Metode snovanja sit s konˇcnim impulznim odzivom - Laboratorij za ...

Metode snovanja sit skončnim impulznimodzivomPredgovorZapis je gradivo za trinajsto poglavje – vsebuje metode snovanjasit s končnim impulznim odzivom – knjige z delovnim naslovomSignali. Zaenkrat je dostopna le na domači strani laboratorijaza obdelavo signalov in daljinska vodenjahttp://sparc.feri.uni-mb.si/Digknj/index.htmkot datoteka ch2009_13.pdf.Datoteka bo do izdaje knjige verjetno doživela popravke šeneodkritih tipkarskih napak ter dopolnitve in razširitve razlag.Zato so strani zapiskov označene tudi z verzijo dokumenta, kije označena z imenom datoteke in združenim zapisom datumaskladno s standardom ISO.V dokumentu je veliko sklicevanja na ostala poglavja knjige.Dokler ta poglavja ne bodo na vključena v sistem križnih referenc,bodo povezave na njih označene s ??. Elektronski dokumentvsebuje tudi animacije. Teh bo s časom več, žal pa bo znjimi narastla tudi obsežnost elektronskega dokumenta.Vse, ki bodo pri branju ali študij zapiskov odkrili kakršnekolinapake ali imate predloge po dodatnih animacijah ali drugihdopolnitvah, prosim, da mi to sporočijo na naslov:zarko.cucej@uni-mb.sii

iiPri študiju te zanimive, vendar zahtevne snovi vsem študentomželim obilo uspeha.Januar 2009Žarko Čučej

KazaloPredgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iKazaloiii13 Metode snovanja sit s FIR 1Žarko Čučej13.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Pogoj za linearno fazno karakteristiko sit s FIR . . 213.2.1 Simetrije impulznih odzivov . . . . . . . . 313.2.2 Frekvenčne karakteristike sit s simetričnimiFIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Pozitivna simetrija in liho število koeficientov. . . . . . . . . . . . . . 6Pozitivna simetrija in sodo število koeficientov. . . . . . . . . . . . . . 8Amplitudna karakteristika pri pozitivnisimetriji . . . . . . . . . . . . 8Negativna simetrija . . . . . . . . . . . . . . 913.2.3 Vrste sit s simetričnimi končnimi odzivi . . 1013.3 Metode snovanja sit s FIR . . . . . . . . . . . . . . 1013.4 Okenska metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4.1 Vpliv okna na amplitudno karakteristikosita s FIR in linearno fazno karakteristiko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.4.2 Uporaba nepravokotnih oken . . . . . . . . 16Recept za uporabo nenastavljivih oken . . 19Recept za uporabo nastavljivih oken . . . . 2013.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.5.1 Načrtovanje nerekurzivnih sit s FIRz vzorčenjem amplitudne karakteristike . . 22iii

ivKAZALO13.5.2 Optimiranje amplitudnega odziva . . . . . 24Linearni prehodni pas . . . . . . . . . . . . 24Optimalni potek prehodnega pasu . . . . . 2413.5.3 Rekurzivna sita s FIR . . . . . . . . . . . . . 2513.6 Optimalna aproksimacija sit . . . . . . . . . . . . . 2813.6.1 Snovanje optimalnih sit . . . . . . . . . . . 2913.6.2 Parks-McClellanov algoritem . . . . . . . . 3013.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB . . . . . 3413.7.1 Računanje frekvenčnega odziva digitalnihsit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.7.2 Okenska metoda . . . . . . . . . . . . . . . 3613.7.3 Optimalna metoda . . . . . . . . . . . . . . 41Funkcija remez . . . . . . . . . . . . . . . . 42Funkcija remezord . . . . . . . . . . . . . . 4513.7.4 Metoda vzorčenja frekvenčne karakteristike 5013.8 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

13Metode snovanja sit s FIRŽarko ČučejDIGITALNA SITA S KONČNIM IMPULZNIM ODZIVOM oziromana kratko sita s FIR, so razred sit z mnogimi želenimilastnostmi. Na primer, absolutna stabilnost, linearnipotek faze na Nyquistovem intervalu, preproste tehnikeparalelne izvedbe algoritmov, možnosti preproste priprave matematičnihalgoritmov za vektorsko itd. Poleg teh, želenih lastnosti,pa si – žal – pri snovanju sit s FIR ne moremo pomagatiz metodami, ki smo jih spoznali pri snovanju analognih sitih.13.1 Osnovni pojmiSita s končnim impulznim odzivom imajo – kot pove njihovoime – končno dolg impulzni odziv h. Njegova dolžina je enakastopnji polinoma, ki opiše odziv sita (??):FIR: y[n] ==p∑k=0h[k]v[n − k] (13.1-1)p∑ b k v[n − k] (13.1-2)k=0= b 0 v[n] + b 1 v[n − 1] + · · · + b p v[n − p] . (13.1-3)Iz (13.1-2) sledi, da ima direktna realizacija sita p + 1 koeficientovb k , k = 0, 1, . . . , p. Iz direktne predstavitve sita s signalnimgrafom, skonstruiramo ga iz (13.1-3) vidimo, da lahko na sito skončnim impulznim odzivom gledamo kot na zakasnilno linijos p + 1 odcepi uteženimi s koeficienti b k (Slika 13.1-1). Zaradi testrukture ta sita imenujemo tudi transferzalna sita.1

2 Metode snovanja sit s FIRSlika 13.1-1Direktna predstavitev digitalnegasistema s FIR.v[n]b 0z −1b 1v[n-1]z −1b 2v[n-2]z −1z −1 b pv[n-p]b k = h[k]zakasnilna linijas p + 1 odcepisito FIRy[n]☞Ko govorimo o stopnji sita, se moramo zavedati, da pri sitih skončnim odzivom pove, kolikšna je dolžina sita, nima pa neposrednepovezave s strmino prehoda med prepustnim in zapornimpasom sita, tako kot jo ima stopnjo sita pri analognih in pridigitalnih sitih z neskončnim odzivom. Zato bomo v opisu sit sFIR nadalje raje uporabljali termin dolžina sita. Pri tem ponovnopoudarimo:dolžina sita: p (13.1-4)število koeficientov v situ: p + 1 , (13.1-5)☞☞oziroma 1 , da ko govorimo o sodem p imamo v imamo liho številokoeficientov sita in obratno, pri lihem p, imamo sodo številokoeficientov. Ta, na videz malenkostna pripomba, ima velikvpliv na zahtevnost algoritma sita in s tem tudi na strukturosita. Zato večina programov, ki jih uporabljamo pri snovanju sit,na primer MATLAB, samodejno poveča dolžino sita tako, da je pvedno sod oziroma ima sito liho število koeficientov13.2 Pogoj za linearno faznokarakteristiko sit s FIRKakšen impulzni odziv mora imeti sito, da ima linearno faznokarakteristiko? Odgovor na to vprašanje skušajmo najti z opa-1 Žal v literaturi ni enotnega označevanja dolžine sita in števila koeficientovv situ. Zato moramo biti pozorni, kaj uporabljane oznake pomenijo.Signali: ch2009_13 20090120

13.2 Pogoj za linearno fazno karakteristiko sit s FIR 3zovanjem frekvenčnih karakteristik idealnih sit. Iz izračuna impulznegaodziva v razdelku ?? na strani ?? vidimo, da je impulzniodziv idealnega nizkoprepustnega sita simetričen. Tovidimo tudi v razdelku ?? na strani ??, kjer smo prikazali frekvenčnekarakteristike idealnih digitalnih sit in v razdelku ?? nastrani ??, kjer smo izračunali njihov impulzni odziv. Tudi ta jesimetričen. Zato lahko intuitivno sklepamo, da je simetrija impulznihodzivov povezana z linearnostjo fazne karakteristike.Izkaže se 2 – in to bomo kasneje potrdili z izračunom – da je simetrijaimpulznega odziva potreben in zadosten pogoj za linearnostfazne karakteristike.13.2.1 Simetrije impulznih odzivovImpulzni odzivi idealni sit, tako analognih kot digitalnih so sodosimetrični in neprehodni. Pri sitih s FIR impulzni odziv omejimona N koeficientov. Če jih izrežemo iz odziva digitalnegaidealnega sita, jih lahko uporabimo za izvedljivo sito, če jih zakasnimoza toliko, da so vsi koeficienti pri pozitivnih frekvencah.Z zakasnitvijo premaknemo tudi njihovo simetralo. Zatoveč ne moremo govoriti o sodi simetričnosti, ampak uporabimosplošnejšo definicijo simetričnosti:pozitivna simetrija:h[n] = h[p − n] ,{ n = 0, 1, 2, . . . , (p + 1)/2 lihi p (13.2-1a)n = 0, 1, 2, . . . , p/2 − 1 sodi p (13.2-1b)oziroma ekvivalentno:h[n] = h [ p2 − n] , sodi p (13.2-2)[ ] [ ]p−1h2− n = p+1h2+ n , sodi p (13.2-3)negativna simetrija:h[n] = −h[p − n] ,{ n = 0, 1, 2, . . . , (p − 1)/2 lihi p (13.2-4a)n = 0, 1, 2, . . . , p/2 − 1 sodi p (13.2-4b)2 Izpeljava potrebnega in zadostnega pogoja za obstoj linearne fazne karakteristikepri sitih s FIR je delo L. R. Rabinera. Glej [?, L. R. Rabiner: Theoryand Application of Digital Signal Processing. Prentice Hall, 1975]

4 Metode snovanja sit s FIRoziroma ekvivalentno:h[n] = h [ p2 − n] , sodi p (13.2-5)[ ] [ ]p−1h2− n = p+1h2+ n , sodi p (13.2-6)Negativno simetrične impulzne odzive imenujemo tudi aritmetičneimpulzni odzive. Sita z aritmetičnimi impulznimiodzivi vršijo razne računske operacije, kot je na primer diferenciranjein Hilbertova transformacija.h[n]h[n]h[n]h[n]pp/2simetrala,sodi pnpp/2simetrala,sodi pnpnp+12simetrala,lihi ppnp+12simetrala,lihi p(a)pozitivna simetrija(b)negativna simetrija(c)pozitivna simetrija(d)negativna simetrijaSlika 13.2-1Pozitivna in negativna simetrija impulznega odziva z liho in sodo dolžino impulznega odziva. Simetrale odzivov sopri p/2. Pri lihih p simetrala leži med dvema koeficientoma, pri sodih p pa poteka preko središčnega koeficienta.Pri simetričnih impulznih odzivih se v algoritmu sita zmanjšaštevilo potrebnih seštevanj in množenj. To uvidimo iz predstavitvesita s signalnim grafom (Slika 13.2-2).13.2.2 Frekvenčne karakteristike sit s simetričnimi FIRFrekvenčno karakteristiko izračunamo iz sistemske funkcije digitalnegasistema, ki je z-transformacijo impulznega odziva:H(z) =p∑ h[k]z −k . (13.2-7)k=0Upoštevamo definicijo spremenljivke z: z = e sT s = e(σ+jω)T s, Tsje interval vzorčenja in pri σ = 0 dobimo:(H(z) = H e sT ∣ (s) ∣∣σ=0= H e jωT )s, (13.2-8)Signali: ch2009_13 20090120

13.2 Pogoj za linearno fazno karakteristiko sit s FIR 5v[n]z −1v[n − 1]z −1v[n − 2]b 0b 1b 2y[n]b p = b 0v[n − p]b z −1p−1 = b 1v[n − p + 1]b z −1p−1 = b 2v[n − p + 2]v[n]z −1z −11 11 11 1b 0b 1z −1b 2z −1y[n]z −1z −1z −1z −1[vn − p−12z −1] b p−12b p+12= b p−12z −1[ ]v n − p+12z −11 1z −1b p+12z −1z −1(a)direktni signalni graf, lihi p(b)reducirani signalni graf, lihi pv[n][vz −1v[n − 1]z −1v[n − 2]z −1n − p−12z −1] b p−12z −1(c)b 0b 1b 2y[n]b p = b 0v[n − p]b z −1p−1 = b 1v[n − p + 1]b z −1p−1 = b 2v[n − p + 2]z −1b z −1p+1 = b p−1[ ]22v n − p+12b p/2 z −1direktni signalni graf, sodi p→v[n]z −1z −1z −1z −1(d)b 01 1b 11 1z −1b 21 1z −1z −1b p/21 1z −11reducirani signalni graf, sodi py[n]Slika 13.2-2Signalni grafi sistemov s simetričnim končnim impulznim odzivom.

6 Metode snovanja sit s FIRkjer je H ( e jωT s)frekvenčna karakteristika digitalnega sistema.Zaradi enotnega označevanja (in krajšega pisanja), jo bomo označevalienako kot pri analognih sistemih, torej:(H(ω) = H e jωT )s. (13.2-9)Frekvenčno karakteristiko običajno prikažemo z amplitudno infazno karakteristiko:Zapišemo jo lahko tudi v obliki:H(ω) = |H(ω)| e jθ(ω) . (13.2-10)H(ω) e −jθ(ω) = |H(ω)| , (13.2-11)ki jo dobimo iz (13.2-10) tako, da obe stani enačbe pomnožimos e −jθ(ω) . Enačbo (13.2-11) bomo kasneje izkoristili pri izpeljavifunkcije, ki opiše potek fazne karakteristike.⎡H(z) = z −p /2 ⎢⎣H(z) =H(z) ==−1∑k=− p /2Pozitivna simetrija in liho število koeficientovPri lihem številu koeficientov impulznega odziva je p sod, simetralaje pri koeficientu h[p/2]. Razdelimo vsoto v (13.2-12) v tridele:p / 2−1∑0p / 2−1∑0p / 2−1∑0h[k]z −k + h[ p / 2 ]z −p /2+p∑k= p /2+1h[k]z −k (13.2-12)in upoštevamo lastnost pozitivne simetrije (13.2-2):h[k]z −k + h[ p / 2 ]z −p /2+h[k]z −k + h[ p / 2 ]z −p /2+p∑k= p /2+1p∑k= p /2+1h[p − k]} {{ }h[k]z pz −kh[k]z −k+p (13.2-13)Premaknimo še impulzni odziv v levo za toliko, da iz pozitivnesimetrije dobimo sodo simetrijo:h [ k − p ]2 z k + h [ p2 − p 2] pz/ 2− p /2+} {{ }=h[0]p / 2∑k=1in upoštevajmo h[k − p / 2 ] = h[k]z −p /2:⎤h [ k − p ]2 z−k+p⎥⎦ (13.2-14)Signali: ch2009_13 20090120

13.2 Pogoj za linearno fazno karakteristiko sit s FIR 7H(z) = z −p /2[−1∑k=− p /2h[k]z −p /2 z k + h[0] +p / 2∑k=1h[k]z −p /2 z −k+p ](13.2-15a)oziroma:H(z)z p /2= h[0] +p / 2∑k=1⎧h[k] ⎩z ⎫ (k−p/2) + z −(k−p /2) ⎭ .(13.2-15b)Upoštevamo še povezavo med H(z) in H(ω) ter Eulerov obrazeccos(α) = 1 (2 e jα + e −jα) . Dobimo:p /H(ω) e jω(p 2/2)T s = h[0] + 2 ∑ h[k] cos [(k − p / 2 )ωT s ] . (13.2-16)k=1Primerjava (13.2-16) z (13.2-11) pokaže, da je na desni stranienačaja v (13.2-16) zapis amplitudne karakteristike sita, na levistrani enačaja pa faktor e jω(p /2)T s določa fazno karakteristiko:oziromae −jω(p /2)T s = ejθ(ω)(13.2-17)θ(ω) = −ω( p / 2 )T s mod 2π . (13.2-18)Vidimo, da je fazna karakteristika θ(ω) na Nyquistovem intervalulinearna funkcija in da se – enako kot amplitudna karakteristikasita – periodično ponavlja. Zato na začetku vsake periodenaredi preskok (Slika 13.2-3).Ω−π 0 πΩSlika 13.2-3Periodično ponavljanje faznekarakteristike.Linearnost fazne karakteristike potrdimo še z izračunom zakasnitvesignala:τ p = θ(ω)ω = − p 2 T s (13.2-19)τ g = dθ(ω)dω = − p 2 T s (13.2-20)

8 Metode snovanja sit s FIRPozitivna simetrija in sodo število koeficientovPri sodem številu koeficientov impulznega odziva je p lih, simetralapa nahaja med koeficientoma h[(p − 1)/2] in h[(p + 1)/2](Slika 13.2-2c). Po premiku impulznega odziva v levo za (p −1)/2 postane impulzni odziv sodo simetričen, vendar se njegovikoeficienti nahajajo pri ne celoštevilčnih indeksih k ′ = k + 1 / 2 .p /H(ω) e jω(p 2/2)T s = 2 ∑ h[n] cos [ ](n − p / 2 )ωT s . (13.2-21)n=0od koder sledi e jω(p/2)T s = e −jθ(ω) oziroma:inθ(ω) = −ω p 2 T s (13.2-22)τ p = − θ(ω)ω = − p 2 T s (13.2-23)τ g = − dθ(ω)dω = − p 2 T s (13.2-24)Vidimo, da tudi pri lihem p dobimo linearno fazno karakteristikosita. S tem smo pokazali, da je (pozitivna) simetričnostimpulznega odziva potreben in zadosten pogoj za linearno karakteristiko.Amplitudna karakteristika pri pozitivni simetriji☞Primerjava (13.2-16) in (13.2-21) pokaže pomembno razliko v lastnostihsita s končnim impulznim odzivom. Pri Nyquistovi frekvenciω N = ω s /2 ima del argumenta ωT s kotne funkcije vrednost:ω N T s2= ω N2 · 2πω}{{} N= π . (13.2-25)=T sZaradi tega ima kotna funkcija cos [ ](n + p/2)ωT s pri tej vrednostinič. Posledica tega je, da je amplitudna karakteristikasit s pozitivno simetrijo končnega odziva pri sodem p vrednosth[p/2], pri lihem p pa je enaka nič. Zato so pozitivno simetričniimpulzni odzivi s sodim številom koeficientov oziroma z lihimp primerni za nizkoprepustna in pasovno prepustna sita in neprimerniza visokoprepustna ter pasovno zaporna sita.Signali: ch2009_13 20090120

13.2 Pogoj za linearno fazno karakteristiko sit s FIR 9Negativna simetrijaImpulznim odzivom z negativno simetrijo imenujemo tudi aritmetičniimpulzni odzivi, saj sita s takšnim impulznim odzivomuporabljamo za izvajanje aritmetičnih operacij diferenciranja inHilbertove transformacije.Dokaz, da imajo tudi ta sita linearno fazo izpeljemo podobnokot smo ga pri pozitivno simetričnem h[n]. Izpeljali ga bomo leza sode p. Izhajamo iz (13.2-12). Pri sodih p in lihi simetriji jesrediščni koeficient h[ p / 2 ] = 0, zato imamo:H(z) =p / 2−1∑0h[k]z −k + 0 +p∑k= p /2+1h[k]z −k . (13.2-26)Nadaljujemo z (13.2-13), kjer sedaj upoštevamo liho simetrijo:H(z) ==p / 2−1∑0p / 2−1∑0h[k]z −k + 0 −h[k]z −k + 0 −p∑k= p /2+1p∑k= p /2+1h[p − k]} {{ }h[k]z pz −kh[k]z −k+p (13.2-27)S premikom impulznega odziva, ki iz negativne simetrije narediliho in ob upoštevanju povezave med frekvenčno karakteristikoin sistemsko funkcijo digitalnega sistema iz (13.2-28) dobimo:p /H(ω)e jω(p 2/2)T s = j2 ∑ h[k] sin[(k − p / 2 )T s ] (13.2-28)n=0oziroma pri upoštevanju j = e −jπ /2:H(ω) e jω(p /2)T se −jπ /2= 2p / 2∑n=0Fazno karakteristiko izračunamo iz:od koder sledi:h[k] sin[(k − p / 2 )T s ] . (13.2-29)e jω(p /2)T se jπ /2= e −jθ(ω) , (13.2-30)θ(ω) = −ω( p / 2 )T s − π / 2 . (13.2-31)

10 Metode snovanja sit s FIRPri negativni simetriji je fazna karakteristika sicer linearna, vendarne poteka skozi koordinatno izhodišče. Od njega premaknjenaza π / 2 . Posledica tega je, da je fazna zakasnitev frekvenčnoodvisna, konstanta je le skupinska zakasnitev:τ p = − θ(ω)ω = − p 2 T s − π 21ω(13.2-32)τ g = − dθ(ω)dω = − p 2 T s (13.2-33)13.2.3 Vrste sit s simetričnimi končnimi odziviGlede na vrsto simetrije impulznega odzive in dolžino impulznegaodziva ločimo štiri vrste sit s FIR in linearno fazno karakteristiko(Tabela 13.1 na naslednji strani):tip I: pozitivno simetrični impulzni odziv, p je sodo število, zatoima sito liho število koeficientov b ktip II: pozitivno simetrični impulzni odziv, p je liho število, zatoima sito sodo število koeficientov b ktip III: liho simetrični impulzni odziv, p je sodo število, zato imasit liho število koeficientov b ktip IV: liho simetrični impulzni odziv, p je liho število, zato imasito sodo število koeficientov b k13.3 Metode snovanja sit s FIROpisali bomo tri metode snovanja sit s FIR:1. Okenska metodaS časovnim oknom iz impulznega odziva idealnega sitaodrežemo tolikšen del impulznega odziva, da so lastnostisita znotraj specifikacij sita.2. Metoda vzorčenja amplitudne karakteristikeImpulzni odziv izračunamo z inverzno DFT vzorca izbrane(običajno idealne) amplitudne karakteristike.3. Optimalna metodaNumerična metoda na osnovi Čebiševega aproksimacijskegateorema, ki pri dani dolžini impulznega odziva daSignali: ch2009_13 20090120

13.3 Metode snovanja sit s FIR 11Tabela 13.1Pregled glavnih lastnosti sit s FIR in linearno karakteristiko. N = p + 1: število koeficientov v impulznem odzivu.simetrija tip N H(ω) θ(ω) zgled impulznega odzivah[n]simetralaI lih2h[N−1N−122]+∑n=1h[n] cos(ω( N−12− n)T s) −ω N−12T s0 2 4 5 6 8 10 npozitivnah[n] = h[N − 1 − n]h[n]N−12N − 1II sod 2N2∑ h[n] cosn=0(ω( N 2 − n)T s)simetrala−ω N 2 T s0 2 4 5 7 9 nN2N − 1h[n]simetralaIII lih 2N−12∑n=0h[n] sin(ω( N−12− n)T s)−ω N−12T s − π 21 3 5 6 7 9nnegativnah[n] = −h[N − 1 − n]h[n]N−12N − 1IV n=1sod 2 N/2∑ h[n] sin(ω( N 2 − n)T s)−ω N 2 T s − π 2simetrala1 3 5 7 9N2nN − 1

12 Metode snovanja sit s FIRminimalno in enakomerno porazdeljeno valovitost prepustnegain zapornega pasu sita.13.4 Okenska metodaSnovanje sit s končnim impulznim odzivom z okensko metodoje preprosto vendar učinkovito. Metoda je primerna za snovanjefrekvenčno selektivnih sit, posebej za sita tip I (liho število koeficientovsita, sodi p). Postopek, na katerem temelji, izvedemojo v petih korakih. Po potrebi, da dobimo želeni rezultat, lahkozadnje tri korake večkrat ponovimo.Koraki so naslednji:1. Izberemo frekvenčno karakteristiko, kateri želimo aproksimirati.Ponavadi za želene frekvenčne karakteristikeD(ω) izberemo idealne karakteristike digitalnih frekvenčnoselektivnih sit.2. Z inverzno Fourierovo transformacijo zaporedja izračunamokoeficiente impulznega odziva želenega sita:d[n] = 12π∫ π−πD(ω) e jnωt dω . (13.4-1)Obrazce izračunanih impulznih odziv idealnih digitalnihsit so v tabeli 13.2.Tabela 13.2Impulzni odzivi idealnih digitalnih sit.sito: d[n] d[0]ωNPS: mωπsinc[ω m n]mπVPS:PPS:PZS:δ K [n] − ω mπsinc[ω m n] 1 − ω mπω bπ sinc[ω bn] − ω aπ sinc[ω an]δ K [n] − ( ω bπ sinc[ω bn] − ω aπ sinc[ω an] )ω a = ω p +ω 1 z12ω b = ω p +ω 2 z22ω bπ − ω aπ1 − ω bπ − ω aπ☞3. S pravokotnim oknom dolžine p (Slika 13.4-1b):{1 , −w p [n] =p / 2 n p / 20 , sicer(13.4-2)Signali: ch2009_13 20090120

13.4 Okenska metoda 13iz (13.4-1) izrežemo tolikšen del impulznega odziva, za kateregasodimo, da je bistven za dosego želenih lastnosti izvedljivegasita:d p [n] = d[n] · w p [n] . (13.4-3)Za sito s FIR, linearno fazno karakteristiko in tipa I, morabiti p sodo število. Okno (13.4-2) iz impulznega odzivad[n] odreže p + 1 koeficientov (Slika 13.4-1c):d −p/2 , . . . , d −1 , d 0 , d 1 , . . . , d p/2 . (13.4-4)4. d p [n] ima časovno izhodišče na svoji sredi, zato določa nekavzalnosito. Da postane kavzalno, ga premaknemo zap/2 koeficientov v desno (Slika 13.4-1d):{h p [n]} = {d p [n − p / 2 ]} = {h[0], . . . , h[ p / 2 − 1], h[ p / 2 ], h[ p / 2 + 1], . . . , h[ p / 2 ]} (13.4-5a)kjer so b k koeficienti načrtovanega sita.= {b 0 , . . . , bp / 2−l, bp / 2 , bp /2+l, . . . , b p } , (13.4-5b)5. Z izračunom H(ω) preverimo, kako dobro se ujemata želenoin dejansko sito. Če smo zadovoljni s podobnostjo, jepostopek končan, če nismo, spremenimo p in ponovimopostopek od tretje točke dalje.Povzamemo: z okensko metodo lahko preprosto izračunamosita s FIR tip I. Tudi za sita tip II, ki imajo sodo število koeficientovv impulznem odzivu, obstajajo okenske metode načrtovanja,vendar so bolj kompleksne, kot je opisana metoda za tip I.Zato večina programskih orodij, med njimi je program MATLAB,samodejno povečajo dolžino okna s sodim številom koeficientovza ena. Zato teh postopkov ne opisujemo.13.4.1 Vpliv okna na amplitudno karakteristikosita s FIR in linearno fazno karakteristikoPri sitih s končnim impulznim odzivom in z linearno fazno karakteristikoocenjujemo le podobnost amplitudne karakteristike.Fazna karakteristika je nad Nyquistovim intervalom linearna indoločena z zakasnitvijo τ p = p / 2 T s , za katero premaknemo d p ,

14 Metode snovanja sit s FIRd[n]n(a)Impulzni odziv idealnega sitaw p [n]− p / 2 p/ 2n(b)Pravokotno oknod p [n] = d[n]w p [n](c)Izsek impulznega odziva idealnega sitanh p [n] = d p [n − p / 2 ](d)Impulzni odziv izvedljivega sitanSlika 13.4-1Okenska metoda: pravokotno okno dolžine p = 11, sito ima p + 1 = 12 koeficientov: b 0 , b 1 , . . . , b 11 .da sito postane izvedljivo s h[n] = d p [n + p / 2 ]. Ker fazno karakteristikodoloča le zakasnitev h[n] za d p [n], sta njuni amplitudnikarakteristiki enaki. Zato analizirajmo le |D p (ω)|. Frekvenčnokarakteristiko D p (ω) lahko izračunamo prek z-transformacijeSignali: ch2009_13 20090120

13.4 Okenska metoda 15d p [n] ali s Fourierovo transformacijo d p [n]:oziroma:F{d p [n]} = D p (ω) = F{d[n] · w p [n]} (13.4-6)= F{d[n]} ∗ F{w p [n]} (13.4-7)D p (ω) = D(ω) ∗ W p (ω) . (13.4-8)Iz (13.4-6) – (13.4-8) sledita dve ugotovitvi:1. Amplitudno karakteristiko določa končno zaporedje, ki imaobliko odrezane kompleksne Fourierove vrste. Pri njej pavemo, da nastopi Gibbsov pojav – valovitost amplitudnekarakteristike.2. Amplitudna karakteristika je konvolucija frekvenčne karakteristikeidealnega sita in frekvenčne karakteristike okna.Iz prve ugotovitve sledi, da se pri pravokotnem oknu valovitostfrekvenčne karakteristike D p (ω) z daljšanjem okna ne zmanjša,ampak se grebeni valovitosti D p (ω) pomikajo bližje mejni frekvencisita (Slika 13.4-2).| D 13 ( ) || D 25 ( ) || D ( ) |10 c c(a) p + 1 = 13 0 c c(b) p + 1 = 25 0 c c(c) p + 1 = 101 Slika 13.4-2Amplitudne karakteristike aproksimacije idealnega nizkoprepustnega digitalnega sita v odvisnosti od števila koeficientovv impulznem odzivi d p [n].Iz druge ugotovitve sledi, da pri pravokotnem oknu Gibbsovegapojav (opisan je v razdelku ?? na strani ??) določi konvolucijaW p (ω):13.4-1: vstavi povezavo zopisom Gibbsovega pojavaW p (ω) =p∑ e −jωk = 1 − e−jω(p+1)k=01 − e −jω−jωp/2 sin[ω(p + 1)/2]= e , (13.4-9)sin(ω/2)

16 Metode snovanja sit s FIRki ga imenujemo tudi Dirichletovo jedro (Slika 13.4-3), amplitudnokarakteristiko idealnega sita D(ω). Pri pravokotnem oknu ješirina glavnega snopa – določa jo razdalja med prvima prehodomaW p (ω) skozi nič – enaka:∆Ω =4πp + 1 . (13.4-10)Zato se z daljšanjem okna ožijo glavni in stranski snopi Dirichletovegajedra. Hkrati se veča število stranskih snopov, takoda ostane površina pod njimi konstantna. Zato se veča številogrebenov v valovitosti v prepustnem in zapornem pasu, ohranipa se njihova višina.Kaj narediti? Se da zmanjšati višino grebenov v valovitostiamplitudne karakteristike v prepustnem in zapornem pasu? Nazastavljeno vprašanje je odgovor: “Da”. Možnosti sta dve:1. izbrati okno z bolj postopnim prehodom med prepustnimin zapornim pasom2. izbrati drugi postopek snovanja izvedljivih sit s končnimodzivom in linearno fazno karakteristiko, ki minimiziraneželene lastnosti pravokotnih oken.13.4.2 Uporaba nepravokotnih okenIz teorije Fourierovih vrst vemo, da lahko Gibbsov pojav zmanjšamo,če namesto pravokotnega okna uporabimo takega, ki imazvezni oziroma postopni prehod med prepustnim in zapornimSlika 13.4-3Amplitudna karakteristikapravokotnega (digitalnega) okna,p=11.W p (Ω)p + 1 = 12najvišji vrhstranskihsnopov−π− 2π 0 2πp+1p+1π 2π∆Ω širina glavnegasnopaΩSignali: ch2009_13 20090120

13.4 Okenska metoda 17časovnim pasom. Pri teh, nepravokotnih oknih se zmanjša višinastranskih snopov, vendar žal na račun povečanja širine glavnegasnopa. Obseg teh sprememb je odvisna od oblike okna. Te s stališčasnovanja sit delimo v dve skupini:nenastavljiva okna, kjer so parametri okna fiksni innastavljiva okna, kjer s parametrom valovitosti lahko ločenodoločimo višino grebenov v prepustnem in zapornempasu načrtovanega sita.Med nenastavljiva okna spadajo na Barlettovo ali trikotno okno,Hanningovo, Hammingovo in Blackmanovo okno, med nastavljivimiokni so najbolj znana Kaiserova okna (Tabela 13.3).Katero od teh oken izbrati? Pri izbiri okna upoštevamo naslednjekriterije:1. Minimalno slabljenje v zapornem pasu sita.Ta podatek je del specifikacije sita. Podan je z δ z ali v decibelihz a z . Za najpogosteje uporabljana okna v literaturinajdemo tabele (Tabela 13.3) z a z , ki jih dosežemo s posameznimiokni.2. Maksimalna valovitost v prepustnem pasu sita.Tudi ta podatek je del specifikacije sita. Podan je z δ p aliv decibelih z a p . Za najpogosteje uporabljana okna v literaturinajdemo tabele z a p , ki jih dosežemo s posameznimiokni.3. Relativna širina osnovnega snopa.Širina glavnega snopa določa širino prehodnega pasusita, zato iz njegove relativne širine c izračunamo potrebnoštevilo koeficientov sita:p + 1 = N =c∆Ω , (13.4-11)Praviloma imajo okna z nizkimi stranskimi snopovi širšiosnovni snop. Posledica je širši prehodni pas sita.4. Minimalno slabljenje prvega stranskega snopa.Valovitost v prepustnem in zapornem pasu sita povzročajostranski snopi amplitudne karakteristike okna. Zato je

18 Metode snovanja sit s FIRTabela 13.3Pregled glavnih lastnosti nenastavljivih oken, ki se najpogosteje uporabljajo pri snovanju sit s končnim impulznimodzivom in linearno fazno karakteristiko. a p , a z in a 1 so v decibelih, M = p / 2 pri sodem p in M = (p − 1)/2 prilihem p. Prednost dajemo oknom s sodim p – to je z N = p + 1 lihim številom koeficientov v impulznem odzivu.vrsta okna ∆Ω a p a z a 1 w p [n] ref.pravokotno4πN0,7416 −21 −13 1 (13.4-13)BarlettovoHanningHammingBlackman8πN8πN8πN12πN0,7416 −21 −21 1 − ∣ ∣ nM∣ ∣ (13.4-14)0,0546 −44 −31 0, 5 + 0, 5 cos ( )2πnM0,0194 −53 −41 0, 54 + 0, 46 cos ( )2πnM0,0017 −75 −57 0, 42 + 0, 5 cos ( 2πnM) ( )+ 0, 08 cos4πnM(13.4-15)(13.4-16)(13.4-17)za medsebojno primerjavo oken pomemben podatek, kolikšnoje minimalno slabljenje prvega, to je najvišjega stranskegasnopa v amplitudni karakteristiki okna (Slika 13.4-4):a 1 = 20 log 10δ 1 , δ 1 = A 1A 0, (13.4-12)kjer sta A 0 višina glavnega snopa in A 1 višina prvega stranskegasnopa.W p (Ω)0 dBSlika 13.4-4Amplitudna karakteristikapravokotnega (digitalnega) okna,p=11.−π− 2πp+1a 10∆Ω2πp+1πΩSignali: ch2009_13 20090120

13.4 Okenska metoda 19Recept za uporabo nenastavljivih okenZa snovanje sit s končnim odzivom z okensko metodo so na voljospecializirana programska orodja za načrtovanje sit, ki gledena specifikacije predlagajo primerno okno in izračunajo številokoeficientov, ki jih mora imeti sito, da izpolni zastavljene specifikacije.kadar teh programskih orodij nimamo, si pomagamo stabelo 13.3:1. Iz zahteve za a z izberemo vrsto sita.2. Preverimo, ali to sito zagotovi a p , ki izpolni specifikacijesita. Če jih ne izpolni, poiščemo drugo okno, ki izpolniobe zahtevi3. Iz podatka za relativno širino prehodnega pasu z (13.4-11)izračunamo, koliko koeficientov mora imeti sito, da izpolnizahtevane specifikacije.Kadar več oken izpolni dane specifikacije, potem izmed njih izberemotisto okno, ki da ožji prehodni pas.ZGLED 13.1 (Vrsta okna in število koeficientov)Določimo vrsto okna in število koeficiente impulznega odziva nizkoprepustnegasita s končnim impulznim odzivom, ki izpolnjuje naslednje zahteve:mejna frekvenca idealnega sita:širina prehodnega pasu:slabljenje prepustnega pasu:slabljenje zapornega pasu:frekvenca vzorčenja:1,5 kHz0 kHz< 0,2 dB< 50 dB8 kHzREŠITEV: V tabeli 13.3 vidimo, da slabljenje a z = −50 dB dobimo pri uporabiHammingovega in Blackmanovega okna. Obe okni izpolnita tudi zahtevoo velikosti valovitosti v prepustnem pasu. Ker ima Hammingovo okno ožji prehodnipas, izberemo njega. Iz podatka za c izračunamo število koeficientov.Najprej normiramo širino prehodnega pasu:in:∆Ω = 2π 0, 58N = p + 1 = 8π∆Ω == 2π · 0, 06258π2π · 0, 0625 = 40, 0625 = 64 .Za sito tip I mora okno imeti liho število koeficientov, torej mora biti p sodo številop. Zato izračunani rezultat povečamo za ena: N = 65 in p = 64!. ♦

20 Metode snovanja sit s FIRRecept za uporabo nastavljivih okenMed nastavljivimi okni se najpogosteje uporabljajo Kaiserovaokna (Tabela 13.4). Pri njih je na voljo parameter β, s katerim nadziramorazmerje valovitosti v prepustnem in zapornem pasu.Ker s tem vplivamo tudi na širino prehodnega pasu, imamomožnost iskanja kompromisa med valovitostjo in širino prehodnegapasu.Impulzni odziv Kaiserovega okna izračunamo z:⎧⎪⎨ I 0 (β[1 − (2n/p) 2 ] 1/2 )−M n Mw p [n] = I 0 (β), (13.4-18)⎪⎩ 0 sicerkjer sta I 0 (x) modificirana Besselova funkcija prve vrste in ničnestopnje in M = p/2. Izračunamo jo lahko s potenčno vrsto:I 0 (x) = 1 +L∑k=0[ ] (x/2)k 2, (13.4-19)k!β =kjer je L običajno manjši od 25. Ko je β = 0, je Kaiserovo sitoenako pravokotnemu situ, ko je β = 5, 44, postane zelo podobnoHammingovemu oknu. Vrednost β določimo s slabljenjem zapornegapasu in ga lahko ocenimo z eno od naslednjih empiričnihrelacij:⎧0 δ z < 21 dB (13.4-20a)⎪⎨0, 584(a − 21) 0,4 + 0, 07886(a − 21) 21 δ z 50 dB (13.4-20b)⎪⎩0, 1102(a − 8, 7) δ z > 50 dB (13.4-20c)kjer je a = −20 log 10δ in δ = min{δ p , δ z }. Število koeficientov vimpulznem odzivu določimo z empiričnim obrazcem:⌈ ⌉δz − 7, 95p + 1 , (13.4-21)2, 285∆Ωkjer je ∆Ω normalizirana širina prehodnega pasu. Z znanimivrednostmi za N in β izračunamo koeficiente Kaiserovih oken.ZGLED 13.2 (Število koeficientov pri Kaiserovem oknu oknu)Koliko koeficientov mora imeti Kaiserovo okno, da izpolni zahteve sita iz zgleda 13.1na prejšnji strani?Signali: ch2009_13 20090120

13.4 Okenska metoda 21Tabela 13.4Primerjava Kaiserovih oken z nenastavljivimi okni. a p , a z in a 1 so v decibelih, število koeficientov v impulznemodzivu je N = p + 1.z.š. β ∆Ω a p a z a 1 ekvivalentno okno ∆Ω1 01, 81πN0,7416 −21 −13 pravokotno4πN2 1, 332, 37πN0,7416 −21 −21 Barlettovo (trikotno)8πNp3 3, 865, 01N0,0546 −44 −31 Hanningovo8πN4 4, 866, 27πN0,0194 −53 −41 Hammingovo8πN5 7, 049, 19N0,0017 −75 −57 Blackmanovo12πNREŠITEV: 1V tabeli 13.4 vidimo, da slabljenje a z = −50 dB dobimo pri β ≈ 4, 86. Izpodatka za c in izračunane normirane širine prehodnega pasu dobimo:p =6, 27π 6, 27=2π · 0, 0625 2 · 0, 0625 = 50, 1 .Za sito tip I mora okno imeti liho število koeficientov, torej mora biti p sodo številop. Zato izračunani rezultat zaokrožimo na 52. Vidimo, da je dolžina impulznegaodziva sedaj krajša za približno 23 % !REŠITEV: 2Pri Kaiserovih sitih lahko s pomočjo tabele 13.4 le na hitro ocenimo, kakšnobo sito. Za bolj natančen izračun števila koeficientov ona (in s tem impulznegaodziva sita, ki ga načrtujemo) uporabimo obrazec (13.4-21):p + 1 δ z − 7, 952, 285∆Ω = 50 − 7, 95= 46.8619 → p = 47 ,2, 285 · 2π0.0625za izračunom parametra β pri a z = −50 dB izračunamo z (??):β = 0, 584(a − 21) 0,4 + 0, 07886(a − 21)= 0, 584(50 − 21) 0,4 + 0, 07886(50 − 21) = 4, 5327Vidimo, da izračun z (13.4-20b) dobimo nekaj manjši parameter β. zato jetudi število koeficientov v oknu, ki smo ga izračunali z (13.4-21), nekaj manjše.Pri izdelavi sita je seveda vsak koeficient, ki ga zaradi natančnejšega izračuna,prihranimo, pomeni zmanjšanje kompleksnosti sita!♦

22 Metode snovanja sit s FIR13.5 Vzorčenje amplitudne karakteristikeTa metoda omogoča načrtovanje sit s poljubno amplitudno karakteristiko.Njena privlačnost je v tem, da omogoča rekurzivnoizvedbo sita s FIR, ki jo pri določenih omejitvah izvedemo tudis celoštevilčnimi koeficienti. To je izjemna prednost, ko razpolagamole z digitalni signalni procesorji s celoštevilčno aritmetiko.13.5.1 Nerekurzivna sita s FIRZamisel postopka je preprosta. Izberemo amplitudno karakteristikoprototipnega sita – na primer eno izmed idealnih digitalnihsit – in jo vzorčimo po vsem Nyquistovem intervalu. Iz vzorcaz inverzno DFT:h[n] = 1 pp + 1∑ D[m]e j p+1 2π nm , (13.5-1)m=0kjer so D[m] otipki amplitudne karakteristike prototipnega sita,izračunamo impulzni odziv sita. Zamisel ilustrira slika 13.5-1.Vzorec amplitudne karakteristike lahko ima sodo ali liho številootipkov. Frekvence Ω o , pri katerih zajamemo otipke, palahko izberemo na dva načina:prvi način:drugi način:Ω o = m Ω sp + 1Ω o = (m + 1 2 ) Ω sp + 1m = 0, 1, 2, . . . , p (13.5-2)m = 0, 1, 2, . . . , p . (13.5-3)Zato so možne štiri razporeditve frekvenc otipkov amplitudnekarakteristike (Slika 13.5-2 na naslednji strani) in štirje, medsebojnonekoliko različni impulzni odzivi. Z drugimi besedami, tudi s tometoda lahko naredimo sita FIR tip I, če je p + 1 lih ali sita s FIRtip II, če je p + 1 sod – seveda, če je amplitudna karakteristikaprototipnega sita soda.Amplitudni karakteristiki prototipnega in načrtovanega sitase natančno ujemata le v točkah vzorčenja (Slika 13.5-1c). Čeza prototipna sita uporabimo idealna digitalna sita, dobimo zmetodo vzorčenja podobne rezultate kot pri okenski metodi pripravokotnem oknu. Zato večanje števila otipkov v vzorcu daboljše ujemanje le v notranjosti prepustnega in zapornega pasusita, ob robovih prehodnih pasov pa ostaja Gibbsov pojav.Signali: ch2009_13 20090120

13.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 23|D(Ω)|−Ω N Ω m 0 Ω m Ω N Ω s − Ω m Ω s Ω s + Ω mΩ(a)amplitudna karakteristika idealnega nizkoprepustnega sita|D[m]|−Ω N Ω m 0 Ω m Ω N Ω s − Ω m Ω s Ω s + Ω mΩ(b) vzorec amplitudne karakteristike idealnega nizkoprepustnega sita. Iz njega z inverzno diskretno Fourierovotransformacijo (13.5-1) izračunamo impulzni odziv h[n]|H(Ω)|−Ω N Ω m 0 Ω m Ω N Ω s − Ω m Ω s Ω s + Ω mΩ(c)frekvenčna karakteristika nizkoprepustnega sita z impulznim odzivom h[n]Slika 13.5-1Koncept načrtovanja sit s FIR z metodo vzorčenja amplitudne karakteristike prototipnega sita. Amplitudna karakteristika|H(ω)| se pri frekvencah otipkov ujema z amplitudno karakteristiko |D[m]|.I{z}I{z}I{z}I{z}R{z}R{z}R{z}R{z}(a)tip I, p + 1 je sod(b)tip I, p + 1 je lih(c)tip II, p + 1 je sod(d)tip II, p + 1 je lihSlika 13.5-2Štiri možne mreže vzorčnih frekvenc (prikaz vzorčnih frekvenc v z-ravnini).

24 Metode snovanja sit s FIR13.5.2 Optimiranje amplitudnega odzivaGibbsov pojav in valovitost na sploh lahko zmanjšamo s podobnimiprijemi kot pri postopkih načrtovanja z nepravokotnimiokni, lahko pa za prototipno sito uporabimo katero od realnihoptimalnih analognih sit. Z definiranjem poteka prehodnegapasu se manjša valovitost in Gibbsov pojav, poveča se slabljenjeprvega stranskega snopa in s tem slabljenje vsega zapornegapasu. Problem, ki ga pri tem moramo rešiti je, kako določiti optimalnipotek prehodnega pasu.Linearni prehodni pasNajpreprostejša možnost je linearni prehod iz prepustnega pasuv zaporni (Slika 13.5-3). Ponavadi so v prehodnem pasu trije|D[m]|Slika 13.5-3Vzorec nizkoprepustnega sita stremi otipki v prehodnem pasu.A[n 1 ]A[n 2 ]A[n 3 ]0 Ω p Ω z Ω N∆ΩΩotipki amplitudne karakteristike. Podaljšanje prehodnega pasupoveča slabljenje zapornega pasu za približno 20 dB/otipek.Slabljenje in širino prehodnega pasu lahko ocenimo z naslednjimaizkustvenemima obrazcema [?]:ocena slabljenja v zapornem pasu (v dB) a z = 25 + 20n pp (13.5-4)ocena širine prehodnega pasu (v rad/s) ∆Ω = (n pp + 1)Ωp + 1(13.5-5)kjer so ∆Ω = Ω z − Ω p , n pp število otipkov v prehodnem pasuin p + 1 število koeficientov sita.Optimalni potek prehodnega pasuVelikost otipkov A[n 1 ], A[n 2 ], . . . , A[n pp ], ki minimizirajo slabljenjev zapornem pasu, lahko določimo z optimizacijskim algoritmom[?], s katerim minimiziramo funkcijo pogreška:E(ω) = W(ω) [ D(ω) − H(ω) ] , ω p < ω < ω z , (13.5-6)Signali: ch2009_13 20090120

13.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 25Tabela 13.5Optimalne vrednosti otipkov v prehodnem pasu pri postopku načrtovanja sit z vzorčenjem frekvenčne karakteristike.Sito je tipa I, N = 15 [?]..BW slabljenje v zapornem pasu [dB] A[n 1 ] A[n 2 ] A[n 3 ]en otipek v prehodnem pasu1 42,309 322 83 0,433 782 962 41,262 992 86 0,417 938 233 41,253 337 86 0,410 473 634 41,949 077 13 0,404 058 845 44,371 245 38 0,392 681 896 56,014 165 88 0,357 665 25dva otipka v prehodnem pasu1 70,605 405 85 0,095 001 22 0,589 954 182 69,251 681 56 0,103 198 24 0,593 571 183 69,919 734 95 0,100 836 18 0,589 432 704 75,511 722 56 0,084 074 93 0,557 153 125 103,460 783 00 0,051 802 06 0,499 174 24trije otipki v prehodnem pasu1 94,611 661 91 0,014 550 78 0,184 578 82 0,668 976 132 104,998 130 80 0,010 009 77 0,173 607 13 0,659 515 263 114,907 193 18 0,008 734 13 0,163 973 10 0,647 112 644 157,292 575 84 0,003 787 99 0,123 939 63 0,601 811 54BW je število otipkov v prepustnem pasukjer je W(ω) utežnostna funkcija s parametri, ki jih potrebujemopri optimizaciji A[n]. V literaturi, predvsem v priročnikih za načrtovanjedigitalnih sit, je mogoče najti tabele optimalnih A[n] zarazlične dolžine sit in prehodnih pasov (za sito s p + 1 = 15 glejtabelo 13.5). Danes za reševanje (13.5-6) uporabljamo namenskeprograme, ki temeljijo na hibridnem genetskem algoritmu [?, ?].13.5.3 Rekurzivna sita s FIRPosebni razed sit so rekurzivna sita s končnim odzivom. Z drugimibesedami, ta sita imajo povratno zanko, vendar kljub temuohranijo končno dolg odziv. Pod določenimi pogoji so ta sitaračunsko mnogo bolj učinkovita kot so direktne izvedbe sit.Zamisel njihovega delovanja poglejmo na naslednjem preprostemprimeru. Predpostavimo, da imamo sito, ki ga določa na-

26 Metode snovanja sit s FIRslednja konvolucijska vsota:y[n] =p∑ v[n − k] . (13.5-7)k=0Zlahka uganemo, da je v (13.5-7) impulzni odziv h[n] enak:{}h[n] = . . . , 0, 1 , 1, . . . , 1 , 0, 0, . . . . (13.5-8)↑↑k=0 k=pV direktni realizaciji sita s končnim impulznim odzivom imatako sito p + 1 koeficientov (z vrednostjo 1) in prav toliko seštevalnikov(ker so vrednosti koeficientov b k = 1, množenja neštejemo). Možna pa je še drugačna realizacija, zaporedno generiranjeenic prepustimo povratni zanki, v direktni veji pa poskrbimo,da po p intervalih na izhod pride Kroneckerov impulz znegativnim predznakom:y[n] = y[n − 1] + v[n] − v[n − (p + 1)] . (13.5-9)Ta struktura ima le dve seštevanji (Slika 13.5-4).p + 1Slika 13.5-4Zamisel rekurzivne realizacijesita s končnim impulznimodzivom.v[n]z −1 z −1 z −1 −1y[n]z −1Posplošimo. Iz prenosne funkcije sita s končnim impulznimodzivom, ki jo določa obrazec:(en. ??) H(z) =p∑ h[n]z −n (13.5-10)n=0izračunamo impulzni odziv z inverzno z-transformacijo:h[n] = 1 pp + 1∑ H[m] e j p+1 2π nm ; n = 0, 1, · · · , pm=0= 1 pN∑ H[m]WN −nm ; n = 0, 1, · · · , N − 1 , (13.5-11)m=0Signali: ch2009_13 20090120

☞☞13.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 27kjer smo za krajše pisanje uporabili oznako transformacijskegajedra diskretne Fourierove transformacije W N :e −j 2π N m = W m N oziroma ej 2π N m = W −mN . (13.5-12)Za ujemanje oznak še izrazimo stopnjo sita s številom koeficientovv impulznem odzivu: p = N − 1. Vstavimo (13.5-11) v(13.5-10):H(z) =[N−1 N−11∑n=0N∑m=0H[m]W −nmNin zamenjajmo zaporedje seštevanja:H(z) = 1 NN−1∑ H[m]m=0]z −n (13.5-13)[ ] n N−1∑ W −m z −1 . (13.5-14)n=0Vsoto v oglatem oklepaju izračunamo z obrazcem za izračunvsote končne potenčne vrste:(??) S n =N−1∑ α n = 1 − αNn=01 − α , α ̸= 1ter za α upoštevamo WN−m Z−1 . Dobimo:N−1∑m=0=H FIRH(z) = 1 − z−NN} {{ }H[m]1 − WN−m} {{ z−1}. (13.5-15)=H IIRVidimo, da sistemsko funkcijo določata zaporedni vezavi dvehsit: sito s končnim impulznim odzivom H FIR – imenujemo gatudi comb sito – in sito z neskončnim impulznim odzivom H IIR .A je delovanje H FIR H IIR stabilno?Ničle H FIR in poli H IIR se nahajajo na enotskem krogu v z-ravnini v točkah z m = e j 2π N m , torej se – v idealnem primeru – prekrivajo.Ker ničle črtajo vse pole, ima tako rekurzivno končnodolg odziv in navkljub povratni zanki dobimo sito s končnimimpulznim odzivom.Zaradi končne dolžine zapisa koeficientov poli niso povsemnatančno razporejeni po enotski krožnici, zato se lahko zgodi,da se ne črtajo z ničlami. Posledica tega je potencialno nestabilnosito. Nestabilnost lahko odpravimo, če pole namesto na

28 Metode snovanja sit s FIRenotsko krožnico razporedimo na krožnici z radijem r < 1. Vtem primeru koeficiente sita pomnožimo z r in dobimo:H(z) = 1 − (rz)−NNN−1∑m=0D[m]1 − W −m , r < 1 . (13.5-16)(rz) −113.6 Sita z enakomerno valovitostjo:optimalna sita s FIRMnogokrat želimo narediti sito, ki je najboljše, kar se da dosečipri danem številu koeficientov sita. Seveda moramo pri tem definiratikriterij ocenjevanja, ker je drugače “najboljše” nima pravegapomena.Kaj izbrati za optimizacijski kriterij? Pri uporabi pravokotnegaokna optimiramo srednji kvadratni pogrešek med amplitudnimakarakteristikama želenega in dejanskega sita:ε = 1 ∫ π|D(ω) − H(ω)| 2 dω . (13.6-1)2π −πTa pogrešek z večanjem števila otipkov v impulznem odzivuh[n] manjšamo, odstopanja med D(ω) in H(ω) blizu mejne frekvenceD(ω) pa zaradi Gibbsovega pojava ostanejo. Drugi možnikriterij je funkcija pogreška E(ω) med D(ω) in H(ω):E(ω) = D(ω) − H(ω) . (13.6-2)Minimizacijo tega pogreška smo srečali pri Čebiševih analognihsitih (glej ?? na strani ??. Ta imajo v prepustnem pasu enakomernovalovitost amplitudne karakteristike. Karakteristični polinomT(ω), ki določa Čebiševo sito, izračunamo na osnovi aproksimacijskegaizreka Čebiševa:IZREK 1 (Aproksimacijski izrek Čebiševa)Za določen nabor parametrov, na primer ξ = xi 1 , ξ 2 , . . . , ξ n , polinom H(ω; ξ)stopnje r aproksimira polinom D(ω), stopnje enake ali večje od r, na intervalu[a, b], če funkcija pogreškovE( f , g) = maxω 1 ωω 2|D(ω) − H(ω; ξ)|na intervalu [a, b] zavzame vrednosti ±E( f , g) z izmeničnimi spremembamipredznaka vsaj r + 2 krat.Signali: ch2009_13 20090120

13.6 Optimalna aproksimacija sit 29Kriterij (13.6-2) je tudi v ozadju uporabe nepravokotnih oken vokenski metodi snovanja sit s FIR. Ta s svojo obliko zmanjšajoodstopanje med D(ω) in H(ω), ne zmanjšajo pa srednjega kvadratnegapogreška. Izkušnje z uporabo teh oken, posebej Kaiserovih,pri katerih dobimo enakomerno valovitost v prepustnemin zapornem pasu, napeljujejo na misel, da enakomerna razporeditevodstopanj E(ω) po vsem prepustnem in zapornem pasupovzroči dvoje:1. manjše odstopanje med D(ω) in H(ω) kot nastane pri uporabipravokotnega okna,2. zmanjša širino prehodnega pasuTi lastnosti sta pri sitih pomembnejši kot velikost srednje kvadratnegapogreška, zato metodo načrtovanja sit s tako lastnostjoimenujemo optimalna metoda, sita, ki je tako dobimo, pa sita zenakomerno valovitostjo.13.6.1 Snovanje optimalnih sitŽal analitična rešitev, s katero lahko izračunamo Čebišev polinomT n (ω) za digitalna sita s končnim impulznim odzivom, neobstaja. Zato jo moramo nadomestiti numeričnimi metodami.V njih poleg specifikacij za δ p , δ z , Ω p in Ω z (Slika ?? na strani ??)upoštevamo kot parameter še stopnjo polinoma, ki opiše impulzniodziv.Parametri, ki določajo frekvenčno karakteristiko sita, so medsebojnopovezani. Sprememba enega izmed njih vpliva na vseostale, zato jih ne moremo neodvisno izračunati. Izračunamo jihlahko le z algoritmi. V sedemdesetih letih prejšnjega stoletja stabila razvita dva postopka optimiranja impulznega odziva:1. Herrmann [4, 1970]), Herrmann in Schuessler [5, 1970] sopokazali, da lahko opišemo frekvenčno karakteristiko zenakomerno valovitostjo z množico nelinearnih enačb. Razvilasta optimizacijski postopek, v katerem izberemo parametrep, δ p , δ z in spreminjamo parametra Ω p in Ω z .Slabost njunega postopka je težavno reševanje množicenelinearnih enačb, posebej pri velikem p. Ta problem sokasneje omilili Hofstetter, Oppenheim in Siegel (1971) z

30 Metode snovanja sit s FIRrazvojem iterativnega postopka iskanja trigonometričnihpolinomov z zahtevanimi lastnostmi.2. Parks in McClellan [?, ?, 1972, 1973]) sta razvila algoritemrešitve Čebiševe aproksimacije preko razdeljenih množic.V njej sta za izhodišče načrtovanja izbrala parametre p,Ω p , Ω z in razmerje δ p /δ z . V iskanju h[n] pa se lahko spreminjataδ p in δ z .V tem razvoju so še pomembni prispevki drugih znanstvenikov,na primer Rabiner (1972), ki je razvil metode linearnega programiranjapri snovanju sit s končnim impulznim odzivom.Izmed vseh metod je zaradi svoje fleksibilnosti in računskeučinkovitosti postal dominanten Parks-McClellanov algoritem.Zanj obstaja dobro preskušen program v jeziku FORTRAN kottudi funkcije v programskih orodjih kot je MATLAB.13.6.2 Parks-McClellanov algoritemZamisel algoritma opisujemo za primer sita s končnim impulznimodzivom tip I. Ta sita imajo pozitivno simetrični impulzniodziv, zato linearno fazno karakteristiko, polinom h[n] je sodestopnje, zato ima liho število koeficientov.Za krajše pisanje vpeljimo nove oznake:A(ω) = |H(ω)|L = p / 2c k = 2h[n − L]c 0 = h[L] ,(13.6-3a)(13.6-3b)(13.6-3c)(13.6-3d)kjer je p stopnja polinoma h[n]. S temi oznakami amplitudnokarakteristiko, ki jo opisuje desna stran (13.2-16), preoblikujemov:LA(ω) = ∑ c[m] cos(kωT s ) , (13.6-4)k=0Amplitudno karakteristiko te aproksimacije določa vsota v (13.6-2).Upoštevajmo normirane frekvence f s = 1 / Ts , zato T s = 1 inωT s /ω s = ω/ω s = Ω. in za A(Ω) dobimo:A(Ω) =L∑ c[m] cos(kΩ) . (13.6-5)k=0Signali: ch2009_13 20090120

13.6 Optimalna aproksimacija sit 31Parks-McClellanov algoritem aproksimira amplitudno karakteristikos Čebiševimi polinomi. Z njimi v (13.6-5) izrazimo členecos(nω):cos(nω) = T n⎧⎩cos(ω)⎫⎭ , (13.6-6)kjer je T − n Čebišev polinom stopnje n. Upoštevamo (13.6-6) v(13.6-5), naredimo substitucijo cos(ω) = x in dobimo:A(Ω) ==L∑ c k [cos(Ω)] k (13.6-7)k=0L∑ c k x k = P(x) ∣ x=cos(ω). (13.6-8)k=0A(Ω) se od želene amplitudne karakteristike |D(ω)| razlikujeza funkcijo pogreška:E(Ω) = |D(Ω)| − A(Ω) . (13.6-9)ki ima na intervalu [0, π] največ L + 1 ekstremov (Slika 13.6-2).Ekstreme določa trigonometrijski polinomom L-te stopnje. TaMaksimalno številoekstremov je L + 3E(Ω)+δ p0 Ω p Ω sπ+δ pprepustni pas4 ekstremiprehodni pas zaporni pas6 ekstremovSlika 13.6-1Primer funkcije pogreška E(ω)Ωpri nizkoprepustnem situ, L = 7.ima natanko L − 1 lokalnih ekstremov v območju 0 < Ω < π,odvod (13.6-5) po Ω:LdA(Ω)dΩ = − sin(Ω) ∑ k c k [cos(Ω)] k−1 (13.6-10)k=0= − sin(Ω)L∑k=0(k + 1) c k+1 [cos(Ω)] k , (13.6-11)pa pokaže, da sta ekstrema tudi pri mejnih frekvencah Ω = 0 inΩ = π. Iz specifikacij sita pa sledi, da sta ekstrema tudi pri mejahprepustnega in zapornega pasu (Slika 13.6-2). Tako je lahkoskupaj največ L + 3 frekvenc, pri katerih ima E(Ω) maksimumoziroma, pri katerih spremeni predznak:

32 Metode snovanja sit s FIRoziroma:E(Ω i ) = −E(Ω i+1 , i = 1, 2, . . . , L + 2 (13.6-12)W(Ω i )[D(ω i ) − A(ω i )] = (−1) i+1 δ , i = 1, 2, . . . , L + 2 . (13.6-13)Množico enačb, ki jih določata (13.6-13) z upoštevanjem (13.6-5)oziroma (13.6-7) lahko zapišemo v matrični obliki:⎡⎤1 x 1 x1 2 . . . x L 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1W(Ω 1 )c 0 D(Ω 1 )1 x 2 x2 2 . . . x2L −1W(Ω 2 )×c 1=D(Ω 2 )(13.6-14). ... . .⎢⎢⎣1 x L+2 x 2 L+2. . . xL+2L (−1) L+2 ⎥. ⎥ ⎢ . ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦δ D(ΩW(Ω L+2 )L+2 )Če poznamo frekvence Ω i in stopnjo sita p, potem lahko z (13.6-15)izračunamo koeficiente sita. Ker nobenega od teh parametrovne poznamo vnaprej, uporabimo iterativni postopek, ki iz izbranihzačetnih vrednosti izračuna prave. Ta postopek temeljina Remezovem menjalnem algoritmu.Parks in McClellan [1, 2, 1973] sta odkrila, da je računanje(13.6-14) učinkovitejše, če uporabimo polinomsko interpolacijo,kjer pri začetnih frekvencah Ω k odstopanje δ izračunamo z:kjer sob k =δ =L+2∑i=1i̸=kL+2∑ b k D(Ω k )k=1L+2∑k=1b k (−1) k+1W(Ω k ), (13.6-15)1cos(Ω k ) − cos(Ω i ) . (13.6-16)Začetne frekvence Ω k izberemo pri ekstremih Čebiševega polinomastopnje p (Slika 13.6-2). Stopnjo ocenimo lahko z obrazcemza Kaiserovo (13.4-21) ali pa uporabimo empirični obrazec [3,1982], ki ga je po obširnih računalniških izračunih povezanostiparametrov p, δ p , δ z , Ω p in Ω z predlagal Herrmann [6, 1973]:p = −10 log 10 (δ pδ z ) − 132, 324∆Ω, (13.6-17)Signali: ch2009_13 20090120

13.6 Optimalna aproksimacija sit 33kjer je ∆Ω = Ω z − Ω p . Primerjava ocen (13.4-21) z (13.6-17) vprimerljivem primeru δ = δ p = δ z pokaže, da pri optimalniaproksimaciji dobimo pri danem p za 5 dB manjši aproksimacijskipogrešek kot pri Kaiserovem oknu. Ves postopek pa potekav petih korakih:Remezov menjalni algoritem(i) Z (13.6-17) izračunamo število koeficientov sita in izberemozačetne vrednosti frekvenc Ω i , pri katerih bi naj imela funkcijapogreška E(Ω i ) maksimume.(ii) Izračunamo sistem enačb (13.6-14), dobimo vrednost δ poprvi iteraciji.(iii) Z Lagrangeovo interpolacijo določimo vrednosti A(Ω i ):A(ω)×1 + δ p1 − δ p+δ z+δ z××××0 ω 1 ω 2 ω 3 ω p ω s ω 6 ω 7 ω 8 ω 9 π××××Slika 13.6-2Frekvence in vrednostiekstremov E(ω). Legenda:◦ začetne vrednosti,× vrednosti, ki jih izberemo poprvi iteraciji.×B k = D(Ω k ) − (−1) k δ, k = 1, 2, . . . , L + 2W(ω k )(13.6-18)in z njimi izračunamo amplitudno karakteristiko aproksiω

34 Metode snovanja sit s FIRmacijskega sita:kjer soβ k =A(Ω) =M+1∑i=0i̸=kL+1(βk∑k=0L+1∑k=0x − x k)B k(βkx−x k) , (13.6-19)1x k − x iin x = cos Ω . (13.6-20)(iv) Izračunamo pogrešek E(ω) in ga primerjamo z δ. Če vbližnji okolici Ω i velja E(Ω) < δ, potem smo našli optimalnorešitev, če ne, potem ponovimo prejšnji korak prinovi množici frekvenc Ω i , pri katerih je imel pogrešek primerjavemaksimum. Proces ponavljamo, dokler δ ne konvergirak svoji zgornji meji.(v) Ko so frekvence optimumov znane, iz (13.6-14) izračunamokoeficiente c k . Izračun lahko naredimo tudi s hitro Fourierovotransformacijo. V tem primeru ni potrebno računatiinverzno matriko v (13.6-14)13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLABProgramsko orodje MATLAB Signal Processing Toolbox vsebujezbirko programov in funkcij, s katerimi lahko preprosto načrtujemoin analiziramo sita s FIR. Programi in ukazi so tako pripravljeni,da pri njihovi uporabi nismo obremenjeni s programiranjem,omogočajo pa vpogled v vsebino načrtovanja. Še več, večinaimen funkcij oziroma ukazov ima v angleškem jeziku asociacijos svojo funkcijo, zato si jih je lahko zapomniti, oziromauganiti njihov namen.V tem razdelku je kratek pregled, kako s programskim orodjemMATLAB izračunamo koeficiente sit s FIR pri postopku načrtovanjaz okensko metodo, optimalno (Park-McClellan) metodoin metodo vzorčenja frekvenčne karakteristike. S tem zaključujemoopis metod načrtovanja sit s FIRSignali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 3513.7.1 Računanje frekvenčnega odziva digitalnih sitZa izračun frekvenčne karakteristike digitalnih sit ima orodnikovček “Signal Processing Toolbox” pripravljeno funkcijo freqz.To funkcijo lahko prilagodimo različnim zahtevam pri računanjufrekvenčne karakteristike. Njena osnovna sintaksa je:[H,f] = freqz(b,a,l)kjer sta b in a vektorja s koeficienti sita, l je skalar, ki določi dolžinovektorjev H in f. Sistemska funkcija zapisana z oznakami vprogramu MATLAB se glasi:en. (??)H(z) = Y(z)V(z) =l∑ b k z −kk=0l∑k=0a k z −k , (13.7-1)Funkcija freqz najprej izračuna kvocient vektorjev b in a, potempa z DFT ali FFT izračuna frekvenčno karakteristiko v točkahvzorčenja. Če teh posebej ne določimo, kvocient razširi zničlami tako, da podtane H(z) dolžine l, ki potenca števila 2.Če posebej ne določimo l, freqz izbere za l vrednost 512.Iz (13.7-1) sledi, da lahko s freqz izračunamo H(z) za sita zIIR in za sita s FIR. Pri sitih s FIR so koeficienti a 0 = 1, a 1 =a 2 . . . = 0, zato v freqz navedemo le vrednost koeficienta a 0 :[H,f] = freqz(h,1,l)kjer je h = b vektor koeficientov končno dolgega impulznegaodziva oziroma koeficientov sita dolžine l. Koeficienti v vektorjuH so kompleksni. Njihove frekvence določa vektor normiranihkrožnih frekvencf = {Ω 0 = 0, Ω 1 , Ω 2 , . . . , Ω l = Ω N = π} . (13.7-2)Funkcija freqz normalno izračuna frekvenčni odziv na Nyquistoveintervalu, na zahtevo pa tudo na intervalu med 0 in Ω s =2π. Slednje aktivira parameter ’whole’:[H,f] = freqz(b,a,l,’whole’)

36 Metode snovanja sit s FIRFrekvence, pri katerih želimo, da se izračuna frekvenčna karakteristika,lahko določimo tudi eksplicitno z vektorjem f. V temprimeru je sintaksa freqz naslednja:H = freqz(b,a,w)Pri tem lahko ima vektor f poljubno dolžino.Frekvenčno karakteristiko lahko izračunamo tudi za izbranofrekvenco vzorčenja. V tem primeru je sintaksa freqz naslednja:[H,f] = freqz(b,a,l,fs)Vektorja H and f sta dolžine l. Frekvenca vzorčenja f s freqz je vHz, zato so frekvence v vektorju f med 0 in f N = 1. Tudi v temprimeru lahko določimo frekvence, prikaterih freqz izračunafrekvenčno karakteristiko:H = freqz(b,a,f,fs)Podrobnejši opis vseh možnosti funkcije freqz najdemo v “Pomoči”,ki je sestavni del paketa Matlab. Opis funkcije freqz zaključimoz zgledom (zgled 13.2).MATLAB 13.1:Izračun in izris amplitudne karakteristike sita s FIR. Frekvenčna karakteristikanaj bo izračunana v 512 točka za izbrano frekvenco vzorčenja....% IZRAČUN FREKVENČNE KARAKTERISTIKE[H,f]=freqz(h,1,512,fs);% IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKEmag=20*log10(abs(H));plot(f,mag),grid on;xlabel(’frekvenca [Hz]’);ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)% b = h: impulzni odziv sita% a = a_0 = 1: sito s FIR% 512: število točk računanja FFT% fs: frekvenca vzorčenja% izračun amplitude v dB% izris grafa na podlago z mrežo% oznaka horizontalne osi% oznaka vertikalne osi13.7.2 Okenska metodaPostopek načrtovanja standardnih, frekvenčno selektivnih sit sFIR z linearno fazno karakteristiko z uporabo okenske metodesmo opisali v razdelku 13.4 na strani 12. Iz opisa sledi, da gaizvedemo v naslednjih korakih:Signali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 371. izberemo frekvenčno karakteristiko prototipnega sita,2. izračunamo odziv prototipnega sita (za idealna frekvenčnoselektivna sita so d[n] zbrani v tabeli 13.2 na strani 12,3. izberemo okensko funkcijo w[n],4. ocenimo število koeficientov sita N,5. izračunamo koeficiente okenske funkcije w[n],6. izračunamo koeficiente sita,Za te korake ima Matlab v orodnem kovčku “Signal ProcessingToolbox” pripravljeno funkcijo fir1. Njena osnovna sintaksa jenaslednja:h = fir1(r,fm)Vektor h vsebuje N koeficientov impulznega odziva sita z mejnofrekvenco fm. Parameter r določa stopnjo sita. Ta je pri sitih sFIR za ena manjši od števila členov v impulznem odzivu r =N − 1 Mejna frekvenca fm je normirana s frekvenco fs, zato jenjena vrednost med 0 in f N = f s /2 = 1. Koeficienti vektorja hdoločajo sistemsko funkcijo sita H(z):H(z) = b[0] + b[1]z −1 + b[2]z −2 + · · · + b[r]z −(r) . (13.7-3)Če posebej ne označimo, funkcija fir1 predpostavlja nizkoprepustnoprepustno sito in Hammingovo okno. Če želimodrugi tip sita, to določimo z zapisom vektorja f m in dopisomopcije ’high’ ali ’stop’:h = fir1(r,fm) % nizkoprepustno sitoh = fir1(r,fm,’high’) % visokoprepustno sitoh = fir1(r,[f_m1 f_m2]) % pasovno prepustno sitoh = fir1(r,[f_m1 f_m2],’stop’) % pasovno zaporno sitoMejne frekvence pasovno prepustnih ali zapornih sit ponavadipredhodno določimo kot vektor fm=[f_m1 f_m2] ter s tem skrajšamozapis funkcije fir1. Ko načrtujemo multipasovna sita, pasoveoznačimo s pari frekvenc v vektorju fm. S parametromaDC-1 ali DC-0 pa določimo, ali prvi pas, z začetkom pri 0 Hzprepustni ali zaporni.Visokoprepustna in pasovno zaporna sita morajo imeti lihoštevilo koeficientov (glej razdelek 13.2.2 na strani 8). Zato funkcijafir1 v primeru, če vpišemo lihi stopnjo sita, sama povečastopnjo sita za 1.

38 Metode snovanja sit s FIRTip okna označimo z dopisom njegovega angleškega imena,na primer Blackmanovo, Kaiserovo, . . . okno. Na primer:h = fir1(r,[f_m1 f_m2],’stop’,kaiser(r+1,beta))izračuna koeficiente pasovno zapornega sita z uporabo Kaiserovegaokna dolžine r + 1 = N in s parametrom β. Koeficienteokna izračunajo naslednje funkcije:w = boxcar(N) % pravokotno oknow = blackman(N) % Blackmanovo oknow = hamming(N) % Hammingovo oknow = hanning(N) % Hanningov oknow = kaiser(N,beta) % Kaiserovo okno,kjer je N število koeficientov okna.Rezultate, ki jih izračunamo s programom Matlab, se lahkorazlikujejo od rezultatov pri drugih podobnih programih. Razlikelahko nastanejo na primer zaradi drugačnega skaliranja. MA-TLAB priredi amplitudi vrednost 1 na sredini prepustnega pasu.To skaliranje lahko izključimo z dopisom opcije noscale:b = fir1(r,fm,nonscale)Ker je računanje koeficientov okenskih funkcij specifično, mnogokratvmesni rezultati med programi niso direktno prenosljivi.Zato je dobro, da pred uporabo rezultatov iz drugih programovv njihovih navodilih preverimo, kako so bili izračunani.ZGLED 13.3 (Hammingovo okno)Za sito v zgledu 13.1 ponovimo izračun z uporabo možnosti, ki jih nudi programMATLAB in orodnega kovčka “Signal Processing Toolbox”.REŠITEV: S programom MATLAB ponovimo izračun števila koeficientov v zgledu 13.1na strani 19. Iz podatkovf c = 1,5 kHza p =< 0,2 dBf s = 8 kHzIzračunamo še normirano mejno frekvenco:f m = 2( f c + ∆ f /2)/ f s∆ f = 0,5 kHza z =< 50 dBter koeficiente Hammingovegas okna in sita pri Hammingovem oknu. Temu zaprimerjavo dodamo še izračun koeficientov sita pri pravokotnem oknu. Rezultatezberimo v tabeli 13.6. Za našteto zadostuje naslednji program:Signali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 39MATLAB 13.2:Izračun koeficientov nizkoprepustnega sita pri pravokotnem oknu, koeficientovHammingovega okna in koeficientov sita pri Hammingovem oknu.fc = 1500; Delta_f=500; fs=8000; % podatki o frekvencahfm = 2*(f_c+Delta_f/2))/fs;% normalizirana mejna frekvencaN = ceil(3,3/2*0,0625)% dolžina sitah_p = fir1(N-1,fm,boxcar(N)); % aproksimacija s pravokotnim oknomw_Ham = hamming(N);% koeficienti Hammingovega oknah_Ham = fir1(N-1,fm,);% aproksimacija s Hammingovim oknomTabela 13.6Koeficienti sita h_p+ pri pravokotnem oknu, koeficienti Hammingovega okna w_Ham in koeficienti sita h_Hampri Hammingovem oknu, zgled 13.3.n h_p w_Ham h_Ham0 0, 0072 0, 0800 0, 00061 −0, 0127 0, 0834 −0, 00112 0, 0078 0, 0934 0, 00073 0, 0043 0, 1099 0, 00054 −0, 0137 0, 1327 −0, 00185 0, 0122 0, 1614 0, 00206 0, 0000 0, 1957 −0, 00007 −0, 0135 0, 2350 −0, 00328 0, 0168 0, 2787 0, 0047n h_p w_Ham h_Ham9 −0, 0058 0, 3262 −0, 001910 −0, 0117 0, 3769 −0, 004411 0, 0212 0, 4299 0, 009112 −0, 0133 0, 4846 −0, 006513 −0, 0076 0, 5400 −0, 004114 0, 0252 0, 5954 0, 015015 −0, 0234 0, 6501 −0, 015216 0, 0000 0, 7031 0, 000017 0, 0286 0, 7538 0, 0216n h_p w_Ham h_Ham18 −0, 0378 0, 8013 −0, 030319 0, 0140 0, 8450 0, 011920 0, 0311 0, 8843 0, 027621 −0, 0635 0, 9186 −0, 058522 0, 0467 0, 9473 0, 044323 0, 0327 0, 9701 0, 031824 −0, 1511 0, 9866 −0, 149325 0, 2570 0, 9966 0, 256626 0, 6986 1, 0000 0, 6999Po vzoru programa za izračun frekvenčne karakteristike (program MATLAB 13.1na strani 36) še izračunamo in izrišemo amplitudni karakteristiki za siti z impulznimodzivom d[n] (Slika 13.7-1a) in h[n] (Slika 13.7-1b).ZGLED 13.4 (Kaiserovo okno)Izračunajmo koeficiente sita s FIR z okensko metodo, kjer uporabimo Kaiserovookno. Sito naj izpolni naslednje zahteve:prepustni pas: 150 – 250 Hz prehodni pas: 50 Hzslabljenje a p : 0,1 dB slabljenje a z : −60 dBfrekvenca vzorčenja:1000 HzREŠITEV:Iz specifikacij valovitosti in slabljenja v zapornem pasu izračunamo::0, 1 = 20 log 10(1 + δ p ) ⇒ δ p = 0, 011560 = −20 log 10(δ z ) ⇒ δ z = 0, 001 .V nadaljnjem postopku upoštevamo manjšo izmed mej:δ = min(δ p , δ z ) = 0, 001 .

40 Metode snovanja sit s FIR202000amplitudni odziv [dB]−20−40−60amplitudni odziv [dB]−20−40−60♦−80−80−1000 1 2 3 4frekvenca [Hz](a)pri pravokotnem oknu−1000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5frekvenca [Hz](b)pri Hammingovem oknuSlika 13.7-1Amplitudni karakteristiki (zgled 13.3). .Zahtevano slabljenje lahko dosežemo le s Kaiserovim ali Blackmanovim oknom.Za Kaiserovo okno število koeficientov impulznega odziva izračunamo z⌈ ⌉ ⌈⌉A − 7, 95 60 − 7, 95N === ⌈72, 49⌉ = 73 .14, 36∆F 14, 36(50/1000)Za parameter valovitosti β velja:β = 0, 1102(60 − 8, 7) = 5, 65 .Program, s katerim izračunamo aproksimacijo impulznega odziva in dobimo narisanofrekvenčno karakteristiko, je naslednji:MATLAB 13.3:Izračun koeficientov sita z okenskim postopku pri uporabi Kaiserovega okna.fs=1000;% frekvenca vzorčenjafn=fs/2;% Nyquistova frekvencaN=73;% dolžina sitabeta=5.65;% parameter valovitostifm1=125/fn;% normalizirana spodnja mejna frekvencafm2=275/fn;% normalizirana zgornja mejna frekvencafm=[fm1 fm2];% vektor mejnih frekvench=fir1(N-1,fm,kaiser(N,beta)); % aproksimacija impulznega odziva% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE[H,f]=freqz(h,1,fs); % privzame l=512mag=20*log10(abs(H));plot(f,mag),grid onxlabel(’frekvenca [Hz]’)ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)Signali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 41Tabela 13.7Koeficienti Kaiserovega pasovnega sita (zgled 13.4). Ker je impulzni odziv pozitivno simetričen, je zapisana leprva polovica koeficientov..nh[n]0 −0, 00011 −0, 00042 −0, 00013 −0, 00014 −0, 0007nh[n]5 0, 00056 0, 00237 0, 00088 −0, 00179 −0, 0005nh[n]10 −0, 000511 −0, 004412 −0, 002213 0, 006914 0, 0066nh[n]15 −0, 001616 0, 000017 0, 002218 −0, 011719 −0, 0164nh[n]20 0, 006921 0, 018922 0, 002923 0, 004424 0, 0188nh[n]25 −0, 012526 −0, 052027 −0, 016528 0, 033329 0, 0104nh[n]30 0, 009431 0, 085632 −0, 045333 −0, 166534 −0, 2066nh[n]35 0, 0891 ♦36 0, 2998Koeficienti, ki jih izračuna program 13.3 so zbrani v tabeli 13.7.karakteristika je na sliki 13.7-2.Amplitudna20amplitudni odziv [dB]0−20−40−60−80−100Slika 13.7-2Amplitudna karakteristika sitanačrtovanega s Kaiserovimoknom 13.4.−1200 1 2 3 4frekvenca [Hz]13.7.3 Optimalna metodaZa postopke načrtovanja sit z optimalno metodo nudi programorodje Matlab v orodnem kovčku Signal Processing Toolbox dvefunkciji, ki temeljita na algoritmih, ki so ji razvili Park in McClellan.Osnova jim je tako imenovani Remezov izmenjevalni algoritem,ki pomika frekvence, pri katerih ima pogreškovna funkcijaaproksimacije D(ω) − D M (ω) ekstreme. Remez je zanj na-

42 Metode snovanja sit s FIRpisal program v Fortranu 3 , ki je v programu Matlab zapisan vobliki datoteke MEX. Program v MEX se od originala razlikujev tem, da omogoča načrtovanje poljubno dolgih sit s FIR s poljubnimštevilom linearnih pasov.Funkcija remezZa računanje koeficientov sita je namenjena remez, za določitevstopnje sita pa funkcija remezord. Funkcija remez ima naslednjoosnovno sintakso:h = remez(r,f,a)kjer so r stopnjo sita, f vektor normaliziranih mejnih frekvencin a vektor amplitud pri mejnih frekvencah. Mejne frekvenceso normalizirane z Nyquistovo frekvenco f N = f s /2 in morajobiti zapisane v naraščajočem zaporedju. Vektorja f in a sta iste,vedno sode dolžine.Impulzni odziv je simetričen in dolžine N = r + 1. Zato imasito linearno fazno karakteristiko, ki jo določa zakasnitevτ p = N − 12= r 2.Red sita (poleg vrste simetrije) določa tudi tip sita. Pri izbiri stopnjepasmo omejeni z vrsto sita. Na primer, visokoprepustnosito ne sme biti tipa II (r lih, N sod). Če v tem primeru izberemolihi r, ga funkcija remez poveča za ena 4 . Če posebej nenavedemo, funkcija remez pri sodem r izračuna koeficiente sitatip I, pri lihem r pa za tip II. Za tip III in IV moramo dopisati,ali je sito diferenciator ali pa izvaja Hilbertovo transformacijo(Tabela 13.8). Pri optimalnih sitih nastavimo tudi razmerja valovitostimed posameznimi pasovi. Razmerja določajo uteži vvektorju w:h = remez(r,f,a,w)3 Programs for Digital Signal Processing, IEEE Press, New York, 1979, Algorithm5.1.4 Enako lastnost smo srečali pri okenskem postopku, kjer je taka omejitev veljalaza visokopasovna pasovno zaporna sita. Glej razdelek ?? na strani ??.Signali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 43Tabela 13.8Vrste sit, osnovne lastnosti in sintaksa zapisa funkcije..tip N r h[k] H( f = 0) H( f = 1) sintaksa ukazaI lih sod pozitivno ni omejitev ni omejitevII sod lihsimetričenni omejitev H(1) = 0remez(n,f,a), remez(n,f,a,w), . . .III lih sod negativno H(0) = 0 H(1) = 0 remez(n,f,a,’tip sita’),IV sod lihsimetričenH(0) = 0 ni omejitev remez(n,f,a,w,’tip sita’)’tip sita’ je lahko ali ’hilbert’ ali ’differentiator’.Dolžina w je enaka polovici dolžine f, tako določa natančno enoutež po prepustnem oziroma zapornem frekvenčnem pasu.ZGLED 13.5 (Sito z enakomerno valovitostjo)Izračunajmo koeficiente pasovno prepustnega sita z enakomerno valovitostjo,katerega frekvenčna karakteristika izpolni naslednje zahteve:prepustni pas: 1000 – 1500 Hz dolžina sita: 41širina prehodnega pasu: 500 Hz frekvenca vzorčenja: 10 kHzvalovitost a p :0,1 dBREŠITEV: Iz specifikacij sita sledi, da je zaporni frekvenčni pas med 0 in 500Hz ter med 2000 in 5000 HZ, prepustni pas pa med 1000 in 1500 Hz. Njihovenormalizirane mejne frekvence so:f 0 = 0 Hz f z1= 500 / 5000 = 0, 1 f p1= 1000 / 5000 = 0, 2f z2= 1500 / 5000 = 0, 3 f p2= 2000 / 5000 = 0, 4f N = 1zato je vektor normiranih frekvenc enakf = [0 0.1 0.2 0.3 0.4 1]Idealna amplitudna karakteristika ima v zapornih pasovih vrednost 0, v prepustnihpasovih pa 1, zato je v tem primeru vektor a amplitud enak:a = [0,0,1,1,0,0]Tako, sedaj poznamo vse parametre za izračun koeficientov sita z enakomernovalovitostjo. Napišimo še program, ki izračuna koeficiente in nariše amplitudnokarakteristiko. Izračunane koeficiente zberemo v tabeli 13.9,

44 Metode snovanja sit s FIRMATLAB 13.4:Izračun impulznega odziva sita z enakomerno valovitostjofs=10000;% frekvenca vzorčenjan=41;% dolžina sitaa=[0,0,1,1,0,0];% želena amplitudna karakteristikaf=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 1];% normalizirane mejne frekvenceb=remez(n-1,f,a);% aproksimacija impulznega odziva% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE[H,f]=freqz(h,1,fs); % privzame l=512mag=20*log10(abs(H));plot(f,mag),grid on% frekvenca v rad/sxlabel(’frekvenca [rad/s]’)ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)Tabela 13.9Koeficienti sita iz zgleda 13.5. Impulzni odziv je pozitivno simetričen,zato je zapisana le prva polovica koeficientov.nh FIR [n]0 −0, 00011 −0, 00042 −0, 00013 −0, 00014 −0, 0007nh FIR [n]5 0, 00056 0, 00237 0, 00088 −0, 00179 −0, 0005nh FIR [n]10 −0, 000511 −0, 004412 −0, 002213 0, 006914 0, 0066nh FIR [n]15 −0, 001616 0, 000017 0, 002218 −0, 011719 −0, 0164nh FIR [n]20 0, 006921 0, 0189200Slika 13.7-3Amplitudna karakteristika sita zenakomerno valovitostjo 13.5.amplitudni odziv [dB]−20−40−60−80−100−120−1400 1 2 3 4frekvenca [Hz]♦Signali: ch2009_13 20090120

☞13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 45Funkcija remezordS funkcijo remezord izračunamo minimalni stopnjo sita, pri kateremfrekvenčna karakteristika sita še izpolni zastavljene mejetoleranc. Funkcija uporablja algoritem, ki sta ga predlagala L.R. Rabiner in O. Herrmann [8, 1973]. Temelji na empiričnemobrazcu 13.6-20 na strani 34. Njena osnovna oblika je:[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev)kjer so v zbirki rezultatov [r,fo,ao,w] r iskani stopnjo sita, f 0vektor normiranih mejnih frekvenc, a 0 amplitude pri mejnih frekvencahin w vektor uteži valovitosti po pasovih sita. Ti parametriso vhodni podatki funkcije remez:[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev,fs)h = remez(r,fo,ao,w)Parametri f, a, dev in fs imajo naslednji pomen in zgradbo:f je vektor mejnih frekvenc prehodnih pasov med 0 in f N =f s /2. Zato v njem ne nastopata frekvenci 0 in f N . Zapisanemorajo biti v naraščajočem vrstnem redu. Kadar vremezord ni parametra fs, morajo biti frekvence v vektorjuf normirane, drugače pa so dejanske.a je vektor želenih amplitud v prepustnih in zapornih pasovih.Predpostavlja, da je potek amplitud med njimi konstanten.Zato je dolžina f za dva manjša od dvojne dolžinea. Na primer, pasovno prepustno sito opišemo z:f=[f_z1 f_p1 f_p2 f_z2]a=[0 1 0]dev je vektor velikosti valovitosti v prepustnih in zapornih pasovih.Je enake dolžine kot vektor a. Zapisati ga moramov linearnem merilu.fs je vzorčna frekvenca. Kadar ni navedena, funkcija remezordupošteva F s = 2 Hz. V tem primeru so, kot smo že omenili,frekvence v vektorju f normirane.Kadar je valovitost podana v decibelih (običaj pri načrtovanju

46 Metode snovanja sit s FIRsit z enakomerno valovitostjo), jo moramo za uporabo v funkcijiremezord preračunati v odklon δ p oziroma δ z :[En. (??)] a p = 20 log 10(1 + δ p )(1 − δ p )oziromain[En. (??)]oziromaδ p = 10a p /20 − 110 a p /20 + 1a z = −20 log 10δ z(13.7-4)δ z = 10 A z /20 (13.7-5)Pri nenormiranih mejnih frekvencah prehodnih pasov lahkoprogram skrajšamo z opcijo ’cell’:c = remezord(f,a,dev,fs,’cell’)h = remez(c{:})Pri mejnih frekvencah blizu ničle ali Nyquistove frekvence selahko zgodi, da funkcija remezord izračuna premajhen stopnjesita. To uvidimo s primerjavo doseženih in želenih specifikacij.V takem primeru moramo izračun koeficientov sita ponoviti pristopnji sita r+1 ali r+2.ZGLED 13.6 (nizkoprepustno optimalno sito: uporaba dejanskih frekvenc)Določimo stopnjo nizkoprepustnega sita, ki še izpolni naslednje zahteve:f p : 0,5 kHz a p : 3 dBf z : 0,6 kHz a z 40 dBf s : 2 kHzin izračunajmo koeficiente sita!MATLAB 13.5:Izračun vektorja odstopanja amplitudne karakteristikeREŠITEV: Stopnjo sita izračunamo s funkcijo remezord s sintakso, ki dovoljujeuporabo dejanskih frekvenc. Ker sta podana a p in a z v decibelih, jih z(13.7-4) in (13.7-5) pretvorimo v δ p in δ z (program MATLAB 13.5) posebejA_p = 3;% valovitost v dB v prepustnem pasuA_z = 40;% valovitost v dB v zapornem pasud_p = (10^(A_p/20)-1)/(10^(A_p/20)+1);d_z = 10^(-A_z/20);dev = [d_p d_z];% vektor absolutne valovitostiSignali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 47ali v programu za izračun koeficientov, kjer pretvorbo vključimo definicije vektorjadev (program MATLAB 13.6). Amplitudno in fazno karakteristiko izračunamo innarišemo na običajni način.MATLAB 13.6:Izračun koeficientov sita in njegove frekvenčne karakteristikeA_p = 3;% valovitost v dB v prepustnem pasuA_z = 40;% valovitost v dB v zapornem pasudev = [(10^(A_p/20)-1)/(10^(A_p/20)+1) 10^(-A_z/20)];fs = 2000;% frekvenca vzorčenjaf = [500 600];% vektor mejnih frekvenca = [1 0];% zelene amplitudec = remezord(f,a,dev,fs,’cell’); % računanje stopnje sitah = remez(c{:});% računanje koeficientov sita% izračun frekvenčne karakteristike[H,f] = freqz(h,1,1024,fs);mag = 20*log10(abs(H));phase = angle(H);figure 1; plot(f,mag),grid on;% amplitudna karakteristikaxlabel(’frekvenca [Hz]’);ylabel(’amplitudna karakteristika [dB]’);figure2; plot(f,unwrap(phase*180/pi)),grid on; % fazna karakteristikaxlabel(’frekvenca [Hz]’);ylabel(’fazna karakteristika’);200amplitudni odziv [dB]0−20−40−60−80fazni kot−500−1000−1500−1000 200 400 600 800 1000frekvenca [Hz](a) amplitudna karakteristika pri stopnji r−20000 200 400 600 800 1000frekvenca [Hz](b)fazna karakteristika pri stopnji rSlika 13.7-4Amplitudna in fazna karakteristika sita iz zgleda 13.6.Izračunano sito za malenkost presega meje valovitosti v prepustnem pasu inzapornem pasu (Slika 13.7-8a). Da izpolnimo zastavljene tolerance, v funkciji

48 Metode snovanja sit s FIR200amplitudni odziv [dB]0−20−40−60−80fazni kot−500−1000−1500−2000−1000 200 400 600 800 1000frekvenca [Hz](a) amplitudna karakteristika pri stopnji sita r + 1−25000 200 400 600 800 1000frekvenca [Hz](b) fazna karakteristika pri stopnji sita r + 1Slika 13.7-5Amplitudna in fazna karakteristika sita iz zgleda 13.6.remez namesto stopnje r uporabimo r+1. Pri tem v funkciji remezord večne smemo uporabiti parametra ’cell’, ampak zapišemo:[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev,fs); % računanje stopnje sitah = remez(r+1,fo,ao,w);% računanje koeficientov sitaFazni karakteristiki sta v linearnem merilu v kotnih stopinjah. Z opustitvijo funkcijeunwrap, bi imel diagram preskoke po modulu 360 ◦ .♦ZGLED 13.7 (nizkoprepustno optimalno sito: uporaba normiranih frekvenc)Ponovimo postopek načrtovanja iz zgleda 13.6 na strani 46 z uporabo normiranihfrekvenc.REŠITEV: Pri načrtovanju uporabimo funkcijo remezord s sintakso, ki dovoljujeuporabo normiranih frekvenc. Frekvence tokrat normiramo z Nayquistovofrekvenco f N = f s /2:f s = f s/ fN = 2000 / 1000 = 2f p = f s/ fN = 500 / 1000 = 0, 5f z = f s/ fN = 600 / 1000 = 0, 6Stopnjo sita in njegove koeficiente impulznega odziva izračunamo s programom13.7 na naslednji strani.Signali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 49MATLAB 13.7:Izračun koeficientov nizkoprepustnega sita pri normiranih frekvencah v funkcijiremezordd_p = 3;% valovitost v dB v prepustnem pasud_z = 40;% valovitost v dB v zapornem pasudev = [(10^(d_p/20)-1)/(10^(d_p/20)+1) 10^(-d_z/20)];f = [0.5 0.6];% vektor mejnih frekvenca = [1 0];% želene amplitude[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev); % računanje stopnje sitah = remez(r+1,fo,ao,w);% računanje koeficientov sita% upoštevamo stopnjo r+1% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE[H,f]=freqz(h,1,1024);mag=20*log10(abs(H));plot(f/pi,mag),grid on;% f/pi: frekvenca v Hzxlabel(’frekvenca [Hz]’);ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)200amplitudni odziv [dB]−20−40−60−80Slika 13.7-6Amplitudna karakteristika sita izzgleda 13.7.−1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1frekvenca [Hz]Da smo izpolnili zastavljene tolerance, smo v funkciji remez namesto stopnjeruporabiti stopnjo r+1.♦ZGLED 13.8 (pasovno prepustno sito z enakomerno valovitostjo)Za pasovno prepustno sito z linearno fazno karakteristiko in s parametri:prepustni pas: 12 – 16 kHzširina prehodnega pasu: 2 kHzvalovitost prepustnega pasu: 1 dBslabljenje v zapornem pasu: 45 dBfrekvenca vzorčenja: 10 kHzocenimo dolžino sita, izračunajmo koeficiente sita z optimalno metodo in narišimofrekvenčno karakteristiko tega sita.REŠITEV: Iz specifikacij sita sledi, da je zaporni frekvenčni pas med 0 in10 kHz ter med 16 in 25 kHz, Zato je vektor mejnih frekvenc f:

50 Metode snovanja sit s FIRf = [10 12 16 18]*1000Pripadajoči vektor amplitud v zapornih in prepustnih pasovih a je:a = [0 1 0]Oceno potrebne dolžine sita določimo s funkcijo remezord. Ker imamo valovitostpodano v dB, jo najprej pretvorimo v skladu z (13.7-4) in (??) v absolutno.linearno vrednost. Program, ki izračuna potrebni stopnjo sita, impulzni odziv infrekvenčno karakteristiko, je naslednji:MATLAB 13.8:Izračun reda, koeficientov ter amplitudne karakteristike pasovno prepustnegasitaAp=1;% valovitost prepustnega pasu v dBAz=45;% slabljenje v zapornem pasu v dBep=(10^(Ap/20)-1)/(10^(Ap/20)+1); % valovitost v prepustnem pasuez=10^(-Az/20);% valovitost v zapornem pasudev=[ez ep ez ]; % deviacijew=[ep/ez 1 ep/ez ];% razmerja valovitostifs=50000;% frekvenca vzorčenjaf=[10 12 16 18 ]*1000;% ndejanske mejne frekvencea=[0 1 0];% želena amplitudna karakteristikac=remezord(f,a,dev,fs,’cell’); % stopnjo sitah=remez(c{:});% aproksimacija impulznega odziva% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE[H,f]=freqz(h,1,1024,fs);mag=20*log10(abs(H));plot(f/pi,mag),grid onxlabel(’frekvenca [Hz]’)ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)Amplitudno karakteristiko kaže slika 13.7-8.♦13.7.4 Metoda vzorčenja frekvenčne karakteristikePri načrtovanju sit, katerih želena frekvenčna karakteristika jepoljubne (nestandardne) oblike, uporabljamo postopek načrtovanjaz vzorčenjem prototipne frekvenčne karakteristike. Za tapostopek načrtovanja je v orodnem kovčku “Signal ProcessingToolbox” pripravljena funkcija fir2. Njena osnovna sintaksa je:h = fir2(r,f,m)Parametri imajo naslednji pomen in lastnosti:Signali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 51200amplitudni odziv [dB]−20−40−60−80Slika 13.7-7Amplitudna karakteristika sita izzgleda 13.8.−1000 2000 4000 6000 8000frekvenca [Hz]r je stopnja sita. Funkcija fir2 vedno predpostavlja sito sodegareda. Če kljub temu izberemo lihi n, ga fir2 povečaza 1.f je vektor normiranih frekvenc. Zapisane morajo biti v naraščajočemvrstnem redu. Pri tem je prva enaka 0, zadnjapa 1, torej enaka Nyquistovi frekvenci.m je vektor amplitud pri frekvencah zapisanih v vektorju f.Zato sta vektorja f and m enake dolžine.Če ima želena frekvenčna karakteristika skok, je frekvenca,pri kateri je skok, zapisan dvakrat. Prvi zapis (z leve) jenamenjen levi limiti amplitudne karakteristike, drugi padesni.Funkcija fir2 izračuna n+1 koeficientov sita s FIR stopnje n. Koeficientiv vektorju so urejeni po upadajočih potencah z:h = [h r , h r−1 , . . . , h 1 , h 0 ] .Amplitudna karakteristika, ki jo izračunamo iz izračunanegaimpulznega odziva, se v točkah vzorčenja ujema prototipnimsitom. Tega lahko narišemo s funkcijo plot(f,m).Funkcija fir2 računa koeficiente sita z inverzno Fourierovotransformacijo. Če posebej ne navedemo tip okna, fir2 pri nje-

52 Metode snovanja sit s FIRnem računanju uporabi Hammingovo okno.okno, ga navedemo. Na primerČe želimo drugowindow = blackman(r+1)b = fir2(r,f,m,window)ali direktno, na primer:b = fir2(r,f,m,kaiser(r+1,beta))Vektor, ki določa okno, mora imeti r+1 koeficientov.Potek prototipne amplitudne karakteristike, ki jo določata vektorjaf in m, funkcija fir2 upošteva kot oporne točke pri interpolacijiprototipne karakteristike, ki je določena skupaj v 512točkah. Če želimo spremeniti to število, uporabimo parameternpt. Uporabljamo ga lahko brez ali z določitvijo okna:h = fir2(r,f,m,npt)h = fir2(r,f,m,npt,window)Če sta v vektorju f dve zaporedni frekvenci enaki, funkcijafir2 določi prehodni pas s središčem pri tej frekvenci, v kateremamplitudna karakteristika naredi gladek prehod med želenimaamplitudama (levo in desno limito prototipne amplitudnekarakteristike). Širino prehodnega pasu nadzira parameter lap.Uporabljamo ga lahko brez ali z določitvijo okna:b = fir2(n,f,m,npt,lap)b = fir2(n,f,m,npt,lap,window)☞Pri uporabi parametra lap moramo pstopnjo njim vedno navestitudi npt, tudi če uporabljamo prednastavljeno vrednost!Če lap ni naveden, fir2 uporabi prednastavljeno vrednost, kiznaša 25.ZGLED 13.9 (Postopek načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike)Po postopku vzorčenja frekvenčne karakteristike določimo koeficiente aproksimacijeidealnega nizkoprepustnega sita z mejno frekvenco 0,6. Sita bodi 30.reda. Zanj narišimo prototipno in dejansko amplitudno karakteristiko.REŠITEV: Potek amplitudne karakteristike idealnega nizkoprepustnega sitaima preskok pri mejni frekvenci 0,6 (normirano). Opišemo jo z:f = [0 0.6 0.6 1]m = [1 1 0 0]Signali: ch2009_13 20090120

13.7 Snovanje sit s FIR s programom MATLAB 53MATLAB 13.9:Izračun koeficientov sita s prednastavljenimi vrednostmi parametrov npt in lap.f = [0 0.6 0.6 1]; % vektor frekvenc, preskok pri 0,6 !m = [1 1 0 0]; % vektor amplitud pri frekvencah fh = fir2(30,f,m);% izračun koeficientov sita% IZRAČUN IN IZRIS FREKVENČNE KARAKTERISTIKE[H,w]=freqz(h,1,128);plot(f,m,w/pi,abs(H)),grid on % w je normirana krožna frekvenca!legend(’idealna’,’aproksimacija’)1.41.2idealnaaproksimacija1.05idealnaaproksimacija10.80.610.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1(a)pri prednastavljenih vrednostih parametrov npt in lap0.950.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55(b)detajl prepustnega pasu v okolici mejne frekvenceSlika 13.7-8Primerjava amplitudnih karakteristik prototipnega in dejanskega sita (program MATLAB 13.9)..Poglejmo si še vpliv širine prehodnega pasu na potek amplitudne karakteristike.V tem primeru se funkcija za izračun koeficientov glasi:h = fir2(30,f,m,512,50); (13.7-6)in vpliv uporabe Blackmanovega okna pri izračunu inverzne Fourierove transformacijev funkciji fir2:h = fir2(30,f,m,blackman(31)) (13.7-7)Primerjava prikazanih amplitudnih karakteristik pokaže:Širina prehodnega pasu je najmanjša pri prednastavljenih vrednostih parametrovfunkcije fir2Če podvojimo število otipkov v prehodnem pasu, se širina prehodnegapasu nekoliko poveča, precej pa se zmanjša valovitost v prepustnempasu.

54 Metode snovanja sit s FIR1.41.2idealnaaproksimacija1.05idealnaaproksimacija10.80.610.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1(a) pri parametrih npt = 512 in lap = 500.950.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55(b)detajl prepustnega pasu v okolici mejne frekvence.1.41.2idealnaaproksimacija1.05idealnaaproksimacija10.80.610.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1(c)pri uporabi Blackmanovega okna0.950.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55(d)detajl prepustnega pasu v okolici mejne frekvenceSlika 13.7-9Primerjava amplitudnih karakteristik prototipnega in dejanskega sita, z (13.7-6) in (13.7-6) modificirani program13.9 (zgled 13.9)..Uporaba Blackmanovega okna pri računanju inverzne Fourierove transformacijeodpravi valovitost v prepustnem pasu. To pa plačamo s povečanoširino prehodnega pasu.♦Signali: ch2009_13 20090120

13.8 Literatura 5513.8 Literatura[1] J. H. McClellan, and T. W. Parks: “Unified Approach to the Design ofOptimum FIR Linear-Phase Filters”. IEEE Trans. Circuit Theory, CT20(6), pp 697–701 (1973).[2] J. H. McClellan, T. W. Parks, and L. R. Rabiner: “Computer programfor Design Optimum FIR Linear Phase Digital Filters”. IEEE Trans.Audio Electroacoustics, AU 21(6), pp 506–526 (1973).[3] A. Antoniou: “Accelerated Procedure for the design of equiripple nonrecursivedigital filters”. Proceedings of IEE, Part G, No. 129, pp.1–10, 1982[4] O. Herrmann, L. R. Rabiner, and D. S. K. Chan: “On Design of NonrecursiveDigital Filters with Linear Phase”. Elec. Lett. J., Vol. 6, No.11, pp. 328–329, 1970[5] O. Herrmann, W. Schüssler: “Design of Nonrecorsive Digital Filterswith Minimum Phase”. Elec. Lett. J., Vol. 6, No. 11, pp. 329–330,1970[6] O. Herrmann, L. R. Rabiner, and D. S. K. Chan: “Practical Design Rulesfor Optimum Finite Response Lowpas Filters”. Bell System TechnocalJ., Vol. 52, No. 6, pp. 769–799, 1973[7] L. R. Rabiner, and B. Gold: “Theory and Application of Digital SignalProcessing”. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975, (pp. 156-157).[8] L. R. Rabiner, and O. Herrmann, "The Predictability of Certain OptimumFinite Impulse Response Digital Filters,"IEEE Trans. on CircuitTheory, Vol. CT-20, No. 4 (July 1973), pp. 401-408.[9] E. Ya. Remez: “Sur le calcul effectif des polynomes d’approximation deTschebyscheff”. C. R. Acad. Sci., Paris, 199, 337-340, 1934[10] E. Ya. Remez: “General Computational Methods of Chebyshev Approximation:The Problems with Linear Real Parameters”. AtomicEnergy Translation 4491. Kiev, 1957.[11] Ronald M. Aarts,and Charles Bond, Phil Mendelsohn, and EricW. Weisstein: “Remez Algorithm”. From MathWorld–A WolframWeb Resource. http://mathworld.wolfram.com/RemezAlgorithm.html[12] Sherif Tawfik: “Remez Algorithm” From MATLAB Central(2005) http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/8094