02 Derivace funkce v bodě - Realisticky cz

Tedy známe nejen zadání, ale i výsledek ⇒ můžeme uplatnit naše předchozí úvahy a navýsledku zkontrolovat, zda jsou správné.Dosadíme do výpočtu změny původní funkce (místo x používáme klasické označení času t):1 2 1 2 1 2 2 1 2f ( t ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) 00+ ∆t − f ta t + ∆t − a t a t + 2t ∆ t + ∆t − at0lim = lim 2 2 = lim 2 2∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ∆t→0∆t1 2 1 1 2 1 2 1 2at0 + a2t0∆ t + a∆t − at0 at0∆ t + a∆tlim 2 2 2 2 lim 2 ⎛ a∆t⎞= = lim ⎜ at0 + ⎟ = at0 + 0 = at∆ 0t → 0 ∆t∆ t → 0 ∆t∆ t → 0⎝ 2 ⎠Protože jsme nekladli žádné podmínky ohledně času t 0, ve kterém jsme změnu dráhyurčovali, můžeme za t 0dosadit libovolné t a ve vzorci můžeme psát v = at .∆ sOdvození dopadlo přesně tak, jak jsme očekávali: lim = v = at ⇒ dokonale přesným∆t→0∆t1 2výpočtem změny dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu y = at jsme získali funkci2∆ slim = v = at , která udává pro libovolný okamžik vztah pro okamžitou rychlost tohoto∆t→0∆tf ( x0 + ∆x) − f ( x0)pohybu ⇒ še úvahy byly správné, výraz limurčuje s nekonečnou∆x→0∆xpřesností změnu funkce (směrnici tečny jejího grafu) v bodě x0.Shrnutí:Chceme vědět, jakým způsobem se mění hodnoty funkce y f ( x)y f ( x + ∆x) − f ( x )= v bodě x0:∆ 0 0• přibližná hodnota změny =,∆x∆x• přesnost výpočtu se bude zvětšovat, když se ∆ x bude zmenšovat ⇒ nekonečněf ( x0 + ∆x) − f ( x0)přesný výsledek: lim= derivace funkce f v bodě x0.∆x→0∆xDefinice:Je dána funkce f definovaná v jistém okolí bodu x0. Existuje-li vlastní limitalim∆x→0f ′( x 0 ) .( + ∆ ) − ( )f x x f x0 0∆xnazýváme ji derivací funkce f v bodě x0a značíme ji symbolemDerivováním funkce f ( x ) získáme funkci f ( x)• změnu původní funkce f ( x ) v bodě x0,• směrnici tečny grafu funkce f ( x ) v bodě x0.Derivace je speciálním případem limity.′ jejíž hodnoty v každém bodě x0udávají:7