Zadanie 5 - Metoda Monte Carlo - Fatcat

Całkowanie Monte Carlo.1) Stosując metodę Monte Carlo należy obliczyć objętość obiektu określonegorównaniem:222 2( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) ≤0 00 RJest to oczywiście kuli o środku w [x 0 , y 0 , z 0 ] i promieniu R.Przyjmijmy, że środek kuli o promieniu R=1 m znajduje się w punkcie r 0 =[1.2, 1.2, 1.2].Ponieważ całkowanie mamy wykonać metodą MC, musimy wybrać obszar większy odobszaru kuli, którego objętość łatwo można obliczyć analitycznie. Niech tym obszarem będziesześcian o boku a=2.4m, a jego środek pokrywa się ze środkiem kuli. Używając generatoraliczb pseudolosowych wyznaczamy N razy położenie r=[x i , y i , z i ]. Za każdym razem222i − 0 i 0 i 0 .2sprawdzamy, czy jest spełniony warunek: ( x x ) + ( y − y ) + ( z − z ) ≤ RObjętość naszego obiektu znajdziemy wiedząc ile wylosowanych punktów znalazło sięwewnątrz kuli, a ile na zewnątrz niej:nV kuli = Vszescian=NProszę także wyznaczyć błąd metody Monte Carlo w zależności od ilości wylosowanychpunktów:nN3a∆ = Vkuli−4 3πR32) Przy użyciu metody MC należy znaleźć moment bezwładności kuli.Z definicji momentu bezwładności mamy:I = ∫ r2 dmMgdzie: r jest odległością elementu masy dm od osi obrotuPonieważ, m = ρV, to stąd otrzymujemy dm = ρdVi moment bezwładności możemyzapisać jako całkę: I = ∫ ρ r2 dV .VPrzyjmijmy że gęstość masy wewnątrz rozważanego obiektu jest stała i można jąwyciągnąć spod znaku całki. Wzór na moment bezwładności względem osi przechodzącejprzez środek kuli, w metodzie MC przyjmie postać:nI = ρdV∑ r i − r 0i=0( ) 2gdzie: n jest ilością wylosowanych punktów znajdujących się wewnątrz kuli (N jestcałkowitą ilością strzałów)Wzór powyższy można przekształcić do bardziej użytecznej postaci:2ρVn( ) ( ) 2r − r = r rN nI = ρdV∑ i 0 ∑ i − 0N i=0 N i=0gdzie: V jest znaną objętością obszaru obejmującego naszą kulę, N jest całkowitą liczbąwylosowanych punktów r i =[x i , y i ]

Proszę znaleź ć moment bezwładności kuli o promieniu R=1 m, której środek znajduje sięw punkcie r 0 =[1.2, 1.2, 1.2]. Gęstość kuli przyjąć jako równą 1 kg/m 3 . Wartość dokładna2 2to: I kuli = mR .5Proszę także obliczyć moment bezwładności kuli względem osi obrotu przesuniętejwzględem środka kuli o r p =0.3 m. W tym przypadku wartość dokładną momentubezwładności otrzymamy używając twierdzenia Steiner’a:2I = I s + mdgdzie: I s jest momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środekciężkości, m jest masą obiektu, a d jest odległością aktualnej osi obrotu od środkaciężkości.