˜OPPEAINE ¨ULDALGEBRA ALUSED (kood YMA5200 ...

ÕPPEAINEÜLDALGEBRA ALUSED (kood YMA5200)PROGRAMMLoengud: prof. Peeter PuusempHarjutused: prof. Peeter PuusempÕppeaine eesmärk:• Anda algteadmised põhilistest algebralistest struktuuridest.• Õpetada lahendama mainitud teooriatega seotud põhilisi ülesandeid.• Näidata käsitletava teooria võimalikke rakendusi praktikas ja teistesteadusharudes.• Harjutada üliõpilasi matemaatiliste arutluste ja sümboolikaga.Maht: 4 EAP, nädalatundide arv 1,5 - 0 - 1.Eeldusained: pole.Õppeaine sisu:Otsekorrutis (nii kahe kui ka rohkema arvu hulkade korral). Binaarne seos.Näiteid.Ekvivalentsiseos. Näiteid. Ekvivalentsiklassid. Faktorhulk. Näiteid.Kujutuse definitsioon. Näiteid. Kujutuste võrdsus. Kujutuse tähis lõplikuljuhul. Liigitus. Pöördkujutus. Kujutuste korrutamine. Näiteid. Assotsiatiivsus.Binaarne tehe. Cayley tabel. Poolrühma defintsioon. Näiteid.Rühma definitsioon. Ühiku ja pöördelemendi ühsesus. Aditiivne kirjapilt.Rühmade näiteid: 1) vektorite rühm, 2) arvude rühmad, 3) maatriksrühmad,4) jäägiklassirühm, 5) substitutsioonirühm S X ja selle erijuht S n . Kommutatiivneehk Abeli rühm.Alamrühma definitsioon. Tarvilik ja piisav tingimus alamhulgale, et see oleksalamrühm. Alamrühmade näiteid.Kõrvalklassi definitsioon ja näiteid. Üksühene vastavus kahe erineva kõrvalklassivahel. Lagrange teoreem.

2Tarvilik ja piisav tingimus alamrühmale selleks, et tehe vasakpoolsete kõrvalklassidehulgal oleks korrektselt defineeritud. Normaaljagaja definitsioon.Faktorrühm.Elemendi astmed. Alamrühm 〈a〉. Tsükliline rühm. Tsükliliste rühmadenäiteid: Z, Z n , n-nda astme ühe juured. Elemendi järk. Rühma järgujaguvus elemendi järguga.Rühmade isomorfism. Näiteid. Homomorfismi definitsioon. Omadusi. Teoreemhomomorfismidest.Ringi definitsioon. Näiteid: arvude ringid, maatriksite ringid, funktsioonidering C[a, b], jäägiklassiring. Kommutatiivne ring. Ühikuga ring. Lahutamine.Omadused.Jagumine kommutatiivses ühikuga ringis. Täisarvude ringi omadusi: suurimühistegur, teoreem jäägiga jagamisest, Eukleidese algoritm.Alamring. Tarvilik ja piisav tingimus selleks, et alamhulk oleks alamring.Faktorrühm liitmise suhtes. Tingimus, et faktorrühm liitmise järgi oleks kakorrutamise suhtes korrektne. Ideaal. Ideaalide näiteid.Korpuse definitsioon. Näiteid: arvuvallad, jäägiklassikorpus. Korpuse tüüpilisedomadused: 1) nulli tegurite puudumine; 2) jagamine; 3) vektorruum ülekorpuse, lineaaralgebra. Korpuse karakteristik. Korpuste isomorfism.Polünoomi definitsioon. Tehted polünoomidega. Polünoomide mugavam esitus,ring R[x]. Mõisteid. Jäägiga jagamine. Eukleidese algoritm. Taandumatupolünoomi definitsioon. Polünoomi lahutus taandumatuteks teguriteks.Peaideaalid kommutatiivses ühikuga ringis. Teoreem: ringides Z ja K[x] igaideaal on peaideaal. Ringi K[x]/(f) kirjeldus. Teoreem: faktorring K[x]/(f)on korpus parajasti siis, kui f on taandumatu.Polünoomi väärtus mingil kohal. Juure definitsioon. Bezout teoreem. Horneriskeem. Kordsed juured. Tuletis. Tunnus lihtjuureks oleku kohta. Kompleksarvudealgebra põhiteoreem. Korpuse laiendi olemasolu, milles polünoomilon juur.Galois (lõplikud) korpused. Galois korpuste omadused: 1) iga kaks Galoiskorpust ühe ja sama elementide arvuga on isomorfsed; 2) Galois korpuseelementide arv on algarvu aste; 3) Galois korpuste olemasolu ja konstrueerimine;4) Galois korpuse kõigi nullist erinevate elementide hulk on tsüklilinerühm korrutamise suhtes. Primitiivne element.

HarjutustunnidVastavalt loengus käsitletavatele teemadele.Iseseisva töö korraldusIseseisvalt tuleb omandada põhiõpikust üksikud tõestused ja lisanäiteid (konkretiseeritakseloengul vastavalt vajadusele). Harjutustundides antakse lahendamisekskoduülesandeid, millede korrektsed lahendused tuleb kohustuslikuskorras esitada harjutustunde läbiviivale õppejõule (seda loetakse üheks eksamieelduseks).Teadmiste kontrollTeadmiste kontrollimiseks teostatakse kolm kahetunnilist kontrolltööd. Nendessekontrolltöödesse tulevad nii teooriaküsimused (tõestustega) kui ka ülesanded.Kõiki kontrolltöid hinnatakse 100-pallisüsteemis. Eksamihinde määramiseksleitakse nende kolme kontrolltöö hinnete aritmeetiline keskmine k.Vastavalt arvu k väärtusele on eksamihinne:• 5, kui k ≥ 91• 4, kui 81 ≤ k ≤ 90• 3, kui 71 ≤ k ≤ 80• 2, kui 61 ≤ k ≤ 70• 1, kui 51 ≤ k ≤ 60• 0, kui k ≤ 50Eksamihinnet on võimalik saada ka kontrolltöid sooritamata. kuid siis tulebvastata valikuliselt küsimustele kontrolltöödes esitatud materjali ulatusesjuba eksamisessiooni ajal eksamil.Põhiõpikud:1. Puusemp, P. Üldalgebra alused. Tallinn, TTÜ kirjastus, 2002.2. Kilp, M. Algebra I. Tartu, 1998.3. Kilp, M. Algebra II. Tartu, 1998.Täiendav kirjandus:1. Kangro, G. Kõrgem algebra. Tallinn, 1962.3

42. Fraleigh, J.B. First course in abstract algebra. Addison-Wesley PublishingCompany, 1994.3. Kurox, A. G. Lekcii po obwcei algebry. Moskva, Nauka, 1973.4. Birkhof, G., Bartee, T. Sovremenna prikladna algebra. Moskva,Mir, 1976.5. Bahturin, . A. Osnovnye struktury sovremennoi algebry. Moskva,Nauka, 1990.Programmi koostas: prof. P. Puusemp