이 해: 인지 패러다임

문이다(Larkin 1989). 그렇지만 많은 문제가 형식적 계산체계에 의지하지 않고서는 해결될수 없다. 고속도로의 교량을 세우는 일과 미분방정식을 푸는 일이 몇 가지 사례이다.진술형 대수문제도 또한 일반적으로 그런 부류에 속한다. 우리는 [ 그림 10­8] 에 있는 문제에 대하여 완벽히 양호한 상황모형을 갖고 있지만,해답을 찾아내는 데에는 도움되지 않을 것이다. 해답을 찾기 위하여 그 문제를 수학적으로 재형성할 필요가 있다.그렇지만 수학을 이용하면서 문제의 수학적 형식화 및 실세계 구조 사이에 있는 대응관계를 잃어버릴 위험도있다(Greeno, 1989; Kintsch, 1991). 상황모형 및 문제모형은 반드시 부합되어야 한다.과학 및 기술을 가르치는 모든 수준의 교육에서는 이런 부합이 종종 보장되기 어렵고,빈번히성취되지 않기도 한다. 난점은 형식적 체계 그 자체도, 상황 이해 그 자체도 아니다.난점은형식화 및 상황 사이에 있는 대응관계에 있는 것이다.이것은 공학 설계 또는 소프트웨어 설계에서 어려운 논제로 악명이 높다.그러나 궁극적으로 실세계는 형식주의자에게 314)형식화의 적합성에 관하여 되짚어보기를 제공해 준다.즉, 교량이 수 백년 동안 지속되거나 아니면 무너진다. 소프트웨어는 완벽하지만,소프트웨어가 어떻게 되어야 하는지 소비자가 상상한 것을 실행해 주지는 않는다.노련하게 진술형대수문제를 해결하는 주체는,자신의 상황모형에 견주어 합리적으로 자신의 해답을 점검함으로써, 나름대로의 되짚어보기를 제공해 준다.정확히 그것이 학생들이 도움을 받을 필요가 있는 대목이다. 그렇지 않다면 그들은 칠판 길이에 대한 부정적인 값을315) 생각하며 비슷한 불합리성을 생각해 낸다(Paige & Simon, 1966). 대수문제를 푸는 학생들이 실세계에서 상황모형을 조작할 수 없고, 그것으로부터 되짚어보기를 얻어낼 수 없기 때문에,다음의최선책은 그들이 구성했던 문제모형에 함의된 바를 실행해 나가는 대안이 되는 세계를 동영상의 형태로 그들에게 제공해 주는 것이다.따라서 [ 그림 10­8] 에 있는 문제의 경우에, 동영상은 비행기1이 이륙하는 것을 보여 준다. 조금 있다가 비행기2 가 더 빠른 속도로 떠난다. 일정 시간 t 뒤에, 비행기2가 비행기1을추월하며, 그 동영상이 멈춘다. 반면에,만일 학생이 오류를 범하고 느린 비행기가 빠른 비행기 뒤에 출발하는 문제모형을 구성한다면, 이것이 정확히 그 모의에서 일어난 바이며,학생은 반드시 그 오류를 깨닫게 된다. 마찬가지로,만일 학생이 비행기들이 날아간 거리를구체화해 놓기를 잊어버린다면, 심지어 한 비행기가 다른 비행기를 추월한 뒤에도,비행기들은 단순히 계속 날아가기만 할 것이다. 그 학생은 뭔가 잘못되었음에 주목하고,이제 잘못된 것이 무엇인지 살펴보는 기회를 갖게 된다.네이든ㆍ킨취ㆍ영(Nathan, Kintsch, & Young 1992) 은 ANIMATE( 동영상처리)로 불리는313) 행동주의에 반대한 심리학자 깁슨(Gibson 1904~1979) 이 쓴 학술 용어이다 . 자세한 것은 제 2장 1절 1항의 각주 (35) 를 참고하기 바란다.314) 플라톤으로부터 비롯되어 , 현대학문의 비조( 鼻 祖 , forefather) 로 칭송되는 프레게(Frege, 1848~1925) 로 대표되며,엄격한 개념 표기법을 이용하여 서술되는 공리체계가 일단 변항을 도입할 경우에 무한 퇴행이 일어남을 괴델(Gödel, 1906~1978) 이 수학적으로 증명한 바 있다( 불완전성의 정리).수학적 연산을 형식적으로 전개하는 일과 그 전개된 과정들을 증명하는 일은 별개의 것이다.왜냐하면 후자는 순수한 인식의 문제에 해당하기 때문이다 . 자세한 논의는 임정대(1985). 수학적 존재와 인식( 청문각) 및 클라인(Kline 1980, 박세희 역1984). 수학의 확실성( 민음사) 을 보기 바란다.형식주의의 발전 과정을 모아 놓은 가장 기본적인 압권은 하이주눗( 편)(Heijennoort 1967). 프레게로부터 괴델까지 : 1879 년~1931 년까지의 수리논리학 자원 독본(FromFrege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879~1931 )(Harvard University Press) 인데,모두41 편의 글이 들어 있다.315) 칠판의 길이는 나라마다 지역마다 교실 크기에 따라 달라질 뿐만 아니라,여러 가지 보조 칠판들이 있으므로, 길이를 하나로 규격화할 수는 없을 것이다.그렇지만 학생들이 정형화된 규격을 생각한다는 점에서 부정적이라는 평가를 받을 듯하다.- 364 -