02 Derivace funkce v bodě - Realisticky cz

10.2.2 Derivace funkce v boděPředpoklady: 100201Dávné vzpomínkyNejjednodušší typ funkce: lineární funkce y = ax + b , hodnota parametru a nám říká, jakrychle funkce roste nebo klesá (jak se mění její hodnoty).Př. 1:Na obrázku jsou tři lineární funkce. Která z nich roste nejrychleji, která nejpomaleji?yf 2f 3f 1xNejrychleji roste funkce f (její graf je nejstrmější), nejpomaleji funkce 1f2(její graf jenejpozvolnější).Pedagogická poznámka: Špatná řešení vycházejí z toho, že funkce f2je na obrázku(úmyslně) nakreslena nejvýše. Pokud se tato chyba objeví, je třeba diskuse, kterépovede k tomu, že vůbec nezáleží na tom, jak vysoko je v daném místě graf funkceumístěn, ale pouze na tom, jak strmá je čára. Záměna hodnoty (výšky grafy) azměny (strmosti grafu) je velmi častým problémem při odhadování derivací.Př. 2:Načrtni graf libovolné lineární funkce, která klesá.Graf funkce musí směřovat z levého horního rohu do pravého dolního.yfx1

Př. 3:Kterým číslem charakterizujeme míru růstu lineární funkce. Jak se toto číslo počítá,pokud známe dva body grafu funkce?Míru růstu lineární funkce charakterizuje hodnota parametru a, která také udává tgϕ (ϕ jeúhel, který graf svírá s kladnou poloosou x).Hodnotu a můžeme vypočítat ze dvou bodů grafu, buď dosazením do rovnice y = ax + b nebo∆yy2 − y1vzorcem a = = .∆x x − xy2 1fxUrčit, jak rychle funkce roste nebo klesá, není u lineární funkce nic těžkého. Zkusíme, zda byněco podobného šlo provést i u složitějších funkcí, které nejsou lineární (lineární funkcesituaci zjednodušuje tím, že se mění pořád stejným způsobem a její změna je v každém boděstejná).Př. 4: Na obrázku je graf funkce y = f ( x). Porovnej, jak rychle roste ve vyznačenýchbodech. Jak velkou část grafu musí být okolo každého z bodů vidět, aby byl příkladřešitelný.yfx 1x 2x 3xFunkce y = f ( x)roste nejrychleji v bodě x3(graf je v něm nejstrmější), nejpomaleji v bodě2x (graf je v něm nejpozvolnější).K vyřešení příkladu stačí vidět libovolně malou část grafu funkce v okolí bodu, ve kterémmáme porovnat rychlost růstu.2

Ve zbytku hodiny nebudeme rozlišovat, zda se hodnoty funkce zvětšují nebo zmenšují.Budeme zkoumat obojí dohromady jako změnu hodnot funkce v okolí libovolného bodu x0.Zkusíme vypočítat velikost změny funkce y = f ( x)v bodě x0:Změna - o kolik se zvětšila (zmenšila) hodnota funkce ⇒ musíme porovnávat hodnotyfunkce na dvou místech ⇒ zvolíme si vedle bodu x0další bod o ∆ x dál (tedy ∆x≥ 0 ) az = f x + ∆x − f x = ∆ y .vypočteme, jak se změnila hodnota funkce: ( ) ( )yf( ) x 0zf( x 0 )x 0f(x)0 0x 0xPř. 5: Jak z hodnoty čísla ( ) ( )klesá?Platí:• 0z = f x + ∆x − f x = ∆ y určíme, zda funkce roste nebo0 0z > ⇒ funkce f roste (protože f ( x0 x) f ( x0)z < ⇒ funkce f klesá (protože f ( x x) f ( x )• 0+ ∆ > , bod více vpravo je výše),+ ∆ < , bod více vpravo je níže).0 0z = f x + ∆x − f x = ∆ y není správnouPř. 6: Najdi důvody, proč číslo ( ) ( )0 0charakteristikou růstu funkce v bodě x0.Velikost čísla z závisí na volběnašem případě).yf(x)f( x0 )zf( x 0 )x 0∆ x , čím větší zvolíme∆ x , tím větší hodnotu z získáme (vx 0x∆yy2 − y1Vrátíme se k vzorci pro výpočet její směrnice a = = . Přepíšeme vzorec podle∆x x2 − x1značení, které jsme použili při výpočtu čísla z:x = x ,•1 03

• x2 = x0+ ∆ x ,y = f x = f x ,•1 ( 1) ( 0 )• y1 = f ( x2 ) = f ( x0+ ∆ x).∆yy2 − y1( ) ( )( )2 1 1 1( ) ( )f x + ∆x − f x f x + ∆x − f xa = = = =∆x x − x x + ∆x − x ∆x0 0 0 0Čitatel se shoduje s naším výrazem pro růst funkce (a je tedy závislý na volbě ∆ x ), vzorecnavíc obsahuje jmenovatel ∆ x . Proč?Při volbě většího xf x + ∆x − f x = ∆ y , ale získané větší číslo dělíme∆ získáme větší ( ) ( )0 0větším ∆ x , což výsledek zase zmenší ⇒ použijeme tento vzorec jako vylepšenou verzif ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yvztahu pro změnu: z = =∆x∆ x.Vyřešili jsme problémy se závislostí na volbě ∆ x úplně?Př. 7: Nakresli několik obrázků naší funkce s různou zvolenou velikostí ∆ x . Závisíf ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yhodnota z = = na volbě x∆x∆x∆ ? Proč?yf( x0 )f(x)yf(x)f( ) x 0f( )zf( )zx 0x 0x 0xx 0x 0 x 0xyf(x)yf(x)f( ) x 0f( )x 0x 0zf( x 0 )f( )x 0zx 0xx 0 x0 xV posledním obrázku jsou nakresleny směry všech čtyř přepon červeného trojúhelníka ⇒f ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yhodnota změny z = = závisí na volbě ∆ x . Sklon grafu funkce se mění∆x∆xa protože se změnou ∆ x se mění druhý bod, který využíváme ke konstrukci červenéhotrojúhelníku, mění se i hodnota změny z.U lineární funkce tento problém nenastává, protože její graf má ve všech bodech stejnýmsměr.4

Př. 8: Pro jakou volbu ∆ x získáme v předchozím příkladu přesnější výsledek?yf(x)f( x 0 )f( )x 0zx 0 x0 xČím menší volíme ∆ x tím více směr přepony červeného trojúhelníka shoduje se směremgrafu funkce v bodě x0.Už chvíli víme, že nám k určení změny funkce v libovolném místě stačí prozkoumat libovolněmalé okolí tohoto bodu. Navíc čím menší ∆ x používáme, tím přesnější údaj o míře růstuf ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yzískáváme ⇒ z = = pro co nejmenší ∆ x ⇒ nejpřesnější hodnotu∆x∆xf ( x0 + ∆x) − f ( x0)získáme, když spočteme limitu: lim.∆x→0∆xProblém?!Můžeme si dovolit výrazdopadnout?• Děláme• Děláme∆x→0lim∆x→0( + ∆ ) − ( )f x x f x0 0∆xvůbec spočítat. Jak může náš pokuslim ∆ x ⇒ ve jmenovateli zlomku se objeví nula a to není možné.lim ∆ x , oba body grafu se přibližují k sobě ⇒ čitatel∆x→0( ) ( )f x + ∆x − f x = ∆yse blíží k nule ⇒ vyjde vždy nula a to určitě není správně.• Děláme0 0lim ∆ x , jak čitatel tak jmenovatel se blíží k nule ⇒ stále může vyjít rozumné∆x→0číslo (už jsme u limit takové situace zažili, limita nepopisuje to, co se děje přesněv bodu x0, ale to k čemu situace směřuje, když se k bodu x −nekonečně přibližujeme).Zkusíme se na problém podívat z jiného úhlu.Se změnou funkce souvisí směrnice tečny grafu (čím rychleji funkce roste, tím strmější jetečna) ⇒ prozkoumáme tečnu grafu v bodě x0.Rovnice přímky procházející bodem X0 [ x0 , y0 ]: y y0 k ( x x0)směrnici k v bodě [ , ]0 0 0náš odhad postupně zpřesnit.− = − ⇒ potřebujeme určitX x y . Nevíme, jak ji najít přesně ⇒ zkusíme ji určit přibližně a pakPřímku, která je přibližně tečnou v bodě X0⎡⎣x0,f ( x0) ⎤⎦ bodem X0⎡⎣ x0,f ( x0) ⎤⎦ a bodem X ⎡⎣x ( )0+ ∆ x,f x0+ ∆xurčit její rovnici, protože umíme určit její směrnici)., nahradíme přímkou, která prochází⎤⎦ (není přesnou tečnou, ale dokážeme5

yf( )x 0f(x)Xf( )X0x 0x 0x 0x( + ∆ ) − ( ) ( + ∆ ) − ( )f x0 x f x0 f x0 x f x0Směrnice přímky k = =(získali jsme stejný zlomek,x0 + ∆x − x0∆xjako před okamžikem, když jsme se snažili určit míru změny funkce).Směrnici tečný získáme tím přesněji, čím blíže bodu x0bude bod x0+ ∆ x ⇒ tím přesněji,čím menší bude ∆ x ⇒ stejně jako před chvíli se dostáváme k limitěf ( x0 + ∆x) − f ( x0)lim.∆x→0∆xZnamená to, že jsme opět v koncích?Rozhodně ne. Nevíme, zda je možné vyjádřit změnu funkce v bodě zcela přesně nějakýmčíslem, ale víme, že graf funkce má v bodě x0tečnu, že tato tečna musí mít směrnici a že tatof ( x0 + ∆x) − f ( x0)směrnice je rozumné reálné číslo ⇒ limita limnevede ani k jednomu∆x→0∆xz nepěkných výsledků, ale k rozumnému reálnému číslu.Naše úvahy dovedeme do konce na konkrétním příkladu, u kterého známe řešení. Takovýpříklad máme díky fyzice.f ( x0 + ∆x) − f ( x0) ∆yZlomek lim=∆x→0∆x∆xznáme z fyziky ve tvaru ∆s. I tady jsme si říkali, že∆ t∆svýsledek je pouze přibližným odhadem okamžité rychlosti, ke kterému se budeme blížit∆t∆ stím lépe, čím kratší ∆ t použijeme. Ideálním případem pak je limita lim = v (okamžitá∆t→0∆trychlost vyjadřuje změnu dráhy v čase, "je záležitostí jediného konkrétního okamžiku, stejnějako změna a tečna jsou záležitostí jediného bodu v grafu").Zabývat se budeme rovnoměrně zrychleným pohybem (pro jednoduchost s nulovou počátečnírychlostí).Známe:1 2• původní funkci: závislost dráhy na čase - y = at ,2• odvozenou funkci, která popisuje změnu původní funkce v čase: závislost okamžitérychlostí na čase - v = at .6

Tedy známe nejen zadání, ale i výsledek ⇒ můžeme uplatnit naše předchozí úvahy a navýsledku zkontrolovat, zda jsou správné.Dosadíme do výpočtu změny původní funkce (místo x používáme klasické označení času t):1 2 1 2 1 2 2 1 2f ( t ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) 00+ ∆t − f ta t + ∆t − a t a t + 2t ∆ t + ∆t − at0lim = lim 2 2 = lim 2 2∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ∆t→0∆t1 2 1 1 2 1 2 1 2at0 + a2t0∆ t + a∆t − at0 at0∆ t + a∆tlim 2 2 2 2 lim 2 ⎛ a∆t⎞= = lim ⎜ at0 + ⎟ = at0 + 0 = at∆ 0t → 0 ∆t∆ t → 0 ∆t∆ t → 0⎝ 2 ⎠Protože jsme nekladli žádné podmínky ohledně času t 0, ve kterém jsme změnu dráhyurčovali, můžeme za t 0dosadit libovolné t a ve vzorci můžeme psát v = at .∆ sOdvození dopadlo přesně tak, jak jsme očekávali: lim = v = at ⇒ dokonale přesným∆t→0∆t1 2výpočtem změny dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu y = at jsme získali funkci2∆ slim = v = at , která udává pro libovolný okamžik vztah pro okamžitou rychlost tohoto∆t→0∆tf ( x0 + ∆x) − f ( x0)pohybu ⇒ še úvahy byly správné, výraz limurčuje s nekonečnou∆x→0∆xpřesností změnu funkce (směrnici tečny jejího grafu) v bodě x0.Shrnutí:Chceme vědět, jakým způsobem se mění hodnoty funkce y f ( x)y f ( x + ∆x) − f ( x )= v bodě x0:∆ 0 0• přibližná hodnota změny =,∆x∆x• přesnost výpočtu se bude zvětšovat, když se ∆ x bude zmenšovat ⇒ nekonečněf ( x0 + ∆x) − f ( x0)přesný výsledek: lim= derivace funkce f v bodě x0.∆x→0∆xDefinice:Je dána funkce f definovaná v jistém okolí bodu x0. Existuje-li vlastní limitalim∆x→0f ′( x 0 ) .( + ∆ ) − ( )f x x f x0 0∆xnazýváme ji derivací funkce f v bodě x0a značíme ji symbolemDerivováním funkce f ( x ) získáme funkci f ( x)• změnu původní funkce f ( x ) v bodě x0,• směrnici tečny grafu funkce f ( x ) v bodě x0.Derivace je speciálním případem limity.′ jejíž hodnoty v každém bodě x0udávají:7

Derivování funkcí je matematickým nástrojem, který umožňuje zachytit jeden ze základníchfyzikálních vztahů mezi veličinami (jedna veličina je úměrná změně jiné veličiny) a proto bylobjev derivování jednou z podmínek velkého rozvoje fyziky na konci sedmnáctého století.Shrnutí: Derivace funkcelim∆x→0( + ∆ ) − ( )f x x f x0 0∆xudává změnu hodnot funkce v bodě x0.8