02 Derivace funkce v bodě - Realisticky cz

Př. 8: Pro jakou volbu ∆ x získáme v předchozím příkladu přesnější výsledek?yf(x)f( x 0 )f( )x 0zx 0 x0 xČím menší volíme ∆ x tím více směr přepony červeného trojúhelníka shoduje se směremgrafu funkce v bodě x0.Už chvíli víme, že nám k určení změny funkce v libovolném místě stačí prozkoumat libovolněmalé okolí tohoto bodu. Navíc čím menší ∆ x používáme, tím přesnější údaj o míře růstuf ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yzískáváme ⇒ z = = pro co nejmenší ∆ x ⇒ nejpřesnější hodnotu∆x∆xf ( x0 + ∆x) − f ( x0)získáme, když spočteme limitu: lim.∆x→0∆xProblém?!Můžeme si dovolit výrazdopadnout?• Děláme• Děláme∆x→0lim∆x→0( + ∆ ) − ( )f x x f x0 0∆xvůbec spočítat. Jak může náš pokuslim ∆ x ⇒ ve jmenovateli zlomku se objeví nula a to není možné.lim ∆ x , oba body grafu se přibližují k sobě ⇒ čitatel∆x→0( ) ( )f x + ∆x − f x = ∆yse blíží k nule ⇒ vyjde vždy nula a to určitě není správně.• Děláme0 0lim ∆ x , jak čitatel tak jmenovatel se blíží k nule ⇒ stále může vyjít rozumné∆x→0číslo (už jsme u limit takové situace zažili, limita nepopisuje to, co se děje přesněv bodu x0, ale to k čemu situace směřuje, když se k bodu x −nekonečně přibližujeme).Zkusíme se na problém podívat z jiného úhlu.Se změnou funkce souvisí směrnice tečny grafu (čím rychleji funkce roste, tím strmější jetečna) ⇒ prozkoumáme tečnu grafu v bodě x0.Rovnice přímky procházející bodem X0 [ x0 , y0 ]: y y0 k ( x x0)směrnici k v bodě [ , ]0 0 0náš odhad postupně zpřesnit.− = − ⇒ potřebujeme určitX x y . Nevíme, jak ji najít přesně ⇒ zkusíme ji určit přibližně a pakPřímku, která je přibližně tečnou v bodě X0⎡⎣x0,f ( x0) ⎤⎦ bodem X0⎡⎣ x0,f ( x0) ⎤⎦ a bodem X ⎡⎣x ( )0+ ∆ x,f x0+ ∆xurčit její rovnici, protože umíme určit její směrnici)., nahradíme přímkou, která prochází⎤⎦ (není přesnou tečnou, ale dokážeme5