02 Derivace funkce v bodÄ - Realisticky cz
02 Derivace funkce v bodÄ - Realisticky cz 02 Derivace funkce v bodÄ - Realisticky cz
yf( )x 0f(x)Xf( )X0x 0x 0x 0x( + ∆ ) − ( ) ( + ∆ ) − ( )f x0 x f x0 f x0 x f x0Směrnice přímky k = =(získali jsme stejný zlomek,x0 + ∆x − x0∆xjako před okamžikem, když jsme se snažili určit míru změny funkce).Směrnici tečný získáme tím přesněji, čím blíže bodu x0bude bod x0+ ∆ x ⇒ tím přesněji,čím menší bude ∆ x ⇒ stejně jako před chvíli se dostáváme k limitěf ( x0 + ∆x) − f ( x0)lim.∆x→0∆xZnamená to, že jsme opět v koncích?Rozhodně ne. Nevíme, zda je možné vyjádřit změnu funkce v bodě zcela přesně nějakýmčíslem, ale víme, že graf funkce má v bodě x0tečnu, že tato tečna musí mít směrnici a že tatof ( x0 + ∆x) − f ( x0)směrnice je rozumné reálné číslo ⇒ limita limnevede ani k jednomu∆x→0∆xz nepěkných výsledků, ale k rozumnému reálnému číslu.Naše úvahy dovedeme do konce na konkrétním příkladu, u kterého známe řešení. Takovýpříklad máme díky fyzice.f ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yZlomek lim=∆x→0∆x∆xznáme z fyziky ve tvaru ∆s. I tady jsme si říkali, že∆ t∆svýsledek je pouze přibližným odhadem okamžité rychlosti, ke kterému se budeme blížit∆t∆ stím lépe, čím kratší ∆ t použijeme. Ideálním případem pak je limita lim = v (okamžitá∆t→0∆trychlost vyjadřuje změnu dráhy v čase, "je záležitostí jediného konkrétního okamžiku, stejnějako změna a tečna jsou záležitostí jediného bodu v grafu").Zabývat se budeme rovnoměrně zrychleným pohybem (pro jednoduchost s nulovou počátečnírychlostí).Známe:1 2• původní funkci: závislost dráhy na čase - y = at ,2• odvozenou funkci, která popisuje změnu původní funkce v čase: závislost okamžitérychlostí na čase - v = at .6
Tedy známe nejen zadání, ale i výsledek ⇒ můžeme uplatnit naše předchozí úvahy a navýsledku zkontrolovat, zda jsou správné.Dosadíme do výpočtu změny původní funkce (místo x používáme klasické označení času t):1 2 1 2 1 2 2 1 2f ( t ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) 00+ ∆t − f ta t + ∆t − a t a t + 2t ∆ t + ∆t − at0lim = lim 2 2 = lim 2 2∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ∆t→0∆t1 2 1 1 2 1 2 1 2at0 + a2t0∆ t + a∆t − at0 at0∆ t + a∆tlim 2 2 2 2 lim 2 ⎛ a∆t⎞= = lim ⎜ at0 + ⎟ = at0 + 0 = at∆ 0t → 0 ∆t∆ t → 0 ∆t∆ t → 0⎝ 2 ⎠Protože jsme nekladli žádné podmínky ohledně času t 0, ve kterém jsme změnu dráhyurčovali, můžeme za t 0dosadit libovolné t a ve vzorci můžeme psát v = at .∆ sOdvození dopadlo přesně tak, jak jsme očekávali: lim = v = at ⇒ dokonale přesným∆t→0∆t1 2výpočtem změny dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu y = at jsme získali funkci2∆ slim = v = at , která udává pro libovolný okamžik vztah pro okamžitou rychlost tohoto∆t→0∆tf ( x0 + ∆x) − f ( x0)pohybu ⇒ še úvahy byly správné, výraz limurčuje s nekonečnou∆x→0∆xpřesností změnu funkce (směrnici tečny jejího grafu) v bodě x0.Shrnutí:Chceme vědět, jakým způsobem se mění hodnoty funkce y f ( x)y f ( x + ∆x) − f ( x )= v bodě x0:∆ 0 0• přibližná hodnota změny =,∆x∆x• přesnost výpočtu se bude zvětšovat, když se ∆ x bude zmenšovat ⇒ nekonečněf ( x0 + ∆x) − f ( x0)přesný výsledek: lim= derivace funkce f v bodě x0.∆x→0∆xDefinice:Je dána funkce f definovaná v jistém okolí bodu x0. Existuje-li vlastní limitalim∆x→0f ′( x 0 ) .( + ∆ ) − ( )f x x f x0 0∆xnazýváme ji derivací funkce f v bodě x0a značíme ji symbolemDerivováním funkce f ( x ) získáme funkci f ( x)• změnu původní funkce f ( x ) v bodě x0,• směrnici tečny grafu funkce f ( x ) v bodě x0.Derivace je speciálním případem limity.′ jejíž hodnoty v každém bodě x0udávají:7
- Page 1 and 2: 10.2.2 Derivace funkce v boděPřed
- Page 3 and 4: Ve zbytku hodiny nebudeme rozlišov
- Page 5: Př. 8: Pro jakou volbu ∆ x získ
yf( )x 0f(x)Xf( )X0x 0x 0x 0x( + ∆ ) − ( ) ( + ∆ ) − ( )f x0 x f x0 f x0 x f x0Směrnice přímky k = =(získali jsme stejný zlomek,x0 + ∆x − x0∆xjako před okamžikem, když jsme se snažili určit míru změny <strong>funkce</strong>).Směrnici tečný získáme tím přesněji, čím blíže bodu x0bude bod x0+ ∆ x ⇒ tím přesněji,čím menší bude ∆ x ⇒ stejně jako před chvíli se dostáváme k limitěf ( x0 + ∆x) − f ( x0)lim.∆x→0∆xZnamená to, že jsme opět v koncích?Rozhodně ne. Nevíme, zda je možné vyjádřit změnu <strong>funkce</strong> v bodě zcela přesně nějakýmčíslem, ale víme, že graf <strong>funkce</strong> má v bodě x0tečnu, že tato tečna musí mít směrnici a že tatof ( x0 + ∆x) − f ( x0)směrnice je rozumné reálné číslo ⇒ limita limnevede ani k jednomu∆x→0∆xz nepěkných výsledků, ale k rozumnému reálnému číslu.Naše úvahy dovedeme do konce na konkrétním příkladu, u kterého známe řešení. Takovýpříklad máme díky fyzice.f ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yZlomek lim=∆x→0∆x∆xznáme z fyziky ve tvaru ∆s. I tady jsme si říkali, že∆ t∆svýsledek je pouze přibližným odhadem okamžité rychlosti, ke kterému se budeme blížit∆t∆ stím lépe, čím kratší ∆ t použijeme. Ideálním případem pak je limita lim = v (okamžitá∆t→0∆trychlost vyjadřuje změnu dráhy v čase, "je záležitostí jediného konkrétního okamžiku, stejnějako změna a tečna jsou záležitostí jediného bodu v grafu").Zabývat se budeme rovnoměrně zrychleným pohybem (pro jednoduchost s nulovou počátečnírychlostí).Známe:1 2• původní funkci: závislost dráhy na čase - y = at ,2• odvozenou funkci, která popisuje změnu původní <strong>funkce</strong> v čase: závislost okamžitérychlostí na čase - v = at .6
Change language