1 Kompleksni brojevi - Front Slobode

1 Kompleksni brojeviKompleksni brojeviVeć veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijihjednačina. Primjer toga jex n +m = 0.Pokazat ćemo da postoji logično proširenje skupa R tako da gornja jednačina ima rješenjeza svakom,n ∈ R.Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemoimati sve...1.1 Definicija i oblici kompleksnog brojaDefinicija 1.1. Skup kompleksnih brojevaC je skup svih uredenih parova(x,y) realnihbrojeva u kome su definisane operacije sabiranja i množenja :(x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 ) = (x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ), (1)(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = (x 1 x 2 −y 1 y 2 ,x 1 y 2 −x 2 y 1 ). (2)Kompleksni broj generalno označavamo sa z.Stavovi1. Operacija sabiranja u skupuC je komutativna i asocijativna.2. Operacija množenja u skupuC je komutativna i asocijativna.3. Operacija množenja je distributivna prema operaciji sabiranja.Definicija 1.2. Suprotan broj kompleksnog broja z, u oznaci −z je kompleksan brojkoji zadovoljava uslovz +(−z) = 0.Za svaki kompleksan broj z = (x,y) postoji samo jedan suprotan kompleksni broj−z = (−x−iy).Definicija 1.3. Recipročni broj kompleksnog broja z u oznaci 1 zje kompleksan brojkoji zadovoljava uslovz· 1z= 1. On je takoder jedinstven.Definicija 1.4. Kompleksan broj(0,1) naziva se imaginarna jedinica i označava se sai.1

Korjenovanje kompleksnog brojaU skupu komplesnih brojeva definiše sen-ti korijen brojaz ∈ C u oznaci n√ z, kao brojw ∈ C sa svojstvom dan√ z = w ⇐⇒ w n = z.Ako predemo na trigonometrijske oblikez = r(cosθ +isinθ) iw = ρ(cosϕ+isinϕ),te iskoristimo Moivreovu formulu za stepen, dobijemoρ n (cosnϕ+isinϕ) = r(cosθ +isinθ),odakle je na osnovu jednakosti kompleksih brojeva,ρ = n√ r, ϕ = θ+2kπ , (k = 0,±1,±2,...).nPrema tome, ako jez = r(cosθ +isinθ), tada jen√ √ (z =nr cos θ +2kπ +isin θ+2kπ ), k = 0,±1,±2,...n nMoglo bi se pomisliti da je ovih korjena beskonačno mnogo no to nije slučaj. Formuladaje tačnonvrijednostin-tog korjena brojaz.Primjer. Odrediti sve vrijednosti 3√ 1.Logaritam kompleksnog brojaNeka jez = r(cosθ+isinθ) proizvoljan komplesan broj. Eulerov oblik kompleksnogbroja je dat saz = r(cosθ +isinθ) = re iθ .Na osnovu jednakosti dva kompleksna broja, dobijamo da jez = re i(θ+2kπ) , k ∈ Z.Definicija 1.7. Prirodni logaritam kompleksnog brojaz u oznaciLnz, definiše se kaoi u skupuR, tj.w = Lnz ⇐⇒ z = e w , (w ∈ C).Iz gornjih relacija, dobivamoLnz = lnr+i(θ +2kπ), k ∈ Z.Dakle,Ln je višeznačna funkcija, a izrazomLnz = lnr+iπ, −π < θ < π4

je definisana tzv. principalna ili glavna vrijednost prirodnog logaritma kompleksnogbroja. Ralika izmedu trigonometrijskih funkcija i hiperboličnih funkcija pretežnonestaje ako dozvolimo da se koristimo kompleksnim brojevima, umjesto samo realnih.Koristeći se Eulerovim oblikom kompleksnog broja,cosh(ix) = cosx, cos(ix) = coshxsinh(ix) = isinx, sin(ix) = isinhx5