vlastnosti a vzorce týkající se cyklometrických funkcí jsou uvedeny v knize [1] na stranách 376–378.106

5 Transcendentní funkce 5.3 Exponenciální funkce5.3 Exponenciální funkceVěta 5.2 Existuje jediná funkce ϕ splňující následující podmínky:(1) ∀x, y ∈ R: ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y) , (2) limx→0ϕ(x) − 1x= 1 .Definice 5.4 Funkce ϕ z věty 5.2 se nazývá exponenciální funkce (při základu e), nebo přirozenáexponenciální funkce, a označuje se exp x, častěji však e x . Číslo e = exp 1 se nazývá Eulerovo číslo.Přirozené exponenciální funkci se často stručně říká funkce „e na x-tou.Zde uvedu náznak důkazu, že pro všechna x ∈ R platí exp x = (exp 1) x , neboli, že můžeme psát ϕ(x) = e x .(Pro stručnost budu psát ϕ namísto exp.) Z vlastnosti (1) plyne, že ϕ(2) = ϕ(1 + 1) = ϕ(1)ϕ(1) = ϕ 2 (x).Indukcí se snadno dokáže, že ϕ(n) = ϕ n (1). Z vlastnosti (2) plyne, že ϕ(0) = 1. Dále je 1 = ϕ(0) == ϕ(n)ϕ(−n), ( neboli ) ϕ(−n) = ϕ −n (1). Pro všechna x ∈ R je ϕ(2x) ( = ϕ 2 (x) ≥ 0. Z vlastnosti (1)1 1( m)plyne, že ϕ n = ϕ(1). Protože je ϕ ≥ 0, existuje jediné číslo ϕ = ϕnn)1/n (1). Dále je ϕ =( )n1= ϕ m = ϕ m/n (1). Pomocí posloupností (a věty 11.7) se pak dokáže, že ϕ(x) = ϕ x (1) pro všechnanx ∈ R. Kdybychom počítali s ϕ(y) namísto ϕ(1), dostali bychom ϕ x (y) = ϕ(xy), neboli (e y ) x = e xy , z čehožplyne, že se e x chová jako klasická mocnina. Číslo e = e 1 = exp 1 se chová jako základ této mocniny.S využitím definice 5.4 lze vztahy (1)–(2) věty 5.2 zapsat takto:(1) ∀x, y ∈ R: e x+y = e x e y , (2) limx→0e x − 1x= 1 .107

5 Transcendentní funkce 5.3 Exponenciální funkceVlastnosti exponenciální funkce (!)e x+y = e x e ye xy = (e x ) ye x > 0e x je rostoucí a spojitálimx→−∞ ex = 0limx→+∞ ex = +∞Graf funkce e x (!) Je na obrázku 56.y4321−2 −1 1 2−1xPříklad 5.3 Určeme limitu limh→0e x+h − e xhe x+h − e xlimh→0 hObrázek 56 Graf funkce e xpři daném x.= limh→0e x e h − e xh108= e x limh→0e h − 1h= e x · 1 = e x //

5 Transcendentní funkce 5.4 Logaritmická funkce5.4 Logaritmická funkceDefinice 5.5 Funkce ln: (0; +∞) → R je funkce inverzní k funkci e x . Nazývá se (přirozená) logaritmická funkce, nebo zkráceně (přirozený) logaritmus.Ihned z definice plyne, že platí e ln x = x pro x ∈ (0; +∞) a ln e x = x pro x ∈ R.Vlastnosti přirozeného logaritmu (!) Plynou ihned z vlastností přirozené exponenciální funkce.ln xy = ln x + ln yln x y = y ln xln x je rostoucí a spojitáln 1 = 0ln e = 1lim ln x = −∞x→0+lim ln x = +∞x→+∞Definice 5.6 Nechť b > 0 je dané číslo. Potom funkce b x = e x ln b se nazývá exponenciální funkce přizákladu b.Exponenciální funkci o základu b se stručně říká funkce „b na x-tou.Úkol Funkce b x se chová jako klasická mocnina. Dokažte její základní vlastnosti pomocí vlastnostípřirozené exponenciální a logaritmické funkce a načrtněte graf. Rozlište případy b < 1, b = 1 a b > 1.109

5 Transcendentní funkce 5.4 Logaritmická funkceDefinice 5.7 Nechť b > 0, b ≠ 1 je dané číslo. Funkce log b : (0; +∞) → R je funkce inverzní k funkci b x ;nazývá se logaritmická funkce při základu b, nebo jen logaritmus při základu b.Ihned z definice plyne, že platí b log b x = x pro x ∈ (0; +∞) a log b b x = x pro x ∈ R.Příklad 5.4 Vyjádřeme funkci log b pomocí funkce ln.Vztah x = b log b x lze zapsat ve tvaru e ln x = (e ln b ) log b x = e ln b·log b x . Protože funkce e x je rostoucí a tedyprostá, musí platit ln x = ln b · log b x. Z toho plyne, že log b x = ln xln b . //Úkol Na základě posledního vztahu odvoďte základní vlastnosti logaritmu při základu b. Rozlištepřípady b < 1 a b > 1.110

5 Transcendentní funkce 5.4 Logaritmická funkceTato kapitola sloužila ke shrnutí základních vlastností základních transcendentních funkcí. Tyto vlastnosti asi již znáte ze střední školy. Tam jste si je však definovali ne úplně matematicky. (Napříkladexponenciální funkci jste si definovali jako nějakou mocninu. Pomocí této definice lze dokázat základnívlastnosti, ale složitější vlastnosti by vůbec dokázat nešly. Jak později uvidíte, má funkce e x mnoho zajímavých vlastností a dokonce jsou i vlastnosti, které mezi všemi funkcemi tvaru a x má pouze funkce e x .Tyto vlastnosti samozřejmě není možné dokázat z definice exponenciální funkce jako mocniny.) Zde jsemvšak tyto funkce zavedl matematicky: Uvedl jsem několik vlastností, dokázal jsem, že existuje jediná funkcemající tyto vlastnosti a tuto funkci jsem pojmenoval. Na základě těchto několika vlastností lze pak určitvšechny další vlastnosti a lze dále s těmito funkcemi pracovat. Z mnoha vlastností, jež tyto funkce mají,jsem zde uvedl ty, které jsou důležité pro matematickou analýzu. Vlastnosti označené (!) byste měli znátnazpaměť.111

6 Derivace6 DerivaceObsah lekce6.1. Pojem derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2. Věty o počítání derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3. Derivace elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4. Diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.5. Derivace vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Klíčová slovaDerivace, diferenciál.112

6 Derivace 6.1 Pojem derivace6.1 Pojem derivaceDefinice 6.1 Nechť f je funkce a x ∈ Dom f číslo. Potom limitase nazývá derivace funkce f v bodě x.f(x + h) − f(x)limh→0 hUvedená limita závisí na hodnotě čísla x; je to tedy funkce proměnné x. Derivace funkce f se značí f ′ ,někdy také dfdx . Derivace funkce f v bodě x se značí f ′ (x).Jestliže se v uvedené limitě zavede substituce t = x + h, lze psátf ′ f(t) − f(x)(x) = lim.t→x t − xPojem derivace patří k základním pojmům celé matematiky. Proto je nutné umět derivace počítat hbitě, doslova„jako násobilku.Geometrický význam derivace Derivace f ′ (x) určujesměrnici tečny ke grafu funkce f v bodě [x; f(x)]. Sledujte obrázek 57. Sestrojme ke grafu funkce f tečnu v bodě[x; f(x)]. Označme α úhel, který tato tečna svírá s osou x.Potom platí f ′ (x) = tg α.yff(x)αx xObrázek 57 Geometrický význam derivace113

6 Derivace 6.1 Pojem derivacePříklad 6.1 Vypočtěme derivaci funkce f(x) = 1 x .1f ′ (x) = limx + h − 1 xh→0 hx − (x + h)x(x + h)= limh→0 h= limh→0−hx(x + h)h−1= limh→0 x(x + h) = − 1 x . //2Příklad 6.2 Vypočtěme derivaci funkce f(x) = √ 2 + x.f ′ (x) = limh→0√2 + x + h −√ 2 + xh(√ √ 2 + x + h − 2 + x= limh→0 h2 + x + h − (2 + x)= limh→0 h (√ 2 + x + h + √ 2 + x ) = limhh→0 h (√ 2 + x + h + √ 2 + x ) =1= lim √ √ =h→0 2 + x + h + 2 + x12 √ 2 + x·√2 + x + h +√ 2 + x√2 + x + h +√ 2 + x)=Z tohoto příkladu je vidět, že počítání derivací složitějších funkcí může být obtížné. Pro elegantnějšívýpočet derivací se využívají vztahy uvedené v částech 6.2 a 6.3.Protože derivace je speciálním případem limity, existují i jednostranné derivace.Definice 6.2 Nechť f je funkce a x ∈ Dom f číslo. Potom limitaf(x + h) − f(x)f(x + h) − f(x)lim, resp. lim,h→0+ hh→0− hse nazývá derivace funkce f v bodě x zprava, resp. zleva.Derivace funkce f zprava, resp. zleva, se značí f ′ +, resp. f ′ −.114//

6 Derivace 6.1 Pojem derivacePříklad 6.3 Vypočtěme jednostranné derivace funkce f(x) = |x| v bodě 0.Určeme nejdříve f ′ +(0).f +(0) ′ |h| − |0|= limh→0+ h|h|= limh→0+ h .|h|Protože je h > 0, je |h| = h a limh→0+ h = lim hh→0+ h = 1. Platí tedy f +(0) ′ = 1. Podobným způsobem se ukáže,že f −(0) ′ = −1. //Úkol Než budete číst dále, pokuste se na základě předchozího příkladu určit, zda existuje derivacefunkce f(x) = |x| v bodě 0.Odpověď na položenou otázku podává následující věta.Věta 6.1 Derivace funkce f v bodě x 0 existuje právě tehdy, když existují derivace funkce f v bodě x 0zleva i zprava a jsou si rovny.Důkaz Věta plyne přímo z věty 4.2 a z definice derivace jako limity.□Věta 6.2 Jestliže je derivace f ′ (x 0 ) konečná, pak je funkce f spojitá v bodě x 0 .Důkaz Jestliže je f ′ (x 0 ) konečná, pak platí(lim f(x0 + h) − f(x 0 ) ) = limh→0h→0f(x 0 + h) − f(x 0 )hh = f ′ (x 0 ) limh→0h = f ′ (x 0 ) · 0 = 0 ,neboli limh→0f(x 0 + h) = f(x 0 ). Z toho plyne, že funkce f je spojitá v bodě x 0 .□115

6 Derivace 6.2 Věty o počítání derivací6.2 Věty o počítání derivacíAbych mohl demonstrovat následující věty na příkladech, musím nejdříve vypočítat derivace základníchfunkcí.Příklad 6.4 Derivace funkce f(x) = x je f ′ (x) = 1.Přímým dosazením do vzorce dostaneme f ′ x + h − x(x) = limh→0 hPříklad 6.5 Derivace konstantní funkce f(x) = c je f ′ (x) = 0.Přímým dosazením do vzorce dostaneme f ′ c − c 0(x) = lim = limh→0 h h→0 hh= limh→0 h= 1. //= 0. //Věta 6.3 Nechť funkce f a g mají v bodě x konečné derivace f ′ (x) a g ′ (x). Potom funkce f + g a fgmají v bodě x také konečnou derivaci a platíJe-li navíc g(x) ≠ 0, pak platí(f + g) ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x) ;(fg) ′ (x) = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x) .( ) ′ f(x) = f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x).gg 2 (x)116

6 Derivace 6.2 Věty o počítání derivacíTuto větu lze stručně zapsat (f + g) ′ = f ′ + g ′ , (fg) ′ = f ′ g + fg ′ ,( fg) ′= f ′ g − fg ′g 2 .Důkaz(f + g) ′ f(x + h) + g(x + h) − f(x) − g(x)(x) = lim=h→0 hf(x + h) − f(x) g(x + h) − g(x)= lim+ limh→0 hh→0 h= f ′ (x) + g ′ (x) □Cvičení 6.1 Statistiky ukazují, že pouze 62,8% studentů se při čtení snaží pochopit uvedené důkazy.Tito studenti pak mají v průměru o jeden stupeň lepší známku. Proč se k nim nepřidáte? Můžete začítu důkazu věty 6.1.Důsledek Nechť c ∈ R je libovolná konstanta a f je funkce. Potom platí (cf) ′ (x) = cf ′ (x).Důkaz Podle příkladu 6.5 je c ′ = 0. Dále je(cf) ′ = c ′ f + cf ′ = 0f + cf ′ = cf ′ .□Důsledek (c 1 f 1 + · · · + c n f n ) ′ = c 1 f ′ 1 + · · · + c n f ′ n.Důkaz se provede matematickou indukcí.117

6 Derivace 6.2 Věty o počítání derivacíPříklad 6.6 Spočtěme derivaci funkce f(x) = x 2 + 2x + 3.Podle věty 6.3 platí f ′ (x) = (x 2 ) ′ + 2x ′ + 3 ′ . Derivace funkce x je x ′ = 1, derivace konstanty 3 je 3 ′ = 0.Proto je f ′ (x) = (x 2 ) ′ + 2. Zbývá určit (x 2 ) ′ . Protože je x 2 = x · x, platí(x 2 ) ′ = x ′ · x + x · x ′ = 1 · x + x · 1 = 2x .Z toho plyne, že f ′ (x) = 2x + 2. //Důsledek Nechť n ∈ N. Potom platí (x n ) ′ = nx n−1 .Důkaz Provede se matematickou indukcí. Pro n = 0 uvedený vztah platí, protože(x 0 ) ′ = 1 ′ = 0 = nx n−1 .Předpokládejme, že uvedený vztah platí po n. Potom(x n+1 ) ′ = (x · x n ) ′ = x ′ · x n + x · nx n−1 = 1 · x n + n · x n = (n + 1)x na uvedený vztah platí pro n + 1.□Úkol Než budete číst dále, dokažte, že pro všechna z ∈ Z platí (x z ) ′ = zx z−1 .Předpokládám, že jste důkaz nalezli. Je jednoduchý. Pro z ∈ N byl tento vztah dokázán dříve. Jestližez ∉ N, potom existuje n ∈ N takové, že z = −n. Podle věty o derivaci podílu funkcí ihned dostaneme( ) ′ 1(x z ) ′ = (x −n ) ′ = = −(xn ) ′= −nxn−1= −nx −n−1 = zx z−1 .x n (x n ) 2 x 2nCvičení 6.2 Určete derivaci funkce f(x) = a n x n + · · · + a 1 x + a 0 .118

6 Derivace 6.2 Věty o počítání derivacíVěta 6.4 Nechť je funkce f spojitá a ryze monotonní na intervalu J a nechť x 0 je vnitřní bod intervalu J. Označme y 0 = f(x 0 ). Dále nechť funkce g je inverzní funkce k funkci f a g ′ (y 0 ) existuje a platíg ′ (y 0 ) ≠ 0. Potom má funkce f v bodě x 0 derivacif ′ (x 0 ) = 1g ′ (y 0 ) .Příklad 6.7 Nechť q ∈ Z \ {0} a a = 1 q . Potom pro x > 0 platí (xa ) ′ = ax a−1 .Funkce inverzní k funkci f(x) = x 1/q je g(x) = x q . Při výpočtu derivace inverzní funkce se snažímevýraz g ′ (y) upravit tak, aby byl vyjádřen pouze pomocí členů g(y). Poté všechny výskyty g(y) zaměnímeneznámou x.Zde je g(y) = y q , a proto se výraz g ′ (y) = qy q−1 musí upravit na tvar q(y q ) (q−1)/q . Podle věty 6.4 platí(x a ) ′ = f ′ (x) = 1g ′ (y) = 1qy q−1 = 1q(y q ) q−1q= 1qx q−1q= 1 q x 1−qq = 1 q x 1 q −1 = ax a−1 . //Příklad 6.8 Určeme derivaci funkce f(x) = ln x.Funkce inverzní k funkci f je g(x) = e x . Již v předchozí přednášce bylo dokázáno, že funkce e x je rostoucía že(e x ) ′ e x+h − e x= lim = e x .h→0 hPodle věty o derivaci inverzní funkce platí(ln x) ′ = f ′ (x) = 1g ′ (y) = 1 e y = 1e ln x = 1 x . //119

6 Derivace 6.2 Věty o počítání derivacíVěta 6.5 Nechť funkce z = g(x) má derivaci v bodě x 0 a nechť funkce y = f(z) má derivaci v boděz 0 = g(x 0 ). Potom má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x 0 a platí(f(g(x))) ′x=x 0= f ′ (g(x 0 )) · g ′ (x 0 ) .Na levé straně rovnosti je derivace funkce f ◦g v bodě x 0 . Na pravé straně je derivace funkce f v bodě g(x 0 )vynásobená derivací funkce g v bodě x 0 .S pomocí druhého zápisu derivace lze tuto větu symbolicky zapsat ve tvarudydx = dy dzdz dx .Příklad 6.9 Vypočtěme derivaci funkce y = (x 5 + 2x + 1) 7 .Funkce y je složená z funkcí y = z 7 a z = x 5 + 2x + 1. Funkce y = z 7 má derivaci dydz = 7z6 , funkcez = x 5 + 2x + 1 má derivaci dzdx = 5x4 + 2. Pro derivaci dydx platídydx = dy dzdz dx = 7z6 (5x 4 + 2) .Nyní je třeba dosadit za z výraz x 5 + 2x + 1. Takto dostanemedydx = 7(x5 + 2x + 1) 6 (5x 4 + 2) . //Cvičení 6.3 Nechť p, q ∈ Z. Označme a = p q . Vypočtěte (xa ) ′ .120

6 Derivace 6.2 Věty o počítání derivacíDůsledek (věty 6.5) Jestliže funkce f(x) má derivaci f ′ (x), pak funkce f(ax + b) má derivaci(f(ax + b)) ′= af ′ (ax + b) .Důkaz Derivovaná funkce je složená z funkcí y = f(z) a z = ax + b. Podle věty 6.5 platí( ) ′ dy dzf(ax + b) =dz dx = f ′ (z) · a = af ′ (ax + b) .□Cvičení 6.4 Určete derivaci funkce e f(x) .Důsledek (věty 6.5) Nechť funkce t = h(x) má derivaci v bodě x 0 , nechť funkce z = g(t) má derivaciv bodě t 0 = h(x 0 ) a nechť funkce y = f(z) má derivaci v bodě z 0 = g(t 0 ). Potom má složená funkcey = f(g(h(x))) derivaci v bodě x 0 a platíPodobně platí(f(g(h(x)))) ′x=x 0= f ′ (g(h(x 0 ))) · g ′ (h(x 0 )) · h ′ (x 0 ) , nebolidydx = dy dz dtdz dt dx .(f(g(h(k(x))))) ′x=x 0= f ′ (g(h(k(x 0 )))) · g ′ (h(k(x 0 ))) · h ′ (k(x 0 )) · k ′ (x 0 ) , nebolia tak dále.dydx = dy dz dt dudz dt du dx ,Derivování složené funkce je jako loupání cibule. Nejdříve se derivuje vnější funkce. Pak se derivuje vnitřnější funkce, . . . Nakonec se derivuje nejvnitřnější funkce. Všechny tyto derivace se nakonec vynásobí.121

6 Derivace 6.2 Věty o počítání derivacíPříklad 6.10 Spočtěme derivaci funkce y = ( ln ( 1 + e √ x )) 2.Funkce y je složená z funkcí y = z 2 , z = ln t, t = 1 + u, u = e v a v = √ x. Platídydx = dy dz dt du dvdz dt du dv dx .Funkce y = z 2 a v = √ x = x 1/2 jsou mocninné funkce, a proto se derivují podle vzorce (x a ) ′ = ax a−1 . Platítedy dy dv= 2z adz dx = 1 2 x−1/2 = 12 √ x . Funkce t = 1 + u má derivaci dt= 1. Pro zbývající dvě funkcedupodle příkladu 6.8 platí dzdt = 1 t a dudv = ev . Derivace dy je tedy rovnadxdydx = 2z · 1t · 1 · 1ev ·2 √ x .Nyní je třeba se vrátit k proměnné x. Dosazováním příslušných výrazů za z, t, u a v postupně dostanemedydx = 2 ln t · 1t · 1 · 1ev2 √ x = ln t e vt 2 √ ln(1 + u) e v= √ = ln(1 + ev ) e v√ = ln( 1 + e √ ) xe √ xx 1 + u x 1 + e v x 1 + e √ √ . //x x122

6 Derivace 6.3 Derivace elementárních funkcí6.3 Derivace elementárních funkcíPříklad 6.11 Pro x > 0 a a ∈ R je (x a ) ′ = ax a−1 .Pro některá a lze obor proměnné x rozšířit, například pro a ∈ Z platí vzorec pro všechna x ∈ R (kroměx = 0 při a < 0).Pro všechna a ∈ R platí x a = e a ln x . S využitím již dokázaných vztahů (e x ) ′ = e x a (ln x) ′ = 1 x dostaneme(x a ) ′ = (e a ln x ) ′ = e a ln x a x = xa a x = axa−1 .( ) ′ 1Často se vyskytují případy = − 1 x x a ( √ ) ′ 1 x = 2 2 √ x . //Příklad 6.12 Pro x ∈ R a a > 0 je (a x ) ′ = a x ln a.Protože výraz ln a je konstantní, je (x ln a) ′ = ln a. Dále platí(a x ) ′ = (e x ln a ) ′ = e x ln a ln a = a x ln a .Pokud dosadíme a = e, dostaneme (e x ) ′ = e x . //Příklad 6.13 Pro a > 0, a ≠ 1 a x > 0 platí (log a x) ′ = 1x ln a .Protože je log a x = ln xln aa ln a je konstanta, platí(log a x) ′ =( ) ′ ln x=ln a1(ln x)′ln a = xln a = 1x ln a . //123

6 Derivace 6.3 Derivace elementárních funkcíPříklad 6.14 Nechť f(x) > 0 a nechť existuje f ′ (x). Potom platí ( ln f(x) ) ′=f ′ (x)f(x) .Rovnost plyne ihned z věty 6.5 (o derivaci složené funkce),(ln f(x)) ′=1f(x) f ′ (x) = f ′ (x)f(x) . //Příklad 6.15 Pro x ∈ R platí (sin x) ′ = cos x.Budu používat vztahy sin α − sin β = 2 cos α + β2(sin x) ′ = limh→0sin(x + h) − sin xh(2 cos x + h 2= limh→0 h· sin α − β2)· sin h 2a limh→0sin hh = 1.(= lim cos x + h ) sin h· 2h→0 2 h2= cos x · 1 = cos x//Příklad 6.16 Pro x ∈ R je (cos x) ′ = − sin x.Příklad lze řešit podobně jako ( předchozí příklad. Zde však budu využívat větu 6.5 (o derivaci složenéfunkce). Protože je cos x = sin x − π )(, platí (sin x) ′ = sin x − π ). Dále platí22( ((cos x) ′ = sin x − π )) ′ ((= sin x − π )− π )· 1 = sin(x − π) = − sin x . //2 2 2Cvičení 6.5 Určete derivace (tg x) ′ a (cotg x) ′ .124

6 Derivace 6.3 Derivace elementárních funkcíPříklad 6.17 Pro x ∈ (−1; 1) je (arcsin x) ′ =1√1 − x2 .Funkce inverzní k funkci f(x) = arcsin x je g(x) = sin x. Podle věty 6.4 (o derivaci inverzní funkce) platí(arcsin x) ′ =1(sin y) ′ = 1cos y = 1√1 − sin 2 y = 1√1 − sin 2 arcsin x = 1√1 − x2 . //Cvičení 6.6 Určete derivaci (arccos x) ′ .Příklad 6.18 Pro x ∈ R je (arctg x) ′ = 11 + x 2 .Funkce inverzní k funkci arctg x je tg x, a proto(arctg x) ′ = 1(tg y) ′ = 1 1cos 2 y=1cos 2 y + sin 2 ycos 2 y=11 + tg 2 y = 11 + x . //2125

6 Derivace 6.3 Derivace elementárních funkcíShrnutí 1 Derivace elementárních funkcí jsou(x a ) ′ = ax a−1 (ln x) ′ = 1 (cotg x) ′ =−1xsin 2 x(a x ) ′ = a x ln a (sin x) ′ = cos x (arcsin x) ′ 1= √1 − x2(e x ) ′ = e x (cos x) ′ = − sin x (arccos x) ′ = −1 √1 − x2(log a x) ′ = 1x ln a(tg x) ′ = 1cos 2 xVzorce pro počítání derivací jsou( ) ′f(x) + g(x) = f ′ (x) + g ′ (x)( ) ′f(x)g(x) = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x)( ) ′ f(x)= f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x)g(x)g 2 (x)( ) ′f(g(x)) = f ′ (g(x))g ′ (x)(arctg x) ′ = 11 + x 2Je-li y = f(x) a g je funkce inverzní k funkci f, pak platí f ′ (x) = 1g ′ (y) .126

6 Derivace 6.4 Diferenciál funkce6.4 Diferenciál funkceDefinice 6.3 Nechť f je funkce a x 0 ∈ Dom f pevně zvolený bod. Jestliže existuje číslo A takové, žef(x 0 + h) − f(x 0 ) − Ahlimh→0h= 0 , (1)pak říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná. Výraz Ah (což je funkce proměnné h) se nazývádiferenciál funkce f v bodě x 0 .Diferenciál funkce f v bodě x 0 se značí df(x 0 ).Věta 6.6 Funkce f je v bodě x 0 diferencovatelná a má diferenciál Ah právě tehdy, když existuje vlastní(konečná) derivace f ′ (x 0 ). Potom platí A = f ′ (x 0 ).Důkaz Jednoduchou úpravou rovnice (1) dostaneme ekvivalentní rovniciVýraz na pravé straně je samozřejmě roven f ′ (x 0 ).f(x 0 + h) − f(x 0 )A = lim.h→0 h□Z věty 6.6 ihned plyne, že df(x) = f ′ (x)h.Určeme diferenciál funkce ϕ(x) = x. Pro funkci ϕ(x) = x platí ϕ ′ (x) = 1, a proto je dx = 1 · h = h. Z tohoovšem ihned plyne, že pro diferencovatelnou funkci f platídf(x) = f ′ (x) dx .Podělením poslední rovnosti výrazem dx dostaneme f ′ (x) = df(x) . Odtud je vidět oprávněnost druhéhodxzápisu derivace.127

6 Derivace 6.4 Diferenciál funkceVýznam diferenciálu Pomocí diferenciálu lze jednoduše určit přibližnou hodnotu složitého výrazu.Jestliže je dx malé, pak přibližně platíf(x 0 + dx) . = f(x 0 ) + df(x 0 ) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 ) dx . (2)Toto vyjádření je tím přesnější, čím menší (v absolutní hodnotě) je dx. Tohoto se využívá v případě, žehodnoty f(x 0 ) a f ′ (x 0 ) jsou známé nebo je možné je snadno určit.Příklad 6.19 Určeme přibližně hodnotu y = 2 · 16√ 2.Jednoduchými úpravami lze tento výraz převést na tvar y = 2 1+ 16 1(. Označme f(x) = 2 x . S pomocítohoto označení můžeme psát y = f 1 + 1 ). Označíme-li dále x 0 = 1 a dx = 1 , můžeme y převést na1616tvar (2). Určeme hodnoty f(x 0 ) a f ′ (x 0 ). Platíf(x 0 ) = f(1) = 2 ,Nyní již můžeme určit přibližnou hodnotu y.f ′ (x 0 ) = f ′ (1) = (2 x ln 2) x=1 = 2 ln 2 . = 1,386 .y . = f(x 0 ) + f ′ (x 0 ) dx . = 2 + 1,386 · 0,0625 . = 2,087Přesnější hodnota y je y = 2,088548. Odtud je vidět, že s pomocí elementárních operací a derivace jsmedostali dost přesný odhad složitého výrazu. //Cvičení 6.7 Pomoci diferenciálu přibližně určete hodnotu výrazu 3√ 1,03.128

6 Derivace 6.5 Derivace vyšších řádů6.5 Derivace vyšších řádůDefinice 6.4 Derivace funkce f ′ se nazývá druhá derivace (derivace druhého řádu) funkce f; označujese f ′′ nebo d2 f. Dále derivace (n − 1)-ní derivace funkce f se nazývá n-tá derivace (derivace n-téhodx2 řádu) funkce f; označuje se f (n) nebo dn fdx . nBývá účelné označovat samotnou funkci f jako nultou derivaci funkce f.Podle definice tedy pro všechna n ∈ N platí f (n+1) = (f (n) ) ′ . Je vidět, že platí(f (m) ) (n) = (f (n) ) (m) = f (m+n) .Příklad 6.20 Určeme čtvrtou derivaci funkce f(x) = x 4 − ln x.Postupným derivováním dostanemef ′ (x) = 4x 3 − 1 xf ′′ (x) = ( f ′ (x) ) ′= 12x 2 + 1 x 2f ′′′ (x) = ( f ′′ (x) ) ′= 24x −2x 3f (4) (x) = ( f ′′′ (x) ) ′= 24 +6x 4 . //129

6 Derivace 6.5 Derivace vyšších řádůPříklad 6.21 Určeme n-tou derivaci funkce sin x.Platí(Vypadá to, že sin (n) x = sin x − nπ 2(sin ′ x = sin x − π ),2((sin ′′ x = sin x − π )− π )2 2((sin ′′′ x = sin x − 2π )− π 2 2(= sin x − 2π ),2) (= sin x − 3π ).2). To je ovšem nutno dokázat matematickou indukcí. Pro n = 0(tvrzení platí. Předpokládejme, že platí sin (n) x = sin x − nπ ). Potom platí2( (sin (n+1) x = sin x − nπ )) ′= sin((x − nπ )− π ) ()(n + 1)π= sin x − .22 22(Tvrzení je tedy pravdivé pro n + 1, a proto pro všechna n ∈ N platí sin (n) (x) = sin x − nπ ). //2Cvičení 6.8 Určete n-tou derivaci funkce e x .Vzorce pro výpočet n-tých derivací lze většinou snadno odvodit postupným derivováním. Zájemci si mohoupřečíst knihu [1] na stranách 228–231.130

6 Derivace 6.5 Derivace vyšších řádůShrnutí 2 Derivace funkce f je limita f ′ f(x + h) − f(x)(x) = lim. Podobně se definuje derivaceh→0 hzprava a zleva. Derivace n-tého řádu je definována jako derivace (n − 1)-ní derivace funkce f, f (n) == (f (n−1) ) ′ . Diferenciál funkce f je df(x) = f ′ (x) dx. Přibližně platí f(x 0 + dx) = f(x 0 ) + df(x 0 ).Stejně jako limita, patří i derivace k základním pojmům matematické analýzy, a proto je nutné umětderivovat rychle. Derivace elementárních funkcí musíte znát zpaměti. Propočítejte si uvedené příklady,popřípadě si vymýšlejte další. Doporučuji Vám si spočíst některé příklady ze stran 90–98 knihy [3]. Uvidíte,že za chvíli Vám derivování půjde.131

6 Derivace CvičeníCvičeníCvičení 6.9 Určete derivace následujících funkcí.a) 4x 3 + πx 2 − 7x k) ln cos x u) sin arccos mxb) x 5 − 2 · 3 x + 7 tg x l) ln tg x v) ln sin(x 3 − 2x + 1)c) x2 − 1x 2 + 1m) ln cotg x w) ln(e x + e −x )2x + 5d)n) ln ( x + √ xx 3 + 7x − 5+ 1 ) 2x + 7x)(x 3 + 2x + 5) 21e)o) sin 3 x y) 1 − cos xsin x1 + cos x1f)p) sin x 3 z) a √ xcos 2 xg) ln(x 2 x+ 1) q) arcsinα) x ln xx 2 + 1h) ln x 3 sin x1r)β)1 + cos xx + √ a 2 + x 2i) ln 3 x s) arctg(x 2 + 1) γ) tg arccos mxj) ln sin x t) arcsin(n sin x)xδ) √x2 + a132

6 Derivace ŘešeníŘešeníCvičení 6.1 Lenost nebo tvrdohlavost.Cvičení 6.2 na n x n−1 + (n − 1)a n−1 x n−2 + · · · + 2a 2 x + a 1 .Cvičení 6.3 ax a−1 .Cvičení 6.4 e f(x) f ′ (x).Cvičení 6.5 (tg x) ′ = 1cos 2 x ; (cotg x)′ = − 1sin 2 x .1Cvičení 6.6 −√ . 1 − x2Cvičení 6.7 Při použití f(x) = 3√ x, x 0 = 1 a dx = 0,03 dostaneme 3√ 1,03 . = 1,01.Cvičení 6.8 (e x ) (n) = e x pro každé n.133

6 Derivace ŘešeníCvičení 6.9a) 12x 2 + 2πx − 7 k) − tg x u)b) 5x 4 − 2 · 3 x ln 3 + 72l)cos 2 x sin 2x4xc)m) − 2(x 2 + 1) 2 sin 2xd) −4x3 − 15x 2 − 45(x 3 + 7x − 5) 2 n)e) − cos xsin 2 xf) 2 sin xcos 3 x2xg)x 2 + 1h) 3 x1√x2 + 1−m 2 x√1 − m2 x 23x 2 − 2v)tg(x 3 − 2x + 1)w) ex − e −xe x + e −xx) −10x3 − 42x 2 − 4x − 18(x 3 + 2x + 5) 3o) 3 2 sin x · sin 2x y) 2 sin x(1 + cos x) 2p) 3x 2 cos x 3 z) ln a2 √ x a√ xq) 1 − x21 + x 2 1√1 + x2 + x 4 α) ln x + 1r)11 + cos xi) 3 ln2 x2xs)xx 4 + 2x 2 + 2n cos xj) cotg x t) √1 − n2 sin 2 xβ) −1√a2 + x 2( x + √ a 2 + x 2)1γ) −mx 2√ 1 − m 2 x 2aδ) √x2 + a 3134

7 Základní věty matematické analýzy7 Základní věty matematické analýzyObsah lekce7.1. Věty o spojitých funkcích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2. Věty o průběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.3. l’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Klíčová slovaRolleova, Lagrangeova, Cauchyova věta, konvexní a konkávní funkce, l’Hospitalovo pravidlo135

7 Základní věty matematické analýzy 7.1 Věty o spojitých funkcích7.1 Věty o spojitých funkcíchVěta 7.1 (Rolleova věta) Nechť funkce f má následující vlastnosti:• f je spojitá na intervalu 〈a; b〉;• f ′ (x) existuje pro všechna x ∈ (a; b);• platí f(a) = f(b).Potom existuje (alespoň jedno) číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′ (c) = 0.Geometrický význam Rolleovy věty je následující: Při splnění daných třech podmínek existuje bod c uvnitřintervalu (a; b) takový, že tečna ke grafu funkce v bodě [c; f(c)] je rovnoběžná s osou x. Situaci ilustrujeobrázek 58.yf(a) = f(b)a c bObrázek 58 Rolleova větax136

7 Základní věty matematické analýzy 7.1 Věty o spojitých funkcíchPříklad 7.1 Nechť P je mnohočlen stupně n > 1 a nechť rovnice P (x) = 0 má pouze reálné kořeny,navzájem různé. Dokažme, že rovnice P ′ (x) = 0 má také pouze reálné kořeny, navzájem různé.Protože mnohočlen P má stupeň n, má rovnice P (x) = 0 právě n reálných kořenů. Označme tyto kořenyx 1 , . . . , x n tak, aby x 1 < · · · < x n . Pro libovolné j ∈ {1; . . . ; n − 1} platí, že• funkce P je spojitá na intervalu 〈x j ; x j+1 〉,• P ′ (x) existuje pro všechna x ∈ (x j ; x j+1 ) a• P (x j ) = P (x j+1 ) = 0.Tím jsou splněny předpoklady Rolleovy věty. Proto existuje bod c j ∈ (x j ; x j+1 ) takový, že P ′ (c j ) = 0.Číslo c j je tedy reálný kořen rovnice P ′ (x) = 0. Protože intervaly (x j ; x j+1 ) jsou disjunktní (nemají společnýbod), jsou čísla c j navzájem různá a jejich počet je n − 1. Protože mnohočlen P ′ má stupeň n − 1, nemárovnice P ′ (x) = 0 žádný jiný kořen. //Věta 7.2 (Cauchyova věta) Nechť funkce f a g jsou spojité na intervalu 〈a; b〉 a mají derivace f ′ (x) ag ′ (x) pro všechna x ∈ (a; b). Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, žef ′ (c) ( g(b) − g(a) ) = g ′ (c) ( f(b) − f(a) ) .137

7 Základní věty matematické analýzy 7.1 Věty o spojitých funkcích( πPříklad 7.2 Dokažme, že existuje číslo c ∈8 ; π )takové, že platí2e c (1 + c)cos c= π 4e π/2 − e π/88 1 − sin π .8Označme f(x) = xe x , g(x) = sin x, a = π 8 a b = π 2 . Platí f ′ (x) = e x (1 + x) a g ′ (x) = cos x. Podle( πCauchyovy věty existuje číslo c ∈8 ; π )takové, že2(e c (1 + c) sin π 2 − sin π ) ( π= cos c ·82 eπ/2 − π )8 eπ/8 .Jednoduchou úpravou dostaneme požadovanou rovnost. //Věta 7.3 (Lagrangeova věta, Věta o přírůstku funkce, Věta o střední hodnotě) Nechť funkce f mánásledující vlastnosti• f je spojitá na intervalu 〈a; b〉 a• f ′ (x) existuje pro všechna x ∈ (a; b).Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, žef ′ (c) =f(b) − f(a)b − a.138

7 Základní věty matematické analýzy 7.1 Věty o spojitých funkcíchGeometrický význam Lagrangeovy věty: Při splnění daných podmínek existuje bod c uvnitř intervalu (a; b)takový, že tečna ke grafu funkce v bodě [c; f(c)] je rovnoběžná se spojnicí bodů [a; f(a)] a [b; f(b)]. Situaciilustruje obrázek 59.yf(a)f(b)a cb xObrázek 59 Lagrangeova větaDůkaz V Cauchyově větě stačí položit g(x) = x.□Příklad 7.3 Automobil jel z místa X do místa Y průměrnou rychlostí ¯v. Dokažme, že během jehojízdy existoval okamžik, ve kterém byla okamžitá rychlost automobilu rovna ¯v.Označme S vzdálenost míst X a Y a T čas, za který tuto vzdálenost automobil ujel. Dále označme s(t)vzdálenost od místa X, kterou urazil automobil za čas t. Platí s(0) = 0, s(T ) = S a ¯v = S T . Protožeokamžitá rychlost je rovna derivaci dráhy (vzdálenosti) podle času, platí také, že s ′ (t) je okamžitá rychlostautomobilu v čase t. Funkce s(t) je zřejmě spojitá. Automobil jel v každém okamžiku nějakou rychlostí, atedy s ′ (t) existuje pro všechna t ∈ (0; T ). Podle Lagrangeovy věty existuje číslo c ∈ (0; T ) takové, žes ′ s(T ) − s(0)(c) = = S T − 0 T = ¯v .V okamžiku c byla tedy okamžitá rychlost automobilu rovna jeho průměrné rychlosti. //139

7 Základní věty matematické analýzy 7.2 Věty o průběhu funkce7.2 Věty o průběhu funkceVěta 7.4 Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má derivaci ve všech jeho vnitřních bodech. Potom,jestliže ve všech vnitřních bodech x intervalu J platíf ′ (x) > 0, je funkce f rostoucí na J;f ′ (x) ≥ 0, je funkce f neklesající na J;f ′ (x) < 0, je funkce f klesající na J;f ′ (x) ≤ 0, je funkce f nerostoucí na J.Důkaz Zde dokážu pouze první část věty. Ostatní části se dokážou podobně.Nechť x 1 a x 2 jsou libovolné body intervalu J takové, že x 1 < x 2 . Potom platí x 2 − x 1 > 0. PodleLagrangeovy věty existuje číslo c ∈ (x 1 ; x 2 ) takové, že platíf(x 2 ) − f(x 1 ) = f ′ (c)(x 2 − x 1 ) .Podle předpokladu je f ′ (c) > 0, z čehož plyne, že f(x 1 ) < f(x 2 ). Protože body x 1 a x 2 byly libovolné, jefunkce f rostoucí na J.□Důsledek Je-li funkce f spojitá na intervalu J a ve všech vnitřních bodech x intervalu J platí f ′ (x) == 0, pak je f konstantní na J.Důkaz Z předpokladu platí f ′ (x) = 0, neboli f ′ (x) ≥ 0 a f ′ (x) ≤ 0. Podle věty 7.4 je f na J neklesajícía zároveň nerostoucí, tedy konstantní.□140

7 Základní věty matematické analýzy 7.2 Věty o průběhu funkcePříklad 7.4 Je-li funkce f rostoucí, nemusí ještě pro všechna x platit f ′ (x) > 0. Funkce f(x) = x 3 jerostoucí na R, ale f ′ (0) = 0. //Cvičení 7.1 Dokažte, že součet dvou rostoucích funkcí je rostoucí funkce.Příklad 7.5 Určeme intervaly, na nichž je funkce f(x) = x 3 − 3x rostoucí, nebo klesající. (Stručněji:Určeme intervaly monotonnosti funkce f.)Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je derivace rovna nule, nebo není definována. Derivacemůže měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou být krajními bodyintervalů, na nichž je funkce rostoucí, nebo klesající. K určení znaménka derivace na některém intervalustačí určit znaménko v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod x, v němž sehodnota f ′ (x) určí snadno.Derivace f ′ (x) = 3x 2 − 3 je spojitá a je rovna nule v bodech x = −1 a x = 1. Nanesme proto body −1 a 1na osu x. (Viz obrázek 60.)−1 1Obrázek 60 K příkladu→→→−1 1Obrázek 61 K příkladuNyní určeme hodnoty f ′ (x) ve vnitřních bodech vyznačených intervalů.f ′ (−2) = 9 > 0, a tedy f je rostoucí na (−∞; −1);f ′ (0) = 3 < 0, a tedy f je klesající na (−1; 1);f ′ (2) = 9 > 0, a tedy f je rostoucí na (1; +∞).Symbolicky je to zakresleno na obrázku 61. //141

7 Základní věty matematické analýzy 7.2 Věty o průběhu funkceDefinice 7.1 Jestliže pro všechny body x 1 < x 2 < x 3 intervalu J leží bod [x 2 ; f(x 2 )]„pod přímkou spojující body [x 1 ; f(x 1 )] a [x 3 ; f(x 3 )], nazývá se f ryze konvexní na J;„pod touto přímkou, nebo na ní, nazývá se f konvexní na J;„nad touto přímkou, nazývá se f ryze konkávní na J;„nad touto přímkou, nebo na ní, nazývá se f konkávní na J.Je-li interval J přímo definičním oborem funkce f, pak se přívlastek „na J vynechává.Tato definice není matematicky přesná, ale je názorná. Situaci navíc ilustrují obrázek 62 (ryze konvexnífunkce) a obrázek 63 (konvexní, ryze konkávní, konkávní funkce).yyf(x 1 )f(x 3 )f(x 2 )x 1 x 2 x 3Obrázek 62 Ryze konvexní funkcexObrázek 63 Vlastnosti z definice 7.1xPříklad 7.6 Funkce f(x) = |x| je konvexní, ale není ryze konvexní. //142

7 Základní věty matematické analýzy 7.2 Věty o průběhu funkceRovnice přímky spojující body [x 1 ; f(x 1 )] a [x 3 ; f(x 3 )] jey = f(x 3) − f(x 1 )x 3 − x 1(x − x 1 ) + f(x 1 ) .Proto funkce f je ryze konvexní na intervalu J právě tehdy, když pro všechna x 1 < x 2 < x 3 platíf(x 2 ) < f(x 3) − f(x 1 )x 3 − x 1(x 2 − x 1 ) + f(x 1 ) .Funkce f je konvexní (ryze konkávní, konkávní), jestliže v předchozí nerovnosti platí znak ≤ (>, ≥).Věta 7.5 Nechť funkce f je spojitá na intervalu J a má druhou derivaci ve všech jeho vnitřních bodech.Potom, jestliže ve všech vnitřních bodech x intervalu J platíf ′′ (x) > 0, je funkce f ryze konvexní na J;f ′′ (x) ≥ 0, je funkce f konvexní na J;f ′′ (x) < 0, je funkce f ryze konkávní na J;f ′′ (x) ≤ 0, je funkce f konkávní na J.Příklad 7.7 Jestliže je funkce f ryze konvexní, nemusí ještě pro všechna x platit f ′′ (x) > 0. Funkcef(x) = x 4 je ryze konvexní na R, ale f ′′ (0) = 0. //Cvičení 7.2 Dokažte, že funkce e x je ryze konvexní na R.Cvičení 7.3 Dokažte, že funkce f je (ryze) konvexní právě tehdy, když je funkce −f (ryze) konkávní.143

7 Základní věty matematické analýzy 7.2 Věty o průběhu funkcePříklad 7.8 Určeme intervaly, na nichž je funkce f(x) = (x − 1) 3 konvexní, nebo konkávní.Na číselnou osu nanesme všechny body, v nichž je druhá derivace rovna nule, nebo není definována.Druhá derivace může měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plyne, že pouze tyto body mohou býtkrajními body intervalů, na nichž je funkce konvexní, nebo konkávní. K určení znaménka druhé derivacena některém intervalu stačí určit znaménko v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolitbod x, v němž se hodnota f ′′ (x) určí snadno.Druhá derivace f ′′ (x) = 6(x − 1) je spojitá a je rovna nule v bodě x = 1. Nanesme proto na osu x bod 1(viz obrázek 64).1Obrázek 64 K příkladu((1Obrázek 65 K příkladuNyní určeme hodnoty f ′′ ve vnitřních bodech vyznačených intervalů.f ′′ (0) = −6 < 0, a tedy f je konkávní na (−∞; 1);f ′′ (2) = 6 > 0, a tedy f je konvexní na (1; +∞).Symbolicky je to zakresleno na obrázku 65. //144

7 Základní věty matematické analýzy 7.3 l’Hospitalovo pravidlo7.3 l’Hospitalovo pravidloVěta 7.6 (l’Hospitalovo pravidlo) Nechť platí lim f(x) = lim g(x) = 0 nebo lim|g(x)| = +∞. Potom,jestliže existuje limita lim f ′ (x)f(x), existuje i limita limg ′ (x) g(x) a platílim f(x)g(x) = lim f ′ (x)g ′ (x) .Symbol lim přitom může mít libovolný z následujících významů (samozřejmě v celé větě stejný): lim, limx→alim , lim , lim .x→a− x→+∞ x→−∞Tato věta v sobě zahrnuje celkem deset vět – pro různé typy a různé hodnoty limit.x→a+ ,l’Hospitalovo pravidlo umožňuje počítat limity typu 0 0 , nebo ∞ . Použití l’Hospitalova pravidla budu značit∞symbolem l’H =.Příklad 7.9 Určeme limituln xlimx→+∞ x .Jde o limitu typu ∞ . Protože platí∞ lim x = +∞, lze použít l’Hospitalovo pravidlo. Platíx→+∞ln xliml’H =x→+∞ xlimx→+∞1x1 = lim 1x→+∞ x = 0 . //145

7 Základní věty matematické analýzy 7.3 l’Hospitalovo pravidloJestliže je lim f ′ (x)g ′ (x) opět limita typu 0 0 , nebo ∞ , lze l’Hospitalovo pravidlo použít znovu.∞Příklad 7.10 Jestliže lim f ′ (x)g ′ (x)Pokusme se vypočítat limituf(x)neexistuje, nehovoří l’Hospitalovo pravidlo nic o limitě limg(x) .sin xx. Zde limita lim f ′ (x)g ′ (x) = lim cos x neexistuje, proto nelzex→+∞limx→+∞použít l’Hospitalovo pravidlo. Limita lim f(x)g(x) =Jiné typy limit je třeba převést na typ 0 0 , nebo ∞ ∞ .lim sin xx→+∞ xvšak existuje. Určete její hodnotu. //Limita typu 0 · ∞ Je-li lim f(x) = 0 a |lim g(x)| = +∞, potom platílim f(x)g(x) = lim f(x)1g(x)= lim g(x) ,1f(x)přičemž uvedené limity jsou typu 0 0 , nebo ∞ ∞ . 146

7 Základní věty matematické analýzy 7.3 l’Hospitalovo pravidloPříklad 7.11 Určeme limitulim (1 − sin x) tg x.x→ π 2 +1 − sin xlim (1 − sin x) tg x = limx→ π 2 + x→ π 2 + 1tg xl’H − cos x= limx→ π 2 + −1sin 2 x1 − sin x= liml’H =x→ π 2 + cotg x= limx→ π 2 + cos x · sin 2 x = 0 · 1 = 0 . //Limita typu (+∞) − (+∞) Je-li lim f(x) = +∞ a lim g(x) = +∞, potom platípřičemž uvedená limita je typu 0 0 .lim ( f(x) − g(x) ) = lim1g(x) − 1f(x),1f(x)g(x)( 1Příklad 7.12 Určeme limitu limx→1 x − 1 − 1 ).ln x( 1limx→1 x − 1 − 1 )ln x − (x − 1)= liml’H = limln x x→1 (x − 1) ln xl’H −1= limx→1 1 + 1 + ln x = −1 2x→11x − 11 + ln x − 1 x1 − x= liml’H =x→1 x + x ln x − 1//147

7 Základní věty matematické analýzy 7.3 l’Hospitalovo pravidloLimita typu 0 0 , ∞ 0 , nebo 1 ∞ Jestliže platí lim f(x) = 0 a lim g(x) = 0, nebo lim f(x) = ∞ alim g(x) = 0, nebo lim f(x) = 1 a lim g(x) = ∞, potom platípřičemž limita v exponentu je typu 0 · ∞.Příklad 7.13 Určeme limitulimlim f(x) g(x) = lim e g(x) ln f(x) = e lim g(x) ln f(x) ,lim (sin x) tg x .x→ π 2 +Platí lim (sin x) tg x x→(π/2)+= etg x·ln sin x . Limita v exponentu je rovnax→ π 2 +a proto platíln sin xlim tg x · ln sin x = liml’H cotg x= limx→ π 2 + x→ π 2 + cotg x x→ π 2 + − 1sin 2 x= − limx→ π 2 + sin x · cos x = 1 · 0 = 0 ,lim (sin x) tg x = e 0 = 1. //x→ π 2 +148

7 Základní věty matematické analýzy 7.3 l’Hospitalovo pravidloShrnutí Nechť jsou funkce f a g spojité na uzavřeném intervalu 〈a; b〉 a nechť mají v každém jehovnitřním bodě derivaci. Potom existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′ f(b) − f(a)(c) = (Lagrangeovab − avěta). Také existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′ (c) ( g(b) − g(a) ) = g ′ (c) ( f(b) − f(a) ) (Cauchyova věta).Jestliže platí f(a) = f(b), pak existuje číslo c ∈ (a; b) takové, že f ′ (c) = 0 (Rolleova věta).Funkce je ryze konvexní, jestliže její graf leží nad svou tečnou. Podobně je definována konvexní, ryzekonkávní a konkávní funkce. Jestliže na intervalu platí f ′ (x) > 0, pak je funkce f na tomto intervalurostoucí. Obdobně pro neklesající, klesající a nerostoucí funkci. Jestliže na intervalu platí f ′′ (x) > 0, pakje funkce f na tomto intervalu ryze konvexní. Obdobně pro konvexní, ryze konkávní a konkávní funkciJestliže je lim f(x) = lim g(x) = 0, nebo lim|g(x)| = +∞, pak platí lim f(x)g(x) = lim f ′ (x), pokud limitag ′ (x)vpravo existuje. Ostatní typy limit se na tento tvar převedou.Věty uvedené v první části se používají hlavně při důkazech složitějších vět, přesto je dobré je znát.Doporučuji Vám v rychlosti si projít druhou část. Již její název napovídá, že ji budete potřebovatpozději při zjišťování průběhu funkce. Ze třetí části je důležité umět, kromě samotného l’Hospitalovapravidla, hlavně postupy, kterými se různé limity převedou na l’Hospitalovo pravidlo. Jestliže se Vámněkteré z těchto postupů budou zdát těžko zapamatovatelné, spočítejte si pár příkladů a uvidíte, že tonení tak hrozné.149

7 Základní věty matematické analýzy CvičeníCvičeníCvičení 7.4 Určete intervaly monotonnosti následujících funkcí.a) x + 1 x ; b) e−x2 ; c) xe −x .Cvičení 7.5 Určete intervaly, na nichž jsou následující funkce konvexní nebo konkávní.a) −x 3 + 6x 2 3+ 32; b)x + 2 ; c) ex .150

7 Základní věty matematické analýzy CvičeníCvičení 7.6 Pomocí l’Hospitalova pravidla určete následující limity.3x 2 + 4x − 7a) limx→1 2x 2 + 3x − 5b) limx→0ln cos xln cos 3xln(x 2 − 8)c) limx→3 2x 2 − 5x − 3x a − 1d) limx→1 x b − 1ln cos axe) limx→0 x 2(x + 1) ln(1 + x) − xk) limx→0 e x − x − 1(a + x) x − a xl) limx→0 x 2x 20 − 2x + 1m) limx→1 x 30 − 2x + 1u) limx→0e sin x − e xsin x − xv) limx→0sin x · ln cotg xw) limx→+∞ xn e −x3x 10 − 10x + 9n) limx) limx→1 (x − 1) 2 x→0+ (xx − 1) ln xx 50 − 50x + 49o) limx→1 x 100 − 100x + 99x a − a x2x 4 + 3x 3 − 4x 2 − 9x − 4f) limp) limx→a a x − a a x→−1 3x 4 + 5x 3 + 3x 2 + 3x + 2x a − a xg) limx→a x a − a aln(1 + x) − xh) limx→0 tg 2 xi) limx→ π 64 sin 2 x − 6 sin x + 26 sin 2 x + 5 sin x − 4j) limx→1x 3 − 3x 2 + 7x − 5x 4 − 5x + 4q) limx→1ax a+2 − (a + 1)x a+1 + x(x − 1) 2 α) limr) limx→0+s) limx→0+ln xln sin xln(1 − cos x)ln tg x3 + ln xt) limx→0+ 2 − 3 ln sin x( 1y) limx→0 sin x − 1 )x( 1z) limx→0 x − 1 )e x − 1( ax→1 1 − x − b )a 1 − x bβ) lim x x−11x→1xγ) lim (1 + x)lnx→0+δ) limx→0+(1x) sin x151

7 Základní věty matematické analýzy ŘešeníŘešeníCvičení 7.1 Jestliže f a g jsou rostoucí funkce, pak pro každé x a y takové, že x < y, platí f(x) < f(y) ag(x) < g(y). Odtud plyne f(x) + g(x) < f(y) + g(y).Cvičení 7.2 Pro všechna x ∈ R platí (e x ) ′′ = e x > 0, a proto je funkce e x konvexní.Cvičení 7.3 Funkce f je konvexní právě tehdy, když pro x 1 < x 2 < x 3 platíTo je ekvivalentní s nerovnicíf(x 2 ) ≤ f(x 3) − f(x 1 )x 3 − x 1(x 2 − x 1 ) + f(x 1 ) .−f(x 2 ) ≥ (−f(x 3)) − (−f(x 1 ))x 3 − x 1(x 2 − x 1 ) + (−f(x 1 )) ,která platí právě tehdy, když je funkce −f konkávní. U ryzí konvexity jsou uvedené nerovnosti ostré.Cvičení 7.4 a) Rostoucí na (−∞; −1〉 a 〈1; +∞), klesající na 〈−1; 0) a (0; 1〉; b) rostoucí na (−∞; 0〉,klesající na 〈0; +∞); rostoucí na (−∞; 1〉, klesající na 〈1; +∞).Cvičení 7.5 a) konvexní na (−∞; 2〉, konkávní na 〈2; +∞);(−∞; −2); c) konvexní na R.b) konvexní na (−2; +∞), konkávní naCvičení 7.6 a) 107 ; b) 1 9 ; c) 6 7 ; d) a ; e) −a2b 2 ; f) 1ln a − 1; g) 1 − ln a; h) −1 2 ; i) − 2 11 ; j) −4; k) 1; l) 1 a ;m) 9 49; n) 45; o)14β) e; γ) 1; δ) 1.198 ; p) −1 6a(a + 1); q) ; r) 1; s) 2; t) − 1 23 ; u) 1; v) 0; w) 0; x) 0; y) 0; z) 1 2 ; α) a − b2 ;152

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty8 Extrémy, Inflexní body, AsymptotyObsah lekce8.1. Lokální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.2. Inflexní body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.3. Asymptoty se směrnicí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.4. Asymptoty bez směrnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Klíčová slovaLokální extrém, inflexní bod, asymptota se směrnicí, asymptota bez směrnice.153

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.1 Lokální extrémy8.1 Lokální extrémyDefinice 8.1 Nechť funkce f je definována na nějakém intervalu obsahujícím bod c. Existuje-li čísloδ > 0 takové, že pro všechna x ∈ (c − δ; c + δ) platíf(c) ≥ f(x), má funkce f v bodě c lokální maximum;f(c) > f(x), má funkce f v bodě c ostré lokální maximum;f(c) ≤ f(x), má funkce f v bodě c lokální minimum;f(c) < f(x), má funkce f v bodě c ostré lokální minimum.Lokálnímu maximu a minimu se souhrnně říká lokální extrém. Ostrému lokálnímu maximu a minimu sesouhrnně říká ostrý lokální extrém.Věta 8.1 Jestliže má funkce f v bodě c lokální extrém a existuje-li f ′ (c), pak je f ′ (c) = 0.Důkaz Zde provedu důkaz sporem pro lokální maximum. Pro lokální minimum je důkaz podobný.Protože je v bodě c lokální maximum, existuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ U δ (x) je f(x) ≤≤ f(c). Předpokládejme, že f ′ f(x) − f(c)(c) > 0, neboli, že lim> 0. Podle věty 4.7 existuje číslo γ > 0x→c x − cf(x) − f(c)takové, že pro všechna x ∈ P γ (c) platí > 0. Pro x ∈ (c; c + γ) je x − c > 0. Aby mohlo býtx − cf(x) − f(c)> 0, musí být f(x) > f(c). Označme β = min{γ; δ}. Na intervalu (c; c + β) by tedy mělox − cplatit f(x) ≤ f(c) a zároveň f(x) > f(c), což je spor. Podobně se dojde ke sporu při f ′ (c) < 0. □154

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.1 Lokální extrémyZ této věty plyne, že funkce může mít lokální extrémy pouze v bodech, v nichž je její derivace rovna nule,nebo v nichž neexistuje.Příklad 8.1 Jestliže je f ′ (c) = 0, nemusí mít ještě funkce f v bodě c extrém. Funkce f(x) = x 3 máv bodě 0 derivaci f ′ (0) = 0, ale extrém v bodě 0 nemá. //Při zjišťování, zda je v bodě c, pro který platí f ′ (c) = 0, extrém, je třeba určit chování funkce na okolíbodu c. Jestliže jak na levém, tak na pravém okolí bodu c platí f ′ (x) > 0, nemá funkce f v bodě c extrém.Je-li však f ′ (x) > 0 na levém a f ′ (x) < 0 na pravém okolí bodu c, má funkce f v bodě c lokální maximum.Úkol Podrobně rozeberte ostatní kombinace znamének hodnoty f ′ (c).Jestliže má funkce f v bodě c druhou derivaci, lze při určování extrému použít následující větu.Věta 8.2 Nechť f ′ (c) = 0 a f ′′ (c) existuje. Potom, jestliže platíf ′′ (c) > 0, má funkce f v bodě c ostré lokální minimum;f ′′ (c) < 0, má funkce f v bodě c ostré lokální maximum.Příklad 8.2 Je-li f ′ (c) = f ′′ (c) = 0, nelze podle této věty o existenci extrému v bodě c rozhodnout.Funkce x 3 a x 4 mají v bodě 0 první i druhou derivaci rovnu nule. Funkce x 3 nemá v bodě 0 lokální extrém;funkce x 4 má v bodě 0 lokální minimum. //Důkaz Větu 8.2 dokážu pro případ f ′′ (c) > 0. Obdobně jako při důkazu věty 8.1 lze ukázat, že f ′ (x) < 0(f je klesající) na levém a f ′ (x) > 0 (f je rostoucí) na pravém okolí bodu c. Z toho plyne, že funkce f máv bodě c ostré lokální minimum. Podobně se dokáže druhá část věty.□155

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.1 Lokální extrémyTuto větu je vhodné použít v případě, že určení druhé derivace v bodě c je jednodušší než určení znaménkaprvní derivace na okolí bodu c.Příklad 8.3 Najděme lokální extrémy funkce f(x) = x 3 − 3x 2 .Protože je derivace f ′ definována pro všechna x ∈ R, mohou extrémy nastat pouze v bodech x, v nichžje f ′ (x) = 0. Proto nejdříve vyřešme rovnici f ′ (x) = 3x 2 − 6x = 0. Ta má řešení x = 0 a x = 2. Ke zjištění,zda je v těchto bodech skutečně extrém, je třeba určit hodnotu druhé derivace v těchto bodech. Platíf ′′ (x) = 6x − 6. V bodě x = 0 je f ′′ (0) = −6 < 0, a proto v bodě x = 0 má funkce f lokální maximum.Toto maximum má hodnotu f(0) = 0. V bodě x = 2 je f ′′ (2) = 6 > 0, a proto v bodě x = 2 má funkce flokální minimum. Toto minimum má hodnotu f(2) = −4. //156

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.2 Inflexní body8.2 Inflexní bodyDefinice 8.2 Nechť na nějakém okolí U(c) bodu c existuje f ′ . Potom se bod c nazývá inflexní bodfunkce f, jestliže výraz (f(x) − (f(c) + f ′ (c)(x − c)) )( x − c )nemění na P(c) znaménko.Někdy se také říká, že funkce f bodě c inflexi.Tato definice není příliš názorná. Názornější (ale bohužel méně přesná) je tato definice inflexního bodu:Bod c je inflexní bod funkce f, jestliže na levém okolí bodu c je funkce f ryze konvexní a na pravém okolíryze konkávní, nebo naopak.Graf funkce ryze konvexní (ryze konkávní) na intervalu J leží „nad („pod) tečnou ke grafu funkcev bodě x ∈ J. Proto c je inflexní bod, jestliže graf funkce přechází v bodě c z polohy „nad tečnou dopolohy „pod tečnou, nebo naopak. Situaci ilustrují obrázky 66 a 67.yycxcxObrázek 66 Inflexní bodObrázek 67 Inflexní bod157

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.2 Inflexní bodyInflexní bod funkce f se chová stejně jako lokální extrém funkce f ′ . Proto si zopakujte, jak se určuje,zda má funkce f v bodě c extrém. Následující věty budu uvádět bez důkazu.Věta 8.3 Jestliže je c inflexní bod funkce f a jestliže existuje f ′′ (c), pak platí f ′′ (c) = 0.Bod c je inflexní bod funkce f, je-li f ′′ (x) < 0 pro x ∈ (c − δ; c) a f ′′ (x) > 0 pro x ∈ (c; c + δ), nebof ′′ (x) > 0 pro x ∈ (c − δ; c) a f ′′ (x) < 0 pro x ∈ (c; c + δ).Věta 8.4 Nechť f ′′ (c) = 0 a f ′′′ (c) existuje. Potom, jestliže f ′′′ (c) ≠ 0, je c inflexní bod funkce f.Příklad 8.4 Je-li f ′′ (c) = f ′′′ (c) = 0, nelze podle této věty rozhodnout, zda je c inflexní bod. Funkce x 4a x 5 mají v bodě 0 druhou i třetí derivaci rovnu nule. Pro funkci x 5 je bod 0 inflexní bod, ale pro funkci x 4ne. //Tuto větu je vhodné použít v případě, že určení třetí derivace je jednodušší než určení znaménka druhéderivace na okolí bodu c.158

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.2 Inflexní bodyPříklad 8.5 Určeme inflexní body funkce f(x) =x1 + x . 2Inflexní body mohou být pouze ty body x, v nichž je f ′′ (x) = 0. Proto nejdříve vyřešme rovnicif ′′ (x) = 2x3 − 6x(1 + x 2 ) 3 = 0 .Ta má řešení x = − √ 3, x = 0 a x = √ 3. Ke zjištění, zda tyto body jsou skutečně inflexní, je třeba určithodnotu třetí derivace v těchto bodech. Platíf ′′′ (x) = −6x4 + 36x 2 − 6(1 + x 2 ) 4 .V bodě x = − √ 3 je f ′′′ (− √ 3) = 3 16 ≠ 0, a proto bod x = −√ 3 inflexní. Obdobně je f ′′′ (0) = −6 ≠ 0 af ′′′ ( √ 3) = 3 16 ≠ 0, a proto i body x = 0 a x = √ 3 jsou inflexní. //159

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.3 Asymptoty se směrnicí8.3 Asymptoty se směrnicíDefinice 8.3 Přímka o rovnici y = px + q se nazývá asymptotou se směrnicí grafu funkce f prox → +∞, jestliže platí( )lim f(x) − (px + q) = 0 .x→+∞Přímka o rovnici y = px + q se nazývá asymptotou se směrnicí grafu funkce f pro x → −∞, jestliže platí( )f(x) − (px + q) = 0 .limx→−∞Asymptota se směrnicí je přímka, ke které se přibližuje graf funkce f(x) pro x → ±∞.Příklad 8.6 Graf funkce f(x) = x +x má pro x → +∞1 + |x|asymptotu y = x + 1 a pro x → −∞ asymptotu y = x − 1.To se dokáže snadno. Pro x → +∞ platí(( )lim f(x) − (x + 1) = lim x +x )x→+∞x→+∞ 1 + |x| − x − 1 =( ) x= lim− 1 =x→+∞ 1 + |x|x= limx→+∞ 1 + x − 1 = 1 − 1 = 0 .yObrázek 68 K příkladuxPodobně se dokáže rovnice asymptoty pro x → −∞. Situaci ilustruje obrázek 68. //160

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.3 Asymptoty se směrnicíVěta 8.5 Jestliže má graf funkce f(x) pro x → +∞ asymptotu y = px + q, pak platíp =f(x)limx→+∞ x( )a q = lim f(x) − px .x→+∞Obráceně, jsou-li čísla p =f(x)limx→+∞asymptotou grafu funkce f pro x → +∞.Obdobná věta platí pro x → −∞.xa q = limx→+∞(f(x) − px)konečná, pak je přímka o rovnici y = px + qÚkol Určete znovu asymptoty grafu funkce f(x) = x +x , tentokrát pomocí věty 8.5. Myslíte si,1 + |x|že může mít graf nějaké funkce pro x → +∞ dvě různé asymptoty?Cvičení 8.1 Dokažte, že graf funkce f(x) má pro x → +∞ asymptotu o rovnici y = q právě tehdy,když platí limx→+∞ f(x) = q. 161

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.4 Asymptoty bez směrnice8.4 Asymptoty bez směrniceDefinice 8.4 Přímka o rovnici x = a se nazývá asymptotou bez směrnice grafu funkce f, jestliže platílim f(x) = +∞, lim f(x) = −∞, lim f(x) = +∞ nebo lim f(x) = −∞.x→a+ x→a+ x→a− x→a−Asymptota bez směrnice je přímka, ke které se graf funkce přibližuje. Pro x → a− se k ní přibližuje zleva,pro x → a+ zprava. Pro lim f(x) = +∞ se přibližuje „nahoře, pro lim f(x) = −∞ se přibližuje „dole.Příklad 8.7 Funkce f(x) = 1x − 1přibližuje se k ní graf zprava „nahoře. Protože je limx→1−Situaci ilustruje obrázek 69.má asymptotu bez směrnice x = 1. Protože je limx→1+y1x − 11x − 1 = +∞,= −∞, přibližuje se k ní graf zleva „dole.−1xObrázek 69 K příkladu //162

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.4 Asymptoty bez směrniceJestliže je funkce f v bodě a spojitá, je na jeho okolí omezená, a tedy nemůže být lim f(x) = ±∞. Přix→a±hledání asymptot bez směrnice proto nejdříve určíme všechny body nespojitosti a. Je-li v nějakém bodělimx→a±f(x) = ±∞, pak graf funkce f má asymptotu bez směrnice x = a.Příklad 8.8 Určeme asymptoty bez směrnice grafu funkce f(x) = x3 − x 2 + x − 1.x 2 − xBody nespojitosti funkce f jsou 0 a 1. Pro nalezení asymptot bez směrnice je třeba určit jednostrannélimity v bodech 0 a 1.yx 3 − x 2 + x − 1lim= −∞x→0− x 2 − xx 3 − x 2 2+ x − 1lim= +∞x→0+ x 2 − xx 3 − x 2 + x − 1 x 2 1x+ 1lim= lim = 2x→1− x 2 − xx→1− xx 3 − x 2 + x − 1 x 2 + 1lim= lim = 2x→1+ x 2 − xx→1+ xObrázek 70 K příkladuZ toho plyne, že asymptota bez směrnice je pouze x = 0. Zleva sek ní graf přibližuje „dole a zprava „nahoře. Graf funkce je na obrázku 70. //163

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty 8.4 Asymptoty bez směrniceShrnutí Funkce má v bodě c lokální maximum, jestliže na nějakém okolí bodu c platí f(c) ≥ f(x).Obdobně se definuje ostré lokální maximum, lokální minimum a ostré lokální minimum. Jestliže platíf ′ (c) = 0 a f ′′ (c) < 0, má funkce v bodě c lokální maximum, při f ′′ (c) > 0 lokální minimum. Bod c senazývá inflexní bod, jestliže je funkce na jeho levém okolí ryze konvexní a na pravém ryze konkávní, nebonaopak. Inflexní bod se chová stejně jako extrém první derivace. Jestliže platí f ′′ (c) = 0 a f ′′′ (c) ≠ 0, pakje bod c inflexní. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce přibližuje. Pro x → +∞ nebo x → −∞f(x)( )má graf asymptotu se směrnicí o rovnici y = px + q, jsou-li čísla p = lim a q = lim f(x) − pxx→±∞ xx→±∞konečná. Pro x → c má graf asymptotu bez směrnice o rovnici x = c, jestliže alespoň jedna jednostrannálimita funkce f v bodě c je nekonečná.Tato kapitola dle mého názoru patřila k nejsnadnějším, protože jste v ní hodně využili věci, kteréjiž znáte. Nalezení extrémů, inflexních bodů a asymptot je důležité k sestrojení grafu funkce, jemuž sebudeme věnovat v příští kapitole. Proto, jestli Vám nebude něco jasné, projděte si to ještě jednou. Nalezeníextrémů funkce se používá nejen v matematice, ale i v jiných přírodních vědách, například ve fyzice nebochemii.164

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty CvičeníCvičeníCvičení 8.2 Určete lokální extrémy následujících funkcí.a) (2x + 3)(x 2 + x + 1); b) ln 2 x; c) xe −x2 .Cvičení 8.3 Najděte inflexní body následujících funkcí.a) − 2x1 + x ; b) x 22 x + 1 ;ln xc)x .Cvičení 8.4 Určete asymptoty ke grafům následujících funkcí.a) x2 + 13; b) 3x +x + 3 x − 2 ; c) x 2x − 2 .165

8 Extrémy, Inflexní body, Asymptoty ŘešeníŘešeníCvičení 8.1 Pokud y = q je asymptota, platí lim ( f(x) − q ) = 0, tedy lim f(x) = q. Pokud je lim f(x) = q,platí lim ( f(x) − q ) = 0 a y = q je asymptota.Cvičení 8.2 a) Extrémy nejsou; b) v bodě 1 minimum 0; c) v boděminimum − 1 √2e.√22 maximum √ 1√2, v bodě −2e 2Cvičení 8.3 a)[− √ 3;√32], [0; 0],[ √ ] √3; 3 − ; b) funkce nemá inflexní body; c)[e 3/2 ; 3 ]22 e−3/2 .Cvičení 8.4 a) bez směrnice x = −3, se směrnicí y = x − 3 pro x → +∞ i x → −∞; b) bez směrnicex = 2, se směrnicí y = 3x pro x → +∞ i x → −∞; c) bez směrnice x = 2, se směrnicí y = x + 2 prox → +∞ i x → −∞.166

9 Průběh funkce, Taylorova věta9 Průběh funkce, Taylorova větaObsah lekce9.1. Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.2. Taylorova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Klíčová slovaPrůběh funkce, Taylorova věta.167

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.1 Průběh funkce9.1 Průběh funkceK určení průběhu funkce je třeba• zjistit, zda je funkce sudá, lichá nebo periodická;• určit definiční obor a obor hodnot;• najít průsečíky s osami x a y a určit intervaly, na nichž je funkce kladná, nebo záporná;• vypočítat limity v nevlastních bodech a jednostranné limity v bodech nespojitosti;• určit první derivaci, její nulové body, body, v nichž není definována, a určit intervaly, na nichž jefunkce rostoucí, nebo klesající;• najít lokální extrémy funkce;• určit druhou derivaci, její nulové body, body, v nichž není definována, a určit intervaly, na nichž jefunkce ryze konvexní, nebo ryze konkávní;• najít inflexní body;• určit asymptoty funkce;• přibližně nakreslit graf funkce.168

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.1 Průběh funkcePříklad 9.1 Určeme průběh funkce f(x) = x 2 e −x .• Funkce není periodická.Funkce f není lichá, protože f(−x) = (−x) 2 e −(−x) ≠ −f(x).Není sudá, protože f(−x) ≠ f(x).• Operace prováděné při výpočtu f(x) jsou definovány pro všechna x ∈ R, a proto Dom f = R.Obor hodnot určím později.• Průsečík s osou y je bod o souřadnicích [0; f(0)] = [0; 0].Průsečíky s osou x jsou body [x; 0] takové, že platí f(x) = 0. Vyřešme proto rovnici x 2 e −x = 0. Výraze −x je pro všechna x ∈ R nenulový, a proto jím lze rovnici podělit. Dostaneme rovnici x 2 = 0, kteráplatí pouze pro x = 0. Jediný průsečík s osou x je tedy bod [0; 0].Jediný bod, v němž je funkce rovna nule nebo není spojitá, je bod 0. Nanesme proto bod 0 načíselnou osu. Viz obrázek 71. Protože je f(−1) = (−1) 2 e 1 = e > 0, je f kladná na intervalu (−∞; 0).Protože je f(1) = 1 2 e −1 = e −1 > 0, je f kladná i na intervalu (0; +∞). Symbolicky je to zakreslenona obrázku 72.0Obrázek 71 K příkladu• Limity v nevlastních bodech jsoux 2liml’H =x→+∞ e x2xliml’H =x→+∞ e xlimx→+∞ x2 e −x =limx→−∞ x2 e −x = (+∞)e +∞ = (+∞)(+∞) = +∞ .169+ +0Obrázek 72 K příkladulimx→+∞2e x = 2+∞ = 0 ,

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.1 Průběh funkceLimita funkce v bodě −∞ je +∞. Z toho plyne, že na okolí bodu −∞ nabývá funkce libovolně velkýchhodnot. Zároveň nabývá v bodě 0 hodnoty 0. Protože je spojitá, musí nabývat i všech hodnot mezi.Dále je to funkce nezáporná. Z toho všeho plyne, že Rng f = 〈0; +∞).• Derivace funkce je f ′ (x) = x(2 − x)e −x .Nulové body derivace jsou body x = 0 a x = 2. Derivace je definována pro všechna x ∈ R. Načíselnou osu proto nanesme body 0 a 2. Viz obrázek 73. Platíf ′ (−1) = (−1) · 3 · e 1 = −3e < 0 ,f ′ (1) = 1 · 1 · e −1 = e −1 > 0 ,f ′ (3) = 3 · (−1) · e −3 = −3e −3 < 0 .Z toho plyne, že f je klesající na intervalech (−∞; 0) a (2; +∞) a rostoucí na intervalu (0; 2).Symbolicky je to zakresleno na obrázku 74.0 2Obrázek 73 K příkladu→→→0 2Obrázek 74 K příkladu• Extrémy funkce mohou být pouze v bodech, v nichž je derivace rovna nule, nebo v nichž nenídefinována, tedy v bodech zakreslených na obrázku 74.Z téhož obrázku je vidět, že na levém okolí bodu 0 je f klesající a na pravém okolí rostoucí. Z tohoplyne, že funkce f má v bodě 0 lokální minimum. Toto minimum má hodnotu f(0) = 0. Na levémokolí bodu 2 je f rostoucí a na pravém okolí klesající. Z toho plyne, že f má v bodě 2 lokálnímaximum. Toto maximum má hodnotu f(2) = 2 2 e −2 = 4e −2 . = 0,541.170

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.1 Průběh funkce• Druhá derivace funkce je f ′′ (x) = (x 2 − 4x + 2)e −x .Nulové body druhé derivace jsou body x, pro něž platí rovnost x 2 −4x+2 = 0. Tato rovnost platí probody x 1;2 = 4 ± √ 16 − 8= 2 ± √ 2. Druhá derivace je definována pro všechna x ∈ R. Na číselnou2osu proto nanesme body α = 2 − √ 2 = . 0,586 a β = 2 + √ 2 = . 3,414. Viz obrázek 75. (Čísla jsemoznačil řeckými písmeny, aby obrázky byly přehlednější.) Platíf ′′ (0) = 2e 0 = 2 > 0 ,f ′′ (1) = −1e −1 = −e −1 < 0 ,f ′′ (4) = 2e −4 > 0Z toho plyne, že f je ryze konvexní na intervalech (−∞; 2 − √ 2) a (2 + √ 2; +∞) a ryze konkávnína intervalu (2 − √ 2; 2 + √ 2). Symbolicky je to zakresleno na obrázku 76.αβObrázek 75 K příkladu(((αβObrázek 76 K příkladu• Inflexní body mohou být pouze body, které jsou zakresleny na obrázku 76. Na levém okolí bodu2 − √ 2 je funkce f konvexní, na pravém okolí konkávní, a proto je 2 − √ 2 inflexní bod. Platíf(2 − √ 2) = (6 − 4 √ 2)e −2+√ 2 . = 0,191. Na levém okolí bodu 2 +√2 je funkce f konkávní, napravém okolí konvexní, a proto je 2 + √ 2 inflexní bod. Platí f(2 + √ 2) = (6 + 4 √ 2)e −2−√ 2 . = 0,384.• Určeme asymptotu pro x → +∞. Platíp =q =limx→+∞limx→+∞f(x)x = limx→+∞ xe−x = limx→+∞( )f(x) − px = lim f(x) = 0 .x→+∞171xe x l’H =limx→+∞1e = 1x +∞ = 0 ,

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.1 Průběh funkcePro x → +∞ je tedy asymptotou grafu funkce přímka o rovnici y = 0.Nyní určeme asymptotu pro x → −∞. Platíp =f(x)limx→−∞ x = limx→−∞ xe−x = (−∞)e +∞ = (−∞)(+∞) = −∞ .Číslo p není konečné, a proto asymptota pro x → −∞ neexistuje.Protože je funkce f spojitá, nemá asymptoty bez směrnice.• Graf funkce f prochází body [0; 0], [ 2 − √ 2; (6 − 4 √ 2)e −2+√ 2 ] , [2; 4e −2 ], [ 2 + √ 2; (6 + 4 √ 2)e −2−√ 2 ] .Funkce f je kladná na intervalech (−∞; 0) a (0; +∞); rostoucí na intervalu (0; 2) a klesající na(−∞; 0) a (2; +∞); ryze konvexní na intervalech (−∞; 2 − √ 2) a (2 + √ 2; +∞) a ryze konkávní naintervalu (2 − √ 2; 2 + √ 2). V bodech 0 a 2 má funkce f lokální extrémy, a proto tečna k jejímu grafusestrojená v bodech [0; 0] a [2; 4e −2 ] je rovnoběžná s osou x. Funkce má pro x → +∞ asymptotuy = 0. Tyto vlastnosti jsou shrnuty na obrázku 77.y4e −2f(β)yf(α)1+ +→(α 2 β→(→(Obrázek 77 K příkladux−1 1 2 3 4 5 6Obrázek 78 Graf funkce x 2 e −xNyní již stačí proložit body křivkou, která splňuje uvedené vlastnosti. Tato křivka je grafem funkce fa je uvedena na obrázku 78. //x172

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.1 Průběh funkceCvičení 9.1 Určete průběhy následujících funkcí.a) x 4 − 6x 2 x+ 5 , b)x 2 + 1 , c) ln(1 − x2 ) .173

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova věta9.2 Taylorova větaVěta 9.1 (Taylorova) Nechť je funkce f definována na nějakém okolí U(a) bodu a a nechť na tomtookolí existují derivace až do řádu n + 1. Potom pro každé x ∈ U(a) existuje číslo ξ ležící mezi čísly aa x takové, že platíf(x) = f(a) + f ′ (a)1!n∑ f (k) (a)=k!k=0(x − a) + f ′′ (a)2!(x − a) k + f (n+1) (ξ)(x − a)n+1(n + 1)!(x − a) 2 + · · · + f (n) (a)(x − a) n + f (n+1) (ξ)n!(n + 1)! (x − a)n+1 =Symbol n! se čte „n faktoriál a znamená součin všech celých kladných čísel menších nebo rovných číslu n;n! = 1 · 2 · . . . · n. Definuje se 0! = 1; platí 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, . . . .Definice 9.1 Výrazf(a) + f ′ (a)1!(x − a) + f ′′ (a)2!(x − a) 2 + · · · + f (n) (a)(x − a) n =n!n∑k=0f (k) (a)(x − a) kk!se nazývá Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a. Jestliže je a = 0, pak se tento polynomněkdy nazývá Maclaurinův.Taylorovým polynomem lze přibližně určit hodnotu f(x). Tato hodnota je tím přesnější, čím větší je číslo na čím menší je vzdálenost x a a.174

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větaPříklad 9.2 Určeme Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) = e x v bodě a = 0.Platí f ′ (x) = f(x). Indukcí lze snadno dokázat, že f (k) (x) = f(x) pro všechna k. Z toho plyne, žef (k) (0) = f(0) = e 0 = 1. Taylorův polynom je tedyn∑k=0f (k) (a)(x − a) k =k!n∑k=01k! xk =n∑k=0x kk! = 1 + x + x22 + · · · + xnn! .Na obrázku 79 jsou zakresleny graf funkce e x (černě) a grafy Taylorových polynomů nultého, prvního,druhého, třetího, čtvrtého a pátého stupně.y4321−2 −1 1 2−1xObrázek 79 K příkladu //Z tohoto grafu je opravdu vidět, že s rostoucí vzdáleností čísel x a a je přibližná hodnota, určená Taylorovýmpolynomem, méně přesná. Také je vidět, že s rostoucím stupněm se hodnota zpřesňuje. Už graf Taylorovapolynomu pátého stupně na dosti velkém okolí bodu 0 téměř splývá s grafem funkce e x .Cvičení 9.2 Určete Taylorovy polynomy n-tého řádu funkcí sin x a cos x v bodě 0.175

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větajePříklad 9.3 Věta 5.1 (o jednoznačnosti goniometrických funkcí) říká mimo jiné, že existuje jedinéčíslo π. Jeho hodnotu lze určit pomocí Taylorova polynomu. Taylorův polynom funkce arctg x v bodě 0n∑k=0(−1) k x2k+12k + 1 = x − x33 + x55 − x77+ · · · + (−1)nx2n+12n + 1 .Určitě víte, že tg π = 1, neboli π = 4 arctg 1. Dosazením x = 1 do Taylorova polynomu dostaneme4přibližnou hodnotuπ = . (4 1 − 1 3 + 1 5 − 1 )7 + · · · + 1(−1)n .2n + 1Tato hodnota je tím přesnější, čím vyšší je hodnota n. //Cvičení 9.3 S využitím příkladu 9.2 najděte přibližnou hodnotu čísla e.Definice 9.2 Funkce f se nazývá omezená po srovnání s funkcí g pro x → x 0 , jestliže existují konstantaK > 0 a okolí P(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x ∈ P(x 0 ) platí |f(x)| ≤ K|g(x)|. Připouští se takéx 0 = +∞ nebo x 0 = −∞. Tato skutečnost se zapisuje f(x) = O (g(x)) pro x → x 0 .Stručněji lze definici 9.2 zapsat takto:f(x) = O (g(x)) ⇐⇒ ∃K > 0 ∃P(x 0 ) ∀x ∈ P(x 0 ): |f(x)| ≤ K|g(x)| .Symbol O se často užívá při porovnávání složitostí algoritmů.Definice 9.3 Funkce f se nazývá nekonečně malá po srovnání s funkcí g pro x → x 0 , jestliže prokaždé číslo ε > 0 existuje okolí P(x 0 ) bodu x 0 takové, že pro všechna x ∈ P(x 0 ) platí |f(x)| ≤ ε|g(x)|.Připouští se také x 0 = +∞ nebo x 0 = −∞. Tato skutečnost se zapisuje f(x) = o (g(x)) pro x → x 0 .176

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větaStručněji lze definici 9.3 zapsat takto:Ihned z definice plyne, že platíf(x) = o (g(x)) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃P(x 0 ) ∀x ∈ P(x 0 ): |f(x)| ≤ ε|g(x)| .f(x)f(x) = o (g(x)) pro x → x 0 ⇐⇒ limx→x0 g(x) = 0 .Nyní uvedu několik jednoduchých vět, s jejichž pomocí poté budeme moci snadněji určit některé limity.Věta 9.2 Jestliže je a < b, pak pro x → 0 platí x b = o (x a ).Důkazx blimx→0 x = lim a x→0 xb−a = 0 b−a = 0Podobně se dokáže, že pro x → x 0 platí (x − x 0 ) b = o ((x − x 0 ) a ).□Cvičení 9.4 Dokažte, že pro a < b a x → +∞ naopak platí x a = o ( x b) .Věta 9.3 Jestliže platí f(x) = o (h(x)) a g(x) = o (h(x)), pak platí f(x) + g(x) = o (h(x)).Důkazlimf(x) + g(x)h(x)= lim f(x) g(x)+ limh(x) h(x) = 0 + 0 = 0□177

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větaS pomocí vět 9.2 a 9.3 lze Taylorovu větu psát v následujícím tvaru:Nechť je funkce f definována na nějakém okolí U(a) bodu a a nechť na tomto okolí existují derivace až dořádu n + 1. Dále nechť nechť je f (n+1) (x) omezená na U(a). Potom pro x ∈ U(a) platíf(x) = f(a) + f ′ (a)1!n∑=k=0(x − a) + f ′′ (a)2!f (k) (a)(x − a) k + o ((x − a) n ) .k!(x − a) 2 + · · · + f (n) (a)(x − a) n + o ((x − a) n ) =n!Věta 9.4 Jestliže platí f(x) = o (g(x)) pro x → x 0 , pak platí limx→x0(f(x) + g(x))= limx→x0g(x).Tato věta říká, že při x → x 0 lze funkci f(x) zanedbat ve srovnání s funkcí g(x). Symbolicky lze tuto větuzapsat ve tvarulim ( g(x) + o (g(x)) ) = lim g(x) .Důkaz(( )lim f(x) + g(x) = lim g(x) f(x) )( ( ) )f(x)x→x 0 x→x0 g(x) + g(x) = lim g(x) · lim + 1x→x0 x→x 0 g(x)= limx→x0g(x) · 1 = limx→x0g(x)□178

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větao (g(x))Pozor! Nelze říct nic o limitě lim . Symbol o (g(x)) v čitateli znamená nějakou funkci f(x), prox→x0 o (g(x))f(x)kterou platí lim = 0. (Nic dalšího o funkci f nevíme.) Podobně symbol o (g(x)) ve jmenovatelix→x0 g(x)h(x)znamená nějakou funkci h(x), pro kterou platí lim = 0. Pro hledanou limitu tedy platíx→x0 g(x)o (g(x))limx→x 0 o (g(x)) = lim f(x)x→x 0 h(x) = limf(x)g(x)x→x 0h(x)g(x)= 0 0 .Protože o funkcích f a h nic dalšího nevíme, nelze ani jinými způsoby určit hodnotu hledané limity.Taylorovy rozvoje elementárních funkcí Vzorce, které zde uvedu, není problém si odvodit. Doporučuji Vám na procvičení si odvodit některé z nich.e x = 1 + x + x22! + x33! + x44! + · · · + xnn! + o (xn ) pro x → 0sin x = x − x33! + x55! − · · · + (−1)n x 2n+1(2n + 1)! + o ( x 2n+2) pro x → 0cos x = 1 − x22! + x4x2n− · · · + (−1)n4! (2n)! + o ( x 2n+1) pro x → 0arctg x = x − x33 + x5x2n+1− · · · + (−1)n5 2n + 1 + o ( x 2n+2) pro x → 0ln(1 + x) = x − x22 + x3xn− · · · + (−1)n+13 n + o (xn ) pro x → 0179

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větaTaylorovy rozvoje dalších funkcí jsou uvedeny například v knize [1] na stranách 702–705.Nyní již ukážu slibovanou metodu výpočtu některých limit. Tato metoda ovšem vyžaduje znalost Taylorových polynomů alespoň uvedených základních funkcí.Hlavní trik spočívá v převedení funkcí na Taylorovy polynomy dostatečně vysokého stupně. Výraz „dostatečně vysoký stupeň působí asi odstrašujícím dojmem, ale většinou stačí stupeň druhý nebo třetí.1 − cos xPříklad 9.4 Určeme limitu limx→0 sin 2 x .Zde stačí zvolit Taylorovy polynomy druhého stupně. Platícos x = 1 − x22 + o ( x 2) , a tedy 1 − cos x = x22 + o ( x 2) .Dále platí sin x = x + o (x 2 ). Dosazením do limity dostaneme1 − cos xlimx→0 sin 2 x= limx→0x 22 + o (x2 )(x + o (x2 ) ) 2 = limx→0x 22(x) = lim 12 x→0 2 = 1 2 .Pokud bychom zvolili Taylorovy polynomy prvního stupně, k výsledku bychom nedospěli.1 − cos xlimx→0 sin 2 x= lim 1 − (1 + o (x)) o (x)( )x→02= limx + o (x)x→0 x 2= limx→0o (x)o (x)//Pozor! Pokud počítáme limitu v bodě a, je třeba použít Taylorův polynom v bodě a. Kdybychom například1 − cos xpočítali limitu limx→π sin 2 , museli bychom nejdříve určit Taylorovy polynomy v bodě π. V tomto případěxje však možno určit uvedenou limitu jiným způsobem. Proveďte.180

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větaPříklad 9.5 Určeme limitu limx→0(1 + ax) 1/x .Nejdříve limitu upravíme na tvar lim e ϕ(x) a poté použijeme Taylorovu větu na exponent.1 ln(1 + ax)lim (1 + ax) x = lim e xx→0 x→0ln(1 + ax)limx→0= e xax + o (x)limx→0= e xaxlimx→0= e x = ea//181

9 Průběh funkce, Taylorova věta 9.2 Taylorova větaf (k) (a)Shrnutí Taylorův polynom n-tého řádu funkce f v bodě a je (x − a) k . Taylorův polynomk=0 k!v bodě 0 se nazývá Maclaurinův polynom. Pomocí Taylorova polynomu lze přibližně určit hodnotu f(x),je-li x blízko a. Funkce f je omezená po srovnání s funkcí g pro x → a (píšeme f(x) = O (g(x))), jestliže∃K > 0 ∃P(a) ∀x ∈ P(a): |f(x)| ≤ K|g(x)|. Funkce f je nekonečně malá po srovnání s funkcí f (píšemef(x) = o (g(x))), jestliže ∀ε > 0 ∃P(a) ∀x ∈ P(a): |f(x)| ≤ ε|g(x)|. Pomocí vztahu lim ( g(x) + o (g(x)) ) == lim g(x) lze snadněji určit limity.n ∑První část této kapitoly byla shrnutím celé předcházející látky, a proto doufám, že jste s ní neměliproblémy. Z druhé části je dobré znát alespoň základní Taylorovy rozvoje. Taktéž je dobré si pamatovat,které funkce lze zanedbat ve srovnání s ostatními, neboli které funkce jsou o (g(x)). Zájemcům o srovnávánísložitějších funkcí s jednoduššími doporučuji přečíst si strany 245–251 a 382–420 knihy [6].182

9 Průběh funkce, Taylorova věta CvičeníCvičeníCvičení 9.5 Najděte Maclaurinovy polynomy třetího řádu následujících funkcí.1a)1 + x ; b) ax ; c) tg x.183

9 Průběh funkce, Taylorova věta ŘešeníŘešeníCvičení 9.1 a) Funkce je sudá, neperiodická, její definiční obor je R, obor hodnot 〈−4; +∞), průsečíkys osami jsou [0; 5], [− √ 5; 0], [−1; 0], [1; 0] a [ √ 5; 0]. Funkce je kladná na (−∞; − √ 5), (−1; 1) a ( √ 5; +∞),záporná na (− √ 5; −1) a (1; √ 5), rostoucí na 〈− √ 3; 0〉 a 〈 √ 3; +∞), klesající na (−∞; − √ 3〉 a 〈0; √ 3〉,konvexní na (−∞; −1〉 a 〈1; +∞) konkávní na 〈−1; 1〉, lokální maximum v bodě 0 má hodnotu 5, lokálníminima v bodech ± √ 3 mají hodnotu 4, inflexní body jsou [−1; 0] a [1; 0], asymptoty nejsou, graf je naobrázku 80.y642−2 −1 1 2−2−4Obrázek 80 Cvičení 9.1 a)xy0,40,2−4 −2 2 4−0,2−0,4Obrázek 81 Cvičení 9.1 b)〈b) Funkce je lichá, neperiodická, její definiční obor je R, obor hodnot − 1 2 ; 1 〉průsečík s osami je2[0; 0]. Funkce je kladná na (0; +∞), záporná na (−∞; 0), rostoucí na 〈−1; 1〉, klesající na (−∞; −1〉 a〈1; +∞, konvexní na 〈− √ 3; 0〉 a 〈 √ 3; +∞), konkávní na (−∞; − √ 3〉 a 〈0; √ 3〉, lokální maximum v bodě 1x184

9 Průběh funkce, Taylorova věta Řešenímá hodnotu 1 [−2 , lokální minimum v bodě −1 má hodnotu −1 2 , inflexní body jsou √ √ ] 33; − , [0; 0] a4[ √ ] √3; 3, asymptota pro x → +∞ i x → −∞ je y = 0, graf je na obrázku 81.4c) Funkce je sudá, má definiční obor (−1; 1), a proto je neperiodická, obor hodnot je (−∞; 0〉, průsečíks osami je [0; 0]. Funkce je záporná na (−1; 0) a (0; +1), rostoucí na (−1; 0〉, klesající na 〈0; 1), konkávní na(−1; 1), lokální maximum v bodě 0 má hodnotu 0, inflexní body nejsou, asymptoty jsou x = −1 a x = 1,graf je na obrázku 82.y−1 −0,5 0,5 1x−1−2−3Obrázek 82 Cvičení 9.1 c)Cvičení 9.2 Taylorův polynom pro funkci sinpro liché n je x − x33! + x55! − x7n−1 x n+ · · · + (−1) 27! n! ,pro sudé n je x − x33! + x55! − x77! + · · · + (−1) n 2 −1 x n−1(n − 1)! .185

9 Průběh funkce, Taylorova věta ŘešeníTaylorův polynom pro funkci cospro liché n je 1 − x22! + x44! − x6n−1 x n−1+ · · · + (−1) 26! (n − 1)! ,pro sudé n je 1 − x22! + x44! − x66! + · · · + (−1) n 2 xnn! .Cvičení 9.2 e . = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! .Cvičení 9.4x alimx→+∞ x = limb x→+∞ xa−b = 0.Cvičení 9.5 a) 1 − x + x 2 − x 3 ; b) 1 + x ln a + x2 ln 2 a2+ x3 ln 3 a; c) x + x363 .186

10 Úvod do posloupností10 Úvod do posloupnostíObsah lekce10.1. Pojem posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.2. Vlastnosti posloupností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.3. Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.4. Hromadný bod, hromadná hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Klíčová slovaPosloupnost, posloupnost vybraná, konvergentní, divergentní, hromadný bod, hromadná hodnota.187

10 Úvod do posloupností 10.1 Pojem posloupnosti10.1 Pojem posloupnostiÚmluva Symbolem N označím množinu N = {1; 2; 3; . . . }. Pokud nebude uvedeno jinak, bude vždyn ∈ N.Definice 10.1 Posloupnost {a n } ∞ n=1 je zobrazení z množiny N do množiny R. Číslo a n se nazývá n-týčlen posloupnosti {a n } ∞ n=1.Posloupnost je tedy předpis přiřazující každému číslu n nějaké číslo a n .Příklad 10.1 Příkladem posloupnosti je posloupnost druhých mocnin {n 2 } ∞ n=1 = {1; 4; 9; 16; . . . }. Zde jen-tý člen přímo určen vzorcem a n = n 2 ; v tomto případě říkáme, že posloupnost je určena vzorcem pron-tý člen. //Příklad 10.2 Dalším příkladem posloupnosti je tzv. Fibonacciho posloupnost. Tato posloupnost jeurčena rekurentně. To znamená, že je dán jeden nebo několik prvních členů a je dán vzorec, kterým sen-tý člen určí pomocí členů předchozích. U Fibonacciho posloupnosti {a n } ∞ n=1 jsou dány první dva členya 1 = a 2 = 1 a pro n > 2 je dán vzorec a n = a n−2 + a n−1 . Třetí člen je tedy roven součtu prvního a druhéhočlenu, neboli a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2. Dále platí a 4 = a 2 + a 3 = 3, atd. //Posloupnosti jsou definovány na množině N, a proto se často používá takzvaný důkaz matematickouindukcí. Důkaz matematickou indukcí probíhá ve dvou krocích:1) Dokážeme, že tvrzení platí pro první člen;2) Dokážeme, že z předpokladu, že tvrzení platí pro k-tý člen, plyne, že platí pro (k + 1)-ní člen.188

10 Úvod do posloupností 10.1 Pojem posloupnostiPříklad 10.3 Posloupnost {a n } ∞ n=1 je určena rekurentně takto: a 1 = 1, a n+1 =že vzorec pro n-tý člen je a n = 1 n 2 .Pro n = 1 vzorec platí, protože je 1 1 2 = 1 = a 1.( ) 2 na n . Dokažme,n + 1Předpokládejme, že vzorec platí pro n = k, tedy předpokládejme, že a k = 1 . Je třeba dokázat, že vzoreck2 1platí pro n = k + 1, neboli, že je a k+1 =(k + 1) . Platí 2a k+1 =( ) 2 ( ) 2 kk 1a k =k + 1 k + 1 k = k2 12 k 2 (k + 1) = 12 (k + 1) , 2což uzavírá důkaz matematickou indukcí. Uvedený vzorec tedy platí pro všechna n. //Cvičení Pokuste se dokázat, že pro Fibonacciho posloupnost {a n } ∞ n=1 = {1; 1; 2; 3; 5; . . . } platí( √ ) n ( √1 + 5 1 − 5−) na n =22√ .5Definice 10.2 Posloupnost {b k } ∞ k=1 se nazývá posloupnost vybraná z posloupnosti {a n} ∞ n=1, jestližeexistuje posloupnost {n k } ∞ k=1 splňující pro všechna k ∈ N tyto podmínky: 1) n k ∈ N; 2) n k < n k+1 ;3) b k = a nk .Symbol a nk znamená n k -tý člen posloupnosti {a n } ∞ n=1.189

10 Úvod do posloupností 10.1 Pojem posloupnostiPříklad 10.4 Posloupnost {b k } ∞ k=1 = {(2k + 1)2 } ∞ k=1 = {9; 25; 49; . . . } je posloupnost vybraná z posloupnosti {a n } ∞ n=1 = {n 2 } ∞ n=1 = {1; 4; 9; . . . }.To se dokáže snadno. Hledaná posloupnost {n k } ∞ k=1 je {n k} ∞ k=1 = {2k + 1}∞ k=1 . Nyní dokážu požadované třivlastnosti. 1) Protože je k ∈ N, je také 2k + 1 ∈ N; 2) 2k + 1 < 2(k + 1) + 1 = 2k + 3; 3) b k = (2k+1) 2 == a 2k+1 = a nk . //Cvičení 10.1 Mějme dány posloupnosti {a k } ∞ k=1 a {b k} ∞ k=1 . Najděte posloupnost {c n} ∞ n=1 tak, abyobě posloupnosti {a k } ∞ k=1 a {b k} ∞ k=1 byly posloupnosti vybrané z {c n} ∞ n=1. Kolik takových posloupností {c n } ∞ n=1 existuje?190

10 Úvod do posloupností 10.2 Vlastnosti posloupností10.2 Vlastnosti posloupnostíProtože posloupnost je zvláštní případ funkce (definiční obor je N ⊆ R), je většina vlastností podobnýchjako u funkcí. Proto tyto vlastnosti uvedu jen stručně.Definice 10.3 Posloupnosti {a n } ∞ n=1 a {b n } ∞ n=1 se rovnají, jestliže pro všechna n ∈ N platí a n = b n .Příklad 10.5 Posloupnosti {a n } ∞ n=1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . } a {b n } ∞ n=1 = {2; 1; 4; 3; 6; 5; . . . } se nerovnají.Obsahují sice stejné členy, ale například a 1 = 1 ≠ 2 = b 1 . //Definice 10.4 Jestliže pro všechna n ∈ N platía n < a n+1 , nazývá se posloupnost {a n } ∞ n=1 rostoucí;a n ≤ a n+1 , nazývá se posloupnost {a n } ∞ n=1 neklesající;a n > a n+1 , nazývá se posloupnost {a n } ∞ n=1 klesající;a n ≥ a n+1 , nazývá se posloupnost {a n } ∞ n=1 nerostoucí.Je-li posloupnost rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí, nazývá se monotonní.Cvičení 10.2 Dokažte, že posloupnost {a n } ∞ n=1 je rostoucí právě tehdy, když pro každá m, n ∈ Ntaková, že m < n, platí a m < a n . Obdobně pro zbývající tři vlastnosti.Definice 10.5 Jestliže pro všechna n ∈ N platía n > 0, nazývá se {a n } ∞ n=1 posloupnost s kladnými členy;a n ≥ 0, nazývá se {a n } ∞ n=1 posloupnost s nezápornými členy;a n < 0, nazývá se {a n } ∞ n=1 posloupnost se zápornými členy;a n ≤ 0, nazývá se {a n } ∞ n=1 posloupnost s nekladnými členy.191

10 Úvod do posloupností 10.2 Vlastnosti posloupnostíDefinice 10.6 Jestliže existuje konstantam ∈ R taková, že pro všechna n ∈ N platí m ≤ a n , nazývá se {a n } ∞ n=1 zdola omezená;M ∈ R taková, že pro všechna n ∈ N platí a n ≤ M, nazývá se {a n } ∞ n=1 shora omezená.Jestliže je {a n } ∞ n=1 omezená zdola i shora, nazývá se omezená.192

10 Úvod do posloupností 10.3 Limita posloupnosti10.3 Limita posloupnostiDefinice 10.7 Číslo A se nazývá limita posloupnosti {a n } ∞ n=1, jestliže pro každé ε > 0 existuje n 0 ∈ Ntakové, že pro všechna n > n 0 platí a n ∈ U ε (A), neboli stručnějiPřipouští se také A = +∞, nebo A = −∞.lim a n = A ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n > n 0 : a n ∈ U ε (A) .n→∞Limita posloupnosti se chová stejně jako limita funkce pro x → +∞. Je to tedy číslo, ke kterému ses rostoucím n blíží hodnoty a n . Situaci ilustruje obrázek 83.yA − εa nAA − εn 0n xObrázek 83 Limita posloupnosti193

10 Úvod do posloupností 10.3 Limita posloupnosti{ } (−1)n ∞Příklad 10.6 Členy posloupnosti={−1; 1 nn=12 ; −1 3 ; 1 }4 ; −1 5 ; . . . se s rostoucím n blíží nule.(Graf je na obrázku 83, přičemž je A = 0.) Limita této posloupnosti by tedy mohla být rovna nule. To jeovšem nutno dokázat. Nechť je dáno číslo ε > 0. Je třeba najít číslo n 0 ∈ N takové, aby pro všechna n > n 0platilo |a n − 0| = |a n | < ε. Platí |a n | = 1 n . Má být 1 n < ε, neboli n > 1 ε . Za n 0 tedy stačí dosadit celoučást čísla 1 (−1) n. Z toho plyne, že limε n→∞ n= 0. //Definice 10.8 Jestliže limita posloupnosti vlastní (konečná), říkáme, že posloupnost je konvergentnínebo že konverguje. Jestliže posloupnost není konvergentní, říkáme, že je divergentní nebo že diverguje.Protože se limita posloupnosti chová stejně jako limita funkce pro x → +∞, platí i pro ni podobné větyjako pro limitu funkce. Proto následující věty uvádím většinou bez důkazů.Věta 10.1 Posloupnost má nejvýše jednu limitu.Věta 10.2 Jestliže má posloupnost {a n } ∞ n=1 limitu A, pak má každá z ní vybraná posloupnost {a nk } ∞ n=1limitu A.Důkaz Především si uvědomte, že n k je rostoucí posloupnost přirozených čísel, a proto je n k ≥ k. Nechťje dáno číslo ε > 0. Protože lim a n = A, existuje n 0 takové, že pro n > n 0 je a n ∈ U ε (A). Avšak pron→∞k > n 0 je n k > n 0 , neboli pro všechna k > n 0 platí a nk ∈ U ε (A). Z toho plyne, že lim a nk = A. □k→∞194

10 Úvod do posloupností 10.3 Limita posloupnostiVěta 10.3 Nechť platí limn→∞a n = A a limn→∞b n = B. Potom platíJe-li navíc B ≠ 0, platílim (a n + b n ) = A + B ,n→∞lim (a n − b n ) = A − B ,n→∞lim (a nb n ) = AB .n→∞a nlim = An→∞ b n B .Důsledek Nechť c ∈ R je libovolná konstanta. Potom platí limn→∞ca n = c limn→∞a n .Cvičení 10.3 Označme P (n) = a r n r + · · · + a 1 n + a 0 a Q(n) = b s n s + · · · + b 1 n + b 0 , kde a r ≠ 0 aP (n)b s ≠ 0. Určete limitu limn→∞ Q(n) .Věta 10.4 Jestliže platí lim a n < lim b n , pak existuje číslo n 0 ∈ N takové, že pro všechna n > n 0 platín→∞ n→∞a n < b n .Věta 10.5 Jestliže existuje číslo n 0 ∈ N takové, že pro všechna n > n 0 platí a n ≤ b n , pak platí limn→∞a n ≤≤ limn→∞b n .195

10 Úvod do posloupností 10.3 Limita posloupnostiVěta 10.6 Jestliže existuje číslo n 0 ∈ N takové, že pro všechna n > n 0 platí a n = b n , pak platí limn→∞a n == limn→∞b n .Věta 10.7 Jestliže existuje číslo n 0 ∈ N takové, že pro všechna n > n 0 platí b n ≤ a n ≤ c n , a jestliže platílim b n = lim c n = A, pak platí lim a n = A.n→∞ n→∞ n→∞Věta 10.8lim a n = 0 platí právě tehdy, když platí lim |a n | = 0.n→∞ n→∞Věta 10.9 Jestliže existuje číslo n 0 ∈ N takové, že pro všechna n > n 0 platí |a n | ≤ |b n |, a jestliže platílim b n = 0, pak platí lim a n = 0.n→∞ n→∞Věta 10.10 Jestliže je limn→∞a n = 0 a existují čísla n 0 ∈ N a K ≥ 0 taková, že pro všechna n > n 0 platí|b n | ≤ K, pak platí limn→∞a n b n = 0.196

10 Úvod do posloupností 10.4 Hromadný bod, hromadná hodnota10.4 Hromadný bod, hromadná hodnotaDefinice 10.9 Číslo A se nazývá hromadný bod posloupnosti {a n } ∞ n=1, jestliže ke každému číslu ε > 0existuje číslo n ∈ N takové, že a n ∈ P ε (A).Hromadný bod posloupnosti je tedy číslo, do jehož každého prstencového okolí patří nějaký člen tétoposloupnosti.{ } ∞ 1Příklad 10.7 Posloupnost má hromadný bod 0. To se dokáže snadno. Nechť je dáno číslonn=1ε > 0. Má se najít číslo n ∈ N takové, že a n ∈ P ε (0), neboli −ε < 1 [ < ε. Takové n je například n =1n= + 1. //ε]Uvědomte si rozdíl mezi limitou a hromadným bodem. U limity musí v P ε (A) ležet všechny členy posloupnosti od jistého členu počínaje. U hromadného bodu stačí, když v P ε (A) leží jeden člen posloupnosti.Na rozdíl od limity může mít posloupnost hromadných bodů více. Na obrázku 84 je graf posloupnosti( {(−1) n 1 − 1 nhromadné body.))} ∞, která má hromadné body A = −1 a B = 1. (Dokažte, že A a B jsou skutečněn=1Věta 10.11 Číslo A je hromadný bod posloupnosti právě tehdy, když ke každému ε > 0 leží v P ε (A)nekonečně mnoho členů této posloupnosti.197

10 Úvod do posloupností 10.4 Hromadný bod, hromadná hodnotayB + εBB − εA + εAA − εn Bn AObrázek 84 Hromadné body posloupnostixyA + εA + ζAA − ζA − εn 1 n 2 n 3 m xObrázek 85 K důkazu věty 10.11Důkaz Zprava doleva je zřejmý. Jestliže v P ε (A) leží nekonečně mnoho členů, pak tam leží jeden člen.Protože toto platí pro každé ε > 0, je A hromadný bod dané posloupnosti.Zleva doprava provedu důkaz sporem. (Při čtení zároveň sledujte obrázek 85, který situaci ilustruje prop = 3.) Předpokládejme, že v P ε (A) leží pouze konečný počet členů posloupnosti. Označme počet těchtočlenů p a členy samotné a n1 , . . . , a np . Označme ζ nejmenší „vzdálenost nějakého členu a nk od čísla A;přesněji, označme ζ =min |a nk=1;... ;p k− A|. Protože všechny členy a nk leží v P ε (A), je a nk ≠ A, a tedy ζ > 0.Protože P ζ (A) = (A − ζ; A + ζ) \ {A}, neleží žádný ze členů a nk v P ζ (A). Podle definice hromadného boduvšak do P ζ (A) patří nějaký člen a m . Tento člen musí být různý od všech a nk . Protože je P ζ (A) ⊆ P ε (A),leží člen a m v P ε (A). Členů posloupnosti ležících v P ε (A) je tedy p+1, což je spor. Z toho plyne, že v P ε (A)leží nekonečně mnoho členů posloupnosti.□Definice 10.10 Číslo A se nazývá hromadná hodnota posloupnosti {a n } ∞ n=1, jestliže existuje posloupnost {b k } ∞ k=1 vybraná z posloupnosti {a n} ∞ n=1 taková, že platí limk→∞b k = A.198

10 Úvod do posloupností 10.4 Hromadný bod, hromadná hodnotaPříklad 10.8 Měli ( jste za úkol dokázat, že A = −1 a B = 1 jsou hromadné body posloupnosti{(−1) n 1 − 1 n{a n } ∞ n=1 =)} ∞. Nyní dokážeme, že A i B jsou zároveň hromadné hodnoty. Vybermen=1{ } ∞ 1z posloupnosti {a n } ∞ n=1 posloupnost {b k } ∞ k=1 = {a 2k+1} ∞ k=1 = 2k + 1 −1 . Tato posloupnostmá limituk=1lim b 1k = limk→∞ k→∞{2k + 1 − 1 = 0 − 1 = −1, z čehož plyne, že A je hromadná hodnota. Volbou {b k} ∞ k=1 == {a 2k } ∞ k=1 = 1 − 1 } ∞se podobně dokáže, že i B je hromadná hodnota. //2kk=1Z předchozího příkladu lze vytušit, že každý hromadný bod by zároveň mohl být hromadnou hodnotou.Toto skutečně platí, jak ukazuje věta 10.12.Věta 10.12 Je-li A hromadný bod posloupnosti {a n } ∞ n=1, pak je A zároveň hromadná hodnota tétoposloupnosti.Důkaz Označme b 1 = a 1 a dále označme jako b k člen a n s nejmenším n takový, že je různý od čísel b 1 , . . .. . . , b k−1 a že platí a n ∈ P 1/k (A). Uvědomte si, že takové a n musí existovat. (Přesný důkaz existence nenísložitý, ale „je v něm hodně písmenek, a proto ho zde neuvádím.) Z konstrukce [ čísel b k plyne, že {b k } ∞ k=11je posloupnost vybraná z {a n } ∞ n=1. Zvolme libovolně číslo ε > 0 a označme k 0 = . Nechť k > k 0 . Platíε]1k < ε. Pro číslo b k platí b k ∈ P 1/k (A) ⊆ P ε (A), neboli b k ∈ P ε (A), z čehož plyne, že limk→∞b k = A.□199

10 Úvod do posloupností 10.4 Hromadný bod, hromadná hodnotaPříklad 10.9 Obrácená implikace nemusí platit. Vezměme si posloupnost {a n } ∞ n=1 = {1; 1; 1; . . . }.Tato posloupnost má limitu A = 1, a proto každá vybraná posloupnost má také limitu A = 1. Jinýmislovy, A je hromadná hodnota. Přesto pro libovolné ε > 0 neleží v P ε (A) ani jeden člen a n . Číslo A = 1tedy není hromadný bod. //Věta 10.13 Jestliže má posloupnost {a n } ∞ n=1 limitu A, pak A je hromadná hodnota.Důkaz Stačí si uvědomit, že {a n } ∞ n=1 je posloupnost vybraná ze sebe sama.□Obrácená implikace opět neplatí. Posloupnost v příkladu 10.8 měla dvě hromadné hodnoty. Limita všakmůže být maximálně jedna. Z toho plyne, že alespoň jedna hromadná hodnota není limitou původníposloupnosti.Věta 10.14 Jestliže má posloupnost alespoň dvě hromadné hodnoty, pak nemá limitu.Věta 10.15 Každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu.200

10 Úvod do posloupností 10.4 Hromadný bod, hromadná hodnotaShrnutí Posloupnost je funkce N → R, a proto má stejné vlastnosti jako funkce. Posloupnost {b k } ∞ k=1je posloupnost vybraná z posloupnosti {a n } ∞ n=1, jestliže existuje rostoucí posloupnost {n k } ∞ k=1 taková,že b k = a nk . Posloupnost má limitu A, jestliže ∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n > n 0 : a n ∈ U ε (A). Jestliže má posloupnost konečnou limitu, je konvergentní, jinak je divergentní. Limita posloupnosti má stejné vlastnosti jakolimita funkce a platí pro ni i podobné věty. Číslo A je hromadný bod, jestliže ∀ε > 0 ∃n ∈ N: a n ∈ P ε (A).Číslo A je hromadná hodnota, jestliže existuje vybraná posloupnost mající limitu A. Každý hromadnýbod je hromadná hodnota, ne naopak.Tato kapitola byla jednoduchá, protože části 10.2 a 10.3 byly opakováním první kapitoly a lišily se pouzev tom, že definiční obor nebyl R. Problémy jste mohli mít v části 10.4. Jestliže se tak stalo, přečtěte situto část ještě jednou. Není to tak těžké.201

10 Úvod do posloupností CvičeníCvičeníCvičení 10.4 Určete následující limity.9 +na) limn + 1n→∞2 + 1 n3 + 0,5 nb) limn→∞ 0,3 n+1 + 5nc) limn→∞(3n + 2)2 − nd) limn→∞ n + 1 + n2−nn + 2( ) 5 n − 1(−1) n + 1e) limi) lim nn→∞ nn→∞ 1n − 2 (−1)nf) limn→∞n 3 + 27n 4 − 15(n + 5) 3 − n(n + 7) 2g) limn→∞(n 2)n 2 + 1h) limn→∞ 2n + 1 − 3n2 + 16n + 13nj) limn→∞ 5 + 3 n+1k) limn→∞2 n+2 + 3 n+32 n + 3 nl) limn→∞5 · 2 n − 3 · 5 n+1100 · 2 n + 2 · 5 nCvičení 10.5 Najděte hromadné body posloupností.{ { 1 + (−1)n(1 − (−1) n )2 n + 1a)b)n2 n + 3} ∞n=1} ∞n=1c){ √ }n∞4 (−1)n + 2n=1202

10 Úvod do posloupností ŘešeníŘešeníCvičení 10.1 Například {a 1 ; b 1 ; a 2 ; b 2 ; a 3 ; b 3 ; . . . }. Posloupností s uvedenou vlastností je nekonečně mnoho,protože například pro libovolné t ∈ R má posloupnost {t; a 1 ; b 1 ; a 2 ; b 2 ; . . . } uvedenou vlastnost.Cvičení 10.2 Je-li posloupnost {a n } ∞ n=1 rostoucí, pak pro m < n je a m < a m+1 < · · · < a n . Je-li a m < a npro m < n, pak pro n = m + 1 dostáváme a m < a m+1 a {a n } ∞ n=1 je rostoucí.Cvičení 10.3 Pro r < s je lim = 0. Pro r = s je lim = a rb s. Pro r > s je lim = +∞, mají-li a r a b s stejnáznaménka, a lim = −∞, mají-li a r a b s různá znaménka.Cvičení 10.4 a) 5; b) 0,6; c) 1 3 ; d) −1; e) 1; f) 0; g) 1; h) −1 ; i) −1; j) 0; k) 27; l) −156 2 .Cvičení 10.5 a) −1 a 1; b) 0 a 2; c) 1.203

11 Věty o posloupnostech11 Věty o posloupnostechObsah lekce11.1. Supremum a infimum množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.2. Věty o posloupnostech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.3. Stejnoměrná spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Klíčová slovaSupremum, infimum, Bolzano-Cauchyho věta, Cantorova věta, Borelova věta, stejnoměrná spojitost.204

11 Věty o posloupnostech 11.1 Supremum a infimum množiny11.1 Supremum a infimum množinyDefinice 11.1 Číslo α ∈ R se nazývá supremum množiny M ⊆ R (značí se sup M), jestližea) pro každé x ∈ M platí x ≤ α;b) ke každému c < α existuje x ∈ M takové, že c < x.Jestliže M není shora omezená, definuje se sup M = +∞. Supremum množiny {f(x): x ∈ M} se označuje sup f(x).x∈MVlastnost a) říká, že žádné číslo množiny M není větší než α. Vlastnost b) říká, že α je nejmenší ze všechčísel majících vlastnost a).Příklad 11.1 Určeme supremum množiny M = (0; 1).Pro všechna { x ∈ M platí 0 < x < 1. Pro každé číslo α ≥ 1 tedy platí x ≤ α. Pro každé c < 1 však číslo1x = max2 ; 1 + c }patří do množiny M a platí c < x. Z toho plyne, že sup M = 1. //2Supremum je podobné maximu. Mezi nimi je však rozdíl. Maximum množiny M je definováno jako číslo α ∈∈ M takové, že pro všechna x ∈ M platí x ≤ α. Na rozdíl od suprema musí maximum patřit do množiny M.Maximum nemusí vůbec existovat, například u množiny M = (0; 1).Věta 11.1 Pro každou množinu M ⊆ R existuje jediné číslo sup M.Důkaz Provedu jej pouze pouze pro jednoznačnost, a sice důkaz sporem. Předpokládejme, že α < β jsousuprema množiny M. Podle vlastnosti a) čísla α neexistuje v M číslo větší než α. Podle vlastnosti b)čísla β, protože α < β, existuje číslo x ∈ M větší než α, což je spor. Důkaz existence je uveden napříkladv knize [5] na stranách 58–59.□205

11 Věty o posloupnostech 11.1 Supremum a infimum množinyVěta 11.2 Jestliže existuje číslo max M, pak platí sup M = max M.Definice 11.2 Číslo α ∈ R se nazývá infimum množiny M ⊆ R (značí se inf M), jestližea) pro každé x ∈ M platí x ≥ α;b) ke každému c > α existuje x ∈ M takové, že c > x.Jestliže M není zdola omezená, definuje se inf M = −∞. Infimum množiny {f(x): x ∈ M} se označuje infx∈M f(x).Vlastnost a) říká, že žádné číslo množiny M není menší než α. Vlastnost b) říká, že α je největší ze všechčísel majících vlastnost a).Pro infimum platí podobné věty jako pro supremum.Věta 11.3 Pro každou množinu M ⊆ R existuje jediné číslo inf M.Věta 11.4 Jestliže existuje číslo min M, pak platí inf M = min M.1Příklad 11.2 Určeme infn∈N n .Jinými slovy máme určit infimum množiny M ={1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; . . . }. Všechny prvky množiny M jsouvětší než nula. Jestliže však zvolím libovolné c > 0, pak vždy existuje číslo x ∈ M, které je menší než c.Takové x je například x = 1 [ ] 1n , kde n = 1+ 1. Z toho plyne, že inf = inf M = 0. //cn∈N n206

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostech11.2 Věty o posloupnostechVěta 11.5 Každá monotonní omezená posloupnost má vlastní limitu.Tato věta v sobě zahrnuje dvě věty: Každá neklesající shora omezená posloupnost má limitu a Každánerostoucí zdola omezená posloupnost má limitu.Důkaz Provedu jej pro neklesající posloupnost. Posloupnost {a n } ∞ n=1 je shora omezená, a proto existujea n = α ∈ R. Podle vlastnosti b) suprema existuje ke každému ε > 0 číslo n takové, že α − ε < a n .supn∈NPosloupnost je neklesající, a proto a n ≤ a n+1 ≤ · · · , neboli pro všechna k ∈ N platí α − ε < a n+k . Jinýmislovy ke každému ε > 0 existuje n takové, že pro všechna m > n platí a m ∈ U ε (α). To ale neznamená nicjiného než, že posloupnost má limitu α.□Důsledek Pro neklesající shora omezenou posloupnost platí lim a n = sup a n . Pro nerostoucí zdola omen→∞ n∈Nzenou posloupnost platí lim a n = inf an→∞n.n∈N207

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostechPříklad 11.3 Nechť a > 0 je dané reálné číslo. Zvolme kladné číslo x 1 tak, aby x 1 > √ a. Nalezněmelimitu posloupnosti {x n } ∞ n=1 určené vztahem x n+1 = 1 ( ) a+ x n .2 x nPomocí derivace funkce f(t) = 1 ( ) a2 t + t lze snadno dokázat, že pro všechna t > 0 platí f(t) ≥ √ a.Z toho plyne, že√ a ≤ xn aa≤ x nx na+ x n ≤ 2x nx n2x n+1 ≤ 2x na posloupnost {x n } ∞ n=1 je zdola omezená a nerostoucí. Z toho plyne, že má limitu. Určeme tuto limitu.Uvědomme si, že posloupnosti {x n } ∞ n=1 a {x n+1 } ∞ n=1 mají stejnou limitu. Označme ji A. Potom platílim x n = lim x n+1n→∞ n→∞( )lim x 1 an = lim + x nn→∞ n→∞ 2 x nA = 1 ( ) a2 A + AA 2 = a .Protože je A ≥ √ a, musí platit A = lim x n = √ a.n→∞{Pro a = x 1 = 3 dostaneme posloupnost {x n } ∞ n=1 = 3; 2; 7 4 ; 9756 ; 18817 }10864 ; . . . , která se k číslu √ 3 blíží velmirychle. Její desátý člen se od √ 3 liší jen o 5,04 · 10 −293 . //208

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostechVěta 11.6 (Bolzano-Cauchyho (pro posloupnosti)) Posloupnost {a n } ∞ n=1 je konvergentní právě tehdy,když pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro všechna m, n ≥ k platí |a n − a m | < ε.Podmínka∀ε > 0 ∃k ∈ N ∀m, n ≥ k : |a n − a m | < εse nazývá Bolzano-Cauchyho podmínka (zkráceně BC-podmínka) pro posloupnosti. Bolzano-Cauchyhověta nic neříká o hodnotě limity, ale pouze o její existenci. Situaci ilustruje obrázek 86.y< εkmnxObrázek 86 BC-podmínka pro posloupnostiDůkaz Provedu jej pouze zleva doprava. Nechť je posloupnost {a n } ∞ n=1 konvergentní. Označme α == lim a n . Podle definice limity pro každé ε > 0 existuje k ∈ N takové, že pro všechna m ≥ k je |a m − α|

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostechPříklad 11.4 Pomocí Bolzano-Cauchyho věty ukažme, že pokud existuje limita posloupnosti {a n } ∞ n=1,pak existuje limita posloupnosti {a n+1 } ∞ n=1 a tyto limity si jsou rovny.Vytvořme posloupnost {b n } ∞ n=1, kde b n = a n+1 − a n . Protože {a n } ∞ n=1 je konvergentní, pro každé ε > 0existuje k ∈ N takové, že pro všechna n ≥ k platí |a n+1 − a n | < ε. (Toto je BC-podmínka pro m == n + 1.) To ale neznamená nic jiného než, že posloupnost {|a n+1 − a n |} ∞ n=1 má limitu nula. Z toho plyne,že i posloupnost {b n } ∞ n=1 = {a n+1 − a n } ∞ n=1 má limitu nula. Protože a n+1 = a n + b n , platílim a n+1 = lim a n + lim b n = lim a n + 0 = lim a n .n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞□Věta 11.7 (Heineho) Nechť je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu c. Potomlimx→c f(x) = A platí právě tehdy, když pro všechny posloupnosti {a n} ∞ n=1 takové, že• limn→∞a n = c a• pro všechna n ∈ N je a n ≠ c,platí limn→∞f(a n ) = A.Heineho věta udává vztah mezi limitou funkce v bodě a limitou posloupnosti.Věta 11.8 (Bolzano-Cauchyho (pro funkce)) Nechť funkce f je definována na nějakém prstencovémokolí bodu c. Potom existuje vlastní limita lim f(x) právě tehdy, když pro každé ε > 0 existuje δ > 0x→ctakové, že pro všechna x, y ∈ P δ (c) platí |f(x) − f(y)| < ε.210

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostechPodmínka∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ P δ (c): |f(x) − f(y)| < cse nazývá Bolzano-Cauchyho podmínka (zkráceně BC-podmínka) pro funkce. Podobně jako Bolzano--Cauchyho věta pro posloupnosti, tato věta nic neříká o hodnotě limity, ale pouze o její existenci. Situaciilustruje obrázek 87.y< εfc − δxcy c + δObrázek 87 BC-podmínka pro funkceDůkaz je podobný jako důkaz věty 11.6, protože obě věty jsou hodně podobné. Při důkazu se využijeHeineho věta.Věta 11.9 (Cantorova) Nechť {J n } ∞ n=1 je posloupnost uzavřených intervalů takových, že J 1 ⊇ J 2 ⊇ · · · .∞⋂Potom platí J n ≠ ∅.Symbol∞⋂n=1n=1J n znamená průnik množin (intervalů) J 1 ∩ J 2 ∩ J 3 ∩ · · · .Cantorova věta tedy říká, že uzavřené intervaly J 1 , J 2 , . . . takové, že J 1 ⊇ J 2 ⊇ · · · , mají neprázdný průnik.211x

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostechDůkaz Označme J n = 〈a n ; b n 〉. Potom pro všechna n ∈ N platí a n ≤ a n+1 , a n ≤ b n a b n ≥ b n+1 . Z tohoplyne, že pro všechna n ∈ N je a n ≤ b 1 a b n ≥ a 1 . Posloupnost {a n } ∞ n=1 je neklesající a shora omezená,má tedy limitu α. Posloupnost {b n } ∞ n=1 je nerostoucí a zdola omezená, proto má limitu β. Protože provšechna n ∈ N je a n ≤ b n , platí α ≤ β a 〈α; β〉 není prázdná množina. Podle věty 11.5 platí α = supn∈Na β = inf b n. Z toho plyne, že pro všechna n ∈ N je a n ≤ α ≤ β ≤ b n , neboli 〈α; β〉 ⊆ 〈a n ; b n 〉. Protožen∈N⋂toto platí pro všechny intervaly 〈a n ; b n 〉, platí to i pro jejich průnik, neboli 〈α; β〉 ⊆ ∞ 〈a n ; b n 〉. Protože je⋂〈α; β〉 ≠ ∅, je také ∞ 〈a n ; b n 〉 ≠ ∅. □n=1n=1a nPříklad 11.5 Pro {( otevřené nebo polouzavřené intervaly věta platit nemusí. Mějme posloupnost intervalů {J n } ∞ n=0 = 0; 1 〉} ∞1. Protože jenn=1n + 1 < 1 n , je J n ⊇ J n+1 . Nyní dokážu, že žádné číslo x ∈ R⋂nepatří do J = ∞ J n . Je-li x ≤ 0, nebo x > 1, nepatří x do žádného J n , a tedy ani do J. Je-li x ∈ (0; 1〉,n=1 [ 1 ⋂potom pro n = + 1 je x ∉ J n , a proto x ≠ J. Z toho plyne, že J =x]∞ J n = ∅. //Před následující větou je třeba učinit několik poznámek z teorie množin.⋃Symbol J α znamená sjednocení množin J α přes všechna α ∈ A. Je to zobecnění klasického sjednoceníα∈Amnožin X ∪ Y . Je definováno takto:x ∈ ⋃ α∈AJ α ⇐⇒ ∃α ∈ A: x ∈ J α .n=1Pro pochopení uvedu krátký příklad.212

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostechPříklad 11.6 Určeme M =⋃α∈〈2;5)(α; α 2 ).Zde je A = 〈2; 5) a pro všechna α ∈ A je J α = (α; α 2 ). Například pro α = 3 je J 3 = (3; 9), pro α == 4,9 je J 4,9 = (4,9; 24,01). Aby mohlo být x ∈ M, musí existovat α ∈ 〈2; 5) tak, aby x ∈ (α; α 2 ), neboliα < x < α 2 . Pro žádné x ≤ 2 nemůže existovat α ≥ 2 takové, že α < x. Pro žádné x ≥ 25 nemůžeexistovat kladné α < 5 takové, že x < α 2 . Pro x ∈ (2; 25) naopak α takové, že α < x < α 2 , existuje;například α = 2 + x√25 + xpro x ∈ (2; 8) a α = pro x ∈ 〈8; 25). Z toho plyne, že x ∈ M právě tehdy,22když x ∈ (2; 25), neboli M =⋃ (α; α 2 ) = (2; 25). //α∈〈2;5)Definice 11.3 Systém intervalů {J α : α ∈ A} se nazývá pokrytí množiny M, jestliže platí⊇ M. Pokrytí se nazývá otevřené, jsou-li všechny intervaly J α otevřené. Pokrytí se nazývá konečné, je-limnožina A konečná, neboli je-li intervalů J α konečný počet. Pokrytí se nazývá nekonečné, je-li množina Anekonečná, neboli, je-li intervalů J α nekonečně mnoho.Systém {(α; α 2 ): α ∈ 〈2; 5)} je tedy nekonečné otevřené pokrytí intervalu (2; 25).Nyní již uvedu slibovanou větu.Věta 11.10 (Borelova o otevřeném pokrytí) Nechť A je libovolná množina a 〈a; b〉 libovolný uzavřenýinterval. Dále nechť pro každé α ∈ A je J α otevřený interval a ⋃ J α ⊇ 〈a; b〉. Potom existuje konečnáα∈Amnožina K ⊆ A taková, že ⋃ J α ⊇ 〈a; b〉.α∈KPro konečnou množinu A je věta bezvýznamná, stačí zvolit K = A. Svůj význam nabývá až pro nekonečnémnožiny A. Věta říká, že z každého (nekonečného) otevřeného pokrytí intervalu 〈a; b〉 lze vybrat konečnépokrytí téhož intervalu.213⋃α∈AJ α ⊇

11 Věty o posloupnostech 11.2 Věty o posloupnostechPříklad 11.7 V minulém příkladu bylo uvedeno nekonečné pokrytí {(α; α 2 ): α ∈ 〈2; 5)} intervalu〈3; 24〉. (Nemohl jsem vzít interval (2; 25), protože v předpokladu Borelovy věty se vyskytuje uzavřenýinterval.) Podle Borelovy věty lze vybrat konečné pokrytí téhož intervalu. Takové pokrytí je napříkladpokrytí intervaly J 2 = (2; 4), J 3,5 = (3,5; 12,25) a J 4,9 = (4,9; 24,01). Hledaná množina K ⊆ A je tedyK = {2; 3,5; 4,9}. Platí⋃J α = J 2 ∪ J 3,5 ∪ J 4,9 = (2; 24,01) ⊇ 〈3; 24〉 . //α∈KJako ukázku použití Borelovy věty uvedu důkaz věty o Darbouxově vlastnosti spojité funkce.Věta 3.7 Funkce spojitá na intervalu má na tomto intervalu Darbouxovu vlastnost.Důkaz Nechť je bez újmy na obecnosti f(a) < f(b). Má se dokázat, že pro každé d ∈ (f(a); f(b))existuje c ∈ (a; b) takové, že f(c) = d, neboli f(c) − d = 0. Předpokládejme naopak, že existuje d ∈∈ (f(a); f(b)) takové, že pro všechna c ∈ (a; b) je f(c) − d ≠ 0. Protože je funkce f(x) − d spojitá, provšechna x ∈ 〈a; b〉 existuje číslo δ(x) > 0 takové, že f(x) − d nemění na U δ(x) (x) znaménko. (Číslo δ(x)je závislé na čísle x.) Systém {U δ(x) (x): x ∈ 〈a; b〉} je otevřené pokrytí intervalu 〈a; b〉. Podle Borelovyvěty existují čísla x 1 , . . . , x n ∈ 〈a; b〉 taková, žen ⋃i=1U δ(xi )(x i ) ⊇ 〈a; b〉. Z toho ovšem plyne, že f(x) − dnemění znaménko na 〈a; b〉, neboli, že f(a) − d a f(b) − d mají stejné znaménko. Podle předpokladu všakje f(a) < d, neboli f(a) − d < 0, a f(b) > d, neboli f(b) − d > 0, a čísla f(a) − d a f(b) − d mají různáznaménka, což je spor.□214

11 Věty o posloupnostech 11.3 Stejnoměrná spojitost11.3 Stejnoměrná spojitostAbyste si uvědomili rozdíl mezi spojitostí a stejnoměrnou spojitostí, znovu uvedu definici spojitosti naintervalu. Definici však uvedu trochu jinak, aby se tento rozdíl zdůraznil.Ekvivalentní definice 3.4 Funkce f je spojitá na intervalu J, jestliže pro každé ε > 0 a každé x ∈ Jexistuje δ > 0 takové, že pro všechna y ∈ J platí tvrzení „jestliže je |x − y| < δ, pak je |f(x) − f(y)| < ε,neboli stručněji∀ε > 0 ∀x ∈ J ∃δ > 0 ∀y ∈ J : ( |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε ) .V případě spojitosti tedy může číslo δ záviset na čísle x.Definice 11.4 Funkce f je stejnoměrně spojitá na intervalu J, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0takové, že pro všechna x, y ∈ J platí tvrzení „jestliže je |x − y| < δ, pak je |f(x) − f(y)| < ε, nebolistručněji∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ J ∀y ∈ J : ( |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε ) .V případě stejnoměrné spojitosti tedy číslo δ nemůže záviset na čísle x.Věta 11.11 Každá funkce stejnoměrně spojitá na intervalu J je na tomto intervalu spojitá.Příklad 11.8 Obrácená implikace nemusí platit. Příkladem je funkce f(x) = x 2 , která je spojitá na R,ale není na R stejnoměrně spojitá.To se dokáže snadno. Nechť je dáno ε > 0 a nechť δ > 0 je libovolné. Zvolme y = x + δ . Potom je2|x − y| < δ a |x 2 − y 2 δ2| =∣xδ + 4 ∣ . Ke každému (libovolně malému) číslu δ však vždy existuje (dostatečněvelké) číslo x takové, že |x 2 − y 2 | ≥ ε. //215

11 Věty o posloupnostech 11.3 Stejnoměrná spojitostVěta 11.12 Nechť J ⊆ R je interval. Jestliže existuje konstanta K > 0 taková, že |f ′ (x)| < K provšechna x ∈ J, pak je funkce f stejnoměrně spojitá na J.Důkaz Podle Lagrangeovy věty existuje číslo ξ ležící mezi x a y takové, že f(x) − f(y) = (x − y)f ′ (ξ).Protože ξ ∈ J, je |f ′ (ξ)| < K, a proto |f(x) − f(y)| < K|x − y|. Stačí tedy zvolit δ = ε K .□Příklad 11.9 Funkce sin x je stejnoměrně spojitá na R, protože platí sin ′ x = cos x a |cos x| < 2 provšechna x ∈ R. //Cvičení 11.1 Dokažte, že funkce arctg x je stejnoměrně spojitá na R.Věta 11.13 Nechť je funkce f spojitá na 〈a; b〉. Potom je f stejnoměrně spojitá na 〈a; b〉.Příklad 11.10 Funkce x 2 je spojitá na R, a proto je spojitá na libovolném uzavřeném intervalu 〈a; b〉 ⊆ R.Z toho plyne, že na libovolném uzavřeném intervalu 〈a; b〉 je funkce x 2 stejnoměrně spojitá. //Cvičení 11.2 Nechť je funkce f stejnoměrně spojitá na intervalu J a nechť I je podinterval intervalu J.Dokažte, že f je stejnoměrně spojitá na I.216

11 Věty o posloupnostech 11.3 Stejnoměrná spojitostShrnutí Číslo α je supremum množiny M, jestliže (∀x ∈ M : x ≤ α) ∧ (∀c < α ∃x ∈ M : c < x). Podobně se definuje infimum. Každá monotonní omezená posloupnost má limitu. Bolzano-Cauchyho větaříká, že posloupnost je konvergentní právě tehdy, když ∀ε > 0 ∃k ∈ N ∀m, n ≥ k : |a n −a m | < ε. Cantorovavěta říká, že z každého otevřeného pokrytí uzavřeného intervalu lze vybrat konečné podpokrytí. Funkceje stejnoměrně spojitá na J, jestliže platí ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ J : (|x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε).Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá, ne naopak. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na němstejnoměrně spojitá.Tato kapitola patřila k těm teoretičtějším. Opět musím opakovat, že učivo není moc těžké. Když něconepochopíte, přečtěte si to ještě jednou a uvidíte, že Vám to půjde.Protože toto je poslední kapitola, přeji Vám mnoho štěstí u zkoušek a z matematické analýzy jedničku.217

11 Věty o posloupnostech ŘešeníŘešeníCvičení 11.1 Platí (arctg x) ′ = 11 + x 2 a |(arctg x)′ | < 2, a proto je funkce arctg stejnoměrně spojitá.Cvičení 11.2 Jestliže vztah ( |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε ) platí pro všechna x, y ∈ J a jestliže I ⊆ J,musí uvedený vztah platit i pro všechna x, y ∈ I.218

ŽivotopisyŽivotopisyBernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano byl český matematik žijící v letech 1781–1848.Úspěšně očistil matematickou analýzu od pojmu nekonečně malý. Také ukázal příklady bijekcí mezi prvkynekonečné množiny a prvky její vlastní podmnožiny.Félix Edouard Justin Émile Borel byl francouzský matematik žijící v letech 1871–1956. Vytvořilprvní efektivní teorii míry bodových množin, čímž dal základy moderní teorii funkcí reálné proměnné.Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor [kantor] (1845–1918) byl německý matematik, žijící dosvých jedenácti let v Rusku. Byl zakladatelem teorie množin a svým objevem kardinálních čísel umožnilurčovat mohutnosti nekonečných množin. Také se zabýval studiem trigonometrických řad.Augustin Louis Cauchy [koši] byl francouzský matematik žijící v letech 1789–1857. Byl průkopníkemreálné a komplexní analýzy a teorie grup permutací. Také se zabýval konvergencí a divergencí nekonečnýchřad, diferenciálními rovnicemi, determinanty, pravděpodobností a matematickou fyzikou.Ludolph van Ceulen (1540–1610) byl německý učitel matematiky a šermu. Proslavil se svým výpočtemčísla π s přesností na 35 desetinných míst pomocí mnohoúhelníku s 4 611 686 018 427 387 904 stranami.Jean Gaston Darboux [darbu] byl francouzský matematik žijící v letech 1842–1917. Zabýval se diferenciální geometrií a analýzou. Je po něm pojmenován Darbouxův integrál.Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet byl německý matematik žijící v letech 1805–1859. Zabýval se teorií čísel a diferenciálními rovnicemi fyziky. Proslavil se tím, že dokázal, že v každé aritmeticképosloupnosti, kde diference a první člen jsou nesoudělné, je nekonečně mnoho prvočísel.219

ŽivotopisyLeonhard Euler [ojler] byl švýcarský matematik žijící v letech 1707–1783. Byl jedním z největšíchmatematiků v historii. Jeho vliv je patrný v mnoha oblastech matematiky. Zabýval se mimo jiné analýzou, analytickou a diferenciální geometrií, trigonometrií, teorií čísel, diferenciálními rovnicemi matematickéfyziky, byl jedním ze zakladatelů variačního počtu, vybudoval teorii analytických funkcí komplexní proměnné. Rovněž hrál nazenedbatelnou roli v mnoha oblastech fyziky.Leonardo Pisano Fibonacci [fibonači] byl italský obchodník a cestovatel žijící v letech 1170–1250.Zasloužil se o znovuoživení antické matematiky. Do Evropy přivedl desítkovou číselnou soustavu a arabskéčíslice.Heinrich Eduard Heine [hajne] byl německý matematik žijící v letech 1821–1881. Jeho práce vedlak zavedení stejnoměrné spojitosti.Guillaume François Antoine Marquis de l’Hôpital [lopital] byl francouzský matematik žijícív letech 1661–1704. Je autorem první učebnice matematické analýzy.Joseph-Louis Lagrange [lagranž] (1736–1813) byl francouzský matematik narozený v Turíně. Ve svýchdevatenácti letech byl jmenován profesorem matematiky na Královské dělostřelecké škole v Turíně. Zabývalse mnoha oblastmi matematiky. Mimo jiné ukázal, že rovnice do čtvrtého stupně jsou řešitelné pomocíodmocnin. Byl jedním ze zakladatelů variačního počtu.Colin Maclaurin [mekloren] byl skotský matematik žijící v letech 1698–1746. Zabýval se analýzou ageometrií.Georg Friedrich Bernhard Riemann [ríman] byl německý matematik žijící v letech 1826–1866.Zabýval se komplexními funkcemi, teorií čísel a diferenciální geometrií. Jeho výsledky v geometrii naneeuklidovských prostorech byly plně pochopeny až Einsteinem, který na nich vybudoval obecnou teoriirelativity.220

ŽivotopisyMichel Rolle [rol] žil v letech 1652–1719. Zabýval se algebrou, geometrií a teorií rovnic. Zavedl značenín√ x pro n-tou odmocninu.Brook Taylor [tejlor] byl anglický matematik žijící v letech 1685–1731. Zabýval se matematickou analýzou a diferenciálními rovnicemi.Karl Theodor Wilhelm Weierstrass [vajrštras] byl německý matematik žijící v letech 1815–1897.Zabýval se matematickou fyzikou, teorií čísel a teorií analytických funkcí.221

ReferenceReference[1] Hans-Jochen Bartsch. Matematické vzorce. Mladá fronta, Praha, 2000.[2] O. Botlík, D. Souček. Kalibro test. 2000.[3] Boris Pavloviq Demidoviq. Sbornik zadaq i upraжneni po matematiqeskomuanalizu. Nauka, Moskva, 1977.[4] Jaroslav Hančl. Matematická analýza. Ostravská univerzita, 1998.[5] Vojtěch Jarník. Diferenciální počet I. Academia, Praha, 1984.[6] Lev Dmitrieviq Kudrvcev et al. Sbornik zadaq po matematiqeskomu analizu, Predel,Nepreryvnostь, Differeciruemostь. Nauka, Moskva, 1984.[7] Oldřich Odvárko. Funkce. Prometheus, Praha, 1994.[8] MacTutor History of Mathematics. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians.222